2022年上海中考数学终极押题密卷 (1)(word版含答案)

这是一份2022年上海中考数学终极押题密卷 (1)(word版含答案)，共37页。试卷主要包含了方程的解是　 　等内容，欢迎下载使用。
2022年上海中考数学终极押题密卷
一．选择题（共6小题，满分24分，每小题4分）
1．（4分）（2021秋•道县期末）在实数、0、、2π、3.1415、0.333……、2.12112111211112……中，有理数有（　　）
A．1个 B．2个 C．3个 D．4个
2．（4分）（2021秋•双牌县期末）先阅读下面例题的解答过程，然后作答．
例题：化简．
解：先观察，
由于8＝5+3，即8＝（）2+（）2，
且15＝5×3，即＝2××，
则有＝＝+．
试用上述例题的方法化简：＝（　　）
A．+ B．2+ C．1+ D．+2
3．（4分）（2022春•江岸区校级月考）下列语句不是命题的是（　　）
A．对顶角相等
B．同旁内角相等
C．内错角相等，两直线平行
D．延长线段AB到C点使BC＝AB
4．（4分）（2021秋•重庆期末）抛物线y＝﹣2x2向左平移1个单位，再向下平移3个单位，则平移后的抛物线的解析式为（　　）
A．y＝﹣2（x+1）2+3 B．y＝﹣2（x+1）2﹣3
C．y＝﹣2（x﹣1）2﹣3 D．y＝﹣2（x﹣1）2+3
5．（4分）（2022•顺城区模拟）某校为了纪念抗美援朝70周年，举行了主题为“捍卫和平，让历史照亮未来”的演讲比赛，其中九年级的5位参赛选手的比赛成绩（单位：分）分别为：85，93，87，95，90，则这5个数据的中位数和平均数分别为（　　）
A．90，93 B．93，90 C．95，90 D．90，90
6．（4分）（2022春•徐汇区校级期中）已知半径分别是3和5的两个圆没有公共点，那么这两个圆的圆心距d的取值范围是（　　）
A．d＞2 B．d＞8 C．0≤d＜2 D．d＞8或0≤d＜2
二．填空题（共12小题，满分48分，每小题4分）
7．（4分）（2022春•高州市期中）已知2m＝3，4n＝11，则23m﹣2n的值是 　 　．
8．（4分）（2022•科左中旗一模）如图，直线y＝﹣2x+4与x轴、y轴分别交于A、B两点，C为OB上一点，且∠1＝∠2，则S△ABC＝　 　．

9．（4分）（2021秋•肇东市校级期末）若a＞b＞c，则不等式组的解集是 　 　．
10．（4分）（2022•普陀区模拟）方程的解是　 　．
11．（4分）（2021秋•新邱区期末）若关于x的方程x2﹣mx+m＝0有两个相等实数根，则代数式2m2﹣8m+1的值为　 　．
12．（4分）（2022•碑林区校级三模）如图，点A在x轴的正半轴上，过线段OA的中点M作MP⊥x轴，交双曲线y＝（k＞0，x＞0）于点P，且OA•MP＝8，则k的值为 　 　．

13．（4分）（2022•铁西区一模）一个不透明的袋子里装有4个红球和2个黄球，它们除颜色外其余都相同，从袋中任意摸出一个球是红球的概率为 　 　．
14．（4分）（2022春•海淀区校级期中）如图，平面直角坐标系中，▱ABCD的顶点A，B，C在坐标轴上，AB＝AC＝5，B（﹣3，0），点D在第一象限，则点D的坐标是 　 　．

15．（4分）（2022•官渡区一模）如图，AB为△ADC的外接圆⊙O的直径，若∠BAD＝55°，则∠ACD的度数为 　 　．

16．（4分）（2021秋•浦东新区期末）如图，平行四边形ABCD，F为BC中点，延长AD至E，使DE：AD＝1：3，联结EF交DC于点G，则S△DEG：S△CFG＝　 　．

17．（4分）（2021秋•万州区期末）如图，△ABC中，∠C＝90°，AB＝8，点D为△ABC外一点，且AD⊥BD，连接CD，若CD＝4，则∠AEB的度数为 　 　．

18．（4分）（2022•虹口区二模）已知l1∥l2，l1、l2之间的距离是5cm，圆心O到直线l1的距离是2cm，如果圆O与直线l1、l2有三个公共点，那么圆O的半径为 　 　cm．
三．解答题（共7小题，满分78分）
19．（10分）（2022春•静安区期中）利用幂的运算性质计算．
20．（10分）（2022•宝山区二模）解方程组：．
21．（10分）（2022•台儿庄区一模）如图，在Rt△ABC中，∠C＝90°，点D在BC边上，∠ADC＝45°，BD＝2，tanB＝
（1）求AC和AB的长；
（2）求sin∠BAD的值．

22．（10分）（2022•长清区一模）如图，一次函数y＝﹣x+b与反比例函数y＝（x＞0）的图象交于点A（m，4）和B（4，1）．
（1）求b、k、m的值；
（2）根据图象直接写出﹣x+b＜（x＞0）的解集；
（3）点P是线段AB上一点，过点P作PD⊥x轴于点D，连接OP，若△POD的面积为S，求S的最大值和最小值．

23．（12分）（2022•拱墅区模拟）如图，在四边形ABCD中，AB∥DC，AB＝AD，对角线AC、BD交于O，AC平分∠BAD．
（1）求证：四边形ABCD是菱形；
（2）过点C作CE⊥AB交AB的延长线于点E，连接OE，若AB＝3，BD＝6，求OE的长．

24．（12分）（2022•永城市校级一模）我们不妨约定：对于某一自变量为x的函数，若当x＝m时，其函数值也为m，则称点（m，m）为此函数的“不动点”．如：反比例函数y＝有两个“不动点”，坐标分别为（1，1）和（﹣1，﹣1）．
（1）一次函数y＝3x﹣1的“不动点”坐标为 　 　；
（2）若抛物线L：y＝ax2﹣2ax+2上只有一个“不动点”A．
①求抛物线L的解析式和这个“不动点”A的坐标；
②在平面直角坐标系xOy中，将抛物线L平移后，得到抛物线L′：y＝ax2﹣2ax+2+n（n≠0），抛物线L'与y轴交于点B，连接OA，AB，若抛物线L′的顶点落在△OAB内部（不含边界），请直接写出n的取值范围．
25．（14分）（2022•虹口区二模）如图，△ABC中，AB＝AC，BD是AC边上的中线，AO平分∠BAC且交BD于点O．
（1）求证：BO＝2OD；
（2）当△BCD是等腰三角形时，求∠CBD的余弦值；
（3）以O为圆心、OD长为半径的圆交线段BO于点E，连结CE．当△CDE与△AOB相似时，求AB：BC的值．


2022年上海中考数学终极押题密卷
参考答案与试题解析
一．选择题（共6小题，满分24分，每小题4分）
1．（4分）（2021秋•道县期末）在实数、0、、2π、3.1415、0.333……、2.12112111211112……中，有理数有（　　）
A．1个 B．2个 C．3个 D．4个
【考点】实数．
【专题】实数；数感．
【分析】直接利用有理数的定义分析得出答案．
【解答】解：＝3、0、＝2、2π、3.1415、0.333……、2.12112111211112……中，
有理数有：、0、3.1415、0.333……共4个．
故选：D．
【点评】此题主要考查了有理数，正确掌握有理数的定义是解题关键．
2．（4分）（2021秋•双牌县期末）先阅读下面例题的解答过程，然后作答．
例题：化简．
解：先观察，
由于8＝5+3，即8＝（）2+（）2，
且15＝5×3，即＝2××，
则有＝＝+．
试用上述例题的方法化简：＝（　　）
A．+ B．2+ C．1+ D．+2
【考点】二次根式的性质与化简．
【专题】计算题；二次根式；运算能力；应用意识．
【分析】先把被开方数拆项，化为完全平方的形式，再根据二次根式的性质化简．
【解答】解：＝＝＝+2；
故选：D．
【点评】本题考查了二次根式的性质与化简，熟练掌握二次根式的性质，先把被开方数拆项，化为完全平方的形式是解题关键．
3．（4分）（2022春•江岸区校级月考）下列语句不是命题的是（　　）
A．对顶角相等
B．同旁内角相等
C．内错角相等，两直线平行
D．延长线段AB到C点使BC＝AB
【考点】命题与定理．
【专题】线段、角、相交线与平行线；推理能力．
【分析】根据命题的概念判断即可．
【解答】解：A、对顶角相等，对问题作出了判断，是命题，不符合题意；
B、同旁内角相等，对问题作出了判断，是命题，不符合题意；
C、内错角相等，两直线平行，对问题作出了判断，是命题，不符合题意；
D、延长线段AB到C点使BC＝AB，没有对问题作出判断，不是命题，符合题意，
故选D．
【点评】本题考查的是命题的概念，解题的关键是掌握命题是判断一件事情的语句．
4．（4分）（2021秋•重庆期末）抛物线y＝﹣2x2向左平移1个单位，再向下平移3个单位，则平移后的抛物线的解析式为（　　）
A．y＝﹣2（x+1）2+3 B．y＝﹣2（x+1）2﹣3
C．y＝﹣2（x﹣1）2﹣3 D．y＝﹣2（x﹣1）2+3
【考点】二次函数图象与几何变换．
【分析】根据“左加右减，上加下减”进行解答即可．
【解答】解：抛物线y＝﹣2x2向左平移1个单位，再向下平移3个单位，则平移后的抛物线的解析式为y＝﹣2（x+1）2﹣3，
故选：B．
【点评】此题主要考查了二次函数与几何变换，关键是掌握平移的规律：左加右减，上加下减．
5．（4分）（2022•顺城区模拟）某校为了纪念抗美援朝70周年，举行了主题为“捍卫和平，让历史照亮未来”的演讲比赛，其中九年级的5位参赛选手的比赛成绩（单位：分）分别为：85，93，87，95，90，则这5个数据的中位数和平均数分别为（　　）
A．90，93 B．93，90 C．95，90 D．90，90
【考点】中位数；算术平均数．
【专题】数据的收集与整理；数据分析观念．
【分析】根据算术平均数、中位数的概念，结合题意进行求解．
【解答】解：这组数据按照从小到大的顺序排列为：85、87、90、93、95，
则中位数为90，
平均数为：＝90，
故选：D．
【点评】本题考查了算术平均数、中位数的知识：平均数是指在一组数据中所有数据之和再除以数据的个数；将一组数据按照从小到大（或从大到小）的顺序排列，如果数据的个数是奇数，则处于中间位置的数就是这组数据的中位数；如果这组数据的个数是偶数，则中间两个数据的平均数就是这组数据的中位数．
6．（4分）（2022春•徐汇区校级期中）已知半径分别是3和5的两个圆没有公共点，那么这两个圆的圆心距d的取值范围是（　　）
A．d＞2 B．d＞8 C．0≤d＜2 D．d＞8或0≤d＜2
【考点】圆与圆的位置关系．
【专题】与圆有关的位置关系；推理能力．
【分析】没有公共点的两个圆的位置关系，应该是内含和外离，外离，则d＞R+r；内含，则d＜R﹣r．
【解答】解：没有公共点的两个圆的位置关系，应该是内含和外离，
当内含时，这两个圆的圆心距d的取值范围是d＜R﹣r，即d＜2；
当外离时，这两个圆的圆心距d的取值范围是d＞R+r，即d＞8．
故选：D．
【点评】本题难度中等，主要是考查圆与圆的位置关系与数量关系间的联系．
二．填空题（共12小题，满分48分，每小题4分）
7．（4分）（2022春•高州市期中）已知2m＝3，4n＝11，则23m﹣2n的值是 　　．
【考点】同底数幂的除法；幂的乘方与积的乘方．
【专题】整式；运算能力．
【分析】根据同底数幂的除法，幂的乘方计算即可．
【解答】解：∵2m＝3，4n＝11，
∴23m﹣2n
＝23m÷22n
＝（2m）3÷（22）n
＝33÷11
＝27÷11
＝．
故答案为：．
【点评】本题考查了同底数幂的除法，幂的乘方与积的乘方，掌握am÷an＝am﹣n（a≠0）是解题的关键．
8．（4分）（2022•科左中旗一模）如图，直线y＝﹣2x+4与x轴、y轴分别交于A、B两点，C为OB上一点，且∠1＝∠2，则S△ABC＝　3　．

【考点】一次函数综合题．
【专题】几何图形问题．
【分析】先求OA和OB的长，再利用相似三角形求OC的长，面积差为所求．
【解答】解：∵直线y＝﹣2x+4与x轴、y轴分别交于A、B两点，
∴点B（0，4），点A（2，0）
即OA＝2，OB＝4
∵在直角三角形OAB，和直角三角形OAC中，∠1＝∠2，
∴△OAB∽△OAC
∴
解得OC＝1
∴S△ABC＝S△OAB﹣S△0AC＝
故答案为3．
【点评】本题考查了一次函数综合运用，先求OA和OB的长，再利用相似三角形求OC的长，面积差为所求．
9．（4分）（2021秋•肇东市校级期末）若a＞b＞c，则不等式组的解集是 　x＞a　．
【考点】解一元一次不等式组．
【专题】一元一次不等式（组）及应用；运算能力．
【分析】根据口诀：同大取大、同小取小、大小小大中间找、大大小小找不到确定不等式组的解集．
【解答】解：∵a＞b＞c，
∴不等式组的解集是x＞a，
故答案为：x＞a．
【点评】本题考查的是解一元一次不等式组，熟知“同大取大；同小取小；大小小大中间找；大大小小找不到”的原则是解答此题的关键．
10．（4分）（2022•普陀区模拟）方程的解是　x＝﹣1　．
【考点】无理方程．
【专题】推理填空题．
【分析】根据方程可知等号左边的x+1≤0，等号右边根号里面的x+1≥0，联立不等式组，即可解答本题．
【解答】解：∵，
∴，
解得，x＝﹣1，
故答案为：x＝﹣1．
【点评】本题考查解无理方程，解题的关键是明确无理方程的解法，由无理方程可以发现隐含条件．
11．（4分）（2021秋•新邱区期末）若关于x的方程x2﹣mx+m＝0有两个相等实数根，则代数式2m2﹣8m+1的值为　1　．
【考点】根的判别式．
【分析】根据方程的系数结合根的判别式即可得出Δ＝m2﹣4m＝0，将其代入2m2﹣8m+1中即可得出结论．
【解答】解：∵关于x的方程x2﹣mx+m＝0有两个相等实数根，
∴Δ＝（﹣m）2﹣4m＝m2﹣4m＝0，
∴2m2﹣8m+1＝2（m2﹣4m）+1＝1．
故答案为：1．
【点评】本题考查了根的判别式，熟练掌握“当Δ＝0时，方程有两个相等的两个实数根”是解题的关键．
12．（4分）（2022•碑林区校级三模）如图，点A在x轴的正半轴上，过线段OA的中点M作MP⊥x轴，交双曲线y＝（k＞0，x＞0）于点P，且OA•MP＝8，则k的值为 　4　．

【考点】反比例函数图象上点的坐标特征．
【专题】反比例函数及其应用；运算能力．
【分析】设P（x，y），则可表示出MP，由M为OA的中点，可求得OA，由条件可求得xy，则可求得k的值．
【解答】解：设P（x，y）则MP＝y，
∵M为OA的中点，
∴OA＝2x，
∵OA•MP＝8，
∴2xy＝8，
∴xy＝4，
∵点P双曲线y＝（k＞0，x＞0）上，
∴k＝xy＝4．
故答案为：4．
【点评】本题考查了反比例函数图象上点的坐标特征，表示出线段的长度是解题的关键．
13．（4分）（2022•铁西区一模）一个不透明的袋子里装有4个红球和2个黄球，它们除颜色外其余都相同，从袋中任意摸出一个球是红球的概率为 　　．
【考点】概率公式．
【专题】概率及其应用；数据分析观念．
【分析】用红球的个数除以球的总个数即可．
【解答】解：∵从袋中任意摸出一个球共有6种等可能结果，其中摸出的球是红球的有4种结果，
∴从袋中任意摸出一个球是红球的概率为＝，
故答案为：．
【点评】本题考查了概率的知识．用到的知识点为：概率＝所求情况数与总情况数之比．
14．（4分）（2022春•海淀区校级期中）如图，平面直角坐标系中，▱ABCD的顶点A，B，C在坐标轴上，AB＝AC＝5，B（﹣3，0），点D在第一象限，则点D的坐标是 　（6，3）　．

【考点】平行四边形的性质；坐标与图形性质．
【专题】多边形与平行四边形；推理能力．
【分析】根据等腰三角形的性质得出BO＝OC，再利用平行四边形的对边相等解答即可．
【解答】解：∵AB＝AC＝5，OA⊥BC，
∴BO＝OC＝3，
∴BC＝6，OA＝3，
∵四边形ABCD是平行四边形，
∴AD＝BC＝6，
∴点D的坐标为（6，3），
故答案为：（6，3）．
【点评】本题考查了平行四边形的性质，同时考查了坐标与图形特点，关键是根据等腰三角形的性质得出BO＝OC解答．
15．（4分）（2022•官渡区一模）如图，AB为△ADC的外接圆⊙O的直径，若∠BAD＝55°，则∠ACD的度数为 　35°　．

【考点】三角形的外接圆与外心；圆周角定理．
【专题】圆的有关概念及性质；推理能力．
【分析】根据直径所对圆周角是直角和同弧所对圆周角相等即可求出∠ACD的度数．
【解答】解：如图，连接BD，

∵AB为△ADC的外接圆⊙O的直径，
∴∠ADB＝90°，
∵∠BAD＝55°，
∴∠ABD＝90°﹣55°＝35°，
∴∠ACD＝∠ABD＝35°．
故答案为：35°．
【点评】本题考查了三角形的外接圆与外心，圆周角定理，解决本题的关键是掌握圆周角定理．
16．（4分）（2021秋•浦东新区期末）如图，平行四边形ABCD，F为BC中点，延长AD至E，使DE：AD＝1：3，联结EF交DC于点G，则S△DEG：S△CFG＝　　．

【考点】相似三角形的判定与性质；平行四边形的性质．
【专题】图形的相似；推理能力．
【分析】先设出DE＝x，进而得出AD＝3x，再用平行四边形的性质得出BC＝3x，进而求出CF，最后用相似三角形的性质即可得出结论．
【解答】解：设DE＝x，
∵DE：AD＝1：3，
∴AD＝3x，
∵四边形ABCD是平行四边形，
∴AD∥BC，BC＝AD＝3x，
∵点F是BC的中点，
∴CF＝BC＝x，
∵AD∥BC，
∴△DEG∽△CFG，
∴＝（）2＝（）2＝，
故答案为：．
【点评】此题主要考查了相似三角形的判定和性质，平行四边形的性质，中点的定义，熟练掌握相似三角形的判定和性质定理是解本题的关键．
17．（4分）（2021秋•万州区期末）如图，△ABC中，∠C＝90°，AB＝8，点D为△ABC外一点，且AD⊥BD，连接CD，若CD＝4，则∠AEB的度数为 　120°　．

【考点】直角三角形斜边上的中线；等边三角形的判定与性质．
【专题】等腰三角形与直角三角形；推理能力．
【分析】设AB边的中点为F，连接DF，CF，根据直角三角形的性质得到DF＝CF＝AB，推出△CDF是等边三角形，得到∠DFC＝60°，根据等腰三角形的性质得到∠DAF+∠ABC＝360°﹣2（∠AFD+∠BFC）＝120°，根据三角形外角的性质即可得到结论．
【解答】解：设AB边的中点为F，连接DF，CF，
∵AD⊥BD，
∴∠ADB＝∠ACB＝90°，
∴DF＝CF＝AB，
∵AB＝8，
∴DF＝CF＝4，
∵CD＝4，
∴CD＝DF＝CF，
∴△CDF是等边三角形，
∴∠DFC＝60°，
∴∠AFD+∠CFB＝120°，
∵AF＝DF，CF＝BF，
∴∠DAF+∠ABC＝360°﹣2（∠AFD+∠BFC）＝120°，
∵∠AED＝∠BEC，∠ADE＝∠BCE，
∴∠DAE＝∠CBE，
∴∠AEB＝∠BCE+∠CBE＝90°+∠CBE＝∠DAB+∠ABD+∠CBE＝∠DAB+∠ABC＝120°．
故答案为：120°．

【点评】本题考查了直角三角形斜边上的中线，等边三角形的判定和性质，三角形内角和定理，正确的作出辅助线是解题的关键．
18．（4分）（2022•虹口区二模）已知l1∥l2，l1、l2之间的距离是5cm，圆心O到直线l1的距离是2cm，如果圆O与直线l1、l2有三个公共点，那么圆O的半径为 　7或3　cm．
【考点】平行线之间的距离．
【专题】线段、角、相交线与平行线；推理能力．
【分析】根据平行线之间的距离处理即可，注意分类讨论．
【解答】解：∵圆O与直线l1、l2有三个公共点，
∴l2是圆的切线，
分两种情况：
当l1、l2在圆心O的同侧时，圆O的半径为5+2＝7（cm），
当l1、l2在圆心O的异侧时，圆O的半径为5﹣2＝3（cm），
∴圆O的半径为7cm或3cm．
故答案为：7或3．
【点评】本题主要考查平行线之间的距离，解题关键是对l1、l2与圆心O的位置进行分类讨论．
三．解答题（共7小题，满分78分）
19．（10分）（2022春•静安区期中）利用幂的运算性质计算．
【考点】分数指数幂；实数的运算．
【专题】实数；运算能力．
【分析】直接利用分数指数幂的性质结合同底数幂的乘法运算法则计算，进而得出答案．
【解答】解：原式＝××
＝．
【点评】此题主要考查了分数指数幂的性质、同底数幂的乘法运算，正确将原式变形是解题关键．
20．（10分）（2022•宝山区二模）解方程组：．
【考点】二元二次方程组．
【专题】计算题；方程思想；运算能力．
【分析】利用十字相乘法把方程②的左边因式分解，组成两个二元一次方程组，解二元一次方程组即可．
【解答】解：，
由②得：（x+2y）（x﹣3y）＝0，
∴x+2y＝0或x﹣3y＝0，
则或，
解得 ，．
【点评】本题考查的是二元二次方程组的解法，把方程②的左边正确进行因式分解是解题的关键．
21．（10分）（2022•台儿庄区一模）如图，在Rt△ABC中，∠C＝90°，点D在BC边上，∠ADC＝45°，BD＝2，tanB＝
（1）求AC和AB的长；
（2）求sin∠BAD的值．

【考点】解直角三角形．
【专题】常规题型；解直角三角形及其应用．
【分析】（1）由tanB＝＝设AC＝3x、BC＝4x，据此得DC＝4x﹣2，根据∠ADC＝45°得AC＝DC，即3x＝4x﹣2，解之得出x的值，继而可得答案；
（2）作DE⊥AB，设DE＝3a、BE＝4a，根据DE2+BE2＝BD2可求得a的值，继而根据正弦函数的定义可得答案．
【解答】解：（1）如图，在Rt△ABC中，

∵tanB＝＝，
∴设AC＝3x、BC＝4x，
∵BD＝2，
∴DC＝BC﹣BD＝4x﹣2，
∵∠ADC＝45°，
∴AC＝DC，即4x﹣2＝3x，
解得：x＝2，
则AC＝6、BC＝8，
∴AB＝＝10；

（2）作DE⊥AB于点E，
由tanB＝＝可设DE＝3a，则BE＝4a，
∵DE2+BE2＝BD2，且BD＝2，
∴（3a）2+（4a）2＝22，解得：a＝（负值舍去），
∴DE＝3a＝，
∵AD＝＝6，
∴sin∠BAD＝＝．
【点评】本题主要考查解直角三角形，解题的关键是熟练掌握三角函数的定义及根据题意构建直角三角形的能力．
22．（10分）（2022•长清区一模）如图，一次函数y＝﹣x+b与反比例函数y＝（x＞0）的图象交于点A（m，4）和B（4，1）．
（1）求b、k、m的值；
（2）根据图象直接写出﹣x+b＜（x＞0）的解集；
（3）点P是线段AB上一点，过点P作PD⊥x轴于点D，连接OP，若△POD的面积为S，求S的最大值和最小值．

【考点】反比例函数综合题．
【专题】反比例函数及其应用；运算能力；应用意识．
【分析】（1）将点A（m，4）和B（4，1）分别代入y＝﹣x+b和即可求解；
（2）观察图象，找到反比例函数图象比一次函数图象高的部分，即为所求；
（3）设P的坐标为（n，﹣n+5）（1≤n≤4），S＝﹣（n﹣）2+，再由1≤n≤4，可得当n＝时，，当n＝1或n＝4时，S最小＝2．
【解答】解：（1）∵一次函数y＝﹣x+b与反比例函数的图象交于点A（m，4）和B（4，1），
∴﹣4+b＝1，
解得b＝5，
∴k＝4×1＝4，
∴4m＝k，
解得m＝1，
∴b＝5，k＝4，m＝1；
（2）∵一次函数y＝﹣x+b与反比例函数的图象交于点A（1，4），B（4，1），
∴的解集为0＜x＜1或x＞4；
（3）依题意，设P的坐标为（n，﹣n+5）（1≤n≤4），
则，
∵1≤n≤4，
∵＝，
∴当n＝时，，
当n＝1或n＝4时，S最小＝2．
【点评】本题是反比例函数的综合题，熟练掌握反比例函数的图象及性质，一次函数的图象及性质是解题的关键．
23．（12分）（2022•拱墅区模拟）如图，在四边形ABCD中，AB∥DC，AB＝AD，对角线AC、BD交于O，AC平分∠BAD．
（1）求证：四边形ABCD是菱形；
（2）过点C作CE⊥AB交AB的延长线于点E，连接OE，若AB＝3，BD＝6，求OE的长．

【考点】菱形的判定与性质；全等三角形的判定与性质；角平分线的性质；等腰三角形的判定与性质．
【专题】等腰三角形与直角三角形；多边形与平行四边形；矩形 菱形 正方形；运算能力；推理能力．
【分析】（1）先证∠CAB＝∠DCA，再证∠DAC＝∠DCA，得CD＝AD＝AB，然后证四边形ABCD是平行四边形，即可得出结论；
（2）先证OE＝OA＝OC，再求出OB＝3，然后由勾股定理求出OA＝6，即可得出结论．
【解答】（1）证明：∵AB∥CD，
∴∠CAB＝∠DCA，
∵AC为∠DAB的平分线，
∴∠CAB＝∠DAC，
∴∠DCA＝∠DAC，
∴CD＝AD，
∴CD＝AB，
∵AB∥CD，
∴四边形ABCD是平行四边形，
又∵AD＝AB，
∴▱ABCD是菱形；
（2）解：∵四边形ABCD是菱形，BD＝6，
∴OA＝OC，BD⊥AC，OB＝BD＝3，
∵CE⊥AB，
∴∠AEC＝90°，
∴OE＝AC＝OA＝OC，
在Rt△AOB中，AB＝3，OB＝3，
∴OA＝＝＝6，
∴OE＝OA＝6．
【点评】此题主要考查了菱形的判定和性质，平行四边形的判定和性质，等腰三角形的判定，勾股定理等知识，熟练掌握菱形的判定与性质是解题的关键．
24．（12分）（2022•永城市校级一模）我们不妨约定：对于某一自变量为x的函数，若当x＝m时，其函数值也为m，则称点（m，m）为此函数的“不动点”．如：反比例函数y＝有两个“不动点”，坐标分别为（1，1）和（﹣1，﹣1）．
（1）一次函数y＝3x﹣1的“不动点”坐标为 　（，）　；
（2）若抛物线L：y＝ax2﹣2ax+2上只有一个“不动点”A．
①求抛物线L的解析式和这个“不动点”A的坐标；
②在平面直角坐标系xOy中，将抛物线L平移后，得到抛物线L′：y＝ax2﹣2ax+2+n（n≠0），抛物线L'与y轴交于点B，连接OA，AB，若抛物线L′的顶点落在△OAB内部（不含边界），请直接写出n的取值范围．
【考点】二次函数综合题．
【专题】代数几何综合题；二次函数图象及其性质；运算能力．
【分析】（1）由“不动点”的概念可得出答案；
（2）①由题意得出关于x的方程ax2﹣2ax+2＝x有两个相等的实数根，可求出a的值，解方程＝x可求出A点的坐标；
②先利用配方法求出二次函数的顶点坐标，利用待定系数法分别求出直线AB与直线OA的解析式，将顶点坐标的值分别代入两直线的解析式，求出n的取值范围；
【解答】解：（1）∵x＝m时，其函数值也为m，
∴m＝3m﹣1，
解得m＝，
∴一次函数y＝3x﹣1的“不动点”坐标为（，），
故答案为：（，）；
（2）①∵y＝ax2﹣2ax+2上只有一个“不动点”A，
∴关于x的方程ax2﹣2ax+2＝x有两个相等的实数根，
整理方程得ax2﹣（2a+1）x+2＝0，
∴△＝[﹣（2a+1）]2﹣8a＝0，
解得a＝，
∴抛物线L的解析式为y＝，
令＝x，
解得x1＝x2＝2，
∴“不动点”A的坐标为（2，2）．
②∵y＝x2﹣x+2＝（x﹣1）2+，
∴抛物线L的顶点的坐标为（1，）．
∴平移后的抛物线L′的顶点坐标为（1，+n），
设直线AB的解析式是y＝px+q，
∵A（2，2）、B（0，n+2），
∴，解之得：，
∴直线AB的解析式为y＝﹣x+n+2．
设直线OA的解析式是y＝kx，
∵直线OA经过A（2，2），
∴2k＝2，解之得：k＝1，
∴直线OA的解析式为y＝x．
当抛物线L′的顶点过直线AB时，
∴，
解得n＝1，
当抛物线L′的顶点过直线OA时，
∴1＝，
∴n＝﹣，
∵抛物线L′的顶点落在△OAB内部（不含边界），
∴﹣＜n＜1，
∴n的取值范围是﹣＜n＜1且n≠0．
【点评】此题是二次函数的综合题，涉及到待定系数法求函数的解析式，二次函数的性质，一元二次方程根的判别式，平移的性质等知识，利用方程思想是解题的关键．
25．（14分）（2022•虹口区二模）如图，△ABC中，AB＝AC，BD是AC边上的中线，AO平分∠BAC且交BD于点O．
（1）求证：BO＝2OD；
（2）当△BCD是等腰三角形时，求∠CBD的余弦值；
（3）以O为圆心、OD长为半径的圆交线段BO于点E，连结CE．当△CDE与△AOB相似时，求AB：BC的值．

【考点】圆的综合题．
【专题】几何综合题；推理能力．
【分析】（1）延长AO交BC于点E，使EF＝OE，连接CF，首先利用SAS证明△BEO≌△CEF，得OB＝CF，∠DBE＝∠FCE，则BD∥CF，利用平行线分线段成比例定理得AO＝OF，可知OD是△ACF的中位线，从而证明结论；
（2）由△BCD是等腰三角形，分BC＝BD＝或CB＝CD两种情形，代入余弦公式可得答案；
（3）由OD＝OE可知DE＝OB，则△CDE与△AOB全等，可得CD＝，设OG＝x，与（1）同理可得AO＝2OG＝2x，利用勾股定理求出BG的长，从而就觉问题．
【解答】（1）证明：延长AO交BC于点E，使EF＝OE，连接CF，

∵AB＝AC，AO平分∠BAC，
∴E为BC的中点，
∴BE＝CE，
又∵∠BEO＝∠CEF，OE＝EF，
∴△BEO≌△CEF（SAS），
∴OB＝CF，∠DBE＝∠FCE，
∴BD∥CF，
∴，
∵BD是AC边上的中线，
∴D为AC的中点，
∴AD＝CD，
∴AO＝FO，
∴O为AF的中点，
∴OD是△ACF的中位线，
∴OD＝，
∴BO＝2OD；
（2）由（1）得：AE⊥BC，OB＝2OD，
∴cos∠CBD＝，
∵△BCD是等腰三角形，BD≠CD，
当BC＝BD＝时，
∴cos，
当CB＝CD时，设BE＝CE＝x，则CD＝AD＝2x，
由勾股定理得，AE＝x，
由（1）同理知，AO＝2OE，
∴OE＝，
∴BO＝x，
∴cos∠CBD＝＝，
综上：cos∠CBD＝或；
（3）如图，

∵△CDE∽△AOB，
∴∠AOD＝∠CDE，∠ABO＝∠CED，
∵OB＝2OD，OD＝OE，
∴ED＝2OD＝BO，
∴△CDE≌△AOB（ASA），
∴CD＝AO，
∵AC＝AB，D为AC的中点，
∴CD＝，
设OG＝x，与（1）同理可得AO＝2OG＝2x，
又∵AB＝2AO＝4x，
在Rt△ABG中，BG＝x，
∴BC＝2BG＝2x，
∴．
【点评】本题是圆的综合题，主要考查了圆的相关性质，等腰三角形的性质，全等三角形的判定与性质，三角函数，相似三角形的判定与性质，证明△CDE≌△AOB是解题的关键．

考点卡片
1．实数
（1）实数的定义：有理数和无理数统称实数．
（2）实数的分类：
实数： 或 实数：
2．实数的运算
（1）实数的运算和在有理数范围内一样，值得一提的是，实数既可以进行加、减、乘、除、乘方运算，又可以进行开方运算，其中正实数可以开平方．
（2）在进行实数运算时，和有理数运算一样，要从高级到低级，即先算乘方、开方，再算乘除，最后算加减，有括号的要先算括号里面的，同级运算要按照从左到右的顺序进行．
另外，有理数的运算律在实数范围内仍然适用．

【规律方法】实数运算的“三个关键”
1．运算法则：乘方和开方运算、幂的运算、指数（特别是负整数指数，0指数）运算、根式运算、特殊三角函数值的计算以及绝对值的化简等．
2．运算顺序：先乘方，再乘除，后加减，有括号的先算括号里面的，在同一级运算中要从左到右依次运算，无论何种运算，都要注意先定符号后运算．
3．运算律的使用：使用运算律可以简化运算，提高运算速度和准确度．
3．分数指数幂
分数指数幂．
4．幂的乘方与积的乘方
（1）幂的乘方法则：底数不变，指数相乘．
（am）n＝amn（m，n是正整数）
注意：①幂的乘方的底数指的是幂的底数；②性质中“指数相乘”指的是幂的指数与乘方的指数相乘，这里注意与同底数幂的乘法中“指数相加”的区别．
（2）积的乘方法则：把每一个因式分别乘方，再把所得的幂相乘．
（ab）n＝anbn（n是正整数）
注意：①因式是三个或三个以上积的乘方，法则仍适用；②运用时数字因数的乘方应根据乘方的意义，计算出最后的结果．
5．同底数幂的除法
同底数幂的除法法则：底数不变，指数相减．
am÷an＝am﹣n（a≠0，m，n是正整数，m＞n）
①底数a≠0，因为0不能做除数；
②单独的一个字母，其指数是1，而不是0；
③应用同底数幂除法的法则时，底数a可是单项式，也可以是多项式，但必须明确底数是什么，指数是什么．
6．二次根式的性质与化简
（1）二次根式的基本性质：
①≥0； a≥0（双重非负性）．
②（）2＝a （a≥0）（任何一个非负数都可以写成一个数的平方的形式）．
③＝|a|＝（算术平方根的意义）
（2）二次根式的化简：
①利用二次根式的基本性质进行化简；
②利用积的算术平方根的性质和商的算术平方根的性质进行化简．
＝•（a≥0，b≥0）＝（a≥0，b＞0）
（3）化简二次根式的步骤：①把被开方数分解因式；②利用积的算术平方根的性质，把被开方数中能开得尽方的因数（或因式）都开出来；③化简后的二次根式中的被开方数中每一个因数（或因式）的指数都小于根指数2．
【规律方法】二次根式的化简求值的常见题型及方法
1．常见题型：与分式的化简求值相结合．
2．解题方法：
（1）化简分式：按照分式的运算法则，将所给的分式进行化简．
（2）代入求值：将含有二次根式的值代入，求出结果．
（3）检验结果：所得结果为最简二次根式或整式．
7．根的判别式
利用一元二次方程根的判别式（△＝b2﹣4ac）判断方程的根的情况．
一元二次方程ax2+bx+c＝0（a≠0）的根与△＝b2﹣4ac有如下关系：
①当△＞0时，方程有两个不相等的两个实数根；
②当△＝0时，方程有两个相等的两个实数根；
③当△＜0时，方程无实数根．
上面的结论反过来也成立．
8．无理方程
（1）定义：方程中含有根式，且开方数是含有未知数的代数式，这样的方程叫做无理方程．
（2）有理方程和根式方程（无理方程）合称为代数方程．　　（3）解无理方程关键是要去掉根号，将其转化为整式方程．　　　　解无理方程的基本思想是把无理方程转化为有理方程来解，在变形时要注意根据方程的结构特征选择解题方法． 常用的方法有：乘方法，配方法，因式分解法，设辅助元素法，利用比例性质法等．　　（4）注意：用乘方法（即将方程两边各自乘同次方来消去方程中的根号）来解无理方程，往往会产生增根，应注意验根．
9．解一元一次不等式组
（1）一元一次不等式组的解集：几个一元一次不等式的解集的公共部分，叫做由它们所组成的不等式组的解集．
（2）解不等式组：求不等式组的解集的过程叫解不等式组．
（3）一元一次不等式组的解法：解一元一次不等式组时，一般先求出其中各不等式的解集，再求出这些解集的公共部分，利用数轴可以直观地表示不等式组的解集．
方法与步骤：①求不等式组中每个不等式的解集；②利用数轴求公共部分．
解集的规律：同大取大；同小取小；大小小大中间找；大大小小找不到．
10．坐标与图形性质
1、点到坐标轴的距离与这个点的坐标是有区别的，表现在两个方面：①到x轴的距离与纵坐标有关，到y轴的距离与横坐标有关；②距离都是非负数，而坐标可以是负数，在由距离求坐标时，需要加上恰当的符号．
2、有图形中一些点的坐标求面积时，过已知点向坐标轴作垂线，然后求出相关的线段长，是解决这类问题的基本方法和规律．
3、若坐标系内的四边形是非规则四边形，通常用平行于坐标轴的辅助线用“割、补”法去解决问题．
11．一次函数综合题
（1）一次函数与几何图形的面积问题
首先要根据题意画出草图，结合图形分析其中的几何图形，再求出面积．
（2）一次函数的优化问题
通常一次函数的最值问题首先由不等式找到x的取值范围，进而利用一次函数的增减性在前面范围内的前提下求出最值．
（3）用函数图象解决实际问题
从已知函数图象中获取信息，求出函数值、函数表达式，并解答相应的问题．
12．反比例函数图象上点的坐标特征
反比例函数y＝k/x（k为常数，k≠0）的图象是双曲线，
①图象上的点（x，y）的横纵坐标的积是定值k，即xy＝k；
②双曲线是关于原点对称的，两个分支上的点也是关于原点对称；
③在y＝k/x图象中任取一点，过这一个点向x轴和y轴分别作垂线，与坐标轴围成的矩形的面积是定值|k|．
13．反比例函数综合题
（1）应用类综合题
能够从实际的问题中抽象出反比例函数这一数学模型，是解决实际问题的关键一步，培养了学生的建模能力和从实际问题向数学问题转化的能力．在解决这些问题的时候我们还用到了反比例函数的图象和性质、待定系数法和其他学科中的知识．
（2）数形结合类综合题
利用图象解决问题，从图上获取有用的信息，是解题的关键所在．已知点在图象上，那么点一定满足这个函数解析式，反过来如果这点满足函数的解析式，那么这个点也一定在函数图象上．还能利用图象直接比较函数值或是自变量的大小．将数形结合在一起，是分析解决问题的一种好方法．
14．二次函数图象与几何变换
由于抛物线平移后的形状不变，故a不变，所以求平移后的抛物线解析式通常可利用两种方法：一是求出原抛物线上任意两点平移后的坐标，利用待定系数法求出解析式；二是只考虑平移后的顶点坐标，即可求出解析式．
15．二次函数综合题
（1）二次函数图象与其他函数图象相结合问题
解决此类问题时，先根据给定的函数或函数图象判断出系数的符号，然后判断新的函数关系式中系数的符号，再根据系数与图象的位置关系判断出图象特征，则符合所有特征的图象即为正确选项．
（2）二次函数与方程、几何知识的综合应用
将函数知识与方程、几何知识有机地结合在一起．这类试题一般难度较大．解这类问题关键是善于将函数问题转化为方程问题，善于利用几何图形的有关性质、定理和二次函数的知识，并注意挖掘题目中的一些隐含条件．
（3）二次函数在实际生活中的应用题
从实际问题中分析变量之间的关系，建立二次函数模型．关键在于观察、分析、创建，建立直角坐标系下的二次函数图象，然后数形结合解决问题，需要我们注意的是自变量及函数的取值范围要使实际问题有意义．
16．平行线之间的距离
（1）平行线之间的距离
从一条平行线上的任意一点到另一条直线作垂线，垂线段的长度叫两条平行线之间的距离．
（2）平行线间的距离处处相等．
17．全等三角形的判定与性质
（1）全等三角形的判定是结合全等三角形的性质证明线段和角相等的重要工具．在判定三角形全等时，关键是选择恰当的判定条件．
（2）在应用全等三角形的判定时，要注意三角形间的公共边和公共角，必要时添加适当辅助线构造三角形．
18．角平分线的性质
角平分线的性质：角的平分线上的点到角的两边的距离相等．
注意：①这里的距离是指点到角的两边垂线段的长；②该性质可以独立作为证明两条线段相等的依据，有时不必证明全等；③使用该结论的前提条件是图中有角平分线，有垂直角平分线的性质语言：如图，∵C在∠AOB的平分线上，CD⊥OA，CE⊥OB∴CD＝CE

19．等腰三角形的判定与性质
1、等腰三角形提供了好多相等的线段和相等的角，判定三角形是等腰三角形是证明线段相等、角相等的重要手段．
2、在等腰三角形有关问题中，会遇到一些添加辅助线的问题，其顶角平分线、底边上的高、底边上的中线是常见的辅助线，虽然“三线合一”，但添加辅助线时，有时作哪条线都可以，有时不同的做法引起解决问题的复杂程度不同，需要具体问题具体分析．
3、等腰三角形性质问题都可以利用三角形全等来解决，但要注意纠正不顾条件，一概依赖全等三角形的思维定势，凡可以直接利用等腰三角形的问题，应当优先选择简便方法来解决．
20．等边三角形的判定与性质
（1）等边三角形是一个非常特殊的几何图形，它的角的特殊性给有关角的计算奠定了基础，它的边角性质为证明线段、角相等提供了便利条件．同是等边三角形又是特殊的等腰三角形，同样具备三线合一的性质，解题时要善于挖掘图形中的隐含条件广泛应用．
（2）等边三角形的特性如：三边相等、有三条对称轴、一边上的高可以把等边三角形分成含有30°角的直角三角形、连接三边中点可以把等边三角形分成四个全等的小等边三角形等．
（3）等边三角形判定最复杂，在应用时要抓住已知条件的特点，选取恰当的判定方法，一般地，若从一般三角形出发可以通过三条边相等判定、通过三个角相等判定；若从等腰三角形出发，则想法获取一个60°的角判定．
21．直角三角形斜边上的中线
（1）性质：在直角三角形中，斜边上的中线等于斜边的一半．（即直角三角形的外心位于斜边的中点）
（2）定理：一个三角形，如果一边上的中线等于这条边的一半，那么这个三角形是以这条边为斜边的直角三角形．
该定理可以用来判定直角三角形．
22．平行四边形的性质
（1）平行四边形的概念：有两组对边分别平行的四边形叫做平行四边形．
（2）平行四边形的性质：
①边：平行四边形的对边相等．
②角：平行四边形的对角相等．
③对角线：平行四边形的对角线互相平分．
（3）平行线间的距离处处相等．
（4）平行四边形的面积：
①平行四边形的面积等于它的底和这个底上的高的积．
②同底（等底）同高（等高）的平行四边形面积相等．
23．菱形的判定与性质
（1）依次连接四边形各边中点所得的四边形称为中点四边形．不管原四边形的形状怎样改变，中点四边形的形状始终是平行四边形．
（2）菱形的中点四边形是矩形（对角线互相垂直的四边形的中点四边形定为矩形，对角线相等的四边形的中点四边形定为菱形．）　　（3）菱形是在平行四边形的前提下定义的，首先它是平行四边形，但它是特殊的平行四边形，特殊之处就是“有一组邻边相等”，因而就增加了一些特殊的性质和不同于平行四边形的判定方法．
（4）正方形是特殊的菱形，菱形不一定是正方形，所以，在同一平面上四边相等的图形不只是正方形．
24．圆周角定理
（1）圆周角的定义：顶点在圆上，并且两边都与圆相交的角叫做圆周角．
注意：圆周角必须满足两个条件：①顶点在圆上．②角的两条边都与圆相交，二者缺一不可．
（2）圆周角定理：在同圆或等圆中，同弧或等弧所对的圆周角相等，都等于这条弧所对的圆心角的一半．
推论：半圆（或直径）所对的圆周角是直角，90°的圆周角所对的弦是直径．
（3）在解圆的有关问题时，常常需要添加辅助线，构成直径所对的圆周角，这种基本技能技巧一定要掌握．
（4）注意：①圆周角和圆心角的转化可通过作圆的半径构造等腰三角形．利用等腰三角形的顶点和底角的关系进行转化．②圆周角和圆周角的转化可利用其“桥梁”﹣﹣﹣圆心角转化．③定理成立的条件是“同一条弧所对的”两种角，在运用定理时不要忽略了这个条件，把不同弧所对的圆周角与圆心角错当成同一条弧所对的圆周角和圆心角．
25．三角形的外接圆与外心
（1）外接圆：经过三角形的三个顶点的圆，叫做三角形的外接圆．
（2）外心：三角形外接圆的圆心是三角形三条边垂直平分线的交点，叫做三角形的外心．
（3）概念说明：
①“接”是说明三角形的顶点在圆上，或者经过三角形的三个顶点．
②锐角三角形的外心在三角形的内部；直角三角形的外心为直角三角形斜边的中点；钝角三角形的外心在三角形的外部．
③找一个三角形的外心，就是找一个三角形的三条边的垂直平分线的交点，三角形的外接圆只有一个，而一个圆的内接三角形却有无数个．
26．圆与圆的位置关系
（1）圆与圆的五种位置关系：①外离；②外切；③相交；④内切；⑤内含．
如果两个圆没有公共点，叫两圆相离．当每个圆上的点在另一个圆的外部时，叫两个圆外离，当一个圆上的点都在另一圆的内部时，叫两个圆内含，两圆同心是内含的一个特例；如果两个圆有一个公共点，叫两个圆相切，相切分为内切、外切两种；如果两个圆有两个公共点叫两个圆相交．
（2）圆和圆的位置与两圆的圆心距、半径的数量之间的关系：
①两圆外离⇔d＞R+r；
②两圆外切⇔d＝R+r；
③两圆相交⇔R﹣r＜d＜R+r（R≥r）；
④两圆内切⇔d＝R﹣r（R＞r）；
⑤两圆内含⇔d＜R﹣r（R＞r）．
27．圆的综合题
圆的综合题．
28．命题与定理
1、判断一件事情的语句，叫做命题．许多命题都是由题设和结论两部分组成，题设是已知事项，结论是由已知事项推出的事项，一个命题可以写成“如果…那么…”形式．
2、有些命题的正确性是用推理证实的，这样的真命题叫做定理．
3、定理是真命题，但真命题不一定是定理．
4、命题写成“如果…，那么…”的形式，这时，“如果”后面接的部分是题设，“那么”后面解的部分是结论．
5、命题的“真”“假”是就命题的内容而言．任何一个命题非真即假．要说明一个命题的正确性，一般需要推理、论证，而判断一个命题是假命题，只需举出一个反例即可．
29．相似三角形的判定与性质
（1）相似三角形相似多边形的特殊情形，它沿袭相似多边形的定义，从对应边的比相等和对应角相等两方面下定义；反过来，两个三角形相似也有对应角相等，对应边的比相等．
（2）三角形相似的判定一直是中考考查的热点之一，在判定两个三角形相似时，应注意利用图形中已有的公共角、公共边等隐含条件，以充分发挥基本图形的作用，寻找相似三角形的一般方法是通过作平行线构造相似三角形；或依据基本图形对图形进行分解、组合；或作辅助线构造相似三角形，判定三角形相似的方法有事可单独使用，有时需要综合运用，无论是单独使用还是综合运用，都要具备应有的条件方可．
30．解直角三角形
（1）解直角三角形的定义
在直角三角形中，由已知元素求未知元素的过程就是解直角三角形．
（2）解直角三角形要用到的关系
①锐角、直角之间的关系：∠A+∠B＝90°；
②三边之间的关系：a2+b2＝c2；
③边角之间的关系：
sinA＝＝，cosA＝＝，tanA＝＝．
（a，b，c分别是∠A、∠B、∠C的对边）
31．算术平均数
（1）平均数是指在一组数据中所有数据之和再除以数据的个数．它是反映数据集中趋势的一项指标．
（2）算术平均数：对于n个数x1，x2，…，xn，则＝（x1+x2+…+xn）就叫做这n个数的算术平均数．
（3）算术平均数是加权平均数的一种特殊情况，加权平均数包含算术平均数，当加权平均数中的权相等时，就是算术平均数．
32．中位数
（1）中位数：
将一组数据按照从小到大（或从大到小）的顺序排列，如果数据的个数是奇数，则处于中间位置的数就是这组数据的中位数．
如果这组数据的个数是偶数，则中间两个数据的平均数就是这组数据的中位数．
（2）中位数代表了这组数据值大小的“中点”，不易受极端值影响，但不能充分利用所有数据的信息．
（3）中位数仅与数据的排列位置有关，某些数据的移动对中位数没有影响，中位数可能出现在所给数据中也可能不在所给的数据中出现，当一组数据中的个别数据变动较大时，可用中位数描述其趋势．
33．概率公式
（1）随机事件A的概率P（A）＝．
（2）P（必然事件）＝1．
（3）P（不可能事件）＝0．
34．二元二次方程组
二元二次方程组．
二元二次方程组求解的基本思想是“转化”，即通过“降次”、“消元”，将方程组转化为一元二次方程或二元一次方程组．由于这类方程组形式庞杂，解题方法灵活多样，具有较强的技巧性，因而在解这类方程组时，要认真分析题中各个方程的结构特征，选择较恰当的方法．
一般解法：
二元二次方程组的一般解法是代入法，在（1）中现将y作常量，把（1）看作关于x的一元二次方程，用y表示x后，代入（2）中，得到关于y的方程．因为在解（1）的结果中，可能得到y是x的双值函数，所以可能得到两个方程，也可能得到无理方程，无理方程有理化后，最高可能得到四次方程，但仍有实数解．将（3）代入（2）中，解出x，再根据（3）解出y．
二元二次方程组最多可能有四组解．用代入法解二元二次方程组计算量大，计算困难（尤其是解无理方程和一元四次方程），因此必须寻找更简便的方法．