2022届四川省双流中学高三上学期10月月考数学（理）试题1含解析

2022届四川省双流中学高三上学期10月月考数学（理）试题1

一、单选题

1．已知全集，集合，，则（       ）

A． B． C． D．

【答案】B

【分析】解一元二次方程用列举法表示集合A，然后求出，最后按集合的并集概念进行运算即可.

【详解】，，

.

故选：B

2．已知复平面内，对应的点位于虚轴的正半轴上，则复数对应的点位于（       ）

A．第一象限 B．第二象限

C．第三象限 D．第四象限

【答案】B

【分析】设，然后对化简，结合对应的点位于虚轴的正半轴上可求出的范围，从而可求出复数对应的点所在的象限

【详解】设，所以，

则，即，

所以，，故该点在第二象限，

故选：B．

3．已知平面向量，，且，则（       ）

A． B． C． D．

【答案】D

【分析】根据，求得，再利用向量的线性运算求解.

【详解】因为向量，，且，

所以，解得，

所以，

故选：D.

4．如图，在边长为的正方形网格中，粗实线表示一个三棱锥的三视图，则该三棱锥的体积为（       ）

A． B． C． D．

【答案】C

【分析】由三视图画出三棱锥的直观图，然后根据棱锥的体积公式求解即可

【详解】由题意可知该几何体的直观图如图所示，

底面等腰直角三角形，侧面为等腰三角形，且平面平面，

所以该三棱锥的体积为

，

故选：C

5．若函数是奇函数，则a的值为（       ）

A．1 B．－1

C．±1 D．0

【答案】C

【分析】根据函数奇函数的概念可得，进而结合对数的运算即可求出结果.

【详解】因为是奇函数，所以f(－x)＋f(x)＝0．即恒成立，所以，即 恒成立，所以，即．

当时，，定义域为，且，故符合题意；

当时，，定义域为，且，故符合题意；

故选：C.

6．某小区有1000户各户每月的用电量近似服从正态分布N（300，100），则用电量在320度以上的户数估计约为（       ）

参考数据：若随机变量与服从正态分布

A．17 B．23 C．34 D．

【答案】B

【分析】先由对称性及参考数据求出用电量在320度以上的概率，再估计户数即可.

【详解】由用电量近似服从正态分布N（300，100）知，，故用电量在320度以上的户数估计约为.

故选：B.

7．若实数满足线性约束条件，则的最大值为（       ）

A．3 B．4 C．8 D．16

【答案】D

【解析】若最大，只需要最大即可，令，作出线性约束条件表示的可行域，作出沿可行域方向平移，过点时取得最大值，进而可以求出的最大值.

【详解】

若最大，只需要最大即可，作出线性约束条件表示的可行域如图所示：

令，作 ，让沿可行域方向平移，过点时取得最大值，

所以 ，

故选：D

【点睛】关键点点睛：本题的关键点是先化简，要使其取得最大值，只需要取得最大值，可以转化为，只需平移后在轴上的截距最小即可.

8．“”是“”的（       ）

A．充分不必要条件 B．必要不充分条件 C．充要条件 D．既不充分也不必要条件

【答案】B

【分析】构造函数，分析该函数的定义域及单调性，解不等式，利用集合的包含关系判断可得出结论.

【详解】构造函数，则函数为上的增函数，

因为，

所以，当时，，当时，，

所以，满足的的取值范围是，

因为，因此，“”是“”的必要不充分条件.

故选：B.

【点睛】方法点睛：判断充分条件和必要条件，一般有以下几种方法：

（1）定义法；

（2）集合法；

（3）转化法.

9．攒尖是古代中国建筑中屋顶的一种结构形式．宋代称为撮尖，清代称攒尖．依其平面有圆形攒尖、三角攒尖、四角攒尖、六角攒尖等，也有单檐和重檐之分，多见于亭阁式建筑．如图所示，某园林建筑为六角攒尖，它的主要部分的轮廓可近似看作一个正六棱锥，若此正六棱锥的侧面等腰三角形的底角为，则侧棱与底面外接圆半径的比为（       ）

A． B． C． D．

【答案】A

【解析】根据正六棱锥的底面为正六边形计算可得结果.

【详解】正六棱锥的底面为正六边形，设其外接圆半径为，则底面正边形的边长为，

因为正六棱锥的侧面等腰三角形的底角为，

所以侧棱长为，

所以侧棱与底面外接圆半径的比为.

故选：A

【点睛】关键点点睛：掌握正六棱锥的结构特征是解题关键.

10．若关于的不等式，对恒成立，则实数的取值范围是（       ）

A． B． C． D．

【答案】A

【分析】当易知不等式恒成立，当时转化为恒成立，构造利用导数研究最值，即可求的范围.

【详解】当时，上不等式恒成立，符合题设，

当时，恒成立，令，则，

令，则，即递减，

∴，即，故递减，则，

∴.

综上，的取值范围.

故选：A

11．已知､分别是双曲线的左、右焦点，双曲线的右支上一点满足，直线与该双曲线的左支交于点，且恰好为线段的中点，则双曲线的渐近线方程为（       ）

A． B． C． D．

【答案】C

【分析】根据给定条件导出，再利用双曲线定义结合勾股定理计算作答.

【详解】依题意，令，则有，

令，由双曲线定义得，而点P是QF1中点且在双曲线左支上，则，

在中，，即，解得，则，，

在中，，即，，于是得，，

所以双曲线C的渐近线方程为.

故选：C

12．函数在上的零点个数为（       ）

A． B． C． D．

【答案】C

【分析】令可得，根据为偶函数，只需求在上的解的个数，等价于或的解的个数，结合正弦函数的性质以及对称性即可求解.

【详解】令可得，

设，则，

所以是偶函数，

故只需要讨论在上的解得个数，

当时，由可得或，

解方程可得或（舍），

此时在上，有两解，

解方程可得或，

此时在上，有三解，有三解，

所以在上，有解，

根据对称性可得在上有解，

所以函数在上的零点个数为，

故选：C.

二、填空题

13．若，则二项式的展开式中的常数项为______．

【答案】24

【分析】先求得，然后利用二项展开式的通项公式求解.

【详解】因为，

所以二项式，

则，

令，解得，

所以展开式中的常数项为，

故答案为：24

14．已知抛物线的焦点为，定点，若直线与抛物线相交于、两点（点在、中间），且与抛物线的准线交于点，若，则的长为______.

【答案】

【分析】分别过点、作、垂直于抛物线的准线于、，则，求出直线的方程，可求得抛物线的焦点的坐标，可得出抛物线的标准方程，再将直线的方程与抛物线的方程联立，求出点的纵坐标，利用抛物线的定义可求得线段的长.

【详解】如图，分别过点、作、垂直于抛物线的准线于、，则，

由得，所以，，又，

所以，直线的方程为，所以，，则，

则抛物线的方程为，

设点的纵坐标为，由，得或，

因为点在、之间，则，

所以，.

故答案为：.

15．如图，某人在垂直于水平地面ABC的墙面前的点A处进行射击训练，已知点A到墙面的距离为AB，某目标点P沿墙面的射击线CM移动，此人为了准确瞄准目标点P，需计算由点A观察点P的仰角的大小（仰角为直线AP与平面ABC所成角）．若，则的最大值为_______．               

【答案】

【详解】由勾股定理可得，，过作，交于，连结，

则，设，则

在Rt△ABC中，AB=15m，AC=25m，所以BC=20m

所以，所以

，

所以

当，即时，取得最大值为

点睛：在利用基本不等式求最值时，要特别注意“拆、拼、凑”等技巧，使其满足基本不等式中“正”(即条件要求中字母为正数)、“定”(不等式的另一边必须为定值)、“等”(等号取得的条件)的条件才能应用，否则会出现错误.

三、解答题

16．已知{an}为等差数列，且a2＝3，{an}前4项的和为16，数列{bn}满足b1＝4，b4＝88，且数列{bn－an}为等比数列．

(1)求数列{an}和{bn－an}的通项公式；

(2)求数列{bn}的前n项和Sn.

【答案】（1），

（2）

【分析】(1)由{an}为等差数列，结合已知条件列方程组,求得an＝2n－1,再由数列{bn－an}为等比数列,结合已知条件即可得解;

(2)由(1)得bn＝3n＋2n－1，再分组利用等比数列,等差数列求和公式运算即可得解.

【详解】解:(1)设{an}的公差为d，

因为a2＝3，{an}前4项的和为16，

所以，解得，

所以an＝1＋(n－1)×2＝2n－1.

设{bn－an}的公比为q，

则b4－a4＝(b1－a1)q3，

又因为b1＝4，b4＝88，

所以，

解得q＝3，

所以bn－an＝(4－1)×3n－1＝3n.

(2)由(1)得bn＝3n＋2n－1，

所以Sn＝(3＋32＋33＋…＋3n)＋(1＋3＋5＋…＋2n－1)

.

【点睛】本题考查了利用等差、等比数列的项求通项公式，重点考查了利用分组求和的方法求数列的前项和，属中档题.

17．某企业创新形式推进党史学习教育走深走实，举行两轮制的党史知识竞赛初赛，每部门派出两个小组参赛，两轮都通过的小组才具备参与决赛的资格，该企业某部门派出甲、乙两个小组，若第一轮比赛时两组通过的概率分别是，，第二轮比赛时两组通过的概率分别是，，两轮比赛过程相互独立．

（1）若将该部门获得决赛资格的小组数记为，求的分布列与数学期望；

（2）比赛规定：参与决赛的小组由4人组成，每人必须答题且只答题一次（与答题顺序无关），若4人全部答对就给予奖金，若没有全部答对但至少2人答对就被评为“优秀小组"．该部门对通过初赛的某一小组进行党史知识培训，使得每个成员答对每题的概率均为（）且相互独立，设该参赛小组被评为“优秀小组”的概率为，当时，最大，试求的值．

【答案】（1）分布列见解析；期望为1；（2）．

【分析】（1）先计算甲，乙两组各自通过初赛的概率，确定的可能取值为0,1,2，求出相应概率，列出分布列，并计算数学期望即可；

（2）根据题意，列出“优秀小组”的概率的计算公式，通过求导数，确定在上的单调性；即可得到取最大时， 的值.

【详解】（1）设甲乙通过两轮制的初赛分别为事件，．则

，．

由题意的取值可能为0，1，2，则

，

，

．

那么的分布列为：

．

（2）由题意，小组中2人答对的概率为，3人答对的概率，

则．

，

令得，，，

所以在上，单调递增，在上，单调递减．

故时，最大．

18．如图所示，在四棱锥P-ABCD中，PC⊥底面ABCD，ABCD是直角梯形，AB⊥AD，AB//CD，AB=2AD=2CD=2，E是PB的中点

(1)求证：平面EAC⊥平面PBC

(2)若二面角P-AC-E的余弦值为，求直线PA与平面EAC所成角的正弦值

【答案】(1)证明过程见解析；

(2).

【分析】（1）先证明AC⊥BC，再结合已知证明AC⊥平面PBC，进而证明平面EAC⊥平面PBC；

（2）建立空间直角坐标系，利用空间向量法先由已知二面角的余弦值求出点P的的坐标，进而求出直线PA与平面EAC所成角的正弦值.

【详解】(1)证明：过点C作CF⊥AB，垂足为F，如下图所示

在直角梯形ABCD中

AB⊥AD，AB//CD

AD⊥CD

四边形AFCD为正方形

AF=BF=DC=CF=1

AC=BC=

AC⊥BC

PC⊥底面ABCD，AC平面ABCD，

AC⊥PC

BCPC=C

AC⊥平面PBC

AC平面EAC

平面EAC⊥平面PBC

(2)解：以C为原点，建立如图所示的空间直角坐标系

则，，，

设，

则

由（1）知，，，且

所以平面

则为平面的一个法向量

又，

设为平面的法向量，则

，即

令，则

设向量与向量的夹角为，由题意知，

解得：

所以，

设直线与平面所成的角为，向量与向量所成角为

所以

即直线与平面所成角的正弦值为.

19．已知椭圆的左、右焦点，恰好是双曲线的左右顶点，过点的直线交直线交椭圆于A，B两点（点A在x轴上方），当轴时，直线在y轴上的截距为．

（1）求椭圆的标准方程；

（2）椭圆上是否存在点M满足：？若存在，求出直线的方程；若不存在，请说明理由．

【答案】（1）；（2）存在；直线方程为．

【分析】（1）由题意求出A,B,D坐标，可列出关于a,b,c的方程，求出即可得解；

（2）设，，利用向量可得点M的坐标为，分斜率存在不存在讨论，当直线斜率存在时，联立椭圆方程，求出点M坐标，再代入椭圆即可求解.

【详解】（1）因为双曲线的左右顶点为，，

所以，，则，

因为直线过点，所以当轴时，，

因为直线在y轴上的截距为，所以直线与y轴的交点坐标为，

因为原点O是的中点，与x轴垂直，

所以是线段的中点，

则，即，

又，所以，

解得，，，

故椭圆的标准方程为；

（2）设，，由得，点M的坐标为，

当轴时，由（1）知，，，

所以点，此时点M不在椭圆上，不满足条件；

当直线的斜率存在时，因为，

所以设直线的方程为，

联立得，，

所以，

则，

由点M在椭圆C上知，，

即，

解得，所以，则，

此时，直线方程为．

【点睛】关键点点睛：直线斜率存在时，设直线的方程为，联立椭圆方程，由根与系数关系求点坐标，代入椭圆求出是解题的关键，属于中档题.

20．已知函数，为的导数．

（1）若函数有两个极值点，求实数a的取值范围；

（2）当时，求证：．

【答案】（1）；（2）证明见解析.

【分析】（1）先求得，然后求得，根据在有两个变号零点列不等式组，由此求得的取值范围.

（2）先证得时，所证不等式成立，当时，转化为证明，构造函数，利用导数证得，从而证得所证不等式成立.

【详解】（1）依题意知：，，

，

，

有两个极值点，

在有两个变号零点，

令得：①，

关于的一元二次方程有两个不等的正根，记为，

即：解得：， ，

故的取值范围为：.

（2）依题意，要证：，

①当时，，故原不等式成立，

②当时，要证：，

即要证：，

令则，

，

先证：，

即要证：，

令，则，

当时，，

在单调递增，

，

即：，

当时，，，

，

在单调递减，

，

在单调递减，

，

即：，

故原不等式成立.

【点睛】利用导数证明不等式成立，可先化简所证不等式，通过构造函数法，再结合导数来证得不等式成立.

21．在平面直角坐标系中，为曲线：（为参数）上的动点，将点的纵坐标不变，横坐标变为原来的一半得点.记点的轨迹为，以坐标原点为极点，轴的正半轴为极轴建立极坐标系.

（1）求曲线的极坐标方程；

（2）已知，是曲线上的两点，且，求的取值范围.

【答案】（1）；（2）.

【分析】（1）先求出曲线的普通方程，设点的坐标为，点的坐标为，可得，，从而可得曲线的方程，然后化为极坐标即可.

(2) 设，,则，，是曲线上的两点，则，代入可得答案.

【详解】（1）将曲线：化为普通方程得到，

设点的坐标为，点的坐标为，

则有，由题意可知，，

消去，得，即，

曲线的普通方程为，

曲线的极坐标方程为.

（2）由题意可设，（），

，

由，则，

故的取值范围为.