专题3.2 导数的应用（解答题）（全国卷理科数学专用）-高考数学满分突破之5年全国卷高考真题（2016-2021）与优质模拟题（理科）

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专题3.2 导数的应用（解答题）
A组 5年高考真题
1．（2019全国Ⅰ理20）已知函数，为的导数．证明：
（1）在区间存在唯一极大值点；
（2）有且仅有2个零点．
【解析】（1）设，则，．
当时，单调递减，而，
可得在有唯一零点，设为．
则当时，；当时，．
所以在单调递增，在单调递减，故在存在唯一极大值点，即在存在唯一极大值点．
（2）的定义域为．
（i）当时，由（1）知，在单调递增，而，所以当时，，故在单调递减，又，从而是在的唯一零点．
（ii）当时，由（1）知，在单调递增，在单调递减，而，，所以存在，使得，且当时，；当时，．故在单调递增，在单调递减．
又，，所以当时，．
从而 在没有零点．
（iii）当时，，所以在单调递减．而，，所以在有唯一零点．
（iv）当时，，所以<0，从而在没有零点．
综上，有且仅有2个零点．
2．（2019全国Ⅱ理20）已知函数．
（1）讨论f(x)的单调性，并证明f(x)有且仅有两个零点；
（2）设x0是f(x)的一个零点，证明曲线y=ln x 在点A(x0，ln x0)处的切线也是曲线的切线．
【解析】（1）f（x）的定义域为．
因为，所以在（0，1），（1，+∞）单调递增．
因为f（e）=，，
所以f（x）在（1，+∞）有唯一零点x1，即f（x1）=0．
又，，
故f（x）在（0，1）有唯一零点．
综上，f（x）有且仅有两个零点．
（2）因为，故点B（–lnx0，）在曲线y=ex上．
由题设知，即，
故直线AB的斜率．
曲线y=ex在点处切线的斜率是，曲线在点处切线的斜率也是，
所以曲线在点处的切线也是曲线y=ex的切线．
3．（2018全国卷2理21）已知函数．
（1）若，证明：当时，；
（2）若在只有一个零点，求．
【解析】（1）当时，等价于，
设函数，则，
当时，，所以在单调递减，
而，故当时，，即．
（2）设函数，在只有一个零点当且仅当在只有一个零点．
当时，，没有零点；
当时，．
当时，；当时，．
在单调递减，在单调递增．
故是在的最小值．
①若，即，在没有零点；
②若，即，在只有一个零点；
③若，即，由于，所以在有一个零点，
由（1）知，当时，，所以．
故在有一个零点，因此在有两个零点．
综上，在只有一个零点时，．
4．（2014全国卷2理21）已知函数=
（Ⅰ）讨论的单调性；
（Ⅱ）设，当时，，求的最大值；
（Ⅲ）已知，估计ln2的近似值（精确到0．001）
【解析】（Ⅰ）∵，当且仅当=0时取等号，∴在上单调递增．
（Ⅱ）=，
==
① 当≤2时，≥0，当且仅当=0时取等号，∴在上单调递增，∴当＞0时，＞；
② 当＞2时，若满足，即时，＜0，此时，在（0，）是减函数，当时，＜=0，
综上所述，的最大值为2．
（Ⅲ）由（Ⅱ）知，=，
当=2时，=＞0，解得＞＞0．6928．
当=时，=，
=＜0，∴＜＜0．6934，∴的近似值为0．693．
5．(2016年全国Ⅱ)(I)讨论函数的单调性，并证明当时，；
(II)证明：当 时，函数 有最小值．设的最小值为，求函数的值域．
【解析】（I）证明：

∵当时，
∴在上单调递增
∴时，
∴
（Ⅱ），
由（Ⅰ）知，单调递增，对任意的，，
，因此，存在唯一，使得，即
当时，，，单调递减；
当时，，，单调递增．
因此在处取得最小值，最小值为
．
于是，由，得单调递增．
所以，由，得，
因为单调递增，对任意的，存在唯一的，
，使得，所以的值域为．
综上，当时，有最小值，的值域为．
6．(2016年全国Ⅲ) 设函数，其中，
记的最大值为．
（Ⅰ）求；
（Ⅱ）求；
（Ⅲ）证明．
【解析】（Ⅰ）．
（Ⅱ）当时，

因此，．
当时，将变形为．
令，则是在上的最大值，
，，且当时，取得极小值，
极小值为．
令，解得（舍去），．
（ⅰ）当时，在内无极值点，，，，所以．
（ⅱ）当时，由，知．
又，所以．
综上，．
（Ⅲ）由（Ⅰ）得．
当时，．
当时，，所以．
当时，，所以．
7．（2015新课标2文21）已知函数．
（Ⅰ）讨论的单调性；
（Ⅱ）当有最大值，且最大值大于时，求的取值范围．
【解析】（Ⅰ）的定义域为，．
若，则，所以在单调递增．
若，则当时，；当时，．所以在单调递增，在单调递减．
（Ⅱ）由（Ⅰ）知，当时，在上无最大值；当时，在取得最大值，最大值为．
因此等价于．
令，则在单调递增，．
于是，当时，；当时，．
因此的取值范围是．
8．(2015新课标Ⅱ理21）设函数．
(Ⅰ)证明：在单调递减，在单调递增；
(Ⅱ)若对于任意，，都有，求的取值范围．
【解析】(Ⅰ)．
若，则当时，，；
当时，，．
若，则当时，，；
当时，，．
所以，在单调递减，在单调递增．
(Ⅱ)由(Ⅰ)知，对任意的，在单调递减，在单调递增．
故在处取得最小值．
所以对于任意，，的充要条件是：
，即 ①
设函数，则．
当时，；当时．
故在单调递减，在 单调递增．
又，，故当时，．
当时，，即①式成立；
当时，由得单调性，，即；
当时，，即
综上，的取值范围是．
9．（2013全国卷1理21）已知函数＝，＝，若曲线和曲线都过点P(0，2)，且在点P处有相同的切线
（Ⅰ）求，，，的值
（Ⅱ）若≥－2时，≤，求的取值范围．
【解析】（Ⅰ）由已知得，
而=，=，∴=4，=2，=2，=2；……4分
（Ⅱ）由（Ⅰ）知，，，
设函数==（），
==，
有题设可得≥0，即，
令=0得，=，=－2，
（1）若，则－2＜≤0，∴当时，＜0，当时，＞0，即在单调递减，在单调递增，故在=取最小值，而==≥0，
∴当≥－2时，≥0，即≤恒成立，
(2)若，则=，
∴当≥－2时，≥0，∴在(－2，+∞)单调递增，而=0，
∴当≥－2时，≥0，即≤恒成立，
(3)若，则==＜0，
∴当≥－2时，≤不可能恒成立，
综上所述，的取值范围为[1，]．
10．（2011全国课标理21）已知函数=，曲线=在点（1，）处的切线方程为．
（Ⅰ）求，的值；
（Ⅱ）如果当＞0，且1时，＞，求的取值范围．
【解析】(Ⅰ)=，
∵直线=0的斜率为，且过点（1，1），∴=1且=，
即，解得=1，=1；
（Ⅱ）由(Ⅰ)知=，
∴=
设=（＞0），则=
①当≤0时，由=知，当时，＜0，而=0，故当∈（0，1）时，＞0，可得；
当∈（1，+∞）时，＜0，可得，
从而当＞0，且≠1时，＞0，即＞；
②当0＜＜1时，由于当∈（1，）时，＞0，故＞0，而=0，故∈（1，）时，＞0，可得＜0与题设矛盾；
③当≥1时，此时＞0，而=0，故当∈(1，+∞)时，＞0，可得，与题设矛盾，
综上所述，的取值范围为（—∞，0]．
11．（2021全国Ⅱ理21）已知函数．
（1）讨论在区间的单调性；
（2）证明：；
（3）设，证明：．
【答案】（1）当时，单调递增，当时，单调递减，当时，单调递增．（2）证明见解析；（3）证明见解析．
【思路导引】(1)首先求得导函数的解析式，然后由导函数的零点确定其在各个区间上的符号，最后确定原函数的单调性即可；(2)首先确定函数的周期性，然后结合(1)中的结论确定函数在一个周期内的最大值和最小值即可证得题中的不等式；(3)对所给的不等式左侧进行恒等变形可得，然后结合(2)的结论和三角函数的有界性进行放缩即可证得题中的不等式．
【解析】(1)由函数的解析式可得：，则：

，
在上的根为：，
当时，单调递增；
当时，单调递减；
当时，单调递增．
(2)注意到，
故函数是周期为的函数，结合(1)的结论，计算可得：，
，，
据此可得：，，即．
(3)结合(2)的结论有：


．
12．（2021全国Ⅲ理21）设，曲线在点处的切线与轴垂直．
（1）求；
（2）若有一个绝对值不大于的零点，证明：的所有零点的绝对值都不大于．
【答案】
【思路导引】（1）利用导数的几何意义得到，解方程即可；
（2）由（1）可得，易知在上单调递减，在，上单调递增，且，采用反证法，推出矛盾即可．
【解析】（1），即．
（2）解法一：设为的一个零点，根据题意，，且，则
，由，，显然在，，
，易得，
设为的零点，则必有，即，
，，即．∴的所有零点的绝对值都不大于．
解法二：由（1）可得，，
令，得或；令，得，
∴在上单调递减，在，上单调递增，
且，
若所有零点中存在一个绝对值大于1的零点，则或，即或．
当时，，
又，由零点存在性定理知在上存在唯一一个零点，即在上存在唯一一个零点，在上不存在零点，
此时不存在绝对值不大于1的零点，与题设矛盾；
当时，，
又，由零点存在性定理知在上存在唯一一个零点，即在上存在唯一一个零点，在上不存在零点，此时不存在绝对值不大于1的零点，与题设矛盾．
综上，所有零点的绝对值都不大于1．

13．（2018全国卷3理21）已知函数．
（1）若，证明：当时，；当时，；
（2）若是的极大值点，求．
【解析】（1）若时，，
∴．
令，
∴．
∴当时，，在上单调递增，
当时，，在上单调递减．
∴，
∴恒成立，
∴在上单调递增，
又，
∴当时，；当时，．
（2），
，
，
，
．
设，
∴，，，
∴在邻域内，时，，时，．
时，，由洛必达法则得，
时，，由洛必达法则得，
综上所述，．
14．（2017新课标Ⅱ理21）已知函数，且．
(1)求；
(2)证明：存在唯一的极大值点，且．
【解析】（1）的定义域为．
设，则，等价于．
因为，，故，而，，得．
若，则．当时，，单调递减；当时，，单调递增．所以是的极小值点，故．
综上，．
（2）由（1）知，．
设，则．
当时，；当时，．所以在单调递减，在单调递增．
又，，，所以在有唯一零点，在有唯一零点1，且当时，；当时，；当时，．
因此，所以是的唯一极大值点．
由得，故．
由得，．
因为是在的最大值点，由，得
．
所以．
15．（2013全国卷2理21）已知函数=．
(Ⅰ) 设=0是的极值点，求，并讨论的单调性；
(Ⅱ)当≤2时，证明：＞0．
【解析】(Ⅰ) =，
∵设=0是的极值点，∴==0，解得=1，
∴的定义域为（－1，+∞），=，∴=＞0，
∴在（－1，+∞）上是增函数，
∴当（-1，0）时，＜=0，当（0，+∞）时，＞=0，
∴的增区间为（0，+∞），减区间为(-1，0)．
(Ⅱ)当≤2，(，+∞)时，≤，故只需证明当=2时，＞0，
当=2时，函数=在(-2，+∞)单调递增．
又＜0，＞0，∴=0在（-2，+∞）有唯一实根，且∈(-1，0)，
当(-2， )时，＜0，当(，+∞)时，＞0，
∴当=时，取得最小值．
由=0得=，∴，
∴≥==＞0，
综上，当≤2时，＞0．


B组 优质模拟题
16．（2021·安徽省淮北市高三一模（理）已知函数，，是的导函数.
（1）若，求在处的切线方程；
（2）若在可上单调递增，求的取值范围；
（3）求证：当时在区间内存在唯一极大值点.
【答案】（1）；（2）；（3）证明见解析
【解析】（1）∵，
，又
∴在处的切线方程为；
（2）∵∴
令，，则
∵，，∴，
∴在上单调递减，∴，
（3）∵
∴令，
∴，
显得在上单调递减，而
得，
取，则
故存在使
即在上单调递增，在上单调递减
也即为的极大值点
所以当时，在区间内存在唯一极大值点。
17．（2021·北京市平谷区高三一模）已知函数，其中.
（1）当时，求在的切线方程；
（2）求证：的极大值恒大于0.
【答案】（1）（2）证明见解析
【解析】
（1），
当时，，，
则在的切线方程为；
（2）证明：令，解得或，
①当时，恒成立，此时函数在上单调递减，
∴函数无极值；
②当时，令，解得，令，解得或，
∴函数在上单调递增，在，上单调递减，
∴；
③当时，令，解得，令，解得或，
∴函数在上单调递增，在，上单调递减，
∴，
综上，函数的极大值恒大于0。
18．（2021·福建省泉州市高三质检（理））已知函数.
（1）讨论的单调性；
（2）若函数在有两个零点，求m的取值范围.
【答案】（1）答案不唯一，具体见解析（2）
【解析】（1）因为，所以，
即.
由，得，.
①当时，，当且仅当时，等号成立.
故在为增函数.
②当时，，
由得或，由得；
所以在，为增函数，在为减函数.
③当时，，
由得或，由得；
所以在，为增函数，在为减函数.
综上，当时，在为增函数；
当时，在，为增函数，在为减函数；
当时，在，为增函数，在为减函数.
（2）因为，所以，
①当时，，在为增函数，所以在至多一个零点.
②当时，由（1）得在为增函数.
因为，.
（ⅰ）当时，，时，，时，；
所以在为减函数，在为增函数，.
故在有且只有一个零点.
（ⅱ）当时，，，，使得，
且在为减函数，在为增函数.
所以，又，
根据零点存在性定理，在有且只有一个零点.
又在上有且只有一个零点0.
故当时，在有两个零点.
（ⅲ）当时，，，，使得，
且在为减函数，在为增函数.
因为在有且只有一个零点0，
若在有两个零点，则在有且只有一个零点.
又，所以即，所以，
即当时在有两个零点.
综上，m的取值范围为。
19．（2021·广西师大附属外国语学校高三一模（理））设函数.
（1）讨论函数的单调性；
（2）若，不等式恒成立，求实数的取值范围.
【答案】（1）在区间上是减函数，在区间上是增函数；（2）
【解析】（1）
所以为增函数，又因为
所以，当时，；当时，
所以，函数在区间上是减函数，在区间上是增函数
（2）不等式化为
设，
由（1）可知是上的增函数，
因为，所以，当，函数g(x)在区间上的增函数
所以，所以当时符合题意.
当，，所以存在，使得；
并且当；
当；
所以函数在区间上是减函数，在区间上是增函数
最小值为，不等式不恒成立
综上，使得命题成立的实数的取值范围是。
20．（2021·河南省安阳市高三一模（理）已知直线是曲线的切线.
（1）求函数的解析式，
（2）若，证明:对于任意，有且仅有一个零点.
【答案】（1）（2）证明见解析
【解析】
（1）根据题意，，设直线与曲线相切于点.
根据题意，可得，解之得，
所以.
（2）由（1）可知，
则当x充分小时，当x充分大时，∴至少有一个零点.
∵，
①若，则，在上单调递增，∴有唯一零点.
②若令，得有两个极值点，
∵，∴，∴.
∴在上单调递增，在上单调递减，在上单调递增.
∴极大值为.，又，
∴在(0，16)上单调递增，
∴，
∴有唯一零点.
综上可知，对于任意，有且仅有一个零点.
21．（2021·黑龙江哈尔滨师大附中高三模拟（理））已知函数（）.
（Ⅰ）设为函数的导函数，求函数的单调区间；
（Ⅱ）若函数在上有最大值，求实数的取值范围.
【答案】（Ⅰ）在上单调递增，在上单调递减；（Ⅱ）.
【解析】
（Ⅰ）
令，；
1°当时，，∴在上递增，无减区间
2°当时，令，
令
所以，在上单调递增，在上单调递减；
（Ⅱ）由（Ⅰ）可知，当时，∴在（0，+∞）上递增，∴
∴在上递增，无最大值，不合题意；
1°当时，
∴在上递减，∴，
∴在上递减，无最大值，不合题意；
2°当时，，
由（Ⅰ）可知在上单调递增，在上单调递减；
设，则；
；令
∴在上单调递减，在单调递增；
∴，即
由此，当时，，即.
所以，当时，.
取，则，且.
又因为，所以由零点存在性定理，存在，使得；
当时，，即；当时，，即；
所以，在上单调递增，在上单调递减，在上有最大值.
综上，。