2021年山东省烟台市中考数学终极押题试卷（二）（word版含答案）

这是一份2021年山东省烟台市中考数学终极押题试卷（二）（word版含答案），共29页。试卷主要包含了选择题，填空题，解答题．等内容，欢迎下载使用。

2021年山东省烟台市中考数学终极押题试卷（二）
一、选择题（本题共12个小题，每小题3分，满分36分）
1．（3分）8的立方根是（　　）
A．22 B．±2 C．±22 D．2
2．（3分）下列植物叶子的图案中既是轴对称图形又是中心对称图形的是（　　）
A． B． C． D．
3．（3分）下列计算正确的是（　　）
A．a10÷a5＝a5 B．（m+3）2＝m2+9
C．（xy2）3＝xy6 D．2x+3y＝5xy
4．（3分）下列四个几何体中，各几何体的三视图有且仅有两个视图相同的是（　　）

A．①② B．②③ C．②④ D．①③
5．（3分）在一个不透明的袋子中装有3个红球、3个白球和2个黑球，它们除颜色外其它均相同，现添加1个同种型号的球，使得从中随机抽取1个球，这三种颜色的球被抽到的概率都是13，则添加的球是（　　）
A．红球 B．白球 C．黑球 D．任意颜色
6．（3分）某校举行“汉字听写比赛”，5个班级代表队的正确答题数如图．这5个正确答题数所组成的一组数据的中位数和众数分别是（　　）

A．10，15 B．13，15 C．13，20 D．15，15
7．（3分）已知关于x的一元二次方程x2+ax+b＝0有一个非零根﹣b，则a﹣b的值为（　　）
A．1 B．﹣1 C．0 D．﹣2
8．（3分）小明用计算器计算（a+b）c的值．其按键顺序和计算器显示结果如下表：
按键频率
显示结果

27

18
这时他才明白计算器是先做乘法再做加法的，于是他依次按键：

从而得到了正确结果．又知b是a的2倍．则正确的结果是（　　）
A．28 B．32 C．36 D．45
9．（3分）如图是一块矩形ABCD的场地，长AB＝99米，宽AD＝41米，从A，B两处入口的路宽都为1米，两小路汇合处路口宽为2米，其余部分种植草坪面积为（　　）

A．3783米2 B．3880米2 C．3920米2 D．4000米2
10．（3分）若关于x的不等式组x−m≥02x−3＜−(x−3)无解，则m的取值范围为（　　）
A．m＞2 B．m＜2 C．0＜m≤2 D．m≥2
11．（3分）已知二次函数y＝ax2+bx+c（a≠0）的图象如图所示，以下结论：①abc＞0；②2a+b＜0；③a﹣b+c＜0；④a+c＞0．其中正确的结论有（　　）

A．1个 B．2个 C．3个 D．4个
12．（3分）如图，等腰直角三角形ABC中，AB＝AC＝4，点P为BC边上的任意一点（不与点B、C重合），且∠APD＝45°，PD交AB于点D．设BP＝x，BD＝y，则y关于x的函数图象大致是（　　）

A． B．
C． D．
二、填空题（本大题共6个小题，每小题3分，满分18分）
13．（3分）近似数3.0×10﹣2精确到 　 　．
14．（3分）如图，想在河堤两岸搭建一座桥，在如图所示的几种搭建方式中，最短的是PB，理由是 　 　．

15．（3分）如图，从直径为8cm的圆形纸片中剪出一个圆心角为120o的扇形ABC，且点A，B，C在圆周上，把它围成一个圆锥，则圆锥的底面圆的半径是 　 　cm．

16．（3分）如图，直线y＝﹣x+4与双曲线y=kx（x＞0）相交于A，B两点，与x轴相交于C点．连接OA，OB，若△AOB的面积是6．则双曲线的表达式是 　 　．

17．（3分）我们把1，1，2，3，5，8，13，…这组数称为斐波那契数列，为了进一步研究，依次以这列数为半径作90°圆弧P1P2，P2P3，P3P4，…得到斐波那契螺旋线，然后顺次连接P1P2，P2P3，P3P4，…得到螺旋折线（如图），已知点P1（0，1），P2（﹣1，0），P3（0，﹣1），则该折线上的点P8的坐标为 　 　．

18．（3分）如图，边长为2的菱形ABCD中，∠A＝60°，点E，F分别在边AB，AD上．若将△AEF沿直线EF折叠，点A恰好落在边BC的中点G处，则cos∠GFE＝　 　．

三、解答题（本大题共7个小题，满分66分）．
19．（5分）先化简，再求值：a−33a2−6a÷（a+2−5a−2），其中a2+3a﹣1＝0．
20．（8分）今年年初，某大型商业集团随机抽取所属的m家商业连锁店进行评估，将各连锁店按照评估成绩分成了A、B、C、D四个等级，绘制了尚不完整的统计图表．
评估成绩n（分）
评定等级
频数
90≤n＜100
A
a
80≤n＜90
B
1
70≤n＜80
C
15
n＜70
D
6
根据以上信息解答下列问题：
（1）求m，a的值；
（2）在扇形统计图中，求A等级所在扇形的圆心角的大小；（结果用度、分、秒表示）
（3）从评估成绩不少于80分的连锁店中任选2家介绍营销经验，求两家都是A等级的概率．

21．（8分）如图，禁止捕鱼期间，某海上稽查队在某海域巡逻，上午某一时刻在A处接到指挥部通知，在他们西北方向距离6海里的B处有一艘捕鱼船正在沿南偏西75°方向以每小时10海里的速度航行，稽查队员立即乘坐巡逻船以14海里的速度沿北偏西某一方向航行，在C处成功拦截捕鱼船，求巡逻船从出发到成功拦截捕鱼船所用的时间．

22．（9分）为迎接“国家文明城市”验收，某市政府拟对城区部分路段的公用设施全面更新改造，根据建设的需要，须在25天内完成工程．现有甲、乙两个工程队都有意向参与这项工程的建设．经调查分析：乙工程队单独完成此项工程的时间是甲工程队单独完成此项工程时间的1.5倍，且甲、乙两工程队合作只需12天完成．
（1）甲、乙两个工程队单独完成此项工程各需多少天？
（2）甲工程队每天的工程费用是4万元，乙工程队每天的工程费用是2.5万元，且若采取合作方式时两队工作的天数必须相同．请你设计一种方案，既能按时完工，又能使工程费用最少．
23．（10分）如图，⊙O是△ABC的外接圆，直径AD交BC于点E，过点A作⊙O的切线交CB的延长线于点P，BG∥AP分别交AD、AC于点F，G．
（1）求证：∠ABG＝∠C；
（2）若AB2＝PA•AG，请判断PE与BE之间的数量关系，并写出证明过程．

24．（12分）已知四边形ABCD是正方形，AC＝2AO，AD＝2AM，连接BM．
（1）如图1，若点M在AD边上，点O在对角线AC上，点E是BM的中点，连接AE．当AB＝4时，求AE的长；
（2）如图2，将图1中的△AMO绕点A按顺时针方向旋转，使点O在△ABC的内部，OM与AC相交于点G．连接CO，取CO的中点N，连接MN并延长至点F，使FN＝MN，连接BF．问：线段BM与BF有怎样的关系？请写出具体的解题过程．

25．（14分）如图1，平面直角坐标系xOy中，抛物线y＝ax2+bx﹣3与x轴交于A，B两点，与y轴的负半轴交于点C，且A（1，0），sin∠OBC=22．过点B作线段BC的垂线交抛物线于点D，交y轴于点E．设直线x＝﹣2与直线BD相交于点M，与x轴交于点N．

（1）求该抛物线的表达式；
（2）试判断以点A为圆心，AD长为半径的圆与y轴的位置关系，并给出证明；
（3）如图2，作直线OM．问：在（2）中的⊙A上是否存在一点P，使△OPM的面积最大？若存在，求出△OPM面积的最大值；若不存在，请说明理由．

2021年山东省烟台市中考数学终极押题试卷（二）
答案与解析
一、选择题（本题共12个小题，每小题3分，满分36分）
1．（3分）8的立方根是（　　）
A．22 B．±2 C．±22 D．2
【分析】根据立方根的定义，即可解答．
【解答】解：∵23＝8，
∴8的立方根是2，
故选：D．
2．（3分）下列植物叶子的图案中既是轴对称图形又是中心对称图形的是（　　）
A． B． C． D．
【分析】根据轴对称图形和中心对称图形的概念，对各选项分析判断即可得解．把一个图形绕某一点旋转180°，如果旋转后的图形能够与原来的图形重合，那么这个图形就叫做中心对称图形；如果一个图形沿一条直线折叠，直线两旁的部分能够互相重合，这个图形叫做轴对称图形．
【解答】解：A．是轴对称图形不是中心对称图形，故此选项不合题意；
B．是轴对称图形不是中心对称图形，故此选项不合题意；
C．不是轴对称图形，也不是中心对称图形，故此选项不合题意；
D．既是轴对称图形又是中心对称图形，故此选项符合题意．
故选：D．
3．（3分）下列计算正确的是（　　）
A．a10÷a5＝a5 B．（m+3）2＝m2+9
C．（xy2）3＝xy6 D．2x+3y＝5xy
【分析】A、根据单项式除以单项式计算；
B、根据完全平方公式计算；
C、根据积的乘方，把积的每一个因式分别乘方再把所的幂相乘计算．
D、不能合并同类项．
【解答】解：A、原式＝a5，∴符合题意；
B、原式＝m2+6m+9，∴不符合题意；
C、原式＝x3y6，∴不符合题意；
D、原式＝2x+3y，∴不符合题意；
故选：A．
4．（3分）下列四个几何体中，各几何体的三视图有且仅有两个视图相同的是（　　）

A．①② B．②③ C．②④ D．①③
【分析】根据主视图、左视图、俯视图是分别从物体正面、左面和上面看，所得到的图形进行分析．
【解答】解：①是三视图都是正方形；②的主视图和左视图是等腰三角形，俯视图是圆；③的主视图和左视图是半圆，俯视图是圆；④的主视图是梯形，梯形的内部有一条纵向的实线，左视图是梯形，俯视图的内外两个相似三角形，且对应的三角形的顶点相连．
所以②的主视图和左视图相同，③主视图和左视图相同．
故选：B．
5．（3分）在一个不透明的袋子中装有3个红球、3个白球和2个黑球，它们除颜色外其它均相同，现添加1个同种型号的球，使得从中随机抽取1个球，这三种颜色的球被抽到的概率都是13，则添加的球是（　　）
A．红球 B．白球 C．黑球 D．任意颜色
【分析】首先根据概率求法，即可判定出添加的球使所有小球个数相同，即可得出答案．
【解答】解：∵这三种颜色的球被抽到的概率都是13，
∴这三种颜色的球的个数相等，
∴添加的球是黑球，
故选：C．
6．（3分）某校举行“汉字听写比赛”，5个班级代表队的正确答题数如图．这5个正确答题数所组成的一组数据的中位数和众数分别是（　　）

A．10，15 B．13，15 C．13，20 D．15，15
【分析】根据中位数和众数的定义分别进行解答即可．
【解答】解：把这组数据从小到大排列：10、13、15、15、20，
最中间的数是15，
则这组数据的中位数是15；
15出现了2次，出现的次数最多，则众数是15．
故选：D．
7．（3分）已知关于x的一元二次方程x2+ax+b＝0有一个非零根﹣b，则a﹣b的值为（　　）
A．1 B．﹣1 C．0 D．﹣2
【分析】由于关于x的一元二次方程x2+ax+b＝0有一个非零根﹣b，那么代入方程中即可得到b2﹣ab+b＝0，再将方程两边同时除以b即可求解．
【解答】解：∵关于x的一元二次方程x2+ax+b＝0有一个非零根﹣b，
∴b2﹣ab+b＝0，
∵﹣b≠0，
∴b≠0，
方程两边同时除以b，得b﹣a+1＝0，
∴a﹣b＝1．
故选：A．
8．（3分）小明用计算器计算（a+b）c的值．其按键顺序和计算器显示结果如下表：
按键频率
显示结果

27

18
这时他才明白计算器是先做乘法再做加法的，于是他依次按键：

从而得到了正确结果．又知b是a的2倍．则正确的结果是（　　）
A．28 B．32 C．36 D．45
【分析】根据题目条件列出方程组可以将a，c求出来，进而可以求出最后的正确结果．
【解答】解：由题意可知：a+bc=27b+ac=18，
∵b＝2a，
∴a+2ac=27①2a+ac=18②，
②×2﹣①可得：3a＝9，
∴a＝3．
将a＝3代入①中可求得：c＝4，
则正确的结果为（a+b）×c＝3ac＝3×3×4＝36．
故选：C．
9．（3分）如图是一块矩形ABCD的场地，长AB＝99米，宽AD＝41米，从A，B两处入口的路宽都为1米，两小路汇合处路口宽为2米，其余部分种植草坪面积为（　　）

A．3783米2 B．3880米2 C．3920米2 D．4000米2
【分析】根据平移的性质可得，种植草坪的部分可以看作是长为（99﹣2）米，宽为（41﹣1）米的矩形，然后进行计算即可解答．
【解答】解：由题意得：
（99﹣2）×（41﹣1）
＝97×40
＝3880（平方米），
∴种植草坪面积为3880平方米，
故选：B．
10．（3分）若关于x的不等式组x−m≥02x−3＜−(x−3)无解，则m的取值范围为（　　）
A．m＞2 B．m＜2 C．0＜m≤2 D．m≥2
【分析】首先解每一个不等式，然后根据不等式组无解确定m的范围．
【解答】解：解不等式x﹣m≥0，得x≥m．
解不等式2x﹣3＜﹣（x﹣3），得x＜2，
∵不等式组无解，
∴m≥2，
故选：D．
11．（3分）已知二次函数y＝ax2+bx+c（a≠0）的图象如图所示，以下结论：①abc＞0；②2a+b＜0；③a﹣b+c＜0；④a+c＞0．其中正确的结论有（　　）

A．1个 B．2个 C．3个 D．4个
【分析】由抛物线的开口方向判断a与0的关系，由抛物线与y轴的交点判断c与0的关系，然后根据对称轴及抛物线与x轴交点情况进行推理，进而对所得结论进行判断．
【解答】解：①由抛物线的开口方向向下可推出a＜0，
因为对称轴在y轴右侧，对称轴为直线x=−b2a＞0，
所以b＞0，
由抛物线与y轴的交点在y轴的正半轴上，可知c＞0，故abc＜0，错误；
②由图象可知：对称轴x=−b2a＞0且对称轴x=−b2a＜1，所以2a+b＜0，正确；
③由图象可知：当x＝﹣1时，y＞0，
∴a﹣b+c＜0，错误；
④当x＝﹣1时，y＞0，
∴a﹣b+c＞0，a+c＞b，而b＞0，所以a+c＞0，故正确．
综上可得：②④正确．
故选：B．
12．（3分）如图，等腰直角三角形ABC中，AB＝AC＝4，点P为BC边上的任意一点（不与点B、C重合），且∠APD＝45°，PD交AB于点D．设BP＝x，BD＝y，则y关于x的函数图象大致是（　　）

A． B．
C． D．
【分析】证明出△BPD∽△CAP，再利用BPBD=CACP表示出x与y的函数关系式．
【解答】解：∵△ABC为等腰直角三角形；
∴∠B＝∠C＝45°＝∠APD；BC=2BA＝42；
又∵在△BDP中，∠B+∠BDP+∠BPD＝180°，
∴∠BDP+∠BPD＝135°；
∵∠BPD+∠APD+∠CPA＝180°；
∴∠BPD+∠APC＝135°；
∴∠BDP＝∠APC；
∵在三角形△BPD和△CAP中，∠B＝∠C，∠BPD＝∠APC；
∴△BPD∽△CAP；
∴BPBD=CACP；
又∵BP＝x．BD＝y，
∴PC＝42−x；
∴xy=442−x；
得y=14x⋅(42−x)．
结合图像，故选：C．
二、填空题（本大题共6个小题，每小题3分，满分18分）
13．（3分）近似数3.0×10﹣2精确到 　千分位　．
【分析】根据近似数的精确度求解．
【解答】解：近似数3.0×10﹣2精确到千分位．
故答案为：千分位．
14．（3分）如图，想在河堤两岸搭建一座桥，在如图所示的几种搭建方式中，最短的是PB，理由是 　垂线段最短　．

【分析】过直线外一点作直线的垂线，这一点与垂足之间的线段就是垂线段，且垂线段最短．据此作答．
【解答】解：根据垂线段的性质，连接直线外一点与直线上所有点的连线中，垂线段最短，
∵PB⊥AC，
∴PB最短．
故答案为：垂线段最短．
15．（3分）如图，从直径为8cm的圆形纸片中剪出一个圆心角为120o的扇形ABC，且点A，B，C在圆周上，把它围成一个圆锥，则圆锥的底面圆的半径是 　43　cm．

【分析】连接OA、OB、OC，作BC所对的圆周角∠BPC，证明△AOB为等边三角形得到AB＝OA＝4cm，设圆锥的底面圆的半径是rcm，利用弧长公式得到2πr=120×π×4180，然后解方程即可．
【解答】解：连接OA、OB、OC，作BC所对的圆周角∠BPC，
∵∠BPC＝180°﹣∠BAC＝180°﹣120°＝60°，
∴∠BOC＝2∠BPC＝120°，
∵AB＝AC，
∴∠AOB＝∠AOC＝60°，
∴△AOB为等边三角形，
∴AB＝OA＝4cm，设圆锥的底面圆的半径是rcm，
根据题意得2πr=120×π×4180，
解得r=43，
即圆锥的底面圆的半径是43cm．
故答案为：43．

16．（3分）如图，直线y＝﹣x+4与双曲线y=kx（x＞0）相交于A，B两点，与x轴相交于C点．连接OA，OB，若△AOB的面积是6．则双曲线的表达式是 　y=74x　．

【分析】根据直线y＝﹣x+4与双曲线y=kx（x＞0）的对称性求得△AOC≌△BOD，即可求得S△AOC＝1，利用三角形面积公式求得A的纵坐标，进而求得横坐标，进一步求得反比例函数的解析式．
【解答】解：∵直线y＝﹣x+4与双曲线y=kx（x＞0）关于直线y＝x对称，
∴△AOC≌△BOD，
∵直线y＝﹣x+4与x轴相交于C点，与y轴交于D，
∴C（4，0），D（0，4），
∴S△COD=12×4×4=8，
∵△AOB的面积是6，
∴S△AOC＝1，
∴12×4×yA＝1，
解得yA=12，
代入y＝﹣x+4得，12=−x+4，
解得x=72，
∴A（72，12），
∵直线y＝﹣x+4与双曲线y=kx（x＞0）相交于A，B两点，
∴k=72×12=74，
∴双曲线的表达式是y=74x，
故答案为：y=74x．

17．（3分）我们把1，1，2，3，5，8，13，…这组数称为斐波那契数列，为了进一步研究，依次以这列数为半径作90°圆弧P1P2，P2P3，P3P4，…得到斐波那契螺旋线，然后顺次连接P1P2，P2P3，P3P4，…得到螺旋折线（如图），已知点P1（0，1），P2（﹣1，0），P3（0，﹣1），则该折线上的点P8的坐标为 　（15，4）　．

【分析】观察图象，推出P8的位置，即可解决问题．
【解答】解：观察发现：P1（0，1）先向左平移1个单位，再向下平移1个单位得到P2（﹣1，0）；
P2（﹣1，0）先向右平移1个单位，再向下平移1个单位得到P3（0，﹣1）；
P3（0，﹣1）先向右平移2个单位，再向上平移2个单位得到P4（2，1）；
P4（2，1）先向左平移3个单位，再向上平移3个单位得到P5（﹣1，4）；
P5（﹣1，4）先向左平移5个单位，再向下平移5个单位得到P6（﹣6，﹣1）；
P6（﹣6，﹣1）先向右平移8个单位，再向下平移8个单位得到P7（2，﹣9）；
P7（2，﹣9）先向右平移13个单位，再向上平移13个单位得到P8（15，4）．
故答案为：（15，4）．
18．（3分）如图，边长为2的菱形ABCD中，∠A＝60°，点E，F分别在边AB，AD上．若将△AEF沿直线EF折叠，点A恰好落在边BC的中点G处，则cos∠GFE＝　217　．

【分析】连接DG，BD，根据等腰三角形的三线合一可知DG⊥BC，再利用翻折变化的性质AF＝GF，利用勾股定理解直角三角形DGC求GF长；过E作EH⊥CB于H，过A作AP⊥CB于P，连接AG交EF于Q，依据勾股定理即可得到AG的长，GQ，FQ的长，进而得到cos∠GFE的值．
【解答】解：连接DG，BD，如图，

∵四边形ABCD是边长为2的菱形，∠BAD＝60°，
∴△ABD和△BCD都是边长为2的等边三角形，
∴AB＝AD＝BD＝BC＝CD，AD∥BC，
∵G为BC的中点，
∴DG⊥BC，CG＝1，
在Rt△CDG中，DG=3，
根据翻折变换可知AF＝FG，
∵AD∥BC，DG⊥BC，
∴DG⊥AD，
在Rt△DFG中，设FG＝m，则DF＝2﹣m，
∴DF2+DG2＝FG2，
∴（2﹣m）2+（3）2＝m2，
解得m=74，
∴AF＝FG＝m=74，
如图所示，过E作EH⊥CB于H，过A作AP⊥CB于P，连接AG交EF于Q，

由题可得，∠PAB＝30°，AB＝2，DG＝1，
∴PB=12AB＝1，AP=3，
∴Rt△APG中，PG＝PB+BG＝1+1＝2，
∴AG=AP2+PG2=3+4=7
由折叠可得，EF垂直平分AG，
∴GQ=12AG=72，
∴FQ=FG2−GQ2=(74)2−(72)2=214，
∴Rt△FGQ中，cos∠GFE=FQFG=214×47=217．
故答案为：217．
三、解答题（本大题共7个小题，满分66分）．
19．（5分）先化简，再求值：a−33a2−6a÷（a+2−5a−2），其中a2+3a﹣1＝0．
【分析】根据分式的化简即可求出答案．
【解答】解：由于a2+3a﹣1＝0
∴a2+3a＝1
原式=a−33a(a−2)÷a2−9a−2
=a−33a(a−2)•a−2(a+3)(a−3)
=13a(a+3)
=13(a2+3a)
=13
20．（8分）今年年初，某大型商业集团随机抽取所属的m家商业连锁店进行评估，将各连锁店按照评估成绩分成了A、B、C、D四个等级，绘制了尚不完整的统计图表．
评估成绩n（分）
评定等级
频数
90≤n＜100
A
a
80≤n＜90
B
1
70≤n＜80
C
15
n＜70
D
6
根据以上信息解答下列问题：
（1）求m，a的值；
（2）在扇形统计图中，求A等级所在扇形的圆心角的大小；（结果用度、分、秒表示）
（3）从评估成绩不少于80分的连锁店中任选2家介绍营销经验，求两家都是A等级的概率．

【分析】（1）由C等级频数为15，占60%，即可求得m的值，继而可得a的值；
（2）首先求得B等级的频数，继而求得B等级所在扇形的圆心角的大小；
（3）首先根据题意列出表格，然后由表格求得所有等可能的结果与两家都是A等级的情况，再利用概率公式求解即可求得答案．
【解答】解：（1）∵C等级频数为15，占60%，
∴m＝15÷60%＝25，
a＝25﹣1﹣15﹣6＝3；
（2）∵A等级频数为3，
∴A等级所在扇形的圆心角的大小为：325×360°＝43.2°＝43°12′；
（3）评估成绩不少于80分的连锁店中，有三家等级为A，有一家等级为B，列表如下：

A
A
A
B
A

（A，A）
（A，A）
（B，A）
A
（A，A）

（A，A）
（B，A）
A
（A，A）
（A，A）

（B，A）
B
（A，B）
（A，B）
（A，B）

∵共有12种等可能的结果，其中两家都是A等级的有6种情况，
∴P（两家都是A等级）=612=12．
21．（8分）如图，禁止捕鱼期间，某海上稽查队在某海域巡逻，上午某一时刻在A处接到指挥部通知，在他们西北方向距离6海里的B处有一艘捕鱼船正在沿南偏西75°方向以每小时10海里的速度航行，稽查队员立即乘坐巡逻船以14海里的速度沿北偏西某一方向航行，在C处成功拦截捕鱼船，求巡逻船从出发到成功拦截捕鱼船所用的时间．

【分析】设巡逻船从出发到成功拦截所用时间为x小时，由题意得：∠ABC＝45°+75°＝120°，AB＝6海里，BC＝10x海里，AC＝14x海里．过点A作AD⊥CB交其延长线于点D，由锐角三角函数定义得BD＝3（海里），AD=33（海里），则CD＝（10x+3）海里然后在Rt△ACD中，由勾股定理得出方程，解方程即可．
【解答】解：设巡逻船从出发到成功拦截所用时间为x小时，
由题意得：∠ABC＝45°+75°＝120°，AB＝6海里，BC＝10x海里，AC＝14x海里．
过点A作AD⊥CB交其延长线于点D，
在Rt△ABD中，AB＝6海里，∠ABD＝180°﹣∠ABC＝60°．
∴BD＝ABcos60°＝3（海里），AD＝ABsin60°=33（海里），
∴CD＝（10x+3）海里，
在Rt△ACD中，由勾股定理得：（14x）2＝（10x+3）2+（33）2，
解得：x1＝1，x2=−38（不合题意，舍去），
答：巡逻船从出发到成功拦截所用时间为1小时．

22．（9分）为迎接“国家文明城市”验收，某市政府拟对城区部分路段的公用设施全面更新改造，根据建设的需要，须在25天内完成工程．现有甲、乙两个工程队都有意向参与这项工程的建设．经调查分析：乙工程队单独完成此项工程的时间是甲工程队单独完成此项工程时间的1.5倍，且甲、乙两工程队合作只需12天完成．
（1）甲、乙两个工程队单独完成此项工程各需多少天？
（2）甲工程队每天的工程费用是4万元，乙工程队每天的工程费用是2.5万元，且若采取合作方式时两队工作的天数必须相同．请你设计一种方案，既能按时完工，又能使工程费用最少．
【分析】（1）设甲工程队单独完成此项工程需x天，则乙工程队单独完成此项工程需1.5x天，根据甲工程队完成的工程量+乙工程队完成的工程量＝总工程量，即可得出关于x的分式方程，解之经检验后即可得出甲工程队单独完成此项工程所需时间，再将其代入1.5x中即可求出乙工程队单独完成此项工程所需时间；
（2）由规定须在25天内完成，可得出有两种方案，方案一由甲工程队单独完成，方案二由甲、乙两工程队合作完成，利用总工程费用＝每天的过程费用×工作时间，可分别求出选择两方案所需总工程费用，比较后即可得出结论．
【解答】解：（1）设甲工程队单独完成此项工程需x天，则乙工程队单独完成此项工程需1.5x天，
依题意得：12x+121.5x=1，
解得：x＝20，
经检验，x＝20是原方程的解，且符合题意，
∴1.5x＝1.5×20＝30．
答：甲工程队单独完成此项工程需20天，乙工程队单独完成此项工程需30天．
（2）∵规定须在25天内完成，
∴有如下两种方案：
方案一：由甲工程队单独完成，所需工程费用为4×20＝80（万元）；
方案二：由甲、乙两工程队合作完成，所需工程费用为（4+2.5）×12＝78（万元）．
∵80＞78，
∴应该选择甲、乙两个工程队合作完成该项工程．
答：由甲、乙两工程队合作完成，既能按时完工，又能使工程费用最少．
23．（10分）如图，⊙O是△ABC的外接圆，直径AD交BC于点E，过点A作⊙O的切线交CB的延长线于点P，BG∥AP分别交AD、AC于点F，G．
（1）求证：∠ABG＝∠C；
（2）若AB2＝PA•AG，请判断PE与BE之间的数量关系，并写出证明过程．

【分析】（1）由圆周角定理可得∠ABD＝90°，由切线的性质可得∠PAD＝90°，由余角的性质可得结论；
（2）通过证明△BAG∽△CAB，可得PA＝AC，由“SAS”可证△BAF≌△BEF，可得EF＝AF，即可得结论．
【解答】（1）证明：连接BD，

∵AD是⊙O的直径，
∴∠ABD＝90°，
∴∠D+∠BAD＝90°，
∵PA是⊙O的切线，
∴AD⊥PA，
∴∠PAD＝90°，
∵BG∥AP，
∴∠BFD＝∠PAD＝90°，
∴∠ABG+∠BAD＝90°，
∴∠ABG＝∠D，
∵∠C＝∠D，
∴∠ABG＝∠C；
（2）PE＝2BE，理由如下：
∵∠ABG＝∠C，∠BAG＝∠CAB，
∴△BAG∽△CAB，
∴ABAC=AGAB，
∴AB2＝AC⋅AG．
∵AB2＝PA•AG，
∴PA＝AC，
∴∠C＝∠P，
∵BG∥AP，
∴∠CBG＝∠P，
∴∠CBG＝∠C，
∴∠ABG＝∠CBG，
在△BAF和△BEF中，
∠ABG=∠CBGBF=BF∠AFB=∠EFB=90°，
∴△BAF≌△BEF（SAS），
∴EF＝AF，
∵BG∥AP，
∴BEBP=EFAF=1，
∴BE＝BP，
∴PE＝2BE．
24．（12分）已知四边形ABCD是正方形，AC＝2AO，AD＝2AM，连接BM．
（1）如图1，若点M在AD边上，点O在对角线AC上，点E是BM的中点，连接AE．当AB＝4时，求AE的长；
（2）如图2，将图1中的△AMO绕点A按顺时针方向旋转，使点O在△ABC的内部，OM与AC相交于点G．连接CO，取CO的中点N，连接MN并延长至点F，使FN＝MN，连接BF．问：线段BM与BF有怎样的关系？请写出具体的解题过程．

【分析】（1）由勾股定理可求BM，由直角三角形的性质可求解；
（2）由“SAS”可证△MNO≌△FNC，可得MO＝CF，∠MON＝∠FCN，由“SAS”可证△ABM≌△CBF，可得BM＝BF，∠ABM＝∠CBF，可得结论．
【解答】（1）解：∵四边形ABCD是正方形，
∴AD＝AB＝4，
∵AD＝2AM＝4，
∴AM＝2，
在Rt△ABM中，BM=AB2+AM2=25．
∵点E是BM的中点，
∴AE=12BM=5；
（2）BM＝BF，BM⊥BF，
理由如下：连接CF，

在△MNO和△FNC中，
MN=FN∠MNO=∠FNCON=CN，
∴△MNO≌△FNC（SAS），
∴MO＝CF，∠MON＝∠FCN，
∴MO∥FC，
∴∠FCG+∠CGO＝180°，
∵∠FCG＝∠FCB+∠ACB＝∠FCB+45°，∠CGO＝∠CAO+∠MOA＝∠CAO+45°，
∴∠FCB+∠GAO＝90°，
∵∠GAO+∠MAG＝45°，∠MAG+∠DAM＝45°，
∴∠DAM＝∠DAG，
∵∠BAM+∠DAM＝90°，
∴∠BAM+∠GAO＝90°，
∴∠BAM＝∠BCF，
又∵MO＝CF，
∴AM＝CF．
在△ABM和△CBF中，
AB=BC∠BAM=∠BCFAM=CF，
∴△ABM≌△CBF（SAS），
∴BM＝BF，∠ABM＝∠CBF，
∴∠MBF＝∠MBC+∠CBF＝∠ABM+∠MBC＝90°．
即BM⊥BF．
25．（14分）如图1，平面直角坐标系xOy中，抛物线y＝ax2+bx﹣3与x轴交于A，B两点，与y轴的负半轴交于点C，且A（1，0），sin∠OBC=22．过点B作线段BC的垂线交抛物线于点D，交y轴于点E．设直线x＝﹣2与直线BD相交于点M，与x轴交于点N．

（1）求该抛物线的表达式；
（2）试判断以点A为圆心，AD长为半径的圆与y轴的位置关系，并给出证明；
（3）如图2，作直线OM．问：在（2）中的⊙A上是否存在一点P，使△OPM的面积最大？若存在，求出△OPM面积的最大值；若不存在，请说明理由．
【分析】（1）根据A（1，0），sin∠OBC=22求出B的坐标，再由待定系数法求出解析式即可；
（2）先求BE的解析式，再求得D和AD的长，比较AD和AO即可；
（3）过A点作OM的垂线交⊙A于第一象限内点P，垂足为H．此时，△OPM的面积最大．再由相似求得AH，即可求得面积最大值．
【解答】解：（1）∵y＝ax2+bx﹣3，
∴OC＝3．
∵sin∠OBC=22，
∴∠OBC＝45°．
∴OB＝OC＝3．
∴B（3，0）．
∵A（1，0），
∴a+b−3=09a+3b−3=0，
∴a=−1b=4．
∴y＝﹣x2+4x﹣3．

（2）相交．
证明：∵BD⊥BC，
∴∠OBE＝45°．
∴OE＝OB＝3．
∴E（0，3 ）．
设直线BE为y＝kx+t，
∴3k+t=0t=3．
∴k=−1t=3，
∴y＝﹣x+3，
联立y=−x+3y=−x2+4x−3．
解得x1=2y1=1，x2=3y2=0．
∴D（2，1）．
∴AD=(2−1)2+(1−0)2=2，
∵AD＞OA，
∴以点A为圆心，AD长为半径的圆与y轴相交．

（3）存在，
如图，过A点作OM的垂线交⊙A于第一象限内点P，垂足为H．此时，△OPM的面积最大．

由x=−2y=−x+3，得x=−2y=5．
∴M（﹣2，5）．
OM=29，
∵∠ONM＝∠OHA＝90°，∠MON＝∠AOH，
∴△ONM∽△OHA．
∴AHMN=OAOM．
∴AH=52929．
∵AP=2，
∴PH=52929+2，
∴S△OPM=12OM⋅PH=12×29×（52929+2）=5+582．