2022年天津市中考数学终极押题密卷(word版含答案)

这是一份2022年天津市中考数学终极押题密卷(word版含答案)，共41页。
2022年天津中考数学终极押题密卷
一．选择题（共12小题，满分36分，每小题3分）
1．（3分）（2022•南开区一模）（﹣30）÷5的结果等于（　　）
A．﹣25 B．﹣35 C．6 D．﹣6
2．（3分）（2022•河西区一模）2sin60°的值等于（　　）
A．1 B．2 C．3 D．233
3．（3分）（2017•黄石）地球绕太阳公转的速度约为110000km/h，则110000用科学记数法可表示为（　　）
A．0.11×106 B．1.1×105 C．0.11×105 D．1.1×106
4．（3分）（2021•河北区一模）下列数学符号中，不是中心对称图形的是（　　）
A． B． C． D．
5．（3分）（2022•南开区一模）如图，由8个大小相同的正方体搭成的几何体，从正面看到的形状图是（　　）

A． B．
C． D．
6．（3分）（2022•河西区一模）估计15的值在（　　）
A．2和3之间 B．3和4之间 C．4和5之间 D．5和6之间
7．（3分）（2021•东丽区二模）计算3xx-1-3x-1的结果是（　　）
A．3 B．﹣3 C．3x-3x-1 D．xx-1
8．（3分）（2021•河北区一模）如图，在平面直角坐标系中，菱形ABCD的顶点A在y轴上，已知B（﹣3，0）、C（2，0），则点D的坐标为（　　）

A．（4，5） B．（5，4） C．（5，3） D．（4，3）
9．（3分）（2022•南开区一模）如图，将5个大小相同的正方形置于直角坐标系中，若顶点M，N的坐标分别为（3，9），（12，9），则顶点P的坐标为（　　）

A．（13，7） B．（14，6） C．（15，5） D．（15，3）
10．（3分）（2022•河西区一模）若点A（﹣3，y1），B（﹣1，y2），C（2，y3）在反比例函数y=12x的图象上，则y1，y2，y3的大小关系是（　　）
A．y1＜y2＜y3 B．y3＜y2＜y1 C．y2＜y3＜y1 D．y2＜y1＜y3
11．（3分）（2020•海南）如图，在Rt△ABC中，∠C＝90°，∠ABC＝30°，AC＝1cm，将Rt△ABC绕点A逆时针旋转得到Rt△AB'C'，使点C'落在AB边上，连接BB'，则BB'的长度是（　　）

A．1cm B．2cm C．3cm D．23cm
12．（3分）（2021•河北区一模）已知抛物线y＝ax2+bx+c（a，b，c为常数，且a≠0）的图象如图所示，有下列结论：
①b＞a；
②若﹣1＜m＜n＜1，则m+n＜-ba；
③3|a|+|c|＜2|b|．
其中，正确结论的个数是（　　）

A．0 B．1 C．2 D．3
二．填空题（共6小题，满分18分，每小题3分）
13．（3分）（2022•南开区一模）计算（﹣2a）2﹣2a2，结果是　 　．
14．（3分）（2022•河西区一模）计算（a+b）（c+d）的结果等于　 　．
15．（3分）（2021•东丽区二模）不透明袋子中装有5个红球，3个绿球，这些球除颜色外无其他差别．从袋子中随机取出1个球，则它是红球的概率是　 　．
16．（3分）（2021•河北区一模）将直线y＝﹣2x先向右平移1个单位，再向上平移2个单位得到的直线解析式是　 　．
17．（3分）（2022•南开区一模）如图，在边长为4的正方形ABCD中，点E，F分别是边AB、BC的中点，连接EC，DF，点G、H分别是EC、DF的中点，连接GH，则GH的长度为 　 　．

18．（3分）（2022•河西区一模）如图，在每个小正方形的边长为1的网格中，△ABC的顶点B，C均落在格点上，点A在网格线上，且AC=52．以AB为直径的半圆与边BC相交于点D．
（Ⅰ）求出该圆的半径 　 　；
（Ⅱ）在圆上有一点P，使得BP平分∠ABC，请用无刻度的直尺在如图所示的网格中画出点P，并简要说明点P的位置是如何找到的（不要求证明） 　 　．

三．解答题（共7小题，满分66分）
19．（8分）（2021•东丽区二模）解不等式组6x-3≤4x+5①3x+1≥2x②．
请结合题意填空，完成本题的解答．
（Ⅰ）解不等式①，得　 　；
（Ⅱ）解不等式②，得　 　；
（Ⅲ）把不等式①和②的解集在数轴上分别表示出来；

（Ⅳ）原不等式组的解集为　 　．
20．（8分）（2022•南开区一模）某校组织学生参加“希望工程”捐书活动．为了解学生所捐书本数情况，随机调查了该校的部分学生，根据调查结果，绘制了统计图①和图②．请根据相关信息，解答下列问题：
（Ⅰ）本次接受调查的学生人数为　 　，图①中m的值为　 　；
（Ⅱ）求统计的这组学生所捐书本数据的平均数、众数和中位数；
（Ⅲ）根据统计的这组学生所捐书本数的样本数据，若该校共有1200名学生，估计该校所捐书本数不低于3本的学生人数．

21．（10分）（2021•天津）已知△ABC内接于⊙O，AB＝AC，∠BAC＝42°，点D是⊙O上一点．
（Ⅰ）如图①，若BD为⊙O的直径，连接CD，求∠DBC和∠ACD的大小；
（Ⅱ）如图②，若CD∥BA，连接AD，过点D作⊙O的切线，与OC的延长线交于点E，求∠E的大小．

22．（10分）（2022•河西区一模）如图，从建筑物AB的顶部A点，测得建筑物CD顶部D点的俯角α为45°，底部C点的俯角β为60°，且两座建筑物的水平距离BC为40m．求这两座建筑物AB，CD的高度．（结果保留小数点后一位，2≈1.414，3≈1.732．）

23．（10分）（2021•东丽区二模）小明的父亲在批发市场按每千克1.5元批发了若干千克的西瓜进城出售，为了方便，他带了一些零钱备用．他先按市场价售出一些后，又降价出售．售出西瓜千克数x与他手中持有的钱数y元（含备用零钱）的关系如图所示，请根据相关信息，解答下列问题：
（Ⅰ）填表：
售出西瓜x/kg
0
10
20
30
40
80
手中持有的钱数y/元
50
　 　
120
155
190
　 　
（Ⅱ）填空：
①降价前他每千克西瓜出售的价格是 　 　元．
②随后他按每千克下降1元将剩余的西瓜售完，这时他手中的钱（含备用的钱）是450元，他一共批发了 　 　千克的西瓜．
（Ⅲ）当0≤x≤80时求y与x的函数关系式．

24．（10分）（2021•河北区一模）将两个等腰直角三角形纸片ABO和CDO放置在平面直角坐标系中，点O（0，0），点A（6，0），点B（0，6），点C（2，0），点D（0，2）．将△COD绕点O顺时针旋转，得△C'OD'，点C旋转后的对应点为C'，点D旋转后的对应点为D'，记旋转角为α．
（Ⅰ）如图①，若α＝45°时，求点D'的坐标；
（Ⅱ）如图②，若α＝60°时，连接BD'，求BD'的长；
（Ⅲ）连接BD'，AC'，设BD'，AC'所在的直线相交于点P，求△ABP面积的最小值（直接写出答案）．

25．（10分）（2022•南开区一模）已知抛物线y＝x2+bx+c（b，c为常数，b＜0）与x轴交于点A（1，0），B（点A在点B的左侧），与y轴正半轴交于点C．
（Ⅰ）当b＝﹣2时，求抛物线的顶点坐标；
（Ⅱ）点P是射线OC上的一个动点．
①点D（﹣b，y0）是抛物线上的点，当OP＝3，AD＝AP时，求b的值；
②若点P在线段OC上，当b的值为﹣4时，求CP+2AP的最小值．

2022年天津中考数学终极押题密卷
参考答案与试题解析
一．选择题（共12小题，满分36分，每小题3分）
1．（3分）（2022•南开区一模）（﹣30）÷5的结果等于（　　）
A．﹣25 B．﹣35 C．6 D．﹣6
【考点】有理数的除法．
【专题】计算题；实数；运算能力．
【分析】根据有理数运算方法计算即可．
【解答】解：（﹣30）÷5＝﹣6，
故选：D．
【点评】本题主要考查有理数的除法，熟练掌握有理数除法的计算方法是解题的关键．
2．（3分）（2022•河西区一模）2sin60°的值等于（　　）
A．1 B．2 C．3 D．233
【考点】特殊角的三角函数值．
【分析】根据sin60°=32解答即可．
【解答】解：2sin60°＝2×32=3．
故选：C．
【点评】本题考查特殊角三角函数值的计算，特殊角三角函数值计算在中考中经常出现，要熟练掌握．
3．（3分）（2017•黄石）地球绕太阳公转的速度约为110000km/h，则110000用科学记数法可表示为（　　）
A．0.11×106 B．1.1×105 C．0.11×105 D．1.1×106
【考点】科学记数法—表示较大的数．
【分析】科学记数法的表示形式为a×10n的形式，其中1≤|a|＜10，n为整数．确定n的值时，要看把原数变成a时，小数点移动了多少位，n的绝对值与小数点移动的位数相同．当原数绝对值≥10时，n是正数；当原数的绝对值＜1时，n是负数．
【解答】解：将110000用科学记数法表示为：1.1×105．
故选：B．
【点评】此题考查科学记数法的表示方法．科学记数法的表示形式为a×10n的形式，其中1≤|a|＜10，n为整数，表示时关键要正确确定a的值以及n的值．
4．（3分）（2021•河北区一模）下列数学符号中，不是中心对称图形的是（　　）
A． B． C． D．
【考点】中心对称图形．
【专题】平移、旋转与对称；几何直观．
【分析】利用中心对称图形的定义可得答案．
【解答】解：A、是中心对称图形，故此选项不合题意；
B、是中心对称图形，故此选项不合题意；
C、是中心对称图形，故此选项不合题意；
D、不是中心对称图形，故此选项符合题意；
故选：D．
【点评】此题主要考查了中心对称图形，关键是掌握把一个图形绕某一点旋转180°，如果旋转后的图形能够与原来的图形重合，那么这个图形就叫做中心对称图形，这个点叫做对称中心．
5．（3分）（2022•南开区一模）如图，由8个大小相同的正方体搭成的几何体，从正面看到的形状图是（　　）

A． B．
C． D．
【考点】简单组合体的三视图．
【专题】投影与视图；空间观念．
【分析】根据从正面看得到的图形是主视图，可得答案．
【解答】解：从正面看，底层是三个小正方形，上层左边是一个小正方形，
故选：B．
【点评】本题考查了简单几何体的三视图，从正面看得到的图形是主视图．
6．（3分）（2022•河西区一模）估计15的值在（　　）
A．2和3之间 B．3和4之间 C．4和5之间 D．5和6之间
【考点】估算无理数的大小．
【专题】实数；运算能力．
【分析】根据平方运算，先估算出15的近似值，即可解答．
【解答】解：∵9＜15＜16，
∴3＜15＜4，
故选：B．
【点评】本题考查了无理数的估算，熟练掌握平方数是解题的关键．
7．（3分）（2021•东丽区二模）计算3xx-1-3x-1的结果是（　　）
A．3 B．﹣3 C．3x-3x-1 D．xx-1
【考点】分式的加减法．
【专题】分式；运算能力．
【分析】根据同分母的分式相加减的法则进行计算，对分子提取公因式3，然后约分即可．
【解答】解：原式=3x-3x-1
=3(x-1)x-1
＝3．
故选：A．
【点评】本题考查了分式的加减法，提取公因式是解题的关键．
8．（3分）（2021•河北区一模）如图，在平面直角坐标系中，菱形ABCD的顶点A在y轴上，已知B（﹣3，0）、C（2，0），则点D的坐标为（　　）

A．（4，5） B．（5，4） C．（5，3） D．（4，3）
【考点】菱形的性质；坐标与图形性质．
【专题】等腰三角形与直角三角形；矩形 菱形 正方形；推理能力．
【分析】首先根据菱形的性质和点的坐标求出AD＝AB＝BC＝5，再利用勾股定理求出OA的长度，进而得到点D的坐标．
【解答】解：∵菱形ABCD的顶点A在y轴上，B（﹣3，0），C（2，0），
∴AB＝AD＝BC，OB＝3，OC＝2，
∴AB＝AD＝BC＝OB+OC＝5，
∴AD＝AB＝CD＝5，
∴OA=AB2-OB2=52-32=4，
∴点D的坐标为（5，4）．
故选：B．
【点评】此题主要考查了菱形的性质、勾股定理以及坐标与图形性质，解题的关键是利用勾股定理求出OA的长度．
9．（3分）（2022•南开区一模）如图，将5个大小相同的正方形置于直角坐标系中，若顶点M，N的坐标分别为（3，9），（12，9），则顶点P的坐标为（　　）

A．（13，7） B．（14，6） C．（15，5） D．（15，3）
【考点】正方形的性质；坐标与图形性质．
【专题】矩形 菱形 正方形；推理能力．
【分析】由图形可得MN∥x轴，MN＝9，BN∥y轴，可求正方形的边长，即可求解．
【解答】解：如图：

∵顶点M、N的坐标分别为（3，9）、（12，9），
∴MN∥x轴，MN＝9，BN∥y轴，
∴正方形的边长为3，
∴BN＝6，
∴点B（12，3），
∵PB∥MN，
∴PB∥x轴，
∴点P（15，3）
故选：D．
【点评】本题考查了正方形的性质，坐标与图形性质，读懂图形的意思，是本题的关键．
10．（3分）（2022•河西区一模）若点A（﹣3，y1），B（﹣1，y2），C（2，y3）在反比例函数y=12x的图象上，则y1，y2，y3的大小关系是（　　）
A．y1＜y2＜y3 B．y3＜y2＜y1 C．y2＜y3＜y1 D．y2＜y1＜y3
【考点】反比例函数图象上点的坐标特征．
【专题】反比例函数及其应用；运算能力．
【分析】分别把A、B、C各点坐标代入反比例函数y=12x求出y1、y2、y3的值，再比较大小即可．
【解答】解：∵点A（﹣3，y1），B（﹣1，y2），C（2，y3）在反比例函数y=12x的图象上，
∴y1=12-3=-4，y2=12-1=-12，y3=122=6，
∴y2＜y1＜y3，
故选：D．
【点评】本题考查了反比例函数图象上点的坐标特征，图象上点的坐标满足函数解析式．
11．（3分）（2020•海南）如图，在Rt△ABC中，∠C＝90°，∠ABC＝30°，AC＝1cm，将Rt△ABC绕点A逆时针旋转得到Rt△AB'C'，使点C'落在AB边上，连接BB'，则BB'的长度是（　　）

A．1cm B．2cm C．3cm D．23cm
【考点】旋转的性质；含30度角的直角三角形．
【专题】数学建模思想；平移、旋转与对称；推理能力．
【分析】由直角三角形的性质得到AB＝2AC＝2cm，然后根据旋转的性质和线段垂直平分线的性质得到AB′＝BB′．
【解答】解：∵在Rt△ABC中，∠C＝90°，∠ABC＝30°，AC＝1cm，
∴AC=12AB，则AB＝2AC＝2cm．
又由旋转的性质知，AC′＝AC=12AB，B′C′⊥AB，
∴B′C′是△ABB′的中垂线，
∴AB′＝BB′．
根据旋转的性质知AB＝AB′＝BB′＝2cm．
故选：B．
【点评】本题主要考查了旋转的性质和含30度角的直角三角形，此题实际上是利用直角三角形的性质和旋转的性质将所求线段BB'与已知线段AC的长度联系起来求解的．
12．（3分）（2021•河北区一模）已知抛物线y＝ax2+bx+c（a，b，c为常数，且a≠0）的图象如图所示，有下列结论：
①b＞a；
②若﹣1＜m＜n＜1，则m+n＜-ba；
③3|a|+|c|＜2|b|．
其中，正确结论的个数是（　　）

A．0 B．1 C．2 D．3
【考点】二次函数图象与系数的关系．
【专题】二次函数图象及其性质；运算能力；推理能力．
【分析】根据抛物线的开口方向和对称轴即可判断①；根据根与系数的关系即可判断②；根据对称轴和当x＝1时，函数值的符号即可判断③．
【解答】解：∵抛物线开口向下，
∴a＜0，
∵-b2a＞0，
∴b＞0，
∴b＞a，故①正确；
设二次函数与x轴的两个交点的横坐标是x1和x2，x1＜x2，则x1+x2＞m+n，
∵x1+x2=-ba，
∴m+n＜-ba，故②正确；
∵-b2a＞1，a＜0，
∴b＞﹣2a，
∴2a+b＞0，
∵x＝1时，y＝a+b+c＞0，
∴3a+2b+c＞0，
∴﹣3a﹣c＜2b，
∵a＜0，c＜0，b＞0，
∴﹣3a＝|3a|，﹣c＝|c|，2b＝|2b|，
∴3|a|+|c|＜2|b|，故③正确，
故选：D．
【点评】本题考查了二次函数的性质，一元二次方程根与系数的关系，二次函数y＝ax2+bx+c（a≠0），①二次项系数a决定抛物线的开口方向和大小．当a＞0时，抛物线向上开口；当a＜0时，抛物线向下开口．②一次项系数b和二次项系数a共同决定对称轴的位置． 当a与b同号时（即ab＞0），对称轴在y轴左； 当a与b异号时（即ab＜0），对称轴在y轴右．（简称：左同右异）③．常数项c决定抛物线与y轴交点． 抛物线与y轴交于（0，c）．
二．填空题（共6小题，满分18分，每小题3分）
13．（3分）（2022•南开区一模）计算（﹣2a）2﹣2a2，结果是　2a2　．
【考点】幂的乘方与积的乘方．
【专题】整式；运算能力．
【分析】积的乘方法则：把每一个因式分别乘方，再把所得的幂相乘，据此化简后，再合并同类项即可．
【解答】解：（﹣2a）2﹣2a2＝4a2﹣2a2＝2a2，
故答案为：2a2．
【点评】本题主要考查了积的乘方，熟记幂的运算法则是解答本题的关键．
14．（3分）（2022•河西区一模）计算（a+b）（c+d）的结果等于　ac+ad+bc+bd　．
【考点】多项式乘多项式．
【专题】计算题；整式；运算能力．
【分析】按多项式乘以多项式法则运算即可．
【解答】解：（a+b）（c+d）
＝ac+ad+bc+bd．
故答案为：ac+ad+bc+bd．
【点评】本题考查了多项式乘以多项式，掌握多项式乘以多项式法则是解决本题的关键．
15．（3分）（2021•东丽区二模）不透明袋子中装有5个红球，3个绿球，这些球除颜色外无其他差别．从袋子中随机取出1个球，则它是红球的概率是　58　．
【考点】概率公式．
【专题】概率及其应用；应用意识．
【分析】用红球的个数除以总球的个数即可得出答案．
【解答】解：不透明袋子中装有8个球，其中有5个红球、3个绿球，
∴从袋子中随机取出1个球，则它是红球的概率是58；
故答案为：58；
【点评】本题考查了概率公式．用到的知识点为：概率＝所求情况数与总情况数之比．
16．（3分）（2021•河北区一模）将直线y＝﹣2x先向右平移1个单位，再向上平移2个单位得到的直线解析式是　y＝﹣2x+4　．
【考点】一次函数图象与几何变换．
【专题】一次函数及其应用；应用意识．
【分析】根据平移的性质“左加右减，上加下减”，即可找出平移后的直线解析式，此题得解．
【解答】解：将直线y＝﹣2x先向右平移1个单位，再向上平移2个单位得到y＝﹣2（x﹣1）+2，即y＝﹣2x+4，
故答案为y＝﹣2x+4．
【点评】本题考查了一次函数图象与几何变换，牢记平移的规则“左加右减，上加下减”是解题的关键．
17．（3分）（2022•南开区一模）如图，在边长为4的正方形ABCD中，点E，F分别是边AB、BC的中点，连接EC，DF，点G、H分别是EC、DF的中点，连接GH，则GH的长度为 　2　．

【考点】正方形的性质；全等三角形的判定与性质．
【专题】推理填空题；矩形 菱形 正方形；推理能力．
【分析】连接CH并延长交AD于P，连接PE，根据正方形的性质得到∠A＝90°，AD∥BC，AB＝AD＝BC＝4，根据全等三角形的性质得到PD＝CF＝22，根据勾股定理和三角形的中位线定理即可得到结论．
【解答】解：连接CH并延长交AD于P，连接PE，

∵四边形ABCD是正方形，
∴∠A＝90°，AD∥BC，AB＝AD＝BC＝4，
∵E，F分别是边AB，BC的中点，
∴AE＝CF=12×4＝2，
∵AD∥BC，
∴∠DPH＝∠FCH，
在△PDH和△CFH中，
∠DPH=∠FCH∠DHP=∠FHCPH=FH，
∴△PDH≌△CFH（AAS），
∴PD＝CF＝2，
∴AP＝AD﹣PD＝2，
∴PE=AP2+AE2=22，
∵点G，H分别是EC，FD的中点，
∴GH=12EP=2．
故答案为：2．
【点评】本题考查了正方形的性质，全等三角形的判定和性质，解题的关键是掌握正方形的性质，全等三角形的判定和性质．
18．（3分）（2022•河西区一模）如图，在每个小正方形的边长为1的网格中，△ABC的顶点B，C均落在格点上，点A在网格线上，且AC=52．以AB为直径的半圆与边BC相交于点D．
（Ⅰ）求出该圆的半径 　654　；
（Ⅱ）在圆上有一点P，使得BP平分∠ABC，请用无刻度的直尺在如图所示的网格中画出点P，并简要说明点P的位置是如何找到的（不要求证明） 　取AB与格线的交点O，取格点E，F，连接EF交格线于点G，连接OG交半圆于点P，则点P即为所求　．

【考点】作图—复杂作图；角平分线的性质；圆周角定理．
【专题】作图题；几何直观．
【分析】（Ⅰ）利用勾股定理求出AB即可；
（Ⅱ）取AB与格线的交点O，取格点E，F，连接EF交格线于点G，连接OG交半圆于点P，则点P即为所求
【解答】解：（Ⅰ）如图，∵AB=(12)2+42=652，
∴该圆的半径为654，
故答案为：654．
（Ⅱ）如图，点P即为所求．

【点评】本题考查作图﹣复杂作图，角平分线的性质，勾股定理，圆周角定理等知识，解题的关键是学会利用数形结合的思想解决问题，属于中考常考题型．
三．解答题（共7小题，满分66分）
19．（8分）（2021•东丽区二模）解不等式组6x-3≤4x+5①3x+1≥2x②．
请结合题意填空，完成本题的解答．
（Ⅰ）解不等式①，得　x≤4　；
（Ⅱ）解不等式②，得　x≥﹣1　；
（Ⅲ）把不等式①和②的解集在数轴上分别表示出来；

（Ⅳ）原不等式组的解集为　﹣1≤x≤4　．
【考点】解一元一次不等式组；在数轴上表示不等式的解集．
【专题】一元一次不等式（组）及应用；运算能力．
【分析】根据解一元一次不等式组的方法，可以解答本题．
【解答】解：6x-3≤4x+5①3x+1≥2x②．
（Ⅰ）解不等式①，得x≤4；
（Ⅱ）解不等式②，得x≥﹣1；
（Ⅲ）把不等式①和②的解集在数轴上分别表示出来；

（Ⅳ）原不等式组的解集为﹣1≤x≤4．
故答案为：x≤4；x≥﹣1；﹣1≤x≤4．
【点评】本题考查解一元一次不等式组、在数轴上表示不等式组的解集，解答本题的关键是明确解一元一次不等式组的方法．
20．（8分）（2022•南开区一模）某校组织学生参加“希望工程”捐书活动．为了解学生所捐书本数情况，随机调查了该校的部分学生，根据调查结果，绘制了统计图①和图②．请根据相关信息，解答下列问题：
（Ⅰ）本次接受调查的学生人数为　50　，图①中m的值为　16　；
（Ⅱ）求统计的这组学生所捐书本数据的平均数、众数和中位数；
（Ⅲ）根据统计的这组学生所捐书本数的样本数据，若该校共有1200名学生，估计该校所捐书本数不低于3本的学生人数．

【考点】条形统计图；加权平均数；中位数；众数；用样本估计总体．
【专题】统计的应用；应用意识．
【分析】（1）计算各组频数的和即可求出本次接受调查的学生人数，根据各组频率之和等于单位“1”即可确定m的值；
（2）根据平均数、众数、中位数的意义和计算方法，分别求出结果即可；
（3）用该校学生总数乘以样本中所捐书本数不低于3本的学生所占的百分比，即可求出答案．
【解答】解：（1）5+8+12+15+10＝50（人），
1﹣（10%+24%+30%+20%）＝16%，即m＝16，
故答案为：50，16；

（2）1×10%+2×16%+3×24%+4×30%+5×20%＝3.34（本），
捐4本的出现次数最多，因此众数是4本，
将这50个数据从小到大排列后，处在中间位置的两个数分别是3，4，因此中位数是3.5本，
答：这组数据的平均数是3.34本，众数是4本，中位数是3.5本；

（3）1200×（1﹣10%﹣16%）＝888（人），
答：该校所捐书本数不低于3本的学生大约有888人．
【点评】本题考查条形统计图、扇形统计图、平均数、中位数、众数，掌握两个统计图中数量之间的关系，理解中位数、众数、平均数的意义是解决问题的前提．
21．（10分）（2021•天津）已知△ABC内接于⊙O，AB＝AC，∠BAC＝42°，点D是⊙O上一点．
（Ⅰ）如图①，若BD为⊙O的直径，连接CD，求∠DBC和∠ACD的大小；
（Ⅱ）如图②，若CD∥BA，连接AD，过点D作⊙O的切线，与OC的延长线交于点E，求∠E的大小．

【考点】切线的性质；圆周角定理；三角形的外接圆与外心．
【专题】与圆有关的位置关系；推理能力．
【分析】（Ⅰ）如图①，利用等腰三角形的性质和三角形内角和计算出∠ABC＝69°，再根据圆周角定理得到∠BCD＝90°，∠D＝42°，利用互余计算出∠DBC的度数，利用圆周角定理计算∠ABD的度数，从而得到∠ACD的度数；
（Ⅱ）如图②，连接OD，利用平行线的性质得到∠ACD＝∠BAC＝42°，利用圆内接四边形的性质计算出∠ADC＝111°，再根据三角形内角和计算出∠CAD＝27°，接着利用圆周角定理得到∠COD＝54°，然后根据切线的性质得到∠ODE＝90°，最后利用互余计算出∠E的度数．
【解答】解：（Ⅰ）如图①，∵AB＝AC，
∴∠ABC＝∠ACB=12（180°﹣∠BAC）=12×（180°﹣42°）＝69°，
∵BD为直径，
∴∠BCD＝90°，
∵∠D＝∠BAC＝42°，
∴∠DBC＝90°﹣∠D＝90°﹣42°＝48°；
∴∠ACD＝∠ABD＝∠ABC﹣∠DBC＝69°﹣48°＝21°；
（Ⅱ）如图②，连接OD，
∵CD∥AB，
∴∠ACD＝∠BAC＝42°，
∵四边形ABCD为⊙O的内接四边形，
∴∠B+∠ADC＝180°，
∴∠ADC＝180°﹣∠B＝180°﹣69°＝111°，
∴∠CAD＝180°﹣∠ACD﹣∠ADC＝180°﹣42°﹣111°＝27°，
∴∠COD＝2∠CAD＝54°，
∵DE为切线，
∴OD⊥DE，
∴∠ODE＝90°，
∴∠E＝90°﹣∠DOE＝90°﹣54°＝36°．

【点评】本题考查了切线的性质：圆的切线垂直于经过切点的半径．也考查了圆周角定理．
22．（10分）（2022•河西区一模）如图，从建筑物AB的顶部A点，测得建筑物CD顶部D点的俯角α为45°，底部C点的俯角β为60°，且两座建筑物的水平距离BC为40m．求这两座建筑物AB，CD的高度．（结果保留小数点后一位，2≈1.414，3≈1.732．）

【考点】解直角三角形的应用﹣仰角俯角问题．
【专题】解直角三角形及其应用；运算能力．
【分析】延长CD，交过点A的水平线AE于点E，根据题意可得AE＝BC＝40米，AB＝EC，然后在Rt△AEC中，利用锐角三角函数的定义求出EC的长，从而求出AB的长，再在Rt△AED中，利用锐角三角函数的定义求出ED的长，进行计算即可解答．
【解答】解：延长CD，交过点A的水平线AE于点E，

则AE＝BC＝40米，AB＝EC，
在Rt△AEC中，∠EAC＝60°，
∴EC＝AE•tan60°＝40×3=403（米），
∴AB＝EC＝403≈69.3（米），
在Rt△AED中，∠EAD＝45°，
∴ED＝AE•tan45°＝40（米），
∴CD＝EC﹣ED＝403-40≈29.3（米），
∴这两座建筑物AB，CD的高度分别为69.3米和29.3米．
【点评】本题考查了解直角三角形的应用﹣仰角俯角问题，根据题目的已知条件并结合图形添加适当的辅助线是解题的关键．
23．（10分）（2021•东丽区二模）小明的父亲在批发市场按每千克1.5元批发了若干千克的西瓜进城出售，为了方便，他带了一些零钱备用．他先按市场价售出一些后，又降价出售．售出西瓜千克数x与他手中持有的钱数y元（含备用零钱）的关系如图所示，请根据相关信息，解答下列问题：
（Ⅰ）填表：
售出西瓜x/kg
0
10
20
30
40
80
手中持有的钱数y/元
50
　85　
120
155
190
　330　
（Ⅱ）填空：
①降价前他每千克西瓜出售的价格是 　3.5　元．
②随后他按每千克下降1元将剩余的西瓜售完，这时他手中的钱（含备用的钱）是450元，他一共批发了 　128　千克的西瓜．
（Ⅲ）当0≤x≤80时求y与x的函数关系式．

【考点】一次函数的应用．
【专题】一次函数及其应用；应用意识．
【分析】（Ⅰ）根据图象中的数据可得自带的零钱为50元．x＝80时，手中持有的钱数是330元，求出降价前的价格，可得表中数据；
（Ⅱ）①根据图象中的数据可得自带的零钱为50元．x＝80时，手中持有的钱数是330元，可求出降价前的价格；
②设他一共批发了x千克的西瓜，根据后他按每千克下降1元将剩余的西瓜售完，列方程即可求解；
（Ⅲ）根据图象中的数据可得当0≤x≤80时图象过点（0，50），（80，330），利用待定系数法即可求解．
【解答】解：（Ⅰ）由图可得，自带的零钱为50元．x＝80时，手中持有的钱数是330元，
降价前的价格：（330﹣50）÷80＝3.5（元），
x＝10时，50+3.5×10＝85（元），
故答案为：85，330；
（Ⅱ）①（330﹣50）÷80
＝280÷80
＝3.5（元），
答：降价前他每千克西瓜出售的价格是3.5元；
②设他一共批发了x千克的西瓜，
330+（3.5﹣1）×（x﹣80）＝450，
解得：x＝128，
答：他一共批发了128千克的西瓜，
故答案为：①3.5；②128；
（Ⅲ）设当0≤x≤80时y与x的函数关系式为y＝kx+b．
b=5080k+b=330，
解得：k=3.5b=50，
∴当0≤x≤80时y与x的函数关系式为y＝3.5x+50．
【点评】此题考查的是用一次函数解决实际问题，解题的关键是结合图象，读懂题意解决问题．
24．（10分）（2021•河北区一模）将两个等腰直角三角形纸片ABO和CDO放置在平面直角坐标系中，点O（0，0），点A（6，0），点B（0，6），点C（2，0），点D（0，2）．将△COD绕点O顺时针旋转，得△C'OD'，点C旋转后的对应点为C'，点D旋转后的对应点为D'，记旋转角为α．
（Ⅰ）如图①，若α＝45°时，求点D'的坐标；
（Ⅱ）如图②，若α＝60°时，连接BD'，求BD'的长；
（Ⅲ）连接BD'，AC'，设BD'，AC'所在的直线相交于点P，求△ABP面积的最小值（直接写出答案）．

【考点】几何变换综合题．
【专题】平移、旋转与对称；几何直观；推理能力．
【分析】（Ⅰ）根据旋转的性质和等腰直角三角形的性质和判定得出△OED'是等腰直角三角形，进而利用勾股定理解答即可；
（Ⅱ）过D'作D'E⊥OA于E，作D'F⊥OB于F，根据旋转的性质和矩形的判定和性质得出四边形DED'F是矩形，进而利用勾股定理解答即可；
（Ⅲ）如图3，当直线BP与O为圆心2为半径的圆相切时，△APB的面积最小．
【解答】解：（Ⅰ）如图1，

由题意得，旋转角α＝45°，即∠DOD'＝∠COC'＝45°，
∴∠D'OC＝90°﹣∠DOD'＝45°，
∵△CDO是等腰直角三角形，△C'D'O由旋转得到，
∴OD'＝OD＝2，
∴∠D'＝45°，
∴∠D'EO＝180°﹣∠D'﹣∠D'OC＝90°，
即D'C'⊥OC，
∴△OED'是等腰直角三角形，
∵OD⊥OC，
∴D'C'∥CD，
由勾股定理得，OD'2＝OE2+ED'2，
∵OE＝ED'，
∴OD'2＝2OE2，
∴OE＝ED'=2，
∴D'坐标为（2，2）；
（Ⅱ）如图2，过D'作D'E⊥OA于E，作D'F⊥OB于F，

∵旋转角α＝60°，即∠BOD'＝60°，
∴∠D'OE＝30°，
∵D'E⊥OA，
在Rt△D'OE中，D'E=12OD'=12OD=1，CE=OD'2-D'E2=22-12=3，
∴D'坐标为（3，1），
∵D'F⊥OB．D'E⊥OA，OB⊥OA，
∴四边形OFD'E是矩形，
∴OF＝D'E＝1，FD'＝OE=3，
∴BF＝OB﹣OF＝6﹣1＝5，
∴BD'=BF2+FD'2=52+(3)2=27；
（Ⅲ）如图3，当直线BP与O为圆心2为半径的圆相切时，△APB的面积最小．

此时BD′＝AC′=62-22=42，
∴PB＝42+2，AP＝42-2，
∴△ABP的面积的最小值为12•PB•AP=12（42+2）（42-2）=12×（32﹣4）＝14．
【点评】本题是几何变换综合题，考查了等腰直角三角形的性质，全等三角形的判定和性质，利用讨论思想和数形结合思想解决问题是本题的关键．
25．（10分）（2022•南开区一模）已知抛物线y＝x2+bx+c（b，c为常数，b＜0）与x轴交于点A（1，0），B（点A在点B的左侧），与y轴正半轴交于点C．
（Ⅰ）当b＝﹣2时，求抛物线的顶点坐标；
（Ⅱ）点P是射线OC上的一个动点．
①点D（﹣b，y0）是抛物线上的点，当OP＝3，AD＝AP时，求b的值；
②若点P在线段OC上，当b的值为﹣4时，求CP+2AP的最小值．
【考点】二次函数综合题．
【专题】代数几何综合题；二次函数图象及其性质；等腰三角形与直角三角形；运算能力；推理能力．
【分析】（Ⅰ）当b＝﹣2时，则c＝1，故抛物线的表达式为y＝x2﹣2x+1＝（x﹣1）2，即可求解；
（Ⅱ）①由AD＝AP得：（1+b）2+c2＝12+32，即（1+b）2+（﹣b﹣1）2＝12+32，即可求解；
②过点C直线CN交x轴于点N，使∠NCO＝30°，过点A作AH⊥NC交CN于点H，交OC于点P，则点P为所求点，进而求解．
【解答】解：（Ⅰ）将点A的坐标代入抛物线表达式得：0＝1+b+c，即b+c＝﹣1．
当b＝﹣2时，﹣2+c＝﹣1．
∴c＝1，
故抛物线的表达式为y＝x2﹣2x+1＝（x﹣1）2，
故抛物线的顶点坐标为（1，0）；

（Ⅱ）①当x＝﹣b时，y＝x2+bx+c＝c，故点D的坐标为（﹣b，c），
∵b+c＝﹣1．
∴c＝﹣b﹣1，
由AD＝AP得：（1+b）2+c2＝12+32，
即（1+b）2+（﹣b﹣1）2＝12+32，
解得b＝﹣1-5或﹣1+5（b＜0，故正值舍去），
∴b＝﹣1-5；

②过点C直线CN交x轴于点N，使∠NCO＝30°，过点A作AH⊥NC交CN于点H，交OC于点P，则点P为所求点，

∵∠NCO＝30°，AH⊥NC，
∴CP＝2HP，
∴CP+2AP＝2HP+2AP＝2AH为最小，
∵b的值为﹣4，
∴c＝﹣b﹣1＝3，
∴C（0，3），
∴OC＝3，
∵∠NCO＝30°，AH⊥NC，
∴ON＝OC•tan30°＝3×33=3，∠ONC＝60°，
∴∠NAH＝30°，
∴AH＝AN•cos30°，
∵A（1，0），
∴AN=3+1．
∴AH＝AN•cos30°=32（3+1）=3+32，
∴CP+2AP＝2AH＝3+3．
∴CP+2AP的最小值为3+3．
【点评】此题是二次函数综合题，主要考查了二次函数的解析式的求法和与几何图形结合的综合能力的培养．要会利用数形结合的思想把代数和几何图形结合起来，利用点的坐标的意义表示线段的长度，从而求出线段之间的关系．

考点卡片
1．有理数的除法
（1）有理数除法法则：除以一个不等于0的数，等于乘这个数的倒数，即：a÷b＝a•1b （b≠0）
（2）方法指引：
（1）两数相除，同号得正，异号得负，并把绝对值相除．0除以任何一个不等于0的数，都得0．
（2）有理数的除法要分情况灵活选择法则，若是整数与整数相除一般采用“同号得正，异号得负，并把绝对值相除”．如果有了分数，则采用“除以一个不等于0的数，等于乘这个数的倒数”，再约分．乘除混合运算时一定注意两个原则：①变除为乘，②从左到右．
2．科学记数法—表示较大的数
（1）科学记数法：把一个大于10的数记成a×10n的形式，其中a是整数数位只有一位的数，n是正整数，这种记数法叫做科学记数法．【科学记数法形式：a×10n，其中1≤a＜10，n为正整数．】
（2）规律方法总结：
①科学记数法中a的要求和10的指数n的表示规律为关键，由于10的指数比原来的整数位数少1；按此规律，先数一下原数的整数位数，即可求出10的指数n．
②记数法要求是大于10的数可用科学记数法表示，实质上绝对值大于10的负数同样可用此法表示，只是前面多一个负号．
3．估算无理数的大小
估算无理数大小要用逼近法．
思维方法：用有理数逼近无理数，求无理数的近似值．
4．幂的乘方与积的乘方
（1）幂的乘方法则：底数不变，指数相乘．
（am）n＝amn（m，n是正整数）
注意：①幂的乘方的底数指的是幂的底数；②性质中“指数相乘”指的是幂的指数与乘方的指数相乘，这里注意与同底数幂的乘法中“指数相加”的区别．
（2）积的乘方法则：把每一个因式分别乘方，再把所得的幂相乘．
（ab）n＝anbn（n是正整数）
注意：①因式是三个或三个以上积的乘方，法则仍适用；②运用时数字因数的乘方应根据乘方的意义，计算出最后的结果．
5．多项式乘多项式
（1）多项式与多项式相乘的法则：
多项式与多项式相乘，先用一个多项式的每一项乘另外一个多项式的每一项，再把所得的积相加．
（2）运用法则时应注意以下两点：
①相乘时，按一定的顺序进行，必须做到不重不漏；②多项式与多项式相乘，仍得多项式，在合并同类项之前，积的项数应等于原多项式的项数之积．
6．分式的加减法
（1）同分母分式加减法法则：同分母的分式相加减，分母不变，把分子相加减．
（2）异分母分式加减法法则：把分母不相同的几个分式化成分母相同的分式，叫做通分，经过通分，异分母分式的加减就转化为同分母分式的加减．
说明：
①分式的通分必须注意整个分子和整个分母，分母是多项式时，必须先分解因式，分子是多项式时，要把分母所乘的相同式子与这个多项式相乘，而不能只同其中某一项相乘．
②通分是和约分是相反的一种变换．约分是把分子和分母的所有公因式约去，将分式化为较简单的形式；通分是分别把每一个分式的分子分母同乘以相同的因式，使几个较简单的分式变成分母相同的较复杂的形式．约分是对一个分式而言的；通分则是对两个或两个以上的分式来说的．
7．在数轴上表示不等式的解集
用数轴表示不等式的解集时，要注意“两定”：
一是定界点，一般在数轴上只标出原点和界点即可．定边界点时要注意，点是实心还是空心，若边界点含于解集为实心点，不含于解集即为空心点；
二是定方向，定方向的原则是：“小于向左，大于向右”．
【规律方法】不等式解集的验证方法
　　某不等式求得的解集为x＞a，其验证方法可以先将a代入原不等式，则两边相等，其次在x＞a的范围内取一个数代入原不等式，则原不等式成立．
8．解一元一次不等式组
（1）一元一次不等式组的解集：几个一元一次不等式的解集的公共部分，叫做由它们所组成的不等式组的解集．
（2）解不等式组：求不等式组的解集的过程叫解不等式组．
（3）一元一次不等式组的解法：解一元一次不等式组时，一般先求出其中各不等式的解集，再求出这些解集的公共部分，利用数轴可以直观地表示不等式组的解集．
方法与步骤：①求不等式组中每个不等式的解集；②利用数轴求公共部分．
解集的规律：同大取大；同小取小；大小小大中间找；大大小小找不到．
9．坐标与图形性质
1、点到坐标轴的距离与这个点的坐标是有区别的，表现在两个方面：①到x轴的距离与纵坐标有关，到y轴的距离与横坐标有关；②距离都是非负数，而坐标可以是负数，在由距离求坐标时，需要加上恰当的符号．
2、有图形中一些点的坐标求面积时，过已知点向坐标轴作垂线，然后求出相关的线段长，是解决这类问题的基本方法和规律．
3、若坐标系内的四边形是非规则四边形，通常用平行于坐标轴的辅助线用“割、补”法去解决问题．
10．一次函数图象与几何变换
直线y＝kx+b，（k≠0，且k，b为常数）
①关于x轴对称，就是x不变，y变成﹣y：﹣y＝kx+b，即y＝﹣kx﹣b；
（关于X轴对称，横坐标不变，纵坐标是原来的相反数）
②关于y轴对称，就是y不变，x变成﹣x：y＝k（﹣x）+b，即y＝﹣kx+b；
（关于y轴对称，纵坐标不变，横坐标是原来的相反数）
③关于原点对称，就是x和y都变成相反数：﹣y＝k（﹣x）+b，即y＝kx﹣b．
（关于原点轴对称，横、纵坐标都变为原来的相反数）
11．一次函数的应用
1、分段函数问题
分段函数是在不同区间有不同对应方式的函数，要特别注意自变量取值范围的划分，既要科学合理，又要符合实际．
2、函数的多变量问题
解决含有多变量问题时，可以分析这些变量的关系，选取其中一个变量作为自变量，然后根据问题的条件寻求可以反映实际问题的函数．
3、概括整合
（1）简单的一次函数问题：①建立函数模型的方法；②分段函数思想的应用．
（2）理清题意是采用分段函数解决问题的关键．
12．反比例函数图象上点的坐标特征
反比例函数y＝k/x（k为常数，k≠0）的图象是双曲线，
①图象上的点（x，y）的横纵坐标的积是定值k，即xy＝k；
②双曲线是关于原点对称的，两个分支上的点也是关于原点对称；
③在y＝k/x图象中任取一点，过这一个点向x轴和y轴分别作垂线，与坐标轴围成的矩形的面积是定值|k|．
13．二次函数图象与系数的关系
二次函数y＝ax2+bx+c（a≠0）
①二次项系数a决定抛物线的开口方向和大小．
当a＞0时，抛物线向上开口；当a＜0时，抛物线向下开口；|a|还可以决定开口大小，|a|越大开口就越小．
②一次项系数b和二次项系数a共同决定对称轴的位置．
当a与b同号时（即ab＞0），对称轴在y轴左侧； 当a与b异号时（即ab＜0），对称轴在y轴右侧．（简称：左同右异）
③．常数项c决定抛物线与y轴交点． 抛物线与y轴交于（0，c）．
④抛物线与x轴交点个数．
△＝b2﹣4ac＞0时，抛物线与x轴有2个交点；△＝b2﹣4ac＝0时，抛物线与x轴有1个交点；△＝b2﹣4ac＜0时，抛物线与x轴没有交点．
14．二次函数综合题
（1）二次函数图象与其他函数图象相结合问题
解决此类问题时，先根据给定的函数或函数图象判断出系数的符号，然后判断新的函数关系式中系数的符号，再根据系数与图象的位置关系判断出图象特征，则符合所有特征的图象即为正确选项．
（2）二次函数与方程、几何知识的综合应用
将函数知识与方程、几何知识有机地结合在一起．这类试题一般难度较大．解这类问题关键是善于将函数问题转化为方程问题，善于利用几何图形的有关性质、定理和二次函数的知识，并注意挖掘题目中的一些隐含条件．
（3）二次函数在实际生活中的应用题
从实际问题中分析变量之间的关系，建立二次函数模型．关键在于观察、分析、创建，建立直角坐标系下的二次函数图象，然后数形结合解决问题，需要我们注意的是自变量及函数的取值范围要使实际问题有意义．
15．全等三角形的判定与性质
（1）全等三角形的判定是结合全等三角形的性质证明线段和角相等的重要工具．在判定三角形全等时，关键是选择恰当的判定条件．
（2）在应用全等三角形的判定时，要注意三角形间的公共边和公共角，必要时添加适当辅助线构造三角形．
16．角平分线的性质
角平分线的性质：角的平分线上的点到角的两边的距离相等．
注意：①这里的距离是指点到角的两边垂线段的长；②该性质可以独立作为证明两条线段相等的依据，有时不必证明全等；③使用该结论的前提条件是图中有角平分线，有垂直角平分线的性质语言：如图，∵C在∠AOB的平分线上，CD⊥OA，CE⊥OB∴CD＝CE

17．含30度角的直角三角形
（1）含30度角的直角三角形的性质：
在直角三角形中，30°角所对的直角边等于斜边的一半．
（2）此结论是由等边三角形的性质推出，体现了直角三角形的性质，它在解直角三角形的相关问题中常用来求边的长度和角的度数．
（3）注意：①该性质是直角三角形中含有特殊度数的角（30°）的特殊定理，非直角三角形或一般直角三角形不能应用；
②应用时，要注意找准30°的角所对的直角边，点明斜边．
18．菱形的性质
（1）菱形的定义：有一组邻边相等的平行四边形叫做菱形．
（2）菱形的性质
①菱形具有平行四边形的一切性质；
②菱形的四条边都相等；
③菱形的两条对角线互相垂直，并且每一条对角线平分一组对角；
④菱形是轴对称图形，它有2条对称轴，分别是两条对角线所在直线．
（3）菱形的面积计算
①利用平行四边形的面积公式．
②菱形面积=12ab．（a、b是两条对角线的长度）
19．正方形的性质
（1）正方形的定义：有一组邻边相等并且有一个角是直角的平行四边形叫做正方形．
（2）正方形的性质
①正方形的四条边都相等，四个角都是直角；
②正方形的两条对角线相等，互相垂直平分，并且每条对角线平分一组对角；
③正方形具有四边形、平行四边形、矩形、菱形的一切性质．
④两条对角线将正方形分成四个全等的等腰直角三角形，同时，正方形又是轴对称图形，有四条对称轴．
20．圆周角定理
（1）圆周角的定义：顶点在圆上，并且两边都与圆相交的角叫做圆周角．
注意：圆周角必须满足两个条件：①顶点在圆上．②角的两条边都与圆相交，二者缺一不可．
（2）圆周角定理：在同圆或等圆中，同弧或等弧所对的圆周角相等，都等于这条弧所对的圆心角的一半．
推论：半圆（或直径）所对的圆周角是直角，90°的圆周角所对的弦是直径．
（3）在解圆的有关问题时，常常需要添加辅助线，构成直径所对的圆周角，这种基本技能技巧一定要掌握．
（4）注意：①圆周角和圆心角的转化可通过作圆的半径构造等腰三角形．利用等腰三角形的顶点和底角的关系进行转化．②圆周角和圆周角的转化可利用其“桥梁”﹣﹣﹣圆心角转化．③定理成立的条件是“同一条弧所对的”两种角，在运用定理时不要忽略了这个条件，把不同弧所对的圆周角与圆心角错当成同一条弧所对的圆周角和圆心角．
21．三角形的外接圆与外心
（1）外接圆：经过三角形的三个顶点的圆，叫做三角形的外接圆．
（2）外心：三角形外接圆的圆心是三角形三条边垂直平分线的交点，叫做三角形的外心．
（3）概念说明：
①“接”是说明三角形的顶点在圆上，或者经过三角形的三个顶点．
②锐角三角形的外心在三角形的内部；直角三角形的外心为直角三角形斜边的中点；钝角三角形的外心在三角形的外部．
③找一个三角形的外心，就是找一个三角形的三条边的垂直平分线的交点，三角形的外接圆只有一个，而一个圆的内接三角形却有无数个．
22．切线的性质
（1）切线的性质
①圆的切线垂直于经过切点的半径．
②经过圆心且垂直于切线的直线必经过切点．
③经过切点且垂直于切线的直线必经过圆心．
（2）切线的性质可总结如下：
如果一条直线符合下列三个条件中的任意两个，那么它一定满足第三个条件，这三个条件是：①直线过圆心；②直线过切点；③直线与圆的切线垂直．
（3）切线性质的运用
由定理可知，若出现圆的切线，必连过切点的半径，构造定理图，得出垂直关系．简记作：见切点，连半径，见垂直．
23．作图—复杂作图
复杂作图是在五种基本作图的基础上进行作图，一般是结合了几何图形的性质和基本作图方法．
解决此类题目的关键是熟悉基本几何图形的性质，结合几何图形的基本性质把复杂作图拆解成基本作图，逐步操作．
24．旋转的性质
（1）旋转的性质：
　　　　①对应点到旋转中心的距离相等．　　　　②对应点与旋转中心所连线段的夹角等于旋转角．　　　　③旋转前、后的图形全等．　　（2）旋转三要素：①旋转中心； ②旋转方向； ③旋转角度．　　　　注意：三要素中只要任意改变一个，图形就会不一样．
25．中心对称图形
（1）定义
把一个图形绕某一点旋转180°，如果旋转后的图形能够与原来的图形重合，那么这个图形就叫做中心对称图形，这个点叫做对称中心．
注意：中心对称图形和中心对称不同，中心对称是两个图形之间的关系，而中心对称图形是指一个图形自身的特点，这点应注意区分，它们性质相同，应用方法相同．
（2）常见的中心对称图形
平行四边形、圆形、正方形、长方形等等．
26．几何变换综合题
几何变换综合题．
27．特殊角的三角函数值
（1）特指30°、45°、60°角的各种三角函数值．
sin30°=12； cos30°=32；tan30°=33；
sin45°=22；cos45°=22；tan45°＝1；
sin60°=32；cos60°=12； tan60°=3；
（2）应用中要熟记特殊角的三角函数值，一是按值的变化规律去记，正弦逐渐增大，余弦逐渐减小，正切逐渐增大；二是按特殊直角三角形中各边特殊值规律去记．
（3）特殊角的三角函数值应用广泛，一是它可以当作数进行运算，二是具有三角函数的特点，在解直角三角形中应用较多．
28．解直角三角形的应用-仰角俯角问题
（1）概念：仰角是向上看的视线与水平线的夹角；俯角是向下看的视线与水平线的夹角．
（2）解决此类问题要了解角之间的关系，找到与已知和未知相关联的直角三角形，当图形中没有直角三角形时，要通过作高或垂线构造直角三角形，另当问题以一个实际问题的形式给出时，要善于读懂题意，把实际问题划归为直角三角形中边角关系问题加以解决．
29．简单组合体的三视图
（1）画简单组合体的三视图要循序渐进，通过仔细观察和想象，再画它的三视图．
（2）视图中每一个闭合的线框都表示物体上的一个平面，而相连的两个闭合线框常不在一个平面上．
（3）画物体的三视图的口诀为：
主、俯：长对正；
主、左：高平齐；
俯、左：宽相等．
30．用样本估计总体
用样本估计总体是统计的基本思想．
1、用样本的频率分布估计总体分布：
从一个总体得到一个包含大量数据的样本，我们很难从一个个数字中直接看出样本所包含的信息．这时，我们用频率分布直方图来表示相应样本的频率分布，从而去估计总体的分布情况．
2、用样本的数字特征估计总体的数字特征（主要数据有众数、中位数、平均数、标准差与方差 ）．
一般来说，用样本去估计总体时，样本越具有代表性、容量越大，这时对总体的估计也就越精确．
31．条形统计图
（1）定义：条形统计图是用线段长度表示数据，根据数量的多少画成长短不同的矩形直条，然后按顺序把这些直条排列起来．
（2）特点：从条形图可以很容易看出数据的大小，便于比较．
（3）制作条形图的一般步骤：
①根据图纸的大小，画出两条互相垂直的射线．
②在水平射线上，适当分配条形的位置，确定直条的宽度和间隔．
③在与水平射线垂直的射线上，根据数据大小的具体情况，确定单位长度表示多少．
④按照数据大小，画出长短不同的直条，并注明数量．
32．加权平均数
（1）加权平均数：若n个数x1，x2，x3，…，xn的权分别是w1，w2，w3，…，wn，则x1w1+x2w2+…+xnwnw1+w2+…+wn叫做这n个数的加权平均数．
（2）权的表现形式，一种是比的形式，如4：3：2，另一种是百分比的形式，如创新占50%，综合知识占30%，语言占20%，权的大小直接影响结果．
（3）数据的权能够反映数据的相对“重要程度”，要突出某个数据，只需要给它较大的“权”，权的差异对结果会产生直接的影响．
（4）对于一组不同权重的数据，加权平均数更能反映数据的真实信息．
33．中位数
（1）中位数：
将一组数据按照从小到大（或从大到小）的顺序排列，如果数据的个数是奇数，则处于中间位置的数就是这组数据的中位数．
如果这组数据的个数是偶数，则中间两个数据的平均数就是这组数据的中位数．
（2）中位数代表了这组数据值大小的“中点”，不易受极端值影响，但不能充分利用所有数据的信息．
（3）中位数仅与数据的排列位置有关，某些数据的移动对中位数没有影响，中位数可能出现在所给数据中也可能不在所给的数据中出现，当一组数据中的个别数据变动较大时，可用中位数描述其趋势．
34．众数
（1）一组数据中出现次数最多的数据叫做众数．
（2）求一组数据的众数的方法：找出频数最多的那个数据，若几个数据频数都是最多且相同，此时众数就是这多个数据．
（3）众数不易受数据中极端值的影响．众数也是数据的一种代表数，反映了一组数据的集中程度，众数可作为描述一组数据集中趋势的量．．
35．概率公式
（1）随机事件A的概率P（A）=事件A可能出现的结果数所有可能出现的结果数．
（2）P（必然事件）＝1．
（3）P（不可能事件）＝0．