专题03 函数的概念及其基本性质（基础巩固）-2021年暑假高一升高二数学复习基础巩固+能力提升专题（人教A版2019）

【新教材2019人教必修第一册】

暑假高一基础巩固 专题03 函数的概念及其基本性质模块

解析版

学校:___________姓名：___________班级：___________考号：___________

一、单选题

1．（2020·福建省泰宁第一中学月考）函数的定义域是（    ）

A．（0，1）∪（1，4] B．（0，4]

C．（0，1） D．（0，1）∪[4，+∞）

【答案】A

【分析】

根据偶次根式下被开方数非负、分母不为零、对数真数大于零列式求解，即得结果.

【详解】

故选：A

【点睛】

本题考查函数定义域，考查基本分析求解能力，属基础题.

2．（2020·四川阆中中学开学考试）如图中，能表示函数的图象的是（    ）

A．  B．

C． D．

【答案】D

【分析】

根据函数的定义，依次分析选项中的图象是否存在一对多的情况，即可得答案．

【详解】

由函数定义可知，任意作一条垂直于x轴的直线，则直线与函数的图象至多有一个交点，

根据题意，对于A、B两图，可以找到一个x与两个y对应的情形；

对于C图，当x=0时，有两个y值对应；

对于D中图象能表示y是x的函数.

故选：D.

【点睛】

本题考查函数的概念及其构成要素，明确函数的定义是关键，属于基础题.

3．（2019·黑龙江龙凤·大庆四中月考（文））若，则的解析式为（    ）

A． B．

C． D．

【答案】C

【分析】

令，利用换元法即可求得解析式，注意换元的等价性即可.

【详解】

f（1）＝x+，

设t，t≥1，则x＝（t﹣1）2，

∴f（t）＝（t﹣1）2+﹣1＝t2﹣t，t≥1，

∴函数f（x）的解析式为f（x）＝x2﹣x（x≥1）．

故选：.

【点睛】

本题考查利用换元法求函数解析式，属简单题.

4．（2019·新疆期末）设集合，，给出如下四个图形，其中能表示从集合到集合的函数关系的是 ( )

A．     B．

C．          D．

【答案】D

【解析】

试题分析：由函数的定义，集合中的每一个x值，在N={y|0≤y≤2}中都有唯一确定的一个y值与之对应，结合图象得出结论．

从集合M到集合能构成函数关系时，对于集合中的每一个x值，在N={y|0≤y≤2}中都有唯一确定的一个y值与之对应．

图象A不满足条件，因为当时，N中没有y值与之对应．

图象B不满足条件，因为当x=2时，N中没有y值与之对应．

图象C不满足条件，因为对于集合中的每一个x值，在集合N中有2个y值与之对应，不满足函数的定义．

只有D中的图象满足对于集合中的每一个x值，在中都有唯一确定的一个y值与之对应．

考点：函数的概念及其构成要素

5．（2019·元氏县第四中学期中）下列两个函数是相等函数的是（　　）

A．函数和

B．函数和

C．函数与

D．函数与

【答案】C

【解析】

【分析】

通过求函数定义域，即可判断A，B，D三个选项错误，从而选C．

【详解】

解：A．y=x的定义域为R，的定义域为{x|x≥0}，两函数不相等；

B．y=x的定义域为R，的定义域为{x|x≠0}，不相等；

C．y=ln（1-x2）的定义域为（-1，1），

y=ln（1-x）+ln（1+x）=ln（1-x2）的定义域为（-1，1），两函数相等；

D．y=ln（x2-1）的定义域为{x|x＜-1，或x＞1}，

y=ln（x-1）+ln（x+1）的定义域为{x|x＞1}，不相等．

故选：C．

【点睛】

本题考查函数的概念，判断两函数是否相等的方法：看定义域和对应法则是否都相同．

6．（2019·黄梅国际育才高级中学月考）下列对应是从集合A到B的函数的是（    ）

A．A＝N，B＝R，对应关系f：“求平方根”

B．A＝N*，B＝N*，对应关系

C．A＝R，B＝{0，1}，对应关系

D．A＝Z，B＝Q，对应关系

【答案】C

【分析】

由函数的定义逐个判断，主要是集合A中每一个元素在集合B中有唯一元素与其对应.

【详解】

解：A＝N，B＝R，对应关系f：“求平方根”，则除零外，A中一个元素在B中都有两个元素对应，不是函数；

A＝N*，B＝N*，对应关系，则A中元素3在B中没有元素对应，不是函数；

A＝R，B＝{0，1}，对应关系|，则A中任一元素在B中都有唯一元素对应，是函数；

A＝Z，B＝Q，对应关系，则A中元素1在B中没有元素对应，不是函数；

故选：C．

【点睛】

此题考查函数的定义，关键是掌握函数的定义，属于基础题.

7．（2020·河南宛城·南阳中学月考（文））函数的值域是

A． B．

C． D．

【答案】A

【解析】

依题意，令，则，得，

由，得，，则，

即函数的值域是，故选A．

8．（2020·四川青羊·石室中学高三一模（文））已知函数是定义在上的偶函数，且，，则（    ）

A． B．0 C．1 D．2020

【答案】C

【分析】

由函数的奇偶性和可得是周期为4的函数,分别求得,进而根据函数的周期性求解即可.

【详解】

由题,因为是定义在上的偶函数,所以,

因为,所以,则,

所以,所以是周期为4的函数,

因为,所以；

因为,,

所以,

所以,

故选:C

【点睛】

本题考查利用函数的奇偶性和对称性判断函数周期性,考查利用函数周期性求值.

二、多选题

9．（2019·山东临沂·高一月考）（多选题）若（）是奇函数，则下列点一定在函数图像上的是（       ）

A． B． C． D．

【答案】AB

【分析】

由（）是奇函数，可得，再令得，可得选项.

【详解】

因为（）是奇函数，所以，又，所以令则得，所以点，一定在的图像上，

故选：AB．

【点睛】

本题考查奇函数的定义，判断是否是函数图像上的点只需代入点，验证是否满足即可，属于基础题.

10．（2019·全国高一单元测试）下列函数既是定义域上的减函数又是奇函数的是

A． B． C． D． E.

【答案】CE

【分析】

根据初等函数的奇偶性和单调性直接选出答案即可.

【详解】

对于A:是定义域R上的偶函数,∴不满足题意；

对于B:在定义域上是奇函数,且在每一个区间上是减函数,不能说函数在定义域上是减函数,∴不满足题意；

对于C:在定义域R上是奇函数,是减函数，∴满足题意；

对于D:在定义域R上是奇函数,且是增函数,不满足题意；

对于E:在定义域R上是奇函数,且是减函数,∴满足题意.

.故选CE.

【点睛】

本题考查了初等函数的单调性和奇偶性,属于基础题.

11．（2020·河北易县中学高一月考）关于函数的性质描述，正确的是 （    ）

A．的定义域为

B．的值域为

C．在定义域上是增函数

D．的图象关于轴对称

【答案】AB

【分析】

先求出函数的定义域，再求值域，然后利用函数单调性以及奇偶性定义即可求解.

【详解】

对于A中，由，解得即为函数的定义域，故A正确；

对于B中，由定义域可化简函数得，

当时，；当时，，所以，故B正确；

对于C中，因为，所以函数不是增函数，故C错误；

对于D中，因为定义域关于原点对称，且对任意，，所以函数是奇函数，故 D 错误，

故选：AB.

12．（2020·高邮市第一中学高三月考）给出下列命题，其中是错误命题的是（    ）

A．若函数的定义域为，则函数的定义域为；

B．函数的单调递减区间是；

C．若定义在R上的函数在区间上是单调增函数，在区间上也是单调增函数，则在R上是单调增函数；

D．，是定义域内的任意的两个值，且，若，则是减函数.

【答案】ABC

【分析】

根据抽象函数定义域及函数单调性定义，逐项判断即可.

【详解】

解：对于A，若函数的定义域为，

则函数的定义域为，故A错误；

对于B，函数的单调递减区间是和，故B错误；

对于C，若定义在上的函数在区间上是单调增函数，

在区间上也是单调增函数，则在上不一定为单调增函数，故C错误；

对于D，为单调性的定义，正确.

故答案为：ABC.

【点睛】

本题主要考查函数定义域和单调性的概念，属于基础题.

三、填空题

13．（2020·枣庄市第三中学月考）已知函数f(x)＝，则函数y＝f(x)的定义域为_____；函数的定义域是_____.

【答案】       

【分析】

（1）满足，求出不等式的解集即可；

（2）令满足的定义域，求出的范围即可.

【详解】

（1）令，

解得，

的定义域为；

（2）的定义域为，

在函数中，满足，

解得，

的定义域为.

故答案为：（1）（2）.

【点睛】

本题主要考查给定函数和复合函数定义域的求法，其中涉及到一元二次不等式的解法，是一道基础题.

14．（2018·湖北高一期中）已知幂函数在上单调递减，则实数a的值为__________．

【答案】

【分析】

由题知幂函数的系数为,且即可求得答案.

【详解】

因为幂函数在上单调递减，

所以，解得

故答案为：

15．（2019·石河子第二中学高一月考）已知函数为上的单调递减函数，则实数的取值范围________.

【答案】

【分析】

由函数为上的单调递减函数，则需函数在各段上为减函数，且在上的单调递减，则函数在各段的最值有确定的大小关系，即，运算即可得解.

【详解】

解：由函数为上的单调递减函数，则，解得 ，

故答案为： .

【点睛】

本题考查了分段函数的单调性问题，重点考查了函数在定义域上的整体性质，属基础题.

16．（2020·浙江高一课时练习）宁波地区居民生活用电分为高峰和低谷两个时间段进行分时计价，电价表如下：

已知朱老师在5月份收到如下电费通知：“尊敬的客户，户号：***，户名：***，地址：***，本期电量300度（其中低谷100度），电费***元．”则按这种计费方式朱老师本月应付的电费为________元（用数字做答）．

【答案】

【分析】

先计算出高峰时间段的电费，再计算低谷时间段的电费，然后把两个电费相加即可求解.

【详解】

高峰时间段用电的电费为

（元），

低谷时间段用电的电费为

（元），

本月的总电费为（元）.
故答案为：

四、解答题

17．（2020·西安市长安区第五中学月考（理））已知函数是定义在上的奇函数，且.

（1）求解析式：

（2）判断函数在上的单调性，并解不等式.

【答案】（1）；（2）.

【分析】

（1）先由函数奇偶性求出，再由，求出，即可得出函数解析式；

（2）任取，且，根据函数单调性的定义，直接证明，即可得出结果；由函数单调性和奇偶性，即可求出不等式的解.

【详解】

（1）因为函数是定义在上的奇函数，所以，

即，

又，所以，解得：，所以；

（2）任取，且，

则，

因为，

所以，，

因此，

即，

所以函数在区间上单调递增，

又不等式可化为，

所以只需，解得：，即，

即不等式的解集为：.

【点睛】

本题主要考查由函数奇偶性求函数解析式，考查由函数单调性的判定，以及根据单调性和奇偶性解不等式，属于常考题型.

18．（2019·黄石市育英高中有限公司高一月考）（1）已知，求.

（2）已知，且为一次函数，求.

（3）已知函数满足，求.

【答案】（1）；（2）或；（3）.

【分析】

（1）用换元法，设求出，表示出，可得出的解析式.

（2）通过为一次函数可设，然后再通过的解析式，可求出的值.

（3）由可得出，将两个方程联立可得出的解析式.

【详解】

（1）令则.

.

（2）为一次函数设.

.

或

或.

（3）①②.

联立①式，②式

则.

19．（2020·河南宛城·南阳中学月考（文））函数是定义在上的奇函数，当时，．

（1）求时，的解析式；

（2）问是否存在这样的正数a，b：当时，的值域为？若存在，求出所有的a，b的值；若不存在，说明理由．

【答案】（1）（2）存在，，

【分析】

（1）直接利用函数的奇偶性性质得到答案.

（2）根据二次函数单调性，讨论，，三种情况，计算最值得到答案.

【详解】

（1）当时，.

（2）当时，．

当时，函数单调递减，，，

解得，；

当时，函数单调递增，，，无解；

当时，则的最大值为，故，即，排除.

综上，，.

【点睛】

本题考查了根据函数的奇偶性求解析式，根据值域求参数，意在考查学生的计算能力和综合应用能力.

20．（2019·凤阳县第二中学高三期中（文））已知幂函数为偶函数.

（1）求的解析式；

（2）若函数在区间上恒成立，求实数的取值范围.

【答案】（1）；（2）.

【分析】

（1）根据为幂函数，即，便可得出的两个值，又因为为偶函数，把代入便可得出答案.

（2）由（1）知为二次函数，讨论对称轴与区间的关系便可得出答案.

【详解】

（1）由为幂函数知，得或.

当时，，符合题意；

当时，，不合题意，舍去.

所以；

（2），令在上的最小值为.

①当，即时，，所以.

又，所以不存在；

②当，即时，，

所以.又，所以；

③当，即时，，

所以.又，

所以.

综上可知，的取值范围为.

【点睛】

本题主要考查幂函数的定义以及二次函数最值问题，是一道中等难度题目.

21．（2020·浙江高一课时练习）已知圆柱形水杯质量为克，其重心在圆柱轴的中点处（杯底厚度及重量忽略不计，且水杯直立放置）．质量为克的水恰好装满水杯，装满水后，水杯的重心还在圆柱轴的中点处．

（1）若，求装入半杯水后的水杯的重心到水杯底面的距离与水杯高的比值．

（2）水杯内装多少克水可以使装入水后的水杯的重心最低？为什么？

【答案】（1）；（2）克，理由见解析.

【分析】

（1）不妨设水杯高为1个单位，再分别计算杯子的重心位置和水的重心位置，相加即可得水杯的重心位置，即可求解.

（2）设装入克水后的水杯的重心位置为，将问题转化为：求当为何值时，最小．再写出关于的表达式，，再利用函数性质求解即可.

【详解】

不妨设水杯高为1个单位．

（1）由题意可知，当装了半杯水后，杯子质量:水的质量．因为，所以杯子质量:水的质量，即杯子占总质量的，水占总质量的，又因为杯子的重心位置（这里的重心位置指重心到水杯底面的距离）为，水的重心位置为，所以装入半杯水后的水杯的重心位置为，故装入半杯水后的水杯的重心到水杯底面的距离与水杯高度的比值为．

（2）设装入克水后的水杯的重心位置为，将问题转化为：求当为何值时，最小．

当装入克水后，杯子质量:水的质量，即杯子占总质量的，水占总质量的，杯子的重心位置为．因为装入克水，水的高度为1，所以装入克水，水的高度为，故克水的重心位置为，

所以装入克水后的水杯的重心位置为

．

当时，，

，

∴；

∴

，

∴在上递增．

同理在上递减．

故当时，即装入克的水后使装入水后的水杯的重心最低．

【点睛】

本题考查利用函数解决实际问题，考查数学建模能力与运算能力，是难题.

22．（2020·全国专题练习（文））函数对任意的都有,并且时，恒有.

(1).求证：在R上是增函数；

(2).若解不等式

【答案】(1)证明见解析；(2)

【分析】

（1）利用函数的单调性的定义，结合已知条件转化，证明f（x）在R上是增函数；

（2）利用已知条件通过f（3）＝4，求出2＝f（1），然后利用函数的单调性解不等式f（a2+a﹣5）＜2．

【详解】

(1).设,且,则,所以

即,所以是R上的增函数.

(2).因为,不妨设,所以,即，，所以.

，因为在R上为增函数，所以得到,

即.

【点睛】

本题考查抽象函数的应用，函数的单调性证明以及函数的单调性的应用，考查计算能力．