（暑假班）（人教A版）高二数学暑假讲义第二章 直线和圆的方程单元综合测试（2份，原卷版+解析版）

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一、选择题：本题共8小题，每小题5分，共40分。在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的。
1．（2023·福建宁德·高二统考期中）圆与圆的位置关系是（ ）
A．相切B．相交C．内含D．外离
【答案】B
【解析】圆的圆心，半径，
圆的圆心，半径，
于是，
所以两圆相交.
故选：B
2．（2023·浙江嘉兴·高二统考期末）已知圆：与圆：有公共点，则的取值范围为（ ）
A．B．C．D．
【答案】C
【解析】由题知：，，，，
.
因为和有公共点，所以，
解得.
故选：C
3．（2023·江西萍乡·高二统考期末）若直线与直线垂直，则实数（ ）
A．0B．1C．D．
【答案】D
【解析】直线与直线垂直，
则，解得．
故选：．
4．（2023·河南洛阳·高二统考期末）已知点P为直线上的一点，M，N分别为圆：与圆：上的点，则的最小值为（ ）
A．5B．3C．2D．1
【答案】B
【解析】如图所示，由圆，可得圆心，半径为，
圆，可得圆心，半径为，
可得圆心距，
如图，，
所以，
当共线时，取得最小值，
故的最小值为.

故选：B
5．（2023·高二校考课时练习）若直线的斜率k与直线在y轴上的截距b相等，则该直线一定经过的点是( ).
A．B．C．D．
【答案】C
【解析】设直线方程为，，，当时，,
∴直线一定经过点.
故选：C
6．（2023·高二课时练习）直线mx+ny+3=0在y轴上的截距为-3，而且它的斜率是直线的斜率的相反数，则（ ）
A．，B．，
C．，D．，
【答案】D
【解析】因为直线mx+ny+3=0在y轴上的截距为-3，
所以，0-3n+3=0，解得.
因为直线的斜率为，
由已知可得，直线mx+ny+3=0的斜率为，即.
所以.
故选：D.
7．（2023·高二校考课时练习）已知的三个顶点分别为，M为AB的中点，则中线CM所在直线的方程为( )
A．B．
C．D．
【答案】D
【解析】点M的坐标为(2,1)，由直线的两点式方程得，即.
故选：D
8．（2023·高二校考课时练习）设直线被圆：所截得弦的中点为，则直线的方程为（ ）
A． B．
C． D．
【答案】D
【解析】圆的圆心为，
设直线的斜率为，
由已知直线与垂直，又，
所以，解得：，
所以的方程为，即.
故选：D.
二、选择题：本题共4小题，每小题5分，共20分。在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求。全部选对的得5分，部分选对的得2分，有选错的得0分。
9．（2023·江苏扬州·高二统考开学考试）下列四个结论，其中正确的有（ ）．
A．方程与方程表示同一条直线
B．直线恒过定点
C．直线的倾斜角为135°
D．过点，且在两坐标轴上截距相等的直线仅有一条
【答案】BC
【解析】对于A，由方程中的，而方程中的，所以两个方程表示不同的直线，故A错误；
对于B，当时，不管为何值，，所以直线恒过定点，故B正确；
对于C，由，则，即直线斜率为，所以其倾斜角为135°，故C正确；
对于D，当直线在坐标轴上的截距都为0时，此时直线方程为，
当直线在坐标轴上的截距都不为0时，可设其方程为，则，解得，此时直线方程为，
所以过点，且在两坐标轴上截距相等的直线有2条，故D错误．
故选：BC．
10．（2023·浙江·高二校联考阶段练习）已知圆的方程为，下列结论正确的是（ ）
A．该圆的面积为B．点在该圆内
C．该圆与圆相离D．直线与该圆相切
【答案】BD
【解析】，可知圆心为，半径；
对于A：由圆的半径，得该圆的面积为，故A错误；
对于B：因为，所以点在该圆内，故B正确；
对于C：圆的圆心为，半径为1，
因为两圆心距离为，且，所以两圆相交，故C错误；
对于D：圆心到直线的距离，
所以直线与该圆相切，故D正确，
故选：BD．
11．（2023·贵州遵义·高二遵义市南白中学校考阶段练习）已知直线，圆，则下列说法正确的是（ ）
A．圆上恰有1个点到直线的距离为1，则
B．圆上恰有2个点到直线的距离为1，则
C．圆上恰有3个点到直线的距离为1，则
D．圆上恰有4个点到直线的距离为1，则
【答案】ACD
【解析】圆的圆心为，半径为2，
A选项，要想圆上恰有1个点到直线的距离为1，则圆心到直线的距离为3，
即，解得，A正确；
B选项，要想圆上恰有2个点到直线的距离为1，则圆心到直线的距离大于1，小于3，
即，解得，B错误；
C选项，圆上恰有3个点到直线的距离为1，则圆心到直线的距离等于1，
即，解得，C正确；
D选项，圆上恰有4个点到直线的距离为1，则圆心到直线的距离小于1，
即，解得，D正确.
故选：ACD
12．（2023·福建宁德·高二统考期中）已知点在圆上，点分别为直线 与轴，轴的交点，则下列结论正确的是 （ ）
A．直线与圆相切B．圆截轴所得的弦长为
C．的最大值为D．的面积的最小值为
【答案】ACD
【解析】由圆，可得，可得圆心，半径为，
因为点分别为直线与轴、轴的交点，可得，
对于A中，因为圆心到直线的距离为，所以A正确；
对于B中，由圆截轴的弦长为，所以B不正确；
对于C中，点在圆上，且，其中，所以的最大值为，所以C正确；
对于D中，因为圆心到直线的距离为，
则圆上点到直线的最小距离为，
因为，所以的面积的最小值为，所以D正确.
故选：ACD.
第Ⅱ卷
三、填空题：本题共4小题，每小题5分，共20分。
13．（2023·江苏常州·高二常州高级中学校考阶段练习）直线经过点，且与直线平行，则直线的方程为_________.
【答案】
【解析】设直线的方程为，将代入可得，
解得，故直线的方程为.
故答案为：
14．（2023·安徽芜湖·高二安徽省无为襄安中学校考阶段练习）经过点作直线，若直线与连接，的线段总有公共点，则直线的斜率的取值范围是______．
【答案】或
【解析】如图，直线与线段总有公共点，即直线以直线为起始位置，绕点P逆时针旋转到直线即可，
直线的斜率为，直线的斜率分别为，于是或，
而，因此或，
所以直线的斜率的取值范围是或.
故答案为：或
15．（2023·高二课时练习）已知，，动点M满足，则点M的轨迹方程是______．
【答案】
【解析】设，则，.
因为，
所以，，
整理可得，，
即.
所以，点M的轨迹是圆，方程为.
故答案为：.
16．（2023·上海徐汇·高二上海市徐汇中学校考期中）已知圆的方程为，该圆过点的最长弦和最短弦分别为和，则四边形的面积为______．
【答案】
【解析】依题意，圆的圆心，半径，
点与圆心的距离，
则点在圆内，过点及圆心的直线与圆相交，得最长弦长，
当时，最短，过的最短的弦长，
所以四边形的面积.
故答案为：

四、解答题：本题共6小题，共70分。解答应写出文字说明、证明过程或演算步棸。
17．（10分）
（2023·江苏扬州·高二统考开学考试）已知直线，求：
(1)过点且与直线l平行的直线的方程；
(2)过点且与直线l垂直的直线的方程．
【解析】（1）因为直线的斜率为，
所以与直线l平行的直线的斜率为，
又所求直线过，
所以所求直线方程为，即．
（2）因为直线的斜率为，
所以与直线l垂直的直线的斜率为，
又所求直线过，
所以所求直线方程为，即．
18．（12分）
（2023·广东广州·高二广州市培正中学校考期中）已知点求：
(1)BC边上的中线所在直线的方程；
(2)BC边上的高所在直线方程；
(3)BC边的垂直平分线的方程.
【解析】（1）
的中点坐标为，且
所以BC边上的中线所在直线的方程：
（2）BC的斜率：，
所以BC边上的高所在直线方程的斜率：
BC边上的高所在直线方程：
即：.
（3）由前两问知：的中点坐标为，.
BC边的垂直平分线的斜率：，
BC边的垂直平分线的方程:
即：
19．（12分）
（2023·山东滨州·高二统考期末）已知圆的圆心在直线上，且与轴相切于点．
(1)求圆的方程；
(2)已知过点的直线被圆截得的弦长为，求直线的方程．
【解析】（1）因为圆与轴相切于点，所以圆心在直线上，
又因为圆的圆心在直线上，
由，解得，即，圆的半径，
所以，圆的方程为．
（2）设圆心到直线的距离为，则，
当直线的斜率不存在时，直线的方程为，此时，满足条件；
当直线的斜率存在时，设直线的斜率为，则直线的方程为，
即．
因为圆心为，所以圆心到直线的距离为，
整理可得，解得，
所以，直线的方程为．
综上所述，直线的方程为或.
20．（12分）
（2023·广东深圳·高二深圳中学校考期中）已知圆C的圆心为，且与直线相切．
(1)求圆C的方程；
(2)求圆C与圆的公共弦的长．
【解析】（1）由题意得圆C的半径为，
故圆C的方程为；
（2）圆和的圆心距为，
而，即两圆相交，
将和相减得，
圆的圆心到的距离为，
故两圆的公共弦长为.
21．（12分）
（2023·江苏扬州·高二统考开学考试）在平面直角坐标系中，圆C的方程为，．
(1)当时，过原点O作直线l与圆C相切，求直线l的方程；
(2)对于，若圆C上存在点M，使，求实数的取值范围．
【解析】（1）当时，圆C的方程为，
圆心，半径，
①当直线l的斜率不存在时，直线l的方程为，满足条件；
②当直线l的斜率存在时，设直线l的方程为，
由直线l与圆C相切，则，解得，
所以l的方程为，即，
综上得，直线l的方程为或；
（2）圆心，，
则线段的中垂线的方程为，即，
要使得，则M在线段的中垂线上，
所以存在点M既要在上，又要在圆C上，
所以直线与圆C有公共点，
所以，解得，
所以．

22．（12分）
（2023·福建宁德·高二统考期中）已知直线：与圆O：相交于不重合的A，B两点，O是坐标原点，且A，B，O三点构成三角形．

(1)求的取值范围；
(2)的面积为，求的最大值，并求取得最大值时的值．
【解析】（1）解法一：
由题意知：圆心到直线的距离 ，
因为直线与圆O相交于不重合的A，B两点，且A，B，O三点构成三角形，
所以，得，解得且，
所以的取值范围为.
解法二：
联立，化简得：
，得，
因为A，B，O三点构成三角形，所以
所以的取值范围为.
（2）直线：，即，
点O到直线距离：，
所以
所以，（且）
设，则，
所以
所以当，即，即时，
所以的最大值为2，取得最大值时.