专题6.1 数列（选填题）（全国卷理科数学专用）-高考数学满分突破之5年全国卷高考真题（2016-2021）与优质模拟题（理科）

专题6.1 数列（选填题）

A组 5年高考真题

1．（2021全国Ⅱ理4）北京天坛的圆丘坛为古代祭天的场所，分上、中、下三层，上层中心有一块圆形石板（称为天心石），环绕天心石砌块扇面形石板构成第一环，向外每环依次增加块，下一层的第一环比上一层的最后一环多块，向外每环依次也增加块．已知每层环数相同，且下层比中层多块，则三层共有扇面形石板（不含天心石）              （   ）

A．块             B．块             C．块             D．块

【答案】C

【思路导引】第n环天石心块数为，第一层共有环，则是以9为首项，9为公差的等差数列，

设为的前项和，由题意可得，解方程即可得到n，进一步得到．

【解析】设第n环天石心块数为，第一层共有环，则是以9为首项，9为公差的等差数列，，设为的前项和，则第一层、第二层、第三层的块数分别为，因为下层比中层多729块，所以，即，即，解得，所以，故选C．

2．（2019•新课标Ⅰ，理9）记为等差数列的前项和．已知，，则　　

A． B． C． D．

【答案】A

【解析】设等差数列的公差为，由，，得，，

，，故选．

3．（2018•新课标Ⅰ，理4）记为等差数列的前项和．若，，则　　

A． B． C．10 D．12

【答案】B

【解析】为等差数列的前项和，，，，把，代入得，，故选．

4．（2017•新课标Ⅰ，理4）记为等差数列的前项和．若，，则的公差为（   ）

A．1 B．2 C．4 D．8

【答案】C

【解析】由题知，，解得，，故选．

5．（2017•新课标Ⅲ，理9）等差数列的首项为1，公差不为0．若，，成等比数列，则前6项的和为　　

A． B． C．3 D．8

【答案】A

【解析】等差数列的首项为1，公差不为0．，，成等比数列，，

，且，，解得，前6项的和为，故选．

6．（2021全国Ⅱ理6）数列中，，，若，则 （   ）

A．                B．                C．                D．

【答案】C

【思路导引】取，可得出数列是等比数列，求得数列的通项公式，利用等比数列求和公式可得出关于的等式，由可求得的值．

【解析】在等式中，令，可得，，

所以，数列是以为首项，以为公比的等比数列，则，

，

，则，解得．故选：C．

7．（2019•新课标Ⅲ，理5）已知各项均为正数的等比数列的前4项和为15，且，则（   ）

A．16 B．8 C．4 D．2

【答案】C

【解析】设等比数列的公比为，则由前4项和为15，且，有

，，，故选．

8．（2017•新课标Ⅰ，理12）几位大学生响应国家的创业号召，开发了一款应用软件．为激发大家学习数学

的兴趣，他们推出了“解数学题获取软件激活码”的活动．这款软件的激活码为下面数学问题的答案：已

知数列1，1，2，1，2，4，1，2，4，8，1，2，4，8，16，，其中第一项是，接下来的两项是，，

再接下来的三项是，，，依此类推．求满足如下条件的最小整数且该数列的前项和为

2的整数幂．那么该款软件的激活码是　　

A．440 B．330 C．220 D．110

【解析】设该数列为，设，，则，

由题意可设数列的前项和为，数列的前项和为，则

，可知当为时，数列的前项和为数列

的前项和，即为，容易得到时，，

项，由，，可知，故项符合题意．

项，仿上可知，可知，显然不为2的整数幂，故项不符合题意．

项，仿上可知，可知，显然不为2的整数幂，故项不符合题意．

项，仿上可知，可知，显然不为2的整数幂，故项不符合题意．

故选．

9．（2016•新课标Ⅲ，理12）定义“规范01数列” 如下：共有项，其中项为0，项为1，且对任意，，，，中0的个数不少于1的个数，若，则不同的“规范01数列”共有　　

A．18个 B．16个 C．14个 D．12个

【答案】C

【解析】由题意可知，“规范01数列”有偶数项项，且所含0与1的个数相等，首项为0，末项为1，若，说明数列有8项，满足条件的数列有：

0，0，0，0，1，1，1，1；   0，0，0，1，0，1，1，1；   0，0，0，1，1，0，1，1；   0，0，0，1，1，1，0，1；   0，0，1，0，0，1，1，1；

0，0，1，0，1，0，1，1；   0，0，1，0，1，1，0，1；   0，0，1，1，0，1，0，1；   0，0，1，1，0，0，1，1；   0，1，0，0，0，1，1，1；

0，1，0，0，1，0，1，1；   0，1，0，0，1，1，0，1；   0，1，0，1，0，0，1，1；   0，1，0，1，0，1，0，1．共14个，故选．

10．（2017•新课标Ⅱ，理3）我国古代数学名著《算法统宗》中有如下问题：“远看巍巍塔七层，红光点点倍加增，共灯三百八十一，请问尖头几盏灯？”意思是：一座7层塔共挂了381盏灯，且相邻两层中的下一层灯数是上一层灯数的2倍，则塔的顶层共有灯　　

A．1盏 B．3盏 C．5盏 D．9盏

【答案】B

【解析】设塔顶的盏灯，由题意是公比为2的等比数列，，

解得，故选．

11．（2015•新课标Ⅱ，理4）已知等比数列满足，，则　　

A．21 B．42 C．63 D．84

【解析】，，，，，

，，故选．

12．（2013新课标Ⅱ，理3） 等比数列{}的前n项和为，已知，=9，，则=

A．   B．     C．     D．

【答案】C．

【解析】由题知=，即，即，又9==，∴=，故选C．

13．（2012新课标，理5）已知数列{}为等比数列，=2，=－8，则=

．7    ．5    ．－5    ．－7

【答案】D．

【解析】∵==－8，=2，∴=4，=－2，或=－2，=4，

当=4，=－2时，=－，==-7，

当=－2，=4时，=－2，==－7，故选D．

14．（2016•新课标Ⅰ，理3）已知等差数列前9项的和为27，，则　　

A．100 B．99 C．98 D．97

【答案】C

【解析】由题知，=，∴，又=，，24．（2019•新课标Ⅲ，理14）记为等差数列的前项和，若，，则　　．

【答案】4

【解析】设等差数列的公差为，则由，可得，，

．

15．（2015•新课标Ⅱ，理16）设数列的前项和为，且，，则　　．

【答案】

【解析】，，，又，即，

数列是以首项是、公差为的等差数列，，．

，故选

16．（2021全国Ⅱ理12）0-1周期序列在通信技术中有着重要应用．若序列满足，且存在正整数，使得成立，则称其为0-1周期序列，并称满足的最小正整数为这个序列的周期．对于周期为的0-1序列，是描述其性质的重要指标．下列周期为5的0-1序列中，满足的序列是              （   ）

A．            B．            C．            D．

【答案】C

【解析】由知，序列的周期为m，由已知，，．

对于选项A，

，不满足；

对于选项B，，不满足；对于选项D，，不满足；故选：C

17．（2013新课标Ⅰ，理14）若数列{}的前n项和为Sn＝，则数列{}的通项公式是=______．

【答案】

【解析】当=1时，==，解得=1，当≥2时，==－()=，即=，∴{}是首项为1，公比为－2的等比数列，∴=．

18．（2018•新课标Ⅰ，理14）记为数列的前项和．若，则　　．

【答案】

【解析】为数列的前项和，，①，当时，，解得，

当时，，②，由①②可得，，是以为首项，以2为公比的等比数列，．

19．（2016课标卷1，理15）设等比数列满足a1+a3=10，a2+a4=5，则a1a2…an的最大值为          ．

【答案】64

【解析】由5=，解得=，所以，解得=8，所以数列是递减数列，因为，所以，当或4时，表达式取得最大值：．

20．（2012新课标，理16）数列{}满足，则{}的前60项和为        ．

【答案】1830

【解析】由题设知，=1，①    =3  ②      =5  ③     =7，=9，=11，=13，=15，=17，=19，，

……，∴②－①得=2，③+②得=8，同理可得=2，=24，=2，=40，…，∴，，，…，是各项均为2的常数列，，，，…是首项为8，公差为16的等差数列，

∴{}的前60项和为=1830．

21．（2017•新课标Ⅱ，理15）等差数列的前项和为，，，则　　．

【答案】

【解析】等差数列的前项和为，，，，可得，数列的首项为1，公差为1，∴，∴，则．

B组 能力提升

22．（2021届安徽省“江南十校”高三综合素质检测）已知正项等比数列的前项和为，则的最小值为（    ）

A． B． C． D．

【答案】D

【解析】设等比数列的公比为，则，

由题意得，，得，解得，

得.

当时，；当时，，

则的最小值为.

23．（2021届河南省六市高三第一次模拟）著名的斐波那契数列：1，1，2，3，5，8，…，满足，，，若，则(    )

A．2021 B．4038 C．4039 D．4040

【答案】D

【解析】

，，，故，

，

故.

24．（2021届河南省六市高三第一次模拟）已知是等差数列的前项和，若，设，则数列的前项和取最大值时的值为(    )

A．2021 B．20l9 C．2018 D．2017

【答案】B

【解析】是等差数列的前项和，若，

故，，，，故，

当时，，，，

，

当时，，故前项和最大.

25．（2021届河南省濮阳市高三模拟）记等差数列的公差为，前项和为.若，，则（      ）

A． B． C． D．

【答案】C

【解析】因为，，

所以解得，

所以，

所以，，，

26．（2021届河南省天一大联考“顶尖计划”高三一联）记单调递增的等比数列的前项和为，若，，则（    ）

A． B． C． D．

【答案】C

【解析】因为为等比数列，所以，故即，

由可得或，因为为递增数列，故符合.

此时，所以或（舍，因为为递增数列）.

故，.

27．（2021届河南省新乡市高三第二次模拟）南宋数学家杨辉在《详解九章算法》和《算法通变本末》中，提出了一些新的垛积公式，所讨论的高阶等差数列与一般等差数列不同，前后两项之差并不相等，但是逐项差数之差或者高次差成等差数列对这类高阶等差数列的研究，在杨辉之后一般称为“垛积术”.现有高阶等差数列，其前7项分别为1，4，8，14，23，36，54，则该数列的第19项为（    ）（注：）

A．1624 B．1024 C．1198 D．1560

【答案】B

【解析】依题意

：1，4，8，14，23，36，54，……

两两作差得

：3，4，6，9，13，18，……

两两作差得

：1，2，3，4，5，……

设该数列为，令，设的前项和为，又令，设的前项和为.

易，，进而得，所以，则，所以，所以.

28．（2021届江西师范大学附属中学高三一模）已知数列满足，则________．

【答案】

【解析】

当时，由已知，可得，

∵，①

故，②

由①-②得，

∴．

显然当时不满足上式，

∴

故答案为：

29．（2021届山西省大同市第一中学高三一模）设等比数列的前项和为，若，则数列的公比是       ．

【答案】.

【解析】当q=1时，.当时，

，所以.

30．（2021届河南省天一大联考“顶尖计划”高三二联）数列满足递推公式，且，则___________.

【答案】2021

【解析】左右两端同乘以有，从而，，，，将以上式子累加得.

由得.令，有.

31．（2021届河南省驻马店市高三第二次模拟）在数列中，，，曲线在点处的切线经过点，下列四个结论：①；②；③；④数列是等比数列；其中所有正确结论的编号是______.

【答案】①③④

【解析】∵，∴曲线在点处的切线方程为，

则.

∵，∴，

则是首项为1，公比为的等比数列，

从而，，.

故所有正确结论的编号是①③④.

32．（2021届河南省新乡市高三第二次模拟）已知数列是等比数列，，则__________.

【答案】

【解析】设的公比为，由，得，故.

33．（2021届河南省天一大联考“顶尖计划”高三一联）记数列的前项和为，已知，且.若，则实数的取值范围为________.

【答案】

【解析】当时，，解得.所以.

因为，

则，

两式相减，可得，

即，

则.两式相减，

可得.

所以数列是首项为3，公差为2的等差数列，

所以，则.

令，则.

当时，，数列单调递减，

而，，，

故，即实数的取值范围为.

故答案为。