专题12 一元二次函数、方程和不等式（能力提升）-2021年暑假高一升高二数学复习基础巩固+能力提升专题（人教A版2019）

【新教材2019人教必修第一册】

暑假高一能力提升 专题12一元二次函数、方程和不等式

解析版

学校:___________姓名：___________班级：___________考号：___________

一、单选题

1．（2020·江苏赣榆一中月考）不等式的解集是．

A． B． C． D．或

【答案】D

【详解】

或.

故选D.

2．（2020·湖北荆州·期末）已知是正实数，且，则的最小值为

A． B．2 C． D．4

【答案】C

【分析】

由，再结合基本不等式求最值即可得解.

【详解】

解：因为且是正实数，

则，当且仅当即时取等号，

即的最小值为，

故选：C.

【点睛】

本题考查了基本不等式的应用，重点考查了运算能力，属基础题.

3．（2020·安徽省舒城中学开学考试（文））下列说法中，正确的是（    ）

A．若，，则 B．若，则

C．若，则 D．，，则

【答案】B

【分析】

根据不等式的性质，逐项判断.

【详解】

选项A，少了为正数条件，不一定成立，

如，则，所以A不正确；

选项B，因为，

即，所以B正确；

选项C，若，当时，则，所以C不正确；

选项D，两个同向不等式相减，差不一定同向，如，

两式相减，所以D不正确.

故选：B.

【点睛】

本题考查不等式命题的真假判断，熟记不等式性质成立的条件是解题的关键，属于基础题.

4．（2020·贵州威宁·期末）已知，，，则，，的大小关系为（    ）

A． B． C． D．

【答案】C

【分析】

首先分别得到，，，即可得到，，的大小关系.

【详解】

，，.

所以，又，，均为正数，即.

故选：C

【点睛】

本题主要考查几个数的比较大小，同时考查学生分析问题的能力，属于简单题.

5．（2020·宜宾市叙州区第一中学校开学考试（理））若不等式 对任意实数 均成立，则实数的取值范围是（    ）

A． B． C． D．

【答案】C

【分析】

将不等式转化为，再对二次项系数进行分类讨论，结合一元二次不等式在上恒成立，即可求得参数范围.

【详解】

由题意，不等式，可化为，

 当，即时，不等式恒成立，符合题意；

 当时，要使不等式恒成立，需 ，

解得，

综上所述，所以的取值范围为，

故选：.

【点睛】

本题考查一元二次不等式恒成立求参数范围的问题，属基础题.

6．（2018·怀化市宏宇中学高二期中（文））若二次不等式在区间[2,5]上有解，则的取值范围是

A． B． C． D．

【答案】A

【解析】

 关于不等式在上有解，

所以在上有解，即在上有解，

设，所以恒成立，

所以函数在上单调递减函数，

所以函数的值域为，所以，故选A.

点睛：本题主要考查了不等式的有解问题，其中解答中涉及到不等式的有解问题的转化，利用导数研究函数的单调性与最值等知识点的综合考查，关键在于把不等式的有解问题转化函数的值域问题，利用函数的性质求解.

7．（2020·上海市建平中学月考）蔬菜价格随着季节的变化而有所变化．根据对农贸市场蔬菜价格的调查得知，购买千克甲种蔬菜与千克乙种蔬菜所需费用之和大于元，而购买千克甲种蔬菜与千克乙种蔬菜所需费用之和小于元．设购买千克甲种蔬菜所需费用为元，购买千克乙种蔬菜所需费用为元，则．

A． B．

C． D．，大小不确定

【答案】C

【详解】

设甲、乙两种蔬菜的价格分别为，元，

则，，，

两式分别乘以，，

整理得，

即，

所以．

故选．

8．（2020·四川武侯·成都七中）实数，，满足且，则下列关系成立的是（    ）

A． B． C． D．

【答案】D

【分析】

根据等式可变形为，利用完全平方可得大小，由得，做差，配方法比较大小.

【详解】

由可得，利用完全平方可得

所以，

由可得，

，

，

综上，

故选：D

【点睛】

本题主要考查了做差法比较两个数的大小，考查了推理与运算能力，属于难题.

二、多选题

9．（2020·江苏清江浦·淮阴中学月考）设a＞b＞0，则下列不等式一定成立的是（    ）

A． B． C． D．

【答案】BC

【分析】

对选项A，利用做差法即可判断；对选项B，利用指数函数的性质即可判断，对选项C，利用基本不等式即可判断，对选项D，利用赋值法即可判断.

【详解】

对选项A，，因为，所以，.

所以，故A错误；

对选项B，因为，所以，即，故B正确；

对选项C，因为，所以，

即，故C正确；

对选项D，设，，满足，

此时，，不满足，故D错误.

故选：BC

【点睛】

本题主要考查利用作差法，基本不等式法和赋值法比较大小，属于简单题. 比较两个数的大小主要有四种方法：（1）作差法；（2）作商法；（3）函数单调性法；（4）基本不等式法.

10．（2019·全国高一课时练习）若，则下列说法正确的是（    ）

A．若，则 B．若，则

C．若，则 D．若，则

【答案】D

【分析】

代入特殊值可探究A,B,C三个选项是否正确，通过作差法得，结合已知条件，即可判断的大小关系.

【详解】

A：例如当，成立，但是不成立，故A错误.

B：当时，显然不成立，故本选项说法不正确；

C：当时，成立，但，故C错误.

D：，因为，

所以，又，所以，即.

故选:D.

【点睛】

本题考查了不等式的性质，属于基础题.

11．（2020·全国高一课时练习）下列叙述中不正确的是（    ）

A．若，，则“”的充要条件是“”

B．若，则“”的充要条件是“”

C．“”是“方程有一个正根和一个负根”的充分不必要条件

D．“”是“”的充分不必要条件

【答案】ABC

【分析】

当，，，判断A选项错误；当，，判断B选项错误；根据 “”是“方程有一个正根和一个负根”的充要条件判断C选项错误；根据不等式性质判断D选项正确

【详解】

解：A选项：当，，此时，但，故A选项错误；

B选项：当，，此时，但，故B选项错误；

C选项：方程有一个正根和一个负根等价于，所以“”是“方程有一个正根和一个负根”的充要条件，故C选项错误；

D选项：因为，所以充分性满足 ，因为或，所以必要性不满足，故D选项正确；

故选：ABC

【点睛】

本题考查充分条件与必要条件的判定、一元二次不等式的求解、一元二次方程的根的分布、不等式的性质，是中档题.

12．（2020·运城市景胜中学开学考试）、如图，已知直线y=3x+3交x轴于点A，交y轴于点B，过A、B两点的抛物线交x轴于另一点C(3，0).若该抛物线的对称轴上存在点Q满足△ABQ是等腰三角形，则点Q的坐标可以是（    ）

A．(1，1) B．(1，0) C．(1，6) D．(1，-6)

【答案】AB

【分析】

根据直线的解析式y=3x+3，当x=0和y=0时就可以求出点A、B的坐标，设抛物线的解析式为y=ax2+bx+c，根据A、B、C三点的坐标，利用待定系数法即可求出抛物线的解析式，将抛物线化为顶点式，求出对称轴，设出Q点的坐标，△ABQ是等腰三角形的情况分为3种，即A、B、Q分别为等腰三角形的顶点，利用等腰三角形的性质，根据勾股定理、两点之间的距离公式即可求出Q点的坐标．

【详解】

∵y=3x+3，∴当x=0时，y=3，当y=0时，x=-1

∴A（-1，0），B（0，3），

设抛物线的解析式为y=ax2+bx+c，由题意，得

，解得，

∴抛物线的解析式为y=-x2+2x+3=-(x-1)2+4，

∴抛物线的对称轴为x=1

设Q（1，t），

①当AQ=BQ时，如图，过点B作BF⊥QF，交对称轴于F.

由勾股定理可得

，，

得，解得t=1，

∴Q（1，1）；

②当AB是腰时，Q是对称轴与x轴交点时，AB=BQ，如图.

，解得t=0或6，

当Q点的坐标为（1，6）时，其在直线AB上，A、B和Q三点共线，舍去，

则此时Q的坐标是（1，0）；

③当AQ=AB时，如图.

，解得，

则Q的坐标是和，

综上所述：Q的坐标可能为．

故选：AB.

【点睛】

本题考查二次函数相关相关的几何问题，属于中档题.

三、填空题

13．（2020·广西南宁三中开学考试）若正数a，b满足ab=a+b+2，则ab的取值范围是_____．

【答案】

【解析】

∵，

∴，当且仅当时等号成立，

整理得，

解得或（舍去）

∴。

∴ab的取值范围是。

答案：。

点睛：运用基本不等式的注意点

（1）应用基本不等式的前提是“一正、二定、三相等”，且三个条件缺一不可；

（2）运用公式解题时，既要掌握公式的正用，也要注意公式的逆用，例如逆用就是；逆用就是等．还要注意“添、拆项”技巧和公式等号成立的条件等．

14．（2020·全国高一课时练习）若命题“，使得”为假命题，则实数的范围__________．

【答案】

【解析】

由题意：x2＋(a－1)x＋1＞0恒成立．

则对应方程x2＋(a－1)x＋1＝0无实数根．

则Δ＝(a－1)2－4＜0，

即a2－2a－3＜0，所以－1＜a＜3.

15．（2020·湖南天心·长郡中学高二期末）设,则的最大值为 ________．

【答案】

【详解】

由两边同时加上

得两边同时开方即得：（且当且仅当时取“=”），

从而有（当且仅当,即时，“=”成立）

故填：.

考点：基本不等式.

【名师点睛】

本题考查应用基本不等式求最值，先将基本不等式转化为（a>0,b>0且当且仅当a=b时取“=”）再利用此不等式来求解.本题属于中档题，注意等号成立的条件.

16．（2020·辽宁沈阳·高一期末）设函数，对于，不等式恒成立，则实数的取值范围是______

【答案】

【分析】

把不等式恒成立，转化为在恒成立，利用基本不等式求得的最小值，进而得到，结合一元二次不等式的解法，即可求解.

【详解】

由题意，函数，

因为对于，不等式恒成立，

即在恒成立，

即在恒成立，

又由，当且仅当，即时，等号成立，

所以，即，即，

解得或，即实数的取值范围是.

故答案为：.

【点睛】

本题主要考查了不等式的恒成立问题，一元二次不等式的解法，以及基本不等式求最值的综合应用，着重考查转化思想，以及推理与运算能力，属于中档试题.

四、解答题

17．（2020·江苏扬中市第二高级中学开学考试）已知函数，.

（1）若对任意，都有成立，求实数的取值范围；

（2）若存在，使成立，求实数的取值范围；

（3）若对任意，都有成立，求实数的取值范围.

【答案】（1）；（2）；（3）.

【分析】

（1）通过分离变量将问题转化为对任意恒成立，通过二次函数性质求得的最大值，进而得到结果；

（2）通过分离变量将问题转化为存在，使得成立，通过二次函数性质求得的最小值，进而得到结果；

（3）将问题转化为，根据二次函数性质可分别求得最值，进而构造不等式求得结果.

【详解】

（1）由题意得：对任意恒成立，

即对任意恒成立，

当时，取得最大值，，即的取值范围为.

（2）由题意得：存在，使得成立，

即存在，使得成立，

当时，取得最小值，，即的取值范围为.

（3）由题意得：当时，，

当时，；当时，，

，解得：，即的取值范围为.

【点睛】

本题考查与二次函数有关的恒成立和能成立问题的求解，关键是能够将问题转化为二次函数的最值的求解问题，属于常考题型.

18．（2017·山东师范大学附中高二期中（理））“足寒伤心，民寒伤国”，精准扶贫是巩固温饱成果、加快脱贫致富、实现中华民族伟大“中国梦”的重要保障．某地政府在对石山区乡镇企业实施精准扶贫的工作中，准备投入资金将当地农产品进行二次加工后进行推广促销，预计该批产品销售量万件（生产量与销售量相等）与推广促销费万元之间的函数关系为（其中推广促销费不能超过3万元）．已知加工此批农产品还要投入成本万元（不包含推广促销费用），若加工后的每件成品的销售价格定为元/件．

（1）试将该批产品的利润万元表示为推广促销费万元的函数；（利润销售额成本推广促销费）

（2）当推广促销费投入多少万元时，此批产品的利润最大？最大利润为多少？

【答案】(1)详见解析;(2) 当推广促销费投入2万元时，利润最大为14万元.

【解析】

试题分析：（1）结合题意可得；（2）由，通过变形利用基本不等式可得，即得最大利润为14万元。

试题解析：

（1）由题意知

（2）由（1）得

，

当且仅当且，即时等号成立。

当时，。                               

答：当推广促销费投入2万元时，利润最大为14万元.

19．（2018·阳春市第一中学开学考试）已知关于x的二次函数的图象与x轴有2个交点.

（1）求k的取值范围；

（2）若图象与x轴交点的横坐标为，，且它们的倒数之和是，求k的值.

【答案】（1）；（2）.

【分析】

（1）根据二次函数的图象与x轴有两交点，得出时，有两个不相等的实数根，从而可知，解不等式即可得出答案； 
（2）由根与系数关系得出方程，解方程即可得出答案．

【详解】

（1）∵二次函数的图象与x轴有两交点，

∴当时，有两个不相等的实数根.

∴.

解得；

（2）当时，，

则，，

∵，

解得：或（舍去），

∴.

【点睛】

本题考查二次函数与一元二次方程的关系，考查一元二次方程根与系数的关系，属于基础题.

20．（2020·沙坪坝·重庆南开中学月考）某城市上年度电价为0.80元/千瓦时，年用电量为千瓦时.本年度计划将电价降到0.55元/千瓦时～0.7元/千瓦时之间，而居民用户期望电价为0.40元/千瓦时（该市电力成本价为0.30元/千瓦时)，经测算，下调电价后，该城市新增用电量与实际电价和用户期望电价之差成反比，比例系数为.试问当地电价最低为多少元/千瓦时，可保证电力部门的收益比上年度至少增加20%.

【答案】电价最低为元/千瓦时，可保证电力部门的收益比上一年度至少增加.

【解析】

试题分析： 根据题意列新增用电量，再乘以单价利润得收益，列不等式，解一元二次不等式，根据限制条件取交集得电价取值范围，即得最低电价

试题解析：设新电价为元/千瓦时，则新增用电量为千瓦时.依题意，有，

即，整理，得，

解此不等式，得或，又，

所以，，

因此，，即电价最低为元/千瓦时，可保证电力部门的收益比上一年度至少增加.

21．（2021·河南高二三模（理））已知，，，证明：

（1）；

（2）.

【答案】（1）证明见解析；（2）证明见解析.

【分析】

（1）根据，利用基本不等式可证得结论；

（2）将不等式左侧配凑化简为，结合（1）中结论可得到结论.

【详解】

（1），，

（当且仅当，即时取等号）；

（2）.

由（1）可知：，

（当且仅当时取等号）.

22．（2020·眉山市彭山区第一中学期中）设函数,

（1）若不等式的解集为，求的值；

（2）若，求的最小值．

（3）若 求不等式的解集.

【答案】（1）2；（2）；（3）分类讨论，详见解析.

【分析】

（1）根据不等式与相应的方程之间的关系得出关于的方程组，求解可得出的值；

（2）由得，再代入中运用均值不等式可求得最小值；

（3）由已知将不等式化为，即，对分①，②，③，④四种情况分别讨论得出不等式的解集.

【详解】

（1）由不等式的解集为可得：方程的两根为，3且,

由根与系数的关系可得：，

所以

（2）由已知得,则

，

当时，，所以（当且仅当时等号成立）；

当时，，所以（当且仅当时等号成立）；

所以的最小值为；

（3）由得，

又因为 所以不等式化为，即，

当时，，原不等式或

若，原不等式此时原不等式的解的情况应由与1的大小关系决定，故

（1）当时，不等式的解集为；

（2）当时，，不等式；

（3）当时，，不等式 .

综上所述，不等式的解集为：

①当时，或；

②当时，；

③当时，；

④当时，.

故得解.

【点睛】

本题综合考查二次函数与一元二次不等式、一元二次方程之间的转化的关系，以及利用均值不等式求解最值和讨论参数的范围求解一元二次不等式，属于中档题.