2022成都双流区棠湖中学高二下学期3月月考数学（理）试题含答案

棠湖中学高2020级高二下期三月月考

数学（理科）试题

考试时间120分钟，满分150分

注意事项∶

1．答题前，考生务必在答题卡上将自己的姓名、班级、准考证号用0．5毫米黑色签字笔填写清楚，考生考试条形码粘贴在答题卡上的“条形码粘贴处”.

2．选择题使用2B铅笔填涂在答题卡上对应题目标号的位置上，如需改动，用橡皮擦擦干净后再填涂其它答案；非选择题用0．5毫米黑色签字笔在答题卡的对应区域内作答，超出答题区域答题的答案无效；在草稿纸上、试卷上答题无效.

3．考试结束后由监考老师将答题卡收回.

一、选择题（本大题12小题，每小题5分，共60分）

1. 已知命题：，，则为（）

A. ， B. ，

C. ， D. ，

2. 如图是函数y=f（x）的导函数的图象，则下列判断正确的是（）

A. 区间上f（x）单调递增 B. 在区间（1，3）上f（x）单调递减

C. 在区间上f（x）单调递增 D. 在区间（3，5）上f（x）单调递增

3. 已知直线，若，则=

A. 或 B. 或 C.  D.

4. 下列函数中，在上为增函数的是（）

A.  B.  C.  D.

5. 已知椭圆的离心率为，直线过椭圆的左顶点，则椭圆方程为（）

A.  B.

C.  D.

6. 设a，b，c表示不同直线，α，β表示不同平面，下列命题：

①若a∥c，b∥c，则a∥b；

②若a∥b，b∥α，则a∥α；

③若a∥α，b∥α，则a∥b；

④若a⊂α，b⊂β，α∥β，则a∥b.

其中真命题的个数是（）

A. 1 B. 2

C. 3 D. 4

7. 在以下三个命题中，真命题的个数是（）.

①若三个非零向量，，不能构成空间的一个基底，则，，共面；②若两个非零向量，与任何一个向量都不能构成空间的一个基底，则，共线；③若，是两个不共线的向量，而（且），则构成空间的一个基底.

A. 0 B. 1 C. 2 D. 3

8. 对于空间任意一点和不共线的三点，，，且有，则，，是,,,四点共面的(　　)

A. 必要不充分条件 B. 充分不必要条件

C. 充要条件 D. 既不充分又不必要条件

9. 如图，是正三角形所在平面外一点，，分别是和的中点，，且，则异面直线与所成角的余弦值为（）

A.  B.  C.  D.

10. 如图中，已知空间四边形，其对角线为，，，分别是对边，的中点，点在线段上，且分所成的定比为，现用基向量，，表示向量，设，则，，的值分别为（）

A. ，，

B. ，，

C. ，，

D. ，，

11. 某同学在参加《通用技术》实践课时，制作了一个工艺品，如图所示，该工艺品可以看成是一个球被一个棱长为的正方体的六个面所截后剩余的部分（球心与正方体的中心重合），若其中一个截面圆的周长为，则该球的半径是（）

A. 2 B. 4 C.  D.

12. 下列四个命题：①；②；③；④，其中真命题的个数是（为自然对数的底数）

A. 1 B. 2 C. 3 D. 4

二、填空题（本大题4小题，每小题5分，共20分）

13. 向量，，则_______．

14. 某市一水电站年发电量y（单位：亿千瓦时）与该市的年降雨量x（单位：毫米）有如下统计数据：

若由表中数据求得线性回归方程为，现由气象部门获悉2019年的降雨量约为1800毫米，请你预测2019发电量约为___________亿千瓦时.

15. 已知椭圆的左、右焦点分别为，，若椭圆上存在一点使得，则该椭圆离心率的取值范围是________．

16. 设点在曲线上，点在曲线上，则的最小值为__________．

三、解答题（本大题6小题，17题10分，其余各题每题12分，共80分）

17. 求下列函数的导数．

（1）f（x）=x3e－x；

（2）g（x）=cos2x+ln（2x）．

18. 为了解甲、乙两种离子在小鼠体内的残留程度，进行如下试验：将200只小鼠随机分成两组，每组100只，其中组小鼠给服甲离子溶液，组小鼠给服乙离子溶液.每只小鼠给服的溶液体积相同、摩尔浓度相同.经过一段时间后用某种科学方法测算出残留在小鼠体内离子的百分比.根据试验数据分别得到如下直方图：

记为事件：“乙离子残留在体内的百分比不低于”，根据直方图得到的估计值为.

（1）求乙离子残留百分比直方图中的值；

（2）分别估计甲、乙离子残留百分比的平均值（同一组中的数据用该组区间的中点值为代表）.

19. 如图，在直三棱柱ADE－BCF中，平面ABFE和平面ABCD都是正方形且互相垂直，点M为AB的中点，点O为DF的中点.证明：

（1）OM∥平面BCF；

（2）平面MDF⊥平面EFCD.

20. 如图所示，四边形ABCD为直角梯形，AB∥CD，AB⊥BC，△ABE为等边三角形，且平面ABCD⊥平面ABE，AB＝2CD＝2BC＝2，P为CE中点．

（1）求平面ADE与平面BCE所成的二面角的余弦值；

（2）在△ABE内是否存在一点Q，使PQ⊥平面CDE？如果存在，求PQ的长；如果不存在，说明理由．

21. 已知曲线C：x2=2y，点D为直线上的动点，过点D作C的两条切线，切点分别为A，B.

（1）若点D的坐标为，求这两条切线的方程；

（2）证明：直线AB过定点.

22已知函数．

（1）若函数的图象在点处的切线的倾斜角为，对于任意的，函数在区间上都不是单调函数，求实数的取值范围．

（2）讨论函数的单调性．

【1题答案】

【答案】C

【2题答案】

【答案】C

【3题答案】

【答案】B

【4题答案】

【答案】B

【5题答案】

【答案】D

【6题答案】

【答案】A

【7题答案】

【答案】C

【8题答案】

【答案】B

【9题答案】

【答案】B

【10题答案】

【答案】D

【11题答案】

【答案】B

【12题答案】

【答案】B

【13题答案】

【答案】

【14题答案】

【答案】8.7

【15题答案】

【答案】

【16题答案】

【答案】

【17~18题答案】

【答案】（1）

（2）

【18题答案】

【答案】(1) ，；(2) ，.

【19题答案】

（1）由题意，AB，AD，AE两两垂直，以A为原点建立如图所示的空间直角坐标系．

设正方形边长为1，则A（0，0，0），B（1，0，0），C（1，1，0），D（0，1，0），F（1，0，1），M（，0，0），O（，，）

（0，，），（﹣1，0，0），∴，OM⊥AB

∵三棱柱ADE﹣BCF是直三棱柱，

∴AB⊥平面BCF，∴是平面BCF的一个法向量，且OM⊄平面BCF，

∴OM∥平面BCF；

（2）设平面MDF与平面EFCD的一个法向量分别是，．

∴（1，﹣1，1），（1，0，0），（，﹣1，0）

所以，令得（2，1，-1），

同理，令得（0，1，1），

∵•0

∴平面MDF⊥平面EFCD．

【20~21题答案】

【答案】（1）

（2）存在，

【小问1详解】

设AB中点为O，连接OE，OD，因为平面ABCD⊥平面ABE，△ABE为等边三角形，

∴AB⊥OE，OE⊂平面ABE，平面ABCD∩平面ABE＝AB．

所以OE⊥平面ABCD，所以OE⊥OD．

如图所示，以O为原点建立空间直角坐标系，

则A（1，0，0），B（－1，0，0），D（0，0，1），C（－1，0，1），E（0，，0），

所以．

设平面ADE的法向量为＝（x1，y1，z1），

则即

令z1＝1，则x1＝1，，所以，

同理可求得平面BCE的一个法向量为，

设平面ADE与平面BCE所成的锐二面角为θ，则，

所以平面ADE与平面BCE所成的锐二面角的余弦值为．

【小问2详解】

假设存在Q（x2，y2，0）满足题意，因为，所以，

又，

所以依题意有即

解得易知点在△ABE内，

所以△ABE内存在点，使PQ⊥平面CDE，此时．

【21~22题答案】

【小问1详解】

设切点为，

∵，∴曲线在点处的切线的斜率

∴切线的方程为：

又切线过点，∴，

解得或，故切线的方程为：或.

【小问2详解】

设，则.

由于，所以切线的斜率为，故.

整理得

设，同理可得.

故直线的方程为.

所以直线过定点.

【22~23题答案】

【小问1详解】

，，解得：，

，，

，，

在上不单调，在上有变号零点；

，，

由得：；

由得：对于任意的，恒成立，即，

又在上单调递减，，

，解得：；

综上所述：实数的取值范围为.

【小问2详解】

，则；

①当时，，

则当时，；当时，；

在上单调递减，在上单调递增；

②当时，令，解得：，；

i.当，即或时，

若，则当时，；当时，；

在上单调递减，在上单调递增；

若，则当时，；当时，；

在上单调递增，在上单调递减；

ii.当，即时，

当时，；当时，；

在和上单调递减，在上单调递增；

iii.当，即时，在上恒成立，

在上单调递减；

iv.当，即时，

当时，；当时，；

在和上单调递减，在上单调递增；

综上所述：当时，在上单调递减，在上单调递增；

当时，在和上单调递减，在上单调递增；

当时，在上单调递减；

当时，在和上单调递减，在上单调递增；

当时，在上单调递增，在上单调递减.