专题4.2 三角函数与解三角形（解答题）（全国卷理科数学专用）-高考数学满分突破之5年全国卷高考真题（2016-2021）与优质模拟题（理科）

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专题4.2 三角函数与解三角形（解答题）A组 5年高考真题1．（2021全国Ⅱ理17）中，．（1）求；（2）若，求周长的最大值．【答案】（1）；（2）．【思路导引】（1）利用正弦定理角化边，配凑出的形式，进而求得；（2）利用余弦定理可得到，利用基本不等式可求得的最大值，进而得到结果．【解析】（1）由正弦定理可得：，，，．（2）由余弦定理得：，即．（当且仅当时取等号），，解得：（当且仅当时取等号），周长，周长的最大值为．2．（2019•新课标Ⅰ，理17）的内角，，的对边分别为，，．设．（1）求；（2）若，求．【解析】（1）的内角，，的对边分别为，，．设．则，由正弦定理得：，，，．（2），，由正弦定理得，解得，，，．3．（2019•新课标Ⅲ，理（文）18）的内角、、的对边分别为，，．已知．（1）求；（2）若为锐角三角形，且，求面积的取值范围．【解析】（1），即为，可得，，，若，可得，不成立，，由，可得；（2）若为锐角三角形，且，由余弦定理可得，由三角形为锐角三角形，可得且，解得，可得面积，．4．（2017新课标卷1，理17）的内角，，的对边分别为，，，已知的面积为．
（1）求；
（2）若，，求的周长．【解析】（1）面积．且


由正弦定理得，由得．
（2）由（1）得，


又
，，
由余弦定理得   ①
由正弦定理得，
   ②
由①②得
，即周长为5．（2017新课标卷2，理17）的内角所对的边分别为，已知，（1）求；（2）若，的面积为，求．【解析】（1）由题设及，故上式两边平方，整理得 解得 （2）由，故又由余弦定理及得所以b=26．（2017新课标卷3，理17）的内角A，B，C的对边分别为a，b，c，已知，，．（1）求c；（2）设为边上一点，且，求的面积．【解析】（1）由得，即，又，∴，得．由余弦定理．又∵代入并整理得，故．（2）∵，由余弦定理．∵，即为直角三角形，则，得．由勾股定理．又，则，．7．（2016新课标卷1，理17）的内角A，B，C的对边分别别为a，b，c，已知（I）求C；（II）若的面积为，求的周长．【解析】（I）由正弦定理及得，，即，即，因为，所以，所以，所以．（II）由余弦定理得：∴∴∴周长为8．（2013新课标Ⅱ，理17）△ABC内角A，B，C的对边分别为，，，已知=．（Ⅰ）求B；（Ⅱ）若=2，求△ABC面积的最大值．【解析】（Ⅰ）由已知及正弦定理得，①又，∴=，即，∵∴，∴，∵，∴．（Ⅱ）△ABC的面积S==，由已知及余弦定理得．，∵，故，当且仅当时，取等号，∴△ABC面积的最大值为．9．（2012新课标，理17）已知，，分别为三个内角，，的对边，．(Ⅰ)求；(Ⅱ)若=2，的面积为，求，．【解析】(Ⅰ)由及正弦定理得     ，因为，所以由于，所以，又，故．(Ⅱ) 的面积==，故=4，而 故=8，解得=2．10．（2018•新课标Ⅰ，理17）在平面四边形中，，，，．（1）求；（2）若，求．【解析】（1），，，．由正弦定理得：，即，，，，．（2），，，．11．（2015•新课标Ⅱ，理17）中，是上的点，平分，面积是面积的2倍．（1）求；（2）若，，求和的长．【解析】（1）如图，过作于，，平分在中，，在中，，；．分（2）由（1）知，．过作于，作于，平分，，，，令，则，，，由余弦定理可得：，，，的长为，的长为1． 12．（2013新课标Ⅰ，理17）如图，在△ABC中，∠ABC＝90°，AB=，BC=1，P为△ABC内一点，∠BPC＝90°(1)若PB=，求PA；(2)若∠APB＝150°，求tan∠PBA【解析】（Ⅰ）由已知得，∠PBC=，∴∠PBA=30o，在△PBA中，由余弦定理得==，∴PA=；（Ⅱ）设∠PBA=，由已知得，PB=，在△PBA中，由正弦定理得，，化简得，，∴=，∴=． 
B组 能力提升13．（2021·福建省厦门市高三质检（理）已知函数.（1）求的单调递减区间；（2）在锐角中，，，分别为角，，的对边，且满足，求的取值范围.【答案】（1）（2）【解析】（1），由得所以的单调递减区间为；（2）由正弦定理得，∵∴，即，，得，或，解得，或（舍），∵为锐角三角形，∴解得∴∴的取值范围为。14．（2021·河南省安阳市高三一模（理）如图，在平面四边形ABCD中，，，，.（1）求的面积的最大值，（2）在的面积取得最大值的条件下，若，求的值.【答案】（1）（2）【解析】(1)在中，由余弦定理可得，所以，所以，当且仅当时，等号成立.所以，故的面积的最大值为.（2）在中，由题意可得，.由正弦定理可得，所以.又，所以为锐角，所以，所以，所以.所以因为，所以（负值舍去）。15．（2021·黑龙江哈尔滨师大附中高三模拟（理））在中，内角，，的对边分别为，，，已知.（Ⅰ）求；（Ⅱ）若，为的中点，且，求.【答案】（Ⅰ）；（Ⅱ）.【解析】（Ⅰ）由正弦定理得，又由，得，因为，所以，所以.因为，所以.（Ⅱ）因为为的中点，所以，所以，即，因为，解方程，得.16．（2021·吉林省高三二模（理））已知在中，a、b、c分别为角A、B、C的对边，且．（1）求角A的值；（2）若，设角，周长为y，求的最大值．【答案】（1）；（2）．【解析】（1）由已知可得，结合正弦定理可得，∴，又，∴．（2）由，及正弦定理得，∴，，故，即，由，得，∴当，即时，．17．（2021·陕西省高三教学质量检测一（理））如图，在中，，，，，D在边上，连接.（1）求角B的大小；（2）求的面积.【答案】（1）（2）【解析】（1）在中，，所以，所以∵，，∴，∴.因为，所以，∴.（2）在中，由余弦定理得，∴，解得，∴.18．（2021·江西省名高三第二次大联考（理））在中，角，，的对边分别为，，，且.（1）求的取值范围；（2）若，求的值.【答案】（1）；（2）或【解析】（1）因为，所以，整理得，即.由余弦定理可得，则，因为，所以的取值范围为.（2）由（1）可得，即，则，整理得，即，则或.因为，所以，则的值为或。19．（2021·江西省名高三第二次大联考（理））已知函数，且，.（1）求的解析式；（2）已知，若对任意的，总存在，使得成立，求的取值范围.【答案】（1）；（2）【解析】（1）因为，，所以，解得，..（2）因为，所以，所以，则.的图象的对称轴是.①当时，，，则，解得，符合题意； ②当时，，，则，解得，符合题意；③当时，，，则，不等式组无解，综上，的取值范围是。