专题13 函数的概念及其基本性质（能力提升）-2021年暑假高一升高二数学复习基础巩固+能力提升专题（人教A版2019）

【新教材2019人教必修第一册】

暑假高一能力提升 专题13 函数的概念及其基本性质

解析版

学校:___________姓名：___________班级：___________考号：___________

一、单选题

1．（2019·宜昌市点军区第二中学高一月考）设集合P={x|0≤x≤2}，Q={y|0≤x≤2}，则图中能表示P到Q的函数的是

A．（1）（2）（3）（4） B．（3）（4）

C．（4） D．（3）

【答案】C

【分析】

根据函数的定义，在定义域内的任何一个x值，都有唯一确定的y值与之对应，且函数的定义域和值域不能为空集，根据这一定义得到结果.

【详解】

根据函数的定义，在定义域内的任何一个x值，都有唯一确定的y值与之对应，（1）、（2）中定义域内的1对应了2个函数值，故（1）、（2）不表示函数；（3）中定义域（1，2]内的x值，没有与之对应的y值，故（3）错误，

故选C．

【点睛】

这个题目考查了函数的概念和图像，函数中一个x对应一个y值，一个y值可以对应2个y值．

2．（2020·四川阆中中学开学考试）函数的定义域为（    ）.

A． B． C． D．

【答案】C

【分析】

列出使不等式有意义的限制条件，即对数的真数大于0，分母的被开方数大于0，解不等式组即可得答案.

【详解】

由题意得：，解得：.

故选：C.

【点睛】

本题考查函数定义域的求解，考查基本运算求解能力，属于基础题.

3．（2017·上海市育才中学高一月考）已知函数对于任意，满足，则满足条件的函数可以是

A． B． C． D．

【答案】C

【分析】

根据函数单调性的定义，可得函数在R上为增函数，对选项一一判断即可.

【详解】

已知函数对于任意，满足，根据函数单调性的定义，得函数是一个在R上的增函数.

选项A，函数在R上的减函数，所以不满足条件；

选项B，函数在上递减，所以不满足条件；

选项C，函数在上递增，所以满足条件；

选项D，函数在上递减，在上递增，所以不满足条件.

故选：C

【点睛】

本题考查了函数的单调性的性质及应用，属于基础题.

4．（2020·四川内江·高一期末（理））已知函数，对于任意时下列说法正确的是（    ）

A．函数最小值为7 B．函数最小值为

C．函数最大值为7 D．函数最大值为

【答案】A

【分析】

将函数化简为，再结合对勾函数的单调性即可求解．

【详解】

由题意可知，，

由对勾函数可知，函数在上单调递减，在上单调递增，

所以当时，函数取得最小值，最小值为，没有最大值．

故选：A．

【点睛】

本题主要考查了函数最值的求解，要注意对勾函数单调性的应用．

5．（2020·安徽其他（理））偶函数对于任意实数，都有成立，并且当时，，则下列结论错误的是（    ）.

A．

B．函数的最大值是4

C．函数的图象关于直线对称

D．方程的解集是

【答案】C

【分析】

求出函数是以4为周期的周期函数，可判断A；作出函数的图象可判断B，C，D的正误；

【详解】

对任意实数都有，

由于为偶函数，所以.

所以.

所以函数是以4为周期的周期函数.

所以.故A项正确；

作出函数的大致图象如下：

观察图象可知，函数的最大值是4，故B项正确；

函数的图象不关于直线对称，故C项错误；

方程的解依次是，

即方程的解集是.故D项正确.

故选：C.

【点睛】

本题考查抽象函数和具体函数相结合的图象和性质，考查函数与方程思想、数形结合思想，考查逻辑推理能力、运算求解能力.

6．（2019·浙江西湖·学军中学高一期末）函数的值域是 

A． B． C． D．

【答案】A

【详解】

由，知，解得

令，则.，即为和两函数图象有交点，作出函数图象，如图所示：

由图可知，当直线和半圆相切时最小，当直线过点A(4,0)时，最大.

当直线和半圆相切时，，解得，由图可知.

当直线过点A(4,0)时，，解得.

所以，即.

故选A.

7．（2018·湖北荆门·高一期末）对于任意的实数表示中较小的那个数，即已知函数设，下列说法正确的是（    ）

A．的单调递减区间是 B．的最大值是2，无最小值

C． D．的图像关于轴对称

【答案】B

【分析】

首先弄清楚的含义，换成相当于分段函数，再根据函数的性质可逐项判断排除.

【详解】

由题意得，即

，其图象如下

A. 的单调递减区间是，错误；

B. 的最大值是2，无最小值，正确；

C. ，错误；

D. 的图像不关于轴对称，错误.

故选：B.

【点睛】

本题考查了对函数新定义的理解，考查了函数的性质.

8．（2018·北京市第一六六中学高三月考）如图,将一张边长为的正方形纸折叠,使得点始终落在边上,则折起的部分的面积最小值为

A． B． C． D．

【答案】B

【分析】

设，可证明、，从而可求、，从而可得所求梯形的面积表达式为，从而可求其最小值.

【详解】

如图，

过作与，则，连，交于，

则由折叠知，与关于直线对称，即，

有，，，

∵，，∴，

∴，

设，则，，

代入上式得：，

∵，，

∴，在和中，

∵，∴，∴，

故，

∴梯形的面积为

，

得当时，梯形面积最小，其最小值，

故选：B．

【点睛】

本题考查了相似三角形的判定、二次函数的最值、全等三角形的判定和性质及翻转变换，是一道综合题，有一定的难度，先证明，再利用相似三角形的性质得出的长，再表示出求出梯形面积，进而求出最小值.

二、多选题

9．（2019·江苏姑苏·苏州中学高一期中）下列各组函数中，两个函数是同一函数的有（    ）

A．与 B．与

C．与 D．与

【答案】AC

【分析】

根据同一函数满足定义域与对应法则与值域均相等判断即可.

【详解】

对A, ,故A正确.

对B, 定义域为,定义域为,故B错误.

对C, ,故C正确.

对D, 定义域为,解得或.定义域为即.故D错误.

故选：AC

【点睛】

本题主要考查了同一函数的判定,需要分析函数的定义域与对应法则等.属于基础题.

10．（2021·浙江高一期末）已知函数，下面说法正确的有（    ）

A．的图像关于原点对称 B．的图像关于y轴对称

C．的值域为 D．，且

【答案】ACD

【分析】

判断的奇偶性即可判断选项AB，求的值域可判断C，证明的单调性可判断选项D，即可得正确选项.

【详解】

的定义域为关于原点对称,

，所以是奇函数，图象关于原点对称，

故选项A正确，选项B不正确；

，因为，所以，所以，

，所以，可得的值域为，故选项C正确；

设任意的，

则，

因为，，，所以，

即，所以，故选项D正确；

故选：ACD

【点睛】

利用定义证明函数单调性的方法

（1）取值：设是该区间内的任意两个值，且；

（2）作差变形：即作差，即作差，并通过因式分解、配方、有理化等方法，向有利于判断符号的方向变形；

（3）定号：确定差的符号；

（4）下结论：判断，根据定义作出结论.即取值---作差----变形----定号----下结论.

11．（2020·江苏海安高级中学高二期末）已知函数对任意都有，若的图象关于直线对称，且对任意的，，且，都有，则下列结论正确的是（    ）．

A．是偶函数 B．的周期

C． D．在单调递减

【答案】ABC

【分析】

由的图象关于直线对称，则，即，故是偶函数，可判断A的正误；由，令，可得，则，得到的周期，可判断B的正误；又在递增，结合奇偶性，周期性，再判断CD是否正确.

【详解】

由的图象关于直线对称，则，

即，故是偶函数，A正确；

由，令，可得，则，

则的周期，B正确；

，故C正确；

又在递增，则递减，由周期，则在单调递增，

故D错误.

故答案为：ABC

【点睛】

本题考查了抽象函数的性质，综合考查了函数的对称性，奇偶性，周期性，单调性，属于中档题.

12．（2020·湖南雁峰·衡阳市八中高二月考）在平面直角坐标系中，如图放置的边长为的正方形沿轴滚动（无滑动滚动），点恰好经过坐标原点，设顶点的轨迹方程是，则对函数的判断正确的是(     )

A．函数是奇函数 B．对任意的，都有

C．函数的值域为 D．函数在区间上单调递增

【答案】BCD

【分析】

根据正方形的运动，得到点的轨迹，作出对应函数图像，根据图像，即可得出结果.

【详解】

由题意，当时，顶点的轨迹是以点为圆心，以为半径的圆；

当时，顶点的轨迹是以点为圆心，以为半径的圆；

当时，顶点的轨迹是以点为圆心，以为半径的圆；

当，顶点的轨迹是以点为圆心，以为半径的圆，与的形状相同，因此函数在恰好为一个周期的图像；

所以函数的周期是；

其图像如下：

A选项，由图像及题意可得，该函数为偶函数，故A错；

B选项，因为函数的周期为，所以，因此；故B正确；

C选项，由图像可得，该函数的值域为；故C正确；

D选项，因为该函数是以为周期的函数，因此函数在区间的图像与在区间图像形状相同，因此，单调递增；故D正确；

故选：BCD.

【点睛】

本题主要考查分段函数的应用，熟记函数的性质，灵活运用数形结合的思想求解即可，属于常考题型.

三、填空题

13．（2020·内蒙古集宁一中期末（理））已知函数是幂函数，且该函数是偶函数，则的值是____

【答案】1

【分析】

由幂函数的定义可得，解出方程，最后根据该函数是偶函数确定的值.

【详解】

∵函数是幂函数，

∴，解得或，

又∵该函数是偶函数，

当时，函数是奇函数，

当时，函数是偶函数，

即的值是1，

故答案为1.

【点睛】

本题主要考查幂函数的定义与简单性质，函数奇偶性的判断，属于基本知识的考查．

14．（2020·吴起高级中学高二月考（文））已知函数在上为单调增函数，则实数的取值范围为________．

【答案】

【分析】

先要满足左右两段均为增函数，而且左侧的最高点不高于右侧的最低点，建立关于的不等量关系，即可求解.

【详解】

函数在上为单调增函数，

需，解得.
故答案为：.

【点睛】

本题考查分段函数的单调性，要注意分界点处函数值的大小关系，容易遗漏，属于中档题.

15．（2019·张家口市宣化第一中学高三月考（文））若，则_______

【答案】15

【解析】

试题分析：∵f（x）=，∴f（x）+f（1﹣x）=+=3，

∴f（）+f（）+f（）+…+f（）=5×3=15．

考点：函数的值

16．（2020·云南会泽·高一期末）已知函数是定义在区间上的奇函数,当时，图像如图，则不等式的解为____________.

【答案】

【分析】

根据图像得到的解为，根据奇函数性质得到和的解为，综合得到答案.

【详解】

函数是定义在区间上的奇函数.

当时，根据图像知的解为；

当时，，满足；

当时，根据奇函数性质知的解为；

综上所述：的解为

故答案为

【点睛】

本题考查了解不等式，意在考查学生对于函数图像和函数性质的综合应用.

四、解答题

17．（2020·湖南天心·长郡中学高一期末）已知为奇函数，且

（1）求的值；

（2）判断在上的单调性，并用单调性定义证明．

【答案】（1）；（2）递减，见解析

【分析】

(1)函数 是奇函数，所以 ，得到，从而解得； (2) 在区间上任取两个数，且，判断的符号，得到，由此证明函数的单调性.

【详解】

(1)    由题意知，则

，解得；

(2)函数 在上单调递减，证明如下：

在区间上任取两个数，且，

因为，所以

即，，

所以即，

函数在上单调递减.

【点睛】

本题考查由函数的奇偶性求参数，利用定义证明函数的单调性，属于基础题.

18．（2019·辽源市田家炳高级中学校高一期中（文））求函数的解析式.

（1）已知f（x）是一次函数，且满足，求f（x）；

（2）函数，求的表达式；

（3）已知，求的解析式.

【答案】(1)；(2) ；(3).

【分析】

（1）设出函数解析式，根据已知条件待定系数即可；

（2）求出的分割点，再代值即可；

（3）通过配凑法求解，用配凑出解析式，即可求得结果.

【详解】

（1）设，

因为

故可得

整理得

故可得，

故.

（2）令，解得，

故当时，，

当时，，，

综上所述：

.

（3）因为

故

故，

又因为，

故

【点睛】

本题考查求函数解析式的方法，涉及待定系数法，配凑法以及分段函数的解析式求解，属综合性经典题型.

19．（2017·湖北襄阳四中高一月考）定义在上的函数满足：①对任意都有；②当，.

（1）判断函数的奇偶性，并说明理由；

（2）判断函数在上的单调性，并说明理由；

（3）若，试求的值.

【答案】（1）奇函数（2）在上单调递减.（3）1

【解析】

试题分析：（1）令可得，再令得，可得结论；（2）根据证明函数单调性的步骤解题即可，解题中要注意所给函数性质的运用；（3）根据将化为一个值的形式，再由求值。

试题解析：（1）函数为奇函数。理由如下：

令，则，得，

令，则，

所以，

所以函数是上的奇函数。

（2）设，

因为，，，

所以，，

所以，

所以

因此在上单调递减.

（3）

因为，

所以。

点睛：抽象函数是函数中的一个重要成员，其特点是不知函数的解析式，因此对解题带来了困难。解决抽象函数问题时要注意以下几点：

①读懂题意，明确所给抽象函数所具有的特征及定义域、特殊值；

②用赋值法解题，有些抽象函数的性质是用条件恒等式给出的，可通过赋特殊值法使问题得以解决；

③熟练应用条件中所给的函数的性质，学会正用性质、逆用性质解题。

20．（2020·湖南雨花·期末）某宾馆有相同标准的床位100张，根据经验，当该宾馆的床价（即每张床每天的租金）不超过10元时，床位可以全部租出，当床价高于10元时，每提高1元，将有3张床位空闲．为了获得较好的效益，该宾馆要给床位定一个合适的价格，条件是：①要方便结账，床价应为1元的整数倍;②该宾馆每日的费用支出为575元，床位出租的收入必须高于支出，而且高出得越多越好．若用x表示床价，用y表示该宾馆一天出租床位的净收入（即除去每日的费用支出后的收入）．

（1）把y表示成x的函数，并求出其定义域;

（2）试确定该宾馆将床位定价为多少时，既符合上面的两个条件，又能使净收入最多?

【答案】（1）函数y= ，定义域为{x|}；

（2）当床位定价为22元时净收入最多．

【解析】

试题分析：（1）净收入等于收入减去支出，依题意需分为和两种情况求解析式，同时注意净收入必须大于零且价格为正整数，所以对每段函数的定义域需严格限制；（2）由分段函数的特点，需对两段函数分别求最大值，两段中最大的那个最大值即为所求．

试题解析： （1）依题意有

y= 且，

因为，

由 得．

由 得，

所以函数为

y=

定义域为{x|}．

（2）当x=10时）取得最大值425元，

当x＞10时

当且仅当时，y取最大值，

但，所以当x=22时）取得最大值833元，比较两种情况，可知当床位定价为22元时净收入最多．

考点：函数的实际应用．

【方法点睛】（1）函数实际应用的解题步骤：（1）设变量x，函数y，注意单位；（2）依题意列出函数关系式；（3）求最值；（4）作答，即将所求的数学结论还原到实际问题上来．（2）易错点：函数的定义域最容易出错，从而导致最值、值域出错．如本题，定义域一要注意分和，二要注意净收入大于零，三要注意价格必须为正整数，从而正确限制x的范围．

21．（2020·湖南茶陵三中月考）已知定义在上的偶函数满足：当时，.

（1）求函数在上的解析式；

（2）设，，若对于任意，都有成立，求实数的取值范围.

【答案】（1）；（2）.

【分析】

（1）根据偶函数的定义求解；

（2）用换元法求出的最小值，再求出的最大值，然后由可得的范围．

【详解】

（1）设，则，因为定义在偶函数，

所以，因为，所以

所以.

（2）因为对任意，都有成立，

所以.又因为是定义在上的偶函数，

所以在区间和区间上的值域相同.

当时,单调递增，

，又.

所以，所以，

故的取值范围为.

【点睛】

本题考查函数的奇偶性，考查不等式恒成立问题，不等式恒成立问题常常转化为求函数的最值，但要注意要根据不等号的方向，存在量词与全称量词等确定是求最大值还是求最小值，否则易出错．

22．（2019·福建省华安县第一中学高一月考）已知函数具有以下性质：如果常数，那么函数 在区间上是减函数，在区间上是增函数.

（1）已知函数， ，求函数的值域.

（2）对于（1）中的函数和函数，若对任意的 ，总存在，使得 成立，求实数a的值.

【答案】（1）；（2）.

【分析】

（1）设，，，则，，根据函数的性质，可得单调性，根据单调性可得值域；

（2）根据单调性求出函数在上的值域，再根据的值域是的值域的子集列式可解得结果.

【详解】

（1）解：令，因为，所以，，

则，令，，

由已知得：函数在区间上是减函数，在区间上是增函数.

因为，，，所以，

所以函数的值域为.

（2）解：由（1）知函数的值域为，

又函数，的值域为，

因为对任意的，总存在，使得成立，

所以，那么，解得：.

【点睛】

结论点睛：本题考查不等式的恒成立与有解问题，可按如下规则转化：

一般地，已知函数，

（1）若，，总有成立，故；

（2）若，，有成立，故；

（3）若，，有成立，故；

（4）若，，有，则的值域是值域的子集 ．