专题02 一元二次函数、方程和不等式（基础巩固）-2021年暑假高一升高二数学复习基础巩固+能力提升专题（人教A版2019）

新教材2019人教必修第一册】

暑假高一基础巩固 专题02 一元二次函数、方程和不等式模块

 解析版

学校:___________姓名：___________班级：___________考号：___________

一、单选题

1．（2018·兴安县第三中学期中）下列不等式的解集是空集的是

A．x2-x+1>0 B．-2x2+x+1>0 C．2x-x2>5 D．x2+x>2

【答案】C

【解析】

试题分析：A 开口向上， ，所以解集是 空集；B解集为 ；C变形为 开口向上，，所以解集是空集；D ，解得

考点：解一元二次不等式

2．（2020·黑龙江哈尔滨·高三月考（理））若，则“”是 “”的（  ）

A．充分不必要条件 B．必要不充分条件

C．充分必要条件 D．既不充分也不必要条件

【答案】A

【分析】

本题根据基本不等式，结合选项，判断得出充分性成立，利用“特殊值法”，通过特取的值，推出矛盾，确定必要性不成立.题目有一定难度，注重重要知识、基础知识、逻辑推理能力的考查.

【详解】

当时，，则当时，有，解得，充分性成立；当时，满足，但此时，必要性不成立，综上所述，“”是“”的充分不必要条件.

【点睛】

易出现的错误有，一是基本不等式掌握不熟，导致判断失误；二是不能灵活的应用“赋值法”，通过特取的值，从假设情况下推出合理结果或矛盾结果.

3．（2020·陕西新城·西安中学期末（理））已知，，，则、、的大小关系为（    ）

A． B． C． D．

【答案】D

【分析】

比较、、的大小，进而可得出、、的大小关系.

【详解】

，，

又，即，

又、、均为正数，所以，.

故选：D.

【点睛】

本题考查数的大小比较，考查推理能力，属于基础题.

4．（2020·黑龙江萨尔图·大庆实验中学开学考试）若，则下列命题中为真命题的是（    ）

A．若，则 B．若，则

C．若，则 D．若，则

【答案】B

【分析】

由基本不等式及不等式的性质逐一检验即可得解.

【详解】

解：对于选项A，当时，若，则，故A错误，

对于选项B，因为，所以，，所以，当且仅当，即时取等号，故B正确，

对于选项C，取时，显然选项C错误，

对于选项D，取时，显然选项D错误，

综上可知：选项B正确，

故选：B.

【点睛】

本题考查了基本不等式及不等式的性质，属于基础题.

5．（2020·广东东莞·高二期末）克糖水中含克糖，若再加入克糖，则糖水变甜了．请根据此事实提炼一个不等式（　　）

A． B． C． D．

【答案】B

【分析】

根据题意得出加糖前后糖水中糖的浓度的表达式，结合题意可得出不等关系，进而可得出结果.

【详解】

克糖水中含克糖，糖水中糖的浓度为，

再加入克糖后，糖水中糖的浓度为，

加糖后，糖水变甜了，说明糖水中糖的浓度变大了，则有.

故选：B.

【点睛】

本题考查不等关系的求解，属于基础题.

6．（2019·湖北孝感·高二月考）《几何原本》卷2的几何代数法（用几何方法研究代数问题）成了后世西方数学家处理问题的重要依据，通过这一原理，很多代数公理、定理都能够通过图形实现证明，并称之为“无字证明”.现有如下图形：是半圆的直径，点在半圆周上，于点，设，，直接通过比较线段与线段的长度可以完成的“无字证明”为

A． B．

C． D．

【答案】D

【详解】

是半圆的半径，为圆的直径，，由射影定理可知，，在中，，，当 与重合时，，所以，故选D.

7．（2020·安徽省舒城中学开学考试（理））若存在，使不等式成立，则实数的取值范围是

A． B． C． D．

【答案】A

【分析】

先分离参数得到，再求函数最小值，解不等式得解.

【详解】

由题得，

因为，

所以当时，函数取到最小值

故答案为A

【点睛】

本题主要考查不等式的存在性问题，考查函数的最值的计算，意在考查学生对这些知识的掌握水平和分析推理计算能力.

8．（2020·江西期末（文））若对于任意的x＞0，不等式恒成立，则实数a的取值范围是(    )

A．a≥ B．a＞ C．a＜ D．a≤

【答案】A

【分析】

由于x＞0，对不等式左侧分子分母同时除以x，再求出左侧最大值即可求解.

【详解】

由题：对于任意的x＞0，不等式恒成立，

即对于任意的x＞0，不等式恒成立，

根据基本不等式：，当且仅当时，取得等号，

所以的最大值为，

所以.

故选：A

【点睛】

此题考查不等式恒成立求参数范围，通过转化成求解函数的最值问题，结合已学过的函数模型进行求解，平常学习中积累常见函数处理办法可以事半功倍.

二、多选题

9．（2020·山东泰安·高二期末）若，，为实数，则下列命题正确的是（    ）

A．若，则 B．若，则

C．若，则 D．若，，则

【答案】ACD

【分析】

根据不等式的性质判断．

【详解】

解：对于A，若，则，故正确；

对于B，根据不等式的性质，若，则，故错误；

对于C，若，则，即，故正确；

对于D，若，，则，，则，故正确.

故选：ACD．

10．（2020·赣榆智贤中学月考）下列结论正确的是______.

①当时，

②当时，的最小值是5

③当时，的最小值是2

④设，，且，则的最小值是

【答案】①④

【分析】

由基本不等式成立的前提条件是“一正、二定，三相等”，可得选项①④正确，②③错误．

【详解】

对于①，当时，，，当且仅当时取等号，结论成立，故①正确；

对于②，因为，所以，则，当且仅当，即时取等号，故②错误；

对于③，当时，，当且仅当时取等号，但，等号取不到，因此的最小值不是2，故③错误；

对于④，因为，，则，当且仅当，即时，等号成立，故④正确.

故答案为：①④

【点睛】

本题考查了均值不等式成立的前提条件是“一正、二定，三相等”，重点考查了运算能力，属中档题.

11．（2020·山东聊城·高二期末）已知，集合．若是的必要条件，则实数m的取值可以是（    ）

A． B．1 C．3 D．5

【答案】ABC

【分析】

解不等式得集合，将必要条件转化为集合之间的关系列出关于的不等式组，解得范围即可得结果.

【详解】

由，解得，∴，

非空集合，

又是的必要条件，所以，

当，即时，满足题意；

当，即时，

∴，解得，

∴的取值范围是，

实数m的取值可以是，

故选：ABC.

12．（2020·全国高一课时练习）已知不等式的解集是，则下列结论正确的是（    ）

A．不等式的解集是

B．不等式的解集是

C．不等式的解集是或

D．不等式的解集是

【答案】ABD

【分析】

根据不等式的解与系数的关系得到，，依次代入不等式解得答案.

【详解】

的解集是，故且，即，

，即，即，解集为，A正确；

，即，即，解集为，

B正确C错误；

，即，即，解集为，

D正确.

故选：ABD.

【点睛】

本题考查了根据不等式的解求参数，解不等式，意在考查学生的计算能力和转化能力，确定是解题的关键.

三、填空题

13．（2020·荆州市北门中学期末）不等式的解集是________.

【答案】

【分析】

移项后通分，再转化为一元二次不等式来求解，注意分母不为零.

【详解】

原不等式可化为即，所以，

故，所以原不等式的解集为.

故答案为：.

【点睛】

本题考查分式不等式的解集， 此类不等式常利用符号法则转化为一元二次不等式来求解，转化时注意分母不为零，本题属于基础题.

14．（2020·江苏扬中市第二高级中学开学考试）已知，且，则的最小值为_________．

【答案】4

【分析】

根据已知条件，将所求的式子化为，利用基本不等式即可求解.

【详解】

，,

，当且仅当=4时取等号，

结合,解得，或时，等号成立.

故答案为：

【点睛】

本题考查应用基本不等式求最值，“1”的合理变换是解题的关键，属于基础题.

15．（2020·广东濠江·金山中学月考）在如图所示的锐角三角形空地中, 欲建一个面积最大的内接矩形花园(阴影部分), 则其边长x为       (m).

【答案】20

【解析】

试题分析：设矩形高为，由三角形相似得且，

所以，仅当时，矩形的面积取最大值，所以其边长为.

考点：基本不等式的应用.

16．（2018·兴安县第三中学期中）已知，则的取值范围为_______.

【答案】

【分析】

由，可得,再将同乘可得答案.

【详解】

因为，所以，

所以，.

将不等式,同乘以,

则，即.

故答案为:.

【点睛】

本题考查了不等式的性质,考查了学生的推理能力,属于基础题.

四、解答题

17．（2019·陕西省商丹高新学校月考）已知二次函数的图象如图所示：

（1）写出该函数的解析式；

（2）求当时，函数的值域．

【答案】(1) ,(2)

【分析】

（1）利用待定系数法，设函数解析式为，将代入，求出的值，即可得到函数的解析式；

（2）利用配方法，结合函数的定义域，可得函数的值域

【详解】

解：（1）设二次函数为，将代入，可得，得，

所以二次函数解析式为，

（2），

因为，函数图像的对称轴为直线，

所以当时，函数取得最小值为，当时，函数取得最大值为5，

所以函数的值域为

【点睛】

此题考查求二次函数的解析式和值域，属于基础题

18．（2020·江西上高二中月考（文））已知非空集合，集合．

（1）当时，求；

（2）命题，命题，若q是p的必要条件，求实数a的取值范围．

【答案】（1） （2）

【分析】

（1）利用一元二次不等式的解法和集合的交运算即可求解；

（2）若是的必要条件，则集合，对集合对应的不等式，根据其解集的端点 和，分，，三种情况进行讨论，在每种情况下，借助数轴列出集合时实数需满足的不等式组，解不等式组即可求解.

【详解】

（1）当时，集合，

集合，

所以由集合的交运算可得，．

（2）若是的必要条件，则集合，

因为集合．

①当时，，集合，

要使，则，解得，因为，故这种情况不成立；

②当时，，集合，这与题目条件矛盾；

③当时，，集合，

要使，则，解得，

因为，故，

综上可知：实数的取值范围为．

【点睛】

本题考查一元二次不等式的解法和集合的交运算、把必要条件等价转化为集合间的包含关系求参数的范围；考查运算求解能力、分类讨论思想和转化与化归能力；把必要条件等价转化为集合间的包含关系是求解本题的关键；属于综合型、难度大型试题.

19．（2020·武汉市第三中学月考）近年来，中美贸易摩擦不断.特别是美国对我国华为的限制.尽管美国对华为极力封锁，百般刁难，并不断加大对各国的施压，拉拢他们抵制华为5G，然而这并没有让华为却步.华为在2018年不仅净利润创下记录，海外增长同样强劲.今年，我国华为某一企业为了进一步增加市场竞争力，计划在2020年利用新技术生产某款新手机.通过市场分析，生产此款手机全年需投入固定成本250万，每生产（千部）手机，需另投入成本万元，且 ，由市场调研知，每部手机售价0.7万元，且全年内生产的手机当年能全部销售完.

（）求出2020年的利润（万元）关于年产量（千部）的函数关系式，（利润=销售额—成本）；

2020年产量为多少（千部）时，企业所获利润最大？最大利润是多少？

【答案】（Ⅰ）（Ⅱ）2020年产量为100（千部）时，企业所获利润最大，最大利润是9000万元.

【分析】

（Ⅰ）根据销售额减去成本（固定成本万和成本）求出利润函数即可.

（Ⅱ）根据（Ⅰ）中的分段函数可求出何时取最大值及相应的最大值.

【详解】

（Ⅰ）当时，；

当时，，

.

（Ⅱ）若，，

当时，万元 .

若，，

当且仅当时，即时，万元 .

2020年产量为100（千部）时，企业所获利润最大，最大利润是9000万元.

【点睛】

解函数应用题时，注意根据实际意义构建目标函数，有时可根据题设给出的计算方法构建目标函数.求函数的最值时，注意利用函数的单调性或基本不等式.

20．（2020·四川省绵阳第一中学开学考试）已知函数．

（1）解关于的不等式；

（2）若对任意的，恒成立，求实数的取值范围．

【答案】（1）答案见解析；（2）．

【分析】

（1）将原不等式化为，分类讨论可得不等式的解．

（2）若则；若，则参变分离后可得在恒成立，利用基本不等式可求的最小值，从而可得的取值范围．

【详解】

（1）∵，

∴，

即；

当时，不等式解集为；

当时，不等式解集为；

当时，不等式解集为．

综上所述，当时，不等式解集为；

当时，不等式解集为；

当时，不等式解集为．

（2）∵对任意的，恒成立，

∴恒成立，

即恒成立．

当时，不等式为恒成立；

当时，，

∵

∴

∴，当且仅当时，即，时取“=”．

∴．

当时，．

∵，

∴．

令，则，

∵函数在上单调递增，

∴当，即时，函数取到最大值，

∴．

综上所述，的取值范围是．

【点睛】

含参数的一元二次不等式，其一般的解法是：先考虑对应的二次函数的开口方向，再考虑其判别式的符号，其次在判别式于零的条件下比较两根的大小，最后根据不等号的方向和开口方向得到不等式的解．含参数的不等式的恒成立问题，优先考虑参变分离，把恒成立问题转化为不含参数的新函数的最值问题，后者可用函数的单调性或基本不等式来求．

21．（2020·浙江高一课时练习）（1）比较与的大小.

（2）已知，，求的取值范围.

【答案】（1）；（2）.

【分析】

（1）利用作差法得到，再比较、的大小，将两式平方之后再作差即可得出结论.

（2）用待定系数法，令,即可求解.

【详解】

解：.

又，

，

（2）令.

∴

解得

∴.

∵，∴.

又，∴.

故的取值范围为.

【点睛】

本题考查作差法比较两数的大小，以及不等式的性质，属于基础题.

22．（2020·河北新华·石家庄新世纪外国语学校期中）不等式．

（1）若不等式解集是或，求k的值；

（2）若方程有两根，其中一根大于1，另一根小于1，求k的取值范围．

【答案】（1）；（2）

【分析】

（1）由题意可知，是方程的两根，利用韦达定理可求得值；

（2）借助二次函数的图象及二次函数的性质可得的不等式，解出即可；

【详解】

解：（1）解集是或，

，是方程的两根，

，解得；

（2）令，

由题意得或，即或，解得．

【点睛】

本题考查一元二次不等式的解法、函数的零点，考查函数与方程思想，考查学生分析解决问题的能力，属于中档题．