专题1 平面向量中最值范围问题专题提升卷-2021-2022学年高一数学下学期期末复习备考精准测试卷（人教A版2019必修第二册）

高一下学期期中复习备考精准测试卷---第二篇  专题提升卷

                     专题1  平面向量中最值范围问题

                                 类型解读

类型一：平面向量与三角不等式

【典型例题】设平面向量，满足，，则的取值范围是________.

【解决策略】

【答案】

【分析】设，再分别求的最小值和最大值即得的取值范围.

【详解】设，

，当时，∴，所以，

综上所述，的取值范围是.

【变式训练】3．若平面向量满足，，则的取值范围为______________.

【答案】

【解析】

【分析】设，则，，由平行四边形的性质可得，

,利用基本不等式可得结果.

【详解】，设，则，

，由平行四边形的性质可得，，

，

的取值范围为，故答案为

点睛：本题主要考查向量的模及平面向量线性运算的平行四边形法则，以及平行四边形的性质与基本不等式求最值，意在考查数形结合思想、转化与划归思想的应用，以及综合利用所学知识解决问题的能力.

类型二：平面向量与二次函数

【典型例题】已知两个单位向量，的夹角为，则，的最小值为（    ）

A． B． C．0 D．

【解决策略】

【答案】B

【分析】利用平面向量数量积的运算律和定义化简，再根据二次函数知识可求得结果.

【详解】，，和的夹角为，所以，

所以，∴当时，取最小值.

【变式训练】已知在中，，，点沿运动，则的最小值是（    ）

A． B． C．1 D．3

【答案】A

【分析】当点在上运动时，设，得到，根据向量的数量积，化简得到，求得取得最小值；当点在上运动时，设，得到，化简得到，求得最小值.

【详解】在中，，，可得，当点在上运动时，设，则，所以，又因为，所以，所以，所以，当时，取得最小值.

当点在上运动时，设，则，

所以，又因为，所以，所以，所以，

当时，取得最小值，综上可得，的最小值是.

类型三：平面向量与基本不等式

【典型例题】已知的三边长,,,动点M满足,且;

(1)求;  (2)求最小值;

【答案】(1); (2)

【解决策略】本题考查余弦定理，求向量的模，基本不等式的应用，

（1）直接利用余弦定理求得的值.
（2）计算的值为，由此求得利用基本不等式求得它的最小值，可得的最小值.

【详解】（1）∵的三边,,，
∴由余弦定理可得；
（2），，
 

，当且仅当时，取等号，故的最小值为.

【变式训练】在中，点满足，过点的直线与、所在的直线分别交于点、，若，，则的最小值为（  ）

A． B． C． D．

【答案】B

【分析】由题意得出，再由，，可得出，由三点共线得出，将代数式与相乘，展开后利用基本不等式可求出的最小值.

【详解】如下图所示：

，即，，，，，，，、、三点共线，则.

，当且仅当时，等号成立，因此，的最小值为，故选：B.

【点睛】本题考查三点共线结论的应用，同时也考查了利用基本不等式求和式的最小值，解题时要充分利用三点共线得出定值条件，考查运算求解能力，属于中等题.

类型四：平面向量与三角函数

【典型例题】已知平面向量，，满足，若，则的取值范围是（    ）

A． B． C． D．

【答案】D

【分析】根据,求得与的夹角,由可建立平面直角坐标系,用坐标表示出,,

设出,即可由坐标运算求得的取值范围.

【详解】因为,设与的夹角为则由平面向量的数量积定义可知解得，而，则可设,由可得，由,所以设则，所以当时取得最大值为，当时取得最小值为，所以的取值范围为。

【变式训练】在中，角 ，，所对边分别为，，，且.

（1）求角；

（2）若向量，，求的取值范围.

【答案】（1）；（2）.

【分析】（1）首先，利用正弦定理，正切化为正弦和余弦，化简得，求角；（2）根据（1）的结果，得的坐标，再化简，根据角的范围求模的范围.

【详解】（1）由，及正弦定理得，

即，即，

所以，.

（2），

所以

，由于，得，所以.

                             综合训练

1. 已知平面向量、满足，，则的取值范围为（    ）

A． B． C． D．

【答案】C

【分析】求得，利用向量模的三角不等式可求得的取值范围.

【详解】由已知可得，，  由三角不等式可得，即，

2．已知向量，，若与的夹角为钝角，则的取值范围是（    ）.

A． B． C． D．

【答案】A

【分析】根据题意可知，且不共线，列式即可解出．

【详解】依题可得，且不共线，即，解得且．

3．在直角中，，，是线段的中点，为线段上的动点，则的最小值为（    ）

A． B． C． D．

【答案】C

【分析】设，用表示出，利用二次函数的性质求出最小值.

【详解】是直角的斜边中点，，且，设，则，故，当时，取得最小值.

4．已知平面向量，满足，，，则的取值范围是（      ）

A． B． C． D．

【答案】C

【分析】计算得到，再根据模长范围得到答案.

【详解】，故，故.

5．若平面向量满足：，，且，则的取值范围是

A． B． C． D．

【答案】B

【分析】设向量的夹角为，由，得，又由可求出其范围.

【详解】设向量的夹角为，因为，所以，，所以，，因为，所以的取值范围是

6．已知平面向量满足，，则的取值范围为（ ）

A． B． C． D．

【答案】D

【解析】

试题分析：如图，

设由题意由，可知即，即，即，设，由可知即，由知，则，在和中，可知，又，则，将，代入，

当且仅当故，故选D

7．已知非零向量，，，则的最大值为______．

【答案】13

【分析】根据向量数量积的运算性质，有，即可求的最大值.

【详解】∵，∴当时，有最大值为169.∴的最大值为13.

8．若平面向量、、满足，，，，则、夹角的取值范围是_____.

【答案】

【详解】设，，，设、的夹角为，，，，，，

，当且仅当时，等号成立，显然，即，，，因此，、夹角的取值范围是.

9．已知平面向量，，满足，，，且，则（）的取值范围为_________________

【答案】

【解析】

【分析】由题意结合向量共线的充分必要条件和向量绝对值不等式的性质求解其取值范围即可.

【详解】令，则，设向量的起点均为坐标原点，终点分别为，易知三点共线，如图所示，不妨设，易知，，由向量的绝对值不等式的性质可得：，

注意到，且，故，即（）的取值范围为.

【点

10．设，为单位向量，满足，，，设，的夹角为，则的最小值为______．

【答案】

【分析】利用复数模的平方等于复数的平方化简条件得，再根据向量夹角公式求函数关系式，根据函数单调性求最值．

【详解】，解得：，

，设， ，

当时，，∴的最小值是．

11．如图，已知向量，点A，B分别是的中点．

（1）试用向量，表示向量；

（2）设，，试求与的夹角的取值范围．

【答案】（1）；（2） .

【分析】

（1）由是的中位线得出，进而得出结果；

（2）先求出，进而求得，由此确定出的取值范围.

【详解】

（1）依题意知是的中位线，所以，；

（2）由（1）得，平方得：

所以，由可得，

所以，又，所以.

故与夹角的取值范围是.

12．在如图所示的平面图形中，已知，，点A，B分别是线段CE，ED的中点．

（1）试用，表示；

（2）若，，且，的夹角，试求的取值范围．

【答案】（1）；（2）．

【分析】

（1）由三角形中位线的性质可知，可得到答案；

（2）先求得，将，代入，用表示再求其范围.

【详解】

（1）连接AB，则，∵A，B分别是线段CE，ED的中点，

∴，则．

（2)，

将，代入，则．∵，

∴，则，故．

13．在三角形中，，D是线段上一点，且，F为线段上一点．

（1）若，求的值；

（2）求的取值范围；

【答案】（1），（2）

【分析】

（1）根据平面向量基本定理，由题中条件，得到，从而可求出的值，进而可求得的值；

（2）根据题意先求出，设，再由平面向量数量积运算，即可求得结果

【详解】

解：（1）因为，所以，得，

因为，所以，所以，

（2）因为在三角形中，，所以，

所以，，由题意得，

所以，

因为，所以，所以的取值范围为

14．已知在△ABC中，|AB|＝1，|AC|＝2．

（Ⅰ）若∠BAC的平分线与边BC交于点D，求；

（Ⅱ）若点E为BC的中点，当取最小值时，求△ABC的面积．

【答案】（Ⅰ）0（Ⅱ）．

【分析】

（Ⅰ）先利用基向量表示出，然后利用数量积进行运算；

（Ⅱ）先利用基向量表示出，求出取最小值时，角的正弦值，然后可得面积.

【详解】

（Ⅰ）∵AD是∠BAD的角平分线，∴，即

∴．

∴0.

（Ⅱ）∵点E为BC的中点，∴

（5）．当且仅当5+4cosA＝2（5﹣4cosA），即cosA时取等号．

此时△ABC的面积S．