四川省成都市简阳市阳安中学2022-2023学年高二上学期12月月考数学（理）试题及答案

四川省成都市简阳市阳安中学2022-2023学年高二上学期12月月考数学（理）试题

学校:___________姓名：___________班级：___________考号：___________

一、单选题

1．从甲、乙等5名学生中随机选出2人，则甲被选中的概率为

A． B．

C． D．

2．已知命题P：，，则命题P的否定为（    ）

A．， B．，

C．， D．，

3．已知点M（4，t）在抛物线上，则点M到焦点的距离为（ 　）

A．5 B．6

C．4 D．8

4．直线l：的倾斜角为（    ）

A． B． C． D．

5．运行如图所示程序后，输出的结果为（    ）

A．15 B．17 C．19 D．21

6．若动点满足方程，则动点P的轨迹方程为（    ）

A． B． C． D．

7．设某大学的女生体重（单位：kg）与身高（单位：cm）具有线性相关关系，根据一组样本数据，用最小二乘法建立的回归方程为，则下列结论中不正确的是（    ）

A．若该大学某女生身高为170cm，则可断定其体重必为58.79kg

B．回归直线过样本点的中心

C．若该大学某女生身高增加1cm，则其体重约增加0.85kg

D．与具有正的线性相关关系

8．新冠肺炎疫情的发生，我国的三大产业均受到不同程度的影响，其中第三产业中的各个行业都面临着很大的营收压力.2020年7月国家统计局发布了我国上半年国内经济数据，如图所示，图1为国内三大产业比重，图2为第三产业中各行业比重．

下列关于我国上半年经济数据的说法正确的是（    ）

A．第一产业的生产总值与第三产业中“其他服务业”的生产总值基本持平

B．第一产业的生产总值超过第三产业中“金融业”的生产总值

C．若“住宿和餐饮业”生产总值为7500亿元，则“房地产”生产总值为22500亿元

D．若“金融业”生产总值为41040亿元，则第二产业生产总值为166500亿元

9．已知椭圆的两个焦点是，点在椭圆上，若，则的面积是

A． B． C． D．

10．已知抛物线，过其焦点且斜率为1的直线交抛物线于A，B两点，若线段AB的中点的横坐标为3，则该抛物线的准线方程为（    ）

A． B． C． D．

11．已知点为椭圆上一点，，分别为椭圆C的左右焦点，当时，，则椭圆C的离心率为（    ）

A． B． C． D．

12．已知､分别为椭圆的左､右焦点，点是以､为直径的圆与椭圆在第一象限内的一个交点，延长与椭圆交于，若，则直线斜率为（    ）

A． B． C． D．

二、填空题

13．某同学10次数学检测成绩统计如下：95，97，94，93，95，97，97，96，94，93，设这组数的平均数为，中位数为，众数为，则，，的大小为___________（用“>”符号连接）

14．若抛物线的焦点与双曲线的右焦点重合，则的值为______.

15．若命题“存在实数x，使”为假命题，则实数a的取值范围为__________.

16．已知为双曲线的左焦点，为上的点.若的长等于虚轴长的2倍，点在线段上，则的周长为__________．

三、解答题

17．已知：，：.

(1)若是的必要不充分条件，求实数的范围；

(2)若是的必要不充分条件，求实数的范围.

18．已知圆C：．

(1)若过点的直线l与圆C相交所得的弦长为，求直线l的方程；

(2)若P是直线：上的动点，PA，PB是圆C的两条切线，A，B是切点，求四边形PACB面积的最小值．

19．某电视台为宣传本省，随机对本省内15~65岁的人群抽取了人，回答问题“本省内著名旅游景点有哪些”统计结果如图表所示

(1)分别求出、、、的值；

(2)从第2､3､4组回答正确的人中用分层抽样的方法抽取6人，并从这6人中随机抽取2人，求所抽取的人中恰好没有第3组人的概率.

(3)求出直方图中，前三组（第1､2､3组）的平均年龄数（结果保留一位小数）？

20．已知双曲线：与双曲线的渐近线相同，且经过点.

(1)求双曲线的方程；

(2)已知双曲线的左､右焦点分别为，，直线经过，倾斜角为，与双曲线交于两点，求的面积.

21．某公司为了解广告投入对销售收益的影响，在若干地区各4投入万元广告费用，并将各地的销售收益绘制成频率分布直方图（如图所示）.由于工作人员操作失误，横轴的数据丢失，但可以确定横轴是从0开始计数的.

(1)根据频率分布直方图计算图中各小长方形的宽度；

(2)估计该公司投入4万元广告费用之后，对应销售收益的平均值（以各组的区间中点值代表该组的取值）；

(3)该公司按照类似的研究方法，测得另外一些数据，并整理得到下表：

表中的数据显示，与之间存在线性相关关系，请将（2）的结果填入空白栏，并计算关于的回归方程.

回归直线的斜率和截距的最小二乘估计公式分别为，.

22．已知以坐标原点为圆心的圆与抛物线：相交于不同的两点，与抛物线的准线相交于不同的两点，且.

(1)求抛物线的方程；

(2)若不经过坐标原点的直线与抛物线相交于不同的两点､，且满足，证明直线过定点，并求出点的坐标.

参考答案：

1．B

【详解】试题分析：从甲乙等名学生中随机选出人，基本事件的总数为，甲被选中包含的基本事件的个数，所以甲被选中的概率，故选B．

考点：古典概型及其概率的计算．

2．B

【分析】根据特称命题的否定变换形式即可得出结果．

【详解】命题：，，

则命题的否定为，．

故选：B

3．A

【详解】由题意得抛物线定义得，焦点坐标为点，M到焦点的距离为 ,而 ,所以点M到焦点的距离为,选A.

4．D

【分析】先求得直线的斜率，由此求得倾斜角.

【详解】依题意，直线的斜率为，倾斜角的范围为,

则倾斜角为.

故选：D.

5．B

【分析】模拟执行程序，依次写出每次循环得到的，的值，由此求出退出循环时输出的值．

【详解】模拟程序的运行过程，如下：

，执行循环体，，，

，，

，，

，

此时退出循环，输出的值为17．

故选：B．

6．A

【分析】根据方程可以利用几何意义得到动点P的轨迹方程是以与为焦点的椭圆方程，从而求出轨迹方程.

【详解】由题意得：到与的距离之和为8，且8>4，故动点P的轨迹方程是以与为焦点的椭圆方程，故，，所以，，所以椭圆方程为.

故选：A

7．A

【分析】对于AC，由回归直线方程的意义即可判断；

对于B，由线性回归方程恒过样本点的中心即可判断；

对于D，由即可判断.

【详解】对于A，当某女生的身高为170cm时，其体重估计值是58.79kg，这不是确定值，所以A结论不正确，故A正确；

对于B，因为回归直线必过样本点的中心，所以B结论正确，故B错误；

对于C，由线性回归方程的意义知，某女生的身高增加1cm，其体重约增加0.85kg，所以C结论正确，故C错误；

对于D，由于线性回归方程中x的系数为0.85，因此y与x具有正的线性相关关系，所以D结论正确，故D错误.

故选：A．

8．D

【分析】根据扇形图及柱形图中的各产业与各行业所占比重，得到第三产业中“其他服务业”及“金融业”的生产总值占总生产总值的比重，进而比较出AB选项，利用“住宿和餐饮业”生产总值和“房地产”生产总值的比值，求出“房地产”生产总值，判断出C选项，利用第三产业中“金融业”的生产总值与第二产业的生产总值比值，求出第二产业生产总值，判断D选项.

【详解】A选项，第三产业中“其他服务业”的生产总值占总生产总值的，因为，所以第三产业中“其他服务业”的生产总值明显高于第一产业的生产总值，A错误；

B选项，第三产业中“金融业”的生产总值占总生产总值的，因为，故第一产业的生产总值少于第三产业中“金融业”的生产总值，B错误；

“住宿和餐饮业”生产总值和“房地产”生产总值的比值为，若“住宿和餐饮业”生产总值为7500亿元，则“房地产”生产总值为亿元，故C错误；

第三产业中“金融业”的生产总值占总生产总值的，与第二产业的生产总值比值为，若“金融业”生产总值为41040亿元，则第二产业生产总值为166500亿元，D正确.

故选：D

9．D

【详解】，，可得，，是直角三角形，的面积，故选D.

10．B

【分析】设，进而根据题意，结合中点弦的问题得，进而再求解准线方程即可.

【详解】解：根据题意，设，

所以①，②，

所以，①②得：，即，

因为直线AB的斜率为1，线段AB的中点的横坐标为3，

所以，即，

所以抛物线，准线方程为.

故选：B

11．A

【分析】由P在椭圆上求出P的横坐标，利用焦半径公式及余弦定理得到关于a，c的方程，求解可得椭圆的离心率.

【详解】由在椭圆上，且，可得，

不妨取，

则，.

在中，则，

即.

∴，则.

故选：A

12．B

【分析】作图，根据椭圆的几何性质和圆的几何性质以及条件，找出图中的几何关系，运用勾股定理以及斜率的定义求解.

【详解】

设椭圆方程为 ，半焦距为c；

由题意，显然 ，设 ，则 ，由椭圆的几何性质知： ，

  ， ， ，

在 中， ，即 ，

解得 ， ，

直线 的斜率为 ；

故选：B.

13．

【分析】将数据从小到达的顺序排列，从而求出平均数、中位数、众数，即可比较出它们的大小．

【详解】将数据从小到达的顺序排列，则为，

所以平均数为，

中位数为，众数为，

所以，

故答案为：.

14．4

【分析】求得双曲线的右焦点为，得到，即可求解.

【详解】由题意，双曲线的右焦点为，

因为抛物线的焦点与双曲线的右焦点重合，

所以抛物线的焦点为，即，解答.

【点睛】本题主要考查了双曲线和抛物线的标准方程及几何性质的应用，其中解答中熟记双曲线和抛物线的几何性质是解答的关键，属于基础题.

15．

【分析】根据特称命题的性质将条件转化为求一元二次不等式的参数求解即可.

【详解】解：命题“存在实数x，使”为假命题，

则此命题的否定为：，有”成立，

即原命题的否定为真命题，即解：，有”成立的a的范围，

则，

解得：，

即实数a的取值范围为.

故答案为：.

16．40

【详解】由双曲线方程得，则虚轴长为6，线段过点为双曲线的右焦点，，,的周长为

17．(1) ；

(2) .

【分析】(1)根据充分必要条件的定义，先求出p的范围，再确定q；

(2)根据命题否定的定义，求出 和 ，确定 的范围，再确定m的范围.

【详解】（1）由题意， ，

由于q是p的必要不充分条件， ， ；

（2） 或者 ， 或者 ，

是 的必要不充分条件， ， ；

综上，（1）；（2） .

18．(1)或.

(2)8

【分析】（1）先判断当斜率不存在时,不满足条件；再判断当斜率存在时,设利用垂径定理列方程求出k，即可求出直线方程；

（2）过P作圆C的两条切线，切点分别为A、B，连结CA、CB，得到.判断出当时, 最小，四边形PACB面积取得最小值.利用点到直线的距离公式求出，，即可求出四边形PACB面积的最小值.

【详解】（1）圆C：化为标准方程为：，所以圆心为，半径为r=4.

（1）当斜率不存在时,x=1代入圆方程得,弦长为,不满足条件；

（2）当斜率存在时,设即.

圆心C到直线l的距离，

解得: 或k=0,所以直线方程为或.

（2）过P作圆C的两条切线，切点分别为A、B，连结CA、CB，则.

因为,所以

所以.

所以当时, 最小，四边形PACB面积取得最小值.

所以，所以，

即四边形PACB面积的最小值为8.

19．(1)，，，

(2)

(3)

【分析】（1）先算出第4组的总人数，再根据频率分布直方图得到第4组的频率，从而可计算总人数，最后计算出相应组人数后利用统计结果表可得的值；

（2）先利用分层抽样求得第2、3、4组抽取的人数，再利用列举法及古典概型概率的求法即可得解；

（3）利用频率分布直方图平均数的求法即可求得所求.

【详解】（1）由频率表中第4组数据可知，第4组总人数为，

再结合频率分布直方图可知，

所以，

，

，

.

（2）由（1）可知第2、3、4组回答正确的共有人，

所以利用分层抽样在54人中抽取6人，第2组抽取（人），记为；

第3组抽取（人），记为；第4组抽取（人），记为；

所以从6人随机抽取2人的基本事件有，共15件，

其中所抽取的人中恰好没有第3组的人（记为事件）的基本事件有，共3件，

所以，即所抽取的人中恰好没有第3组人的概率为.

（3）根据题意，得

前三组（第1､2､3组）的频率为，

所以前三组（第1､2､3组）的平均年龄数.

20．(1)

(2)

【分析】（1）根据共渐近线设出双曲线方程，代入点的坐标即可得解；

（2）根据题意求出直线的方程，联立直线方程与双曲线方程，消去后由韦达定理得，从而由弦长公式求得弦长，再求出到直线距离后即可求得的面积．

【详解】（1）依题意，设所求双曲线方程为，

代入点得，即，

所以双曲线方程为，即．

（2）由（1）得，则，，，

又直线倾斜角为，则，故直线的方程为，

设，，

联立，消去，得，

则，，，

由弦长公式得，

又点到直线的距离，

所以．

21．(1)2

(2)5

(3)空白栏中填5，

【分析】（1）根据频率等于小长方形的面积以及频率和为，得到关于的等式，求解出即可；

（2）由各组数据的组中值与频率的乘积之和得到对应的销售收益的平均值；

（3）先填写空白栏数据，然后根据所给数据计算出，即可求解出回归直线方程.

【详解】（1）设各小长方形的宽度为，

由频率分布直方图中各小长方形的面积总和为1，可知，

解得.

所以图中各小长方形的宽度为2.

（2）由（1）知各小组依次是，

各小组的中点分别为，对应的频率分别为，

所以可估计销售收益的平均值为.

（3）由（2）可知空白栏中填5，

由题意可知，

，，

根据公式，可求得，则，

所以所求的回归直线方程为.

22．(1)

(2)证明见解析，

【分析】（1）利用弦长公式及，结合对称性可得直线的方程为，从而利用焦点弦公式求得，由此得解；

（2）设直线的方程为，联立直线与抛物线方程得到，由得，从而得到关于的方程，由此求解即可.

【详解】（1）依题意，易知圆心到直线（即抛物线的准线）的距离为，不妨设圆心到直线的距离为，

则，，所以，

则由圆与抛物线的对称性可知，轴，故直线的方程为，即过抛物线的焦点，

所以，故，

故抛物线的方程为.

（2）由题意知，直线不与轴垂直，设直线的方程为，，

联立，消去，得，

则，，，

因为，所以，

又，则，

所以，

解得或（舍去），

当时，，满足题意，

所以直线的方程为，令，则，

故直线过轴上一定点.