专题08 用表格、关系式表示的变量间关系（知识点串讲）-2021-2022学年七年级数学下册期末考点大串讲（北师大版）

专题08 用表格、关系式表示的变量间关系

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重难突破

知识点一 用表格表示的变量间关系

1、常量与变量

在某个变化过程中，保持同一数值的量叫常量，可以取不同数值的量叫变量．

2、自变量与因变量

一般地，在一个变化过程中，如果有两个变量x和y，并且对于x的每一个确定的值，y都有唯一的值与之对应，那么我们就说x是自变量，y是因变量．

注意：

区别：自变量是先发生变化或主动发生变化的量；因变量是后发生变化或随着自变量的变化而变化的量；

联系：两者都是某一变化过程中的变量；两者因研究的侧重点或先后顺序不同可以相互转化．

3、从表格中寻找变化规律

（1）弄清表中所列的是哪两个量，即分清哪一个是自变量，哪一个是因变量；

（2）结合现实情景理解两个变量之间的关系，是增加还是减少还是呈规律性的起伏变化．

典例1

（2021春•龙岗区校级期中）世纪花园居民小区收取电费的标准是0.6元千瓦时，当用电量为（单位：千瓦时）时，收取电费为（单位：元）．在这个问题中，下列说法中正确的是　　

A．是自变量，0.6元千瓦时是因变量 

B．0.6元千瓦时是自变量，是因变量 

C．是自变量，是因变量 

D．是自变量，是因变量，0.6元千瓦时是常量

【解答】解：在这个问题中，是自变量，是因变量，0.6元千瓦时是常数．

故选：．

典例2

（2020春•新都区期末）弹簧挂上物体后会伸长，测得一弹簧的长度与所挂的物体的质量之间有下面的关系：

下列说法不正确的是　　

A．与都是变量，且是自变量，是因变量 

B．弹簧不挂重物时的长度为 

C．物体质量每增加，弹簧长度增加 

D．所挂物体质量为时，弹簧长度为

【解答】解：、随的增加而增加，是自变量，是因变量，故选项正确；

、弹簧不挂重物时的长度为，故选项错误；

、物体质量每增加，弹簧长度增加，故选项正确；

、由知，，则当时，，即所挂物体质量为时，弹簧长度为，故选项正确；

故选：．

知识点二 用关系式表示变量间关系  

1、用关系式表示两个变量间的关系

表示自变量与因变量之间关系的数学式子叫作关系式．关系式是表示变量之间关系的另一种方法．

注意:

（1）关系式一般是用含自变量的代数式表示因变量的等式；

（2）实际问题中，有的变量之间的关系不一定能用关系式表示出来；

（3）有些问题中，自变量是有范围的，列关系式时要注明自变量的取值范围．

2、利用关系式求值

根据关系式求值实际上就是求代数式的值．

注意：

已知自变量的值利用关系式求因变量的值实质是求代数式的值，已知因变量的值利用关系式求自变量的值实质是解方程．

典例1

（2021春•青羊区校级期中）用元钱在网上书店恰好可购买100本书，但是每本书需另加邮寄费6角，购买本书共需带费用元，则可列出关系式　　

A． B． 

C． D．

【解答】解：根据题意可得：，

故选：．

典例2

（2019春•台安县期中）已知变量，满足下面的关系

则，之间用关系式表示为　　

A． B． C． D．

【解答】解：设此函数的解析式为，

把，，

代入得，

故，之间用关系式表示为．

故选：．

典例3

（2020春•龙泉驿区期末）如图，用一段长为20米的篱笆围成一个一边靠墙（墙的长度不限）的长方形菜园，设为米，则菜园的面积（平方米）与（米的关系式为　　．（不要求写出自变量的取值范围）

【解答】解：的边长为米，而菜园是矩形菜园，

，

菜园的面积，

．

故填空答案：．

巩固训练

一、单选题（共5小题）

1．（2020春•邛崃市期中）在圆的面积公式中，常量与变量分别是　　

A．2是常量，、、是变量 B．是常量，、是变量 

C．2是常量，是变量 D．2是常量，、是变量

【解答】解：在圆的面积公式中，与是改变的，是不变的；

变量是、，常量是．

故选：．

2．（2021春•龙泉驿区期中）已知声音在空气中的传播速度与空气的温度有关，在一定范围内，其关系如表所示，下列说法错误的是　　

A．自变量是传播速度，因变量是温度 

B．温度越高，传播速度越快 

C．当温度为时，声音可以传播 

D．温度每升高，传播速度增加

【解答】解：、自变量是温度，因变量是传播速度，故原题说法错误；

、温度越高，传播速度越快，故故原题说法正确；

、当温度为时，声音可以传播，故故原题说法正确；

、温度每升高，传播速度增加，故原题说法正确；

故选：．

3．一个蓄水池有的水，以每分钟的速度向池中注水，蓄水池中的水量与注水时间（分间的函数表达式为　　

A． B． C． D．

【解答】解：一个蓄水池有的水，以每分钟的速度向池中注水，

蓄水池中的水量与注水时间（分间的函数表达式是：，

故选：．

4．（2021春•福田区校级期中）某烤鸭店在确定烤鸭的烤制时间时，主要依据的是下表的数据，设鸭的质量为千克，烤制时间为分钟，估计当时，的值为　　

A．140 B．200 C．240 D．260

【解答】解：由表格数据知与的函数表达式为：

．

当时，（分钟）．

故选：．

5．（2019秋•凤翔县期末）如图，下列各三角形中的三个数之间均具有相同的规律，根据此规律，最后一个三角形中与之间的关系是　　

A． B． C． D．

【解答】解：根据题意得：

第1个图：，

第2个图：，

第3个图：，

以此类推

第个图：，

故选：．

二、填空题（共5小题）

6．（2019春•邛崃市期中）某公司销售部门发现，该公司的销售收入随销售量的变化而变化，其中　    　是自变量，　  　是因变量．

【解答】解：根据题意知，公司的销售收入随销售量的变化而变化，

所以销售量是自变量，销售收入为因变量．

故答案为：销售量，销售收入．

7．（2021春•龙泉驿区期中）长方形的周长为10，其中一边为，另一边为，则与的关系式为　  　．

【解答】解：由题意得，

整理得．

故答案为．

8．（2020春•双流区期中）汽车开始行驶时，油箱中有油40升，如果每小时耗油4升，则油箱内余油量（升与行驶时间（小时）的关系式为　　     ．

【解答】解：由题意得．

故答案为：．

9．（2020春•彭州市期末）个月的婴儿生长发育得非常快，在个月内，一个婴儿的体重与月龄之间的变化情况如下表：

在这个变化过程中，婴儿的体重与月龄之间的关系式是　　      ．

【解答】解：根据题意，得与之间的关系式为：．

故答案为：．

10．（2021春•罗湖区期中）点燃一根蜡烛后，蜡烛的高度（厘米）与燃烧时间（分之间的关系如表：则蜡烛的高度（厘米）与燃烧时间（分之间的关系式　　   ．

【解答】解：由表格数据可知，蜡烛每2分钟燃烧1厘米，

．

故答案为：．

三、解答题（共3小题）

11．（2021春•深圳期中）我市为了提倡节约，自来水收费实行阶梯水价，用水量吨，则需要交水费元，收费标准如表所示：

（1）　     　是自变量，　　是因变量；

（2）若用水量达到15吨，则需要交水费　　元；

（3）用户5月份交水费54元，则所用水为　　吨；

（4）请求出：当时，与的关系式．

【解答】解：（1）用水量为自变量，水费为因变量，

故答案为：用水量，水费；

（2）（元，

故答案为：31.5；

（3）根据水费为54元，显然用水量超过18吨了，

根据题意得：，

解得：，

故答案为：23；

（4）当时，

．

12．（2020秋•福田区校级月考）为了解某种车的耗油量，我们对这种车在高速公路上做了耗油试验，并把试验的数据记录下来，制成如表：

（1）如表反映的两个变量中，自变量是　       　，因变量是　    　．

（2）根据表可知，汽车行驶3小时时，该车油箱的剩余油量为　　升，汽车每小时耗油　　升．

（3）请直接写出两个变量之间的关系式（用来表示．

【解答】解： 1 由题意可知，自变量为汽车行驶时间，因变量为汽车油箱的剩余油量．

故答案为：汽车行驶时间，汽车油箱的剩余油量．

2 由表格可知，当行驶3小时的时候，汽车油箱的剩余油量为82升，且汽车每行驶一小时，耗油量为6升．

故答案为82，6．

3 由表格可知，汽车一开始的油量为100升，每行驶一小时汽车耗油6升，则汽车油箱刺余油量和汽车行驶时间的关系为．

故答案为．

13．（2020春•锦江区校级期中）如图，，是线段上一点，分别以，为边作正方形，，两个正方形的面积之和为．

（1）写出与之间的关系式；

（2）当分别为和时，比较两个的大小；

（3）存在最小值吗？如果存在，请写出的最小值，并说明理由；如果不存在，请说明理由．

【解答】解：（1），

，

．

（2）当时，．

当时，．

，

当时，大．

（3）由（1）得知：，

当时，取得最小值．