2020-2021学年4 单摆导学案及答案

单摆

1．知道什么是单摆。

2．掌握单摆振动的特点，知道单摆回复力的来源，理解摆角很小时单摆的振动是简谐运动。

3．知道单摆的周期跟什么因素有关，了解单摆的周期公式，并能用来进行有关的计算。

知识点一　单摆的回复力

[情境导学]

如图甲所示为家庭用的摆钟，其摆锤的振动可以简化为如图乙所示，一根细线上端固定，下端连接一个金属小球，用手使小球偏离竖直方向一个夹角，然后由静止释放，请思考：

(1)小球在振动过程中受到哪些力的作用？

(2)小球振动的回复力由什么力提供？

提示：(1)小球受重力和细线的拉力作用。

(2)回复力由重力沿圆弧切线方向的分力提供。

[知识梳理]

1．单摆

(1)组成：由长度不变的细线和小球组成。

(2)模型条件：

①细线的质量和小球相比可以忽略。

②小球的直径与线的长度相比可以忽略，可以看成质点。

2．单摆的回复力

(1)来源：摆球的重力沿圆弧切线方向的分力。

(2)特点：在偏角很小时，摆球所受的回复力与它偏离平衡位置的位移成正比，方向总指向平衡位置，即F＝－x。

(3)结论：单摆在偏角很小时，回复力满足F＝－kx，可以看成做简谐运动。

[初试小题]

1．判断正误。

(1)制作单摆的细线弹性越大越好。(×)

(2)制作单摆的摆球越大越好。(×)

(3)单摆做简谐运动时的回复力是小球所受的合力。(×)

(4)单摆回复力的方向总是指向悬挂位置。(×)

2．关于单摆摆球在运动过程中的受力，下列结论错误的是(　　)

A．摆球受重力、摆线的张力作用

B．摆球的回复力最大时，向心力为零

C．摆球的回复力为零时，向心力最大

D．摆球的回复力最大时，摆线中的张力大小比摆球的重力大

解析：选D　单摆在运动过程中，摆球受重力和摆线的拉力，故A正确；重力垂直于摆线的分力提供回复力，当回复力最大时，摆球在最大位移处，速度为零，向心力为零，则摆线拉力小于重力，在平衡位置处，回复力为零，速度最大，向心力最大，摆球的加速度方向沿摆线指向悬点，故D错误，B、C正确。

知识点二　单摆的周期

[情境导学]

摆的等时性原理是指不论摆钟摆动幅度(摆角小于5°时)大些还是小些，完成一次摆动的时间是相同的。请思考：

(1)是谁发现了摆的等时性原理？

(2)摆钟摆动的周期与摆动的振幅大小有关吗？与摆锤的质量大小有关吗？

(3)摆钟摆动的周期与摆锤的长度有关吗？

提示：(1)伽利略。(2)无关，无关。(3)有关。

[知识梳理]

1．定性探究单摆的振幅、质量、摆长对周期的影响

(1)探究方法：控制变量法。

(2)实验结论

①单摆振动的周期与摆球的质量无关。

②振幅较小时，周期与振幅无关。

③摆长越长，周期越长；摆长越短，周期越短。

2．定量探究单摆周期与摆长之间的关系

(1)荷兰物理学家惠更斯进行了详尽的研究，发现单摆做简谐运动的周期T与摆长l的二次方根成正比，与重力加速度g的二次方根成反比，而与振幅、摆球质量无关。

(2)单摆周期公式：T＝2π。

[初试小题]

1．判断正误。

(1)摆球的质量越大，周期越小。(×)

(2)单摆的振幅越小，周期越小。(×)

(3)单摆的摆长越长，周期越长。(√)

(4)同一个摆钟，由地球移到月球上时其指针走时会变快。(×)

2.如图所示，单摆的周期为T，则下列说法正确的是(　　)

A．把摆球质量增加一倍，其他条件不变，则单摆的周期变小

B．把摆角α变小，其他条件不变，则单摆的周期变小

C．将此摆从地球移到月球上，其他条件不变，则单摆的周期将变长

D．将单摆摆长增加为原来的2倍，其他条件不变，则单摆的周期将变为2T

解析：选C　根据单摆的周期公式T＝2π 知，周期与摆球的质量和摆角无关，摆长增加为原来的2倍，周期变为原来的倍，故A、B、D错误；月球表面的重力加速度小于地球表面的重力加速度，由周期公式T＝2π 知将此摆从地球移到月球上，单摆的周期将变长，C正确。

[要点归纳]

1．单摆的回复力

(1)单摆受力：如图所示，受细线拉力和重力作用。

(2)向心力来源：细线拉力和重力沿径向分力的合力。

(3)回复力来源：重力沿圆弧切线方向的分力F＝mgsin θ，提供了使摆球振动的回复力。

2．单摆做简谐运动的规律

(1)单摆做简谐运动的位移随时间变化的图像是一条正弦(或余弦)曲线。

(2)单摆振动过程中各量的变化特点。

3．单摆做简谐运动的推证

如图所示，单摆的回复力F＝G1＝mgsin θ，在偏角很小时， sin θ≈，所以单摆的回复力为F＝－x (式中x表示摆球偏离平衡位置的位移，l表示单摆的摆长，负号表示回复力F与位移x的方向相反)，由此知回复力符合F＝－kx，故单摆做简谐运动。

[例题1]　关于单摆摆球在运动过程中的受力，下列结论正确的是(　　)

A．摆球受重力、摆线的张力、回复力、向心力作用

B．摆球的回复力最大时，向心力为零；回复力为零时，向心力最大

C．摆球的回复力最大时，摆线中的张力大小比摆球的重力大

D．摆球的向心力最大时，摆球的加速度方向沿摆球的运动方向

[解析]　摆球在摆运过程中只受重力和摆线的张力，回复力和向心力都是按效果命名的，A错误；摆球摆动到回复力最大即最大位移处时，速度为零，向心力为零，此时摆线的张力等于球的重力沿摆线方向的分力，一定小于摆球重力，摆球在平衡位置时，向心力最大，此时加速度方向指向圆心，B正确，C、D错误。

[答案]　B

关于单摆的回复力的三点提醒

(1)单摆振动中的回复力是重力沿圆弧切线方向的分力，除了最大位移处之外回复力与它受到的合力均不相等。单摆振动过程中，有向心力，这是与弹簧振子不同之处。

(2)在最大位移处时，速度为零，向心力为零，此时合力等于回复力。

(3)在平衡位置处时，速度不为零，向心力也不为零，此时回复力为零，但合力等于向心力。　　　　

[针对训练]

1．对于单摆的振动，以下说法中正确的是(　　)

A．单摆振动时，摆球受到的向心力大小处处相等

B．单摆运动的回复力就是摆球受到的合力

C．摆球经过平衡位置时所受回复力为零

D．摆球经过平衡位置时所受合外力为零

解析：选C　单摆振动过程中受到重力和绳子拉力的作用，把重力沿切向和径向分解，其切向分力提供回复力，绳子拉力与重力的径向分力的合力提供向心力，向心力大小为m，可见最大偏角处向心力为零，平衡位置处向心力最大，而回复力在最大偏角处最大，平衡位置处为零，故应选C。

2．有一正在摆动的秒摆(T＝2 s)，若取摆球正从平衡位置向左运动时开始计时，那么当t＝1.6 s时，以下对摆球的运动情况及回复力变化情况的说法中正确的是(　　)

A．正在向左做减速运动，回复力正在增大

B．正在向右做减速运动，回复力正在增大

C．正在向右做加速运动，回复力正在减小

D．正在向左做加速运动，回复力正在减小

解析：选D　秒摆的周期为T＝2 s，取摆球正从平衡位置向左运动时开始计时，当t＝    1.6 s时，即T＜t＝1.6 s＜T，说明摆球正从最右端向平衡位置做加速运动，即向左做加速运动；由于摆角在变小，故F回＝mgsin θ也在变小，A、B、C错误，D正确。

[问题探究]

2020年11月24日“嫦娥五号”探测器成功发射，12月1日，在月球正面预选着陆区成功着陆，12月17日，“嫦娥五号”返回器携带月球样品在内蒙古四子王旗预定区域安全着陆，探月“嫦娥五号”返回器在内蒙古四子王旗着陆场返回，首次实现从月球采集样本带回地球，为我国探月工程中“绕、落、回”三步战略画上完美句号。假设“嫦娥五号”将一单摆带到月球上，请问其振动周期与在地球上相比应怎样变化？为什么？

提示：变大，因为月球表面的重力加速度g 比地球的小。

[要点归纳]

1．对单摆周期公式T＝2π 的理解

(1)与摆长l和当地的重力加速度g有关。

(2)与振幅和摆球质量无关，故又叫作单摆的固有周期。

(3)成立条件：摆角很小(摆角小于5°)。

2．对摆长l和重力加速度g的理解

(1)摆长l：指从悬点到摆球重心的长度

①对于实际的单摆，摆长l＝l′＋，l′为摆线长，D为摆球直径。

②等效摆长：(a)图中，甲、乙在垂直纸面方向上摆动起来效果是相同的，甲摆的等效摆长为lsin α。其周期T＝2π 。(b)图中，乙在垂直纸面方向摆动时，其等效摆长等于甲摆的摆长；乙在纸面内小角度摆动时，等效摆长等于丙摆的摆长。

(2)重力加速度g

①单摆系统只处在重力场中且悬点处于静止状态，g为当地的重力加速度。

②天体表面的重力加速度g＝，式中R为天体半径，M为天体的质量。不同星球上M和R一般不同，所以g也一般不同。

[例题2] 如图所示为同一地点的两单摆甲、乙的振动图像，且甲、乙两摆球质量相等，忽略空气阻力。则下列说法中正确的是(　　)

A．甲的摆长与乙的摆长相等

B．甲的摆长比乙的摆长长

C．乙的机械能比甲的大

D．在t＝0.5 s时有负向最大加速度的是乙摆

[解析]　从图中可得两者的周期相同，都为2.0 s，又知道两者在同一个地点测量的，g相同，所以根据单摆周期公式T＝2π，可知两单摆的摆长相等，故A正确，B错误；甲摆的振幅为10 cm，乙摆的振幅为7 cm，则甲摆的振幅比乙摆大，由于甲、乙两摆球质量相等，甲球的机械能比乙球的机械能大，故C错误；在t＝0.5 s时，甲摆经过平衡位置，振动的加速度为零，而乙摆的位移为负的最大，则乙摆具有正向最大加速度，故D错误。

[答案]　A

[例题3]　如图所示，一小球用细线悬挂于O点，细线长为L，O点正下方L处有一铁钉。将小球拉至A处无初速度释放(摆角很小)，这个摆的周期是(　　)

A．2π 　　　　 B．π

C．(＋1)π  D．(＋1)π 

[解析]　以L为摆长的运动时间为t1＝×2π ，以L为摆长的运动的时间为t2＝×2π ，则这个摆的周期为T＝t1＋t2＝(＋1)π 。故A、B、C错误，D正确。

[答案]　D

解答本题时要注意：(1)小球在钉子左侧摆动时摆长为L；(2)小球在钉子右侧摆动时摆长为L。 　　　　

[针对训练]

1．某单摆由1 m长的摆线连接一个直径为2  cm的铁球组成，关于单摆周期，下列说法中正确的是(　　)

A．用大球替代小球，单摆的周期不变

B．摆角从5°改为3°，单摆的周期会变小

C．用等大的铜球替代铁球，单摆的周期不变

D．将单摆从赤道移到北极，单摆的周期会变大

解析：选C　用大球替代小球，单摆摆长变长，由单摆周期公式T＝2π 可知，单摆的周期变大，故A错误；由单摆周期公式T＝2π 可知，在小摆角情况下，单摆做简谐运动的周期与摆角无关，摆角从5°改为3°时，单摆周期不变，故B错误；用等大铜球替代，单摆摆长不变，由单摆周期公式T＝2π可知，单摆的周期不变，故C正确；将单摆从赤道移到北极，重力加速度g变大，由单摆周期公式T＝2π可知，单摆周期变小，故D错误。

2.

如图所示，三根细线在O点处打结，A、B端固定在同一水平面上相距为l的两点上，使△AOB成直角三角形，∠BAO＝30°，已知OC线长也是l，下端C点系着一个小球(半径可忽略)，下列说法正确的是(以下皆指摆动角度小于5°，重力加速度为g)(　　)

A．让小球在纸面内振动，周期T＝2π

B．让小球在垂直纸面内振动，周期T＝2π 

C．让小球在纸面内振动，周期T＝2π 

D．让小球在垂直纸面内振动，周期T＝2π

解析：选A　让小球在纸面内振动，在偏角很小时，单摆做简谐运动，摆长为l，周期T＝2π  ；让小球在垂直纸面内振动，在偏角很小时，单摆做简谐运动，摆长为，周期T′＝2π  ，A正确，B、C、D错误。

类单摆模型

1．类单摆模型

除了前面学习的单摆模型，有些物体的运动规律与单摆的运动类似，该类物体的运动即为类单摆模型。

2．实例

(1)如图所示，为竖直面内的光滑小圆弧(半径为R)，且≪R(或对应圆心角∠BOC很小)，当小球在间运动时，小球受重力、轨道支持力作用，轨道支持力可以等效为单摆中的摆线拉力，故其运动为类单摆运动，等效摆长为R 。

(2)如图所示，在固定的光滑斜面上，用长度为l的细绳一端固定于O1点，下端悬挂一小球，使小球在斜面内来回摆动，小球受到重力、绳的拉力、斜面的支持力作用，其运动为类单摆运动，等效重力为G′＝mgsin θ，等效重力加速度为g′＝gsin θ。

3．处理类单摆问题的方法

(1)确认符合类单摆模型的条件。

(2)确定等效摆长l。

(3)确定等效重力加速度g′。

(4)利用公式T＝2π或简谐运动规律分析求解有关问题。

[示例]　如图所示，将小球甲、乙、丙(都可视为质点)分别从A、B、C三点由静止同时释放，最后都到达竖直面内圆弧的最低点D，其中甲从圆心A出发做自由落体运动，乙沿弦轨道从一端B(与圆心A等高)到达另一端D，丙沿圆弧轨道从C点运动到D，且C点很靠近D点。如果忽略一切摩擦阻力，那么下列判断正确的是(　　)

A．甲球最先到达D点，乙球最后到达D点

B．甲球最先到达D点，丙球最后到达D点

C．丙球最先到达D点，乙球最后到达D点

D．甲球最先到达D点，无法判断哪个球最后到达D点

[解析]　设圆的半径为r，小球甲从A到D的过程中做自由落体运动，所用时间t1＝

由几何知识知∠ADB＝θ＝45°，弦BD长度为2rcos θ，小球乙从B到D的过程中做初速度为零的匀加速直线运动，运动加速度为gcos θ，所用时间

t2＝＝ ＝2

丙沿圆弧轨道从C点运动到D的运动可以看成类单摆运动，周期T＝2π，时间t3＝＝。

故有t2＞t3＞t1，由此可知乙球最后到，甲球最先到，故A正确，B、C、D错误。

[答案]　A

[拓展训练]

1.一个质量为m的小球在半径为R的光滑圆弧槽上来回运动，如图，圆弧槽的长度l≪R。为了使小球振动的频率变为原来的，可以采用的办法是(　　)

A．将R减小为原来的

B．将R增大为原来的4倍

C．将圆弧长l增大为原来的4倍

D．将m减小为原来的

解析：选B　将R减小为原来的，周期变为原来的原来的，频率则为原来的2倍，选项A错误；将R增大为原来的4倍，周期变为原来的2倍，频率则为原来的，选项B正确；将圆弧长l增大为原来的4倍，不会改变小球运动的周期和频率，选项C错误；小球的周期和频率与质量没有关系，所以改变小球的质量，不会改变其运动的周期和频率，选项D错误。

2.如图所示，一根不可伸长的细绳下端拴一小钢球，上端系在位于光滑斜面O处的钉子上，小球处于静止状态，细绳与斜面平行。现使小球

获得一平行于斜面底边的初速度，使小球偏离平衡位置，最大偏角小于5°。已知斜面倾角为θ，悬点到小球球心的距离为L，重力加速度为g。则小球回到最低点所需的最短时间为(　　)

A．π 　　　　　 B．π

C．π   D．π

解析：选C　因为小球偏离平衡位置，最大偏角小于5°，小球的运动可以看作单摆，根据等效重力作用下mgsin θ＝mg′，T＝2π ，小球回到最低点所需的最短时间为t＝＝π ，故选C。

1．在如图所示的装置中，可视为单摆的是(　　)

解析：选A　单摆的悬线要求无弹性，直径小且质量可忽略，故A正确，B、C错误；悬点必须固定，故D错误。

2．下列说法正确的是(　　)

A．单摆的等时性是惠更斯首先发现的

B．单摆的等时性是伽利略首先发现的

C．牛顿首先将单摆的等时性用于计时

D．伽利略首先发现了单摆的等时性，并把它用于计时

解析：选B　意大利科学家伽利略最早发现了摆的等时性原理，后来惠更斯得出了单摆的周期公式，并应用于计时。故A、D错误，B正确，C错误。

3．在淄博走时准确的摆钟，被考察队员带到珠穆朗玛峰的顶端，则这个摆钟(　　)

A．变慢了，重新校准应减小摆长

B．变慢了，重新校准应增大摆长

C．变快了，重新校准应减小摆长

D．变快了，重新校准应增大摆长

解析：选A　根据单摆周期公式T＝2π，在淄博走时准确的摆钟，被考察队员带到珠穆朗玛峰的顶端，重力加速度g变小，周期T变大，所以摆钟变慢了，为了使T变回原来的值，需要重新校准，应减小摆长l。故选A。

4．一个物体在某行星表面受到的万有引力是它在地球表面受到的万有引力的，在地球上走时正确的摆钟(设摆钟的周期与单摆简谐运动的周期相同)搬到此行星上，现要使摆钟在该行星与地球上的周期相同，下列可行的办法是(　　)

A．将摆球的质量m增加为4m

B．将摆球的质量m减少为

C．将摆长l减短为

D．将摆长l增长为4l

解析：选C　根据在星球表面万有引力等于重力可知，某行星表面受到的万有引力是它在地球表面受到的万有引力的倍，质量不变，所以该星球的重力加速度g′＝g；根据单摆的周期公式T＝2π 可知，要使该单摆在行星与在地球上的周期相同，必须将摆长缩短为，单摆的周期与摆球的质量无关，故A、B、D错误，C正确。

5．如图是两个单摆的振动图像，以下说法正确的是(　　)

A．甲、乙两个摆的频率之比为1∶1

B．甲、乙两个摆的频率之比为1∶2

C．甲、乙两个摆的摆长之比为1∶2

D．甲、乙两个摆的摆长之比为1∶4

解析：选D　由图可知甲、乙两个摆的周期之比为1∶2，则频率之比为2∶1，选项A、B错误；根据T＝2π，可得l＝∝T2，可知甲、乙两个摆的摆长之比为1∶4，选项C错误，D正确。