第三章 重点突破训练：变量之间关系型题举例-简单数学之2021-2022学年七年级下册同步讲练（北师大版）

第三章 重点突破训练：变量之间关系型题举例

典例体系（本专题31题15页）

考点1：求自变量取值范围

（20年山东合肥庐阳区八年级期末）函数的自变量的取值范围是______．

【答案】x＜3

【详解】解：在中，

，3-x≥0，

∴x＜3，

故答案为：x＜3．

方法或规律点拨

本题考查了函数自变量的范围，一般从三个方面考虑：（1）当函数表达式是整式时，自变量可取全体实数；（2）当函数表达式是分式时，考虑分式的分母不能为0；（3）当函数表达式是二次根式时，被开方数非负．

巩固练习

1．（2021·山东威海市·九年级期末）函数的自变的取值范围是（    ）

A． B． C． D．且

【答案】C

【详解】∵ 有意义，

∴x-2≥0，

∴x≥2，

∵ 是分式，

∴ ≠0，

∴x≠2，

综上所述，

故选C．

2．（2021·山东潍坊市·九年级期末）下列函数中，自变量的取值范围是的函数是（  ）

A． B．

C． D．

【答案】C

【详解】

A、自变量x的取值范围是全体实数，不符合题意；

B、，即自变量x的取值范围是，不符合题意；

C、，即自变量x的取值范围是，符合题意；

D、，即自变量x的取值范围是，不符合题意；

故选：C

3．（2020·安徽阜阳市·八年级月考）函数的自变量的取值范围在数轴上表示正确的是（ ）

A． B． C． D．

【答案】B

【详解】

∵，

∴x−2≥0，解得x≥2，

在数轴上表示为：

故选：B．

4．（2020·四川成都市·石室锦城外国语学校八年级期中）函数中，自变量的取值范围是（    ）

A． B． C．且 D．且

【答案】D

【详解】解：由题意可知，

，

解得：且．

故选：D．

6．（2020·四川成都市·北师大锦江区海威教育培训中心八年级期中）函数中自变量的取值范围是（　　　）

A． B．且 C．且 D．

【答案】A

【详解】解：由题意得：，，解得：．

故选：A．

7．（2021·黑龙江哈尔滨市·九年级期末）函数中自变量的取值范围是_________．

【答案】

【详解】

根据题意，有3x-2≠0，

解得，

故自变量x的取值范围是，

故答案为：．

【点睛】

8．（2021·黑龙江齐齐哈尔市·九年级期末）在函数中，自变量的取值范围是__________．

【答案】或

【详解】由题意，得：

x－2＞0或x≤0且x－2＜0

解得x＞2或，

故答案为：或

考点2：从图象中获取信息

典例： （2021·安徽省宣城市奋飞学校八年级期中）周末，小明骑自行车从家里出发到野外郊游．从家出发1小时后到达南亚所（景点），游玩一段时间后按原速前往湖光岩．小明离家１小时50分钟，妈妈驾车沿相同路线前往湖光岩，如图是他们离家的路程y（km）与小明离家时间x（h）的函数图象．

（1）求小明骑车的速度和在南亚所游玩的时间；

（2）若妈妈在出发后25分钟时，刚好在湖光岩门口追上小明，求点C的坐标和妈妈驾车的速度．

【答案】（1）20km/h，1小时；（2）C（，25），60km/h

【详解】

解：（1）由题意，得

小明骑车的速度为：km/h，

小明在南亚所游玩的时间为：小时；

（2）由题意，得

小明从南亚所到湖光岩的时间为分钟小时，

小明从家到湖光岩的路程为：km，

妈妈驾车的速度为：km/h，

点横坐标为：，

∴C（，25）．

方法或规律点拨

本题是函数的综合题，考查了行程问题的数量关系的运用，解答时理解清楚函数图象的意义是解答此题的关键．

巩固练习

1．（2018·全国专题练习）如图是甲、乙两车在某时段速度随时间变化的图象，下列结论错误的是（    ）

A．乙前4秒行驶的路程为48米

B．在0到8秒内甲的速度每秒增加4米/秒

C．两车到第3秒时行驶的路程相等

D．在4至8秒内甲的速度都大于乙的速度

【答案】C

【详解】

A．根据图象可得，乙前4秒行驶的路程为12×4=48米，正确；

B．根据图象得：在0到8秒内甲的速度每秒增加4米秒/，正确；

C．根据图象可得两车到第3秒时行驶的路程不相等，故本选项错误；

D．在4至8秒内甲的速度都大于乙的速度，正确；

故选C．

2．（2020·石家庄精英中学九年级月考）小张的爷爷每天坚持体育锻炼，星期天爷爷从家里跑步到公园，打了一会太极拳，然后沿原路慢步走到家，下面能反映当天爷爷离家的距离y（米）与时间t（分钟）之间关系的大致图象是（ ）

A． B． C． D．

【答案】B

【解析】

∵y轴表示当天爷爷离家的距离，X轴表示时间

又∵爷爷从家里跑步到公园，在公园打了一会儿太极拳，然后沿原路慢步走到家，

∴刚开始离家的距离越来越远，到公园打太极拳时离家的距离不变，然后回家时离家的距离越来越近

又知去时是跑步，用时较短，回来是慢走，用时较多

∴选项B中的图形满足条件.

故选B.

3．（2020·德州市第十中学八年级月考）如图所示的函数图象反映的过程是：小徐从家去菜地浇水，又去玉米地除草，然后回家．其中x表示时间，y表示小徐离他家的距离．读图可知菜地离小徐家的距离为（   ） 

A．1.1千米                        B．2千米                          C．15千米                                 D．37千米

【答案】A

【解析】

解：由图象可以看出菜地离小徐家1.1千米．故选A．

4．（2014·河北九年级其他模拟）小刚徒步到同学家取自行车，在同学家逗留几分钟后他骑车原路返回，他骑车速度是徒步速度的3倍．设他从家出发后所用的时间为t(分钟)，所走的路程为s(米)，则s与t的函数图象大致是(    )

A． B．

C． D．

【答案】B

【解析】

小刚取车的整个过程共分三个阶段：

①徒步从家到同学家，s随时间t的增大而增大；

②在同学家逗留期间，s不变；

③骑车返回途中，速度是徒步速度的3倍，s随t的增大而增大，并且比徒步时的直线更陡；

纵观各选项，只有B选项符合，

故选B．

5．星期天，小王去朋友家借书，如图是他离家的距离y(千米)与时间x(分钟)的关系图象．根据图象信息，下列说法正确的是(　　)

A．小王去时的速度大于回家的速度 B．小王在朋友家停留了10分钟

C．小王去时花的时间少于回家所花的时间 D．小王去时走下坡路，回家时走上坡路

【答案】B

【解析】解：小王去时的速度为：2÷20=0.1千米/分，回家的速度为：2÷(40−30)=0.2千米/分，所以A. C均错，小王在朋友家呆的时间为：30−20=10，所以B对.

故选B.

6．（2017·北京昌平区·临川学校七年级期末）如图，向高为H的圆柱形空水杯中注水，表示注水量ｙ与水深ｘ的关系的图象是下面哪一个？（      ）

A． B． C． D．

【答案】A

【解析】

由于圆柱形水杯中是均匀的物体，随着水的深度变高，需要的注水量也是均匀升高的。

可知，只有选项A适合均匀升高这个条件。

故选A.

7．（2017·北京丰台区·）梅梅以每件6元的价格购进某商品若干件到市场去销售，销售金额y（元）与销售 量x（件）的函数关系的图象如图所示，则降价后每件商品销售的价格为(    )

A．5元

B．15元

C．12.5元

D．10元

【答案】D

【解析】（1000-600）÷（80-40）=10（元）

8．（2019·全国八年级课时练习）小明的父母出去散步，从家走了20分钟到一个离家900米的报亭，母亲随即按原速度返回家，父亲在报亭看了10分钟报纸后，用15分钟返回家，则表示父亲、母亲离家距离与时间之间的关系是________（只需填序号）

【答案】④②

【解析】

∵小明的父母出去散步，从家走了20分到一个离家900米的报亭，母亲随即按原速返回，

∴表示母亲离家的时间与距离之间的关系的图象是②；

∵父亲看了10分报纸后，用了15分返回家，

∴表示父亲离家的时间与距离之间的关系的图象是④

9．（2018·全国七年级课时练习）用图象来表示两个变量之间的关系的方法叫做__________，在利用图象法表示变量之间的关系时，通常用__________方向的数轴（称为__________）上的点表示自变量，用__________方向的数轴（称为__________）上的点表示因变量．

【答案】  图象法  水平  横轴  竖直  纵轴

【解析】用图象来表示两个变量之间的关系的方法叫做图象法，在利用图象法表示变量之间的关系时，通常用水平方向的数轴（称为横轴）上的点表示自变量，用竖直方向的数轴（称为纵轴）上的点表示因变量，

故答案为：图象法，水平，横轴，竖直，纵轴.

10．（2020·四川达州育才外国语学校七年级期中）某农场租用收割机收割小麦,甲收割机单独收割2天后,又调来乙收割机参与收割,直至完成800亩的收割任务.收割亩数与天数之间的关系如图所示,那么乙参与收割________天. 

【答案】4

【解析】由图可知，甲、乙收割机每天共收割350－200＝150亩，共同收割600亩，

所以，乙参与收割的天数是600÷150＝4天．

故答案为：4．

11．（2014·河北九年级其他模拟）火车匀速通过隧道时，火车在隧道内的长度y(米)与火车行驶时间x(秒)之间的关系用图象描述如图所示，则隧道长度为________米．

【答案】900

【解析】解：由图象可直接得到火车的长度为150米，

火车的速度是：150÷(35−30)=150÷5=30(米/秒)，

隧道的长度：35×30−150=1050−150=900(米).

故答案为：900.

12．（2020·四川成都市·天府四中八年级期中）甲、乙两人以相同路线前往距离单位10km的培训中心参加学习．图中l甲、l乙分别表示甲、乙两人前往目的地所走的路程S（km）随时间t（分）变化的函数图象．以下说法：①乙比甲提前12分钟到达；  ②甲的平均速度为15千米/小时；

③乙走了8km后遇到甲；     ④乙出发6分钟后追上甲．

其中正确的有_____________（填所有正确的序号）．

【答案】①②④

【解析】

①乙在28分时到达，甲在40分时到达，所以乙比甲提前了12分钟到达；故①正确；

②根据甲到达目的地时的路程和时间知：甲的平均速度=10÷=15千米/时；故②正确；

④设乙出发x分钟后追上甲,则有：×x=×(18+x)，解得x=6，故④正确；

③由④知：乙第一次遇到甲时,所走的距离为：6×=6km，故③错误；

所以正确的结论有三个：①②④，

故答案为①②④．

考点3：动点问题的函数图象

动点问题的函数图象

典例：（2021·安徽滁州市·八年级期末）如图①，在长方形中，动点从点出发，沿着方向运动至点处停止．设点运动的路程为的面积为，如果关于的函数图象如图②所示，那么下列说法错误的是（    ）

A． B．长方形的周长是

C．当时， D．当时，

【答案】D

【详解】解：由图2可知，长方形MNPQ的边长，MN=9-4=5，NP=4，故选项A正确；

选项B，长方形周长为2×（4+5）=18，正确；

选项C，x=6时，点R在QP上，△MNR的面积y=×5×4=10，正确；

选项D，y=8时，即，解得，

或，解得，

所以，当y=8时，x=3.2或9.8，故选项D错误；

故选：D．

方法或规律点拨

本题考查了动点问题分类讨论，对运动中的点R的三种位置都设置了问题，是一道很好的动点问题，读懂函数图象是解题关键．

巩固练习

1．（2021·江苏徐州市·八年级期末）如图，正方形ABCD的边长为4，P为正方形边上一动点，运动路线是A→D→C→B→A，设P点经过的路程为x，以点A、P、D为顶点的三角形的面积是y，则下列图象能大致反映y与x的函数关系的是（　　　）

A． B．

C． D．

【答案】B

【详解】解：当点P沿AD运动，即时，y的值为0，故排除A、C选项；

当点P沿DC运动，即时，，图象由左到右上升；

当点P沿CB运动，即时，，图象平行于x轴；

当点P沿BA运动，即时，，图象由左到右下降；

故选B．

2．（2021·江苏苏州市·八年级期末）在数轴上，点表示－2，点表示为数轴上两点，点从点出发以每秒个单位长度的速度向左运动，同时点从点出发以每秒个单位长度的速度向左运动，点到达原点后，立即以原来的速度返回，当点回到点时，点与点同时停止运动．设点运动的时间为秒，点与点之间的距离为个单位长度，则下列图像中表示与的函数关系的是（ ）

A． B．

C． D．

【答案】B

【详解】∵A表示-2，B表示4，

∴BA=4-(-2)=6,

∴当x=0时，PQ=AB=6；

∵OB=4个单位，点Q的速度是2个单位/s，

∴Q运动到原点的时间为4÷2=2（s）,

∴当0＜x≤2时，

点P表示的数为-2-x,点Q表示的数为4-2x,

∴PQ=4-2x-（-2-x）=6-x，

∴当x=2时，

y=6-2=4，

∴当2＜x≤4时，点Q从返回运动，

点P表示的数为-2-x,点Q表示的数为2x-4,

∴PQ=2x-4-（-2-x）=3x-2，

∴当x=4时，

y=12-2=10，

只有B图像与上面的分析一致，

故选B.

3．（2015·山西九年级专题练习）如图1，在中，是斜边的中点，动点从点出发，沿运动，设，点运动的路程为，若与之间的函数图象如图2所示，则的长为（  ）

A． B． C． D．

【答案】B

【详解】，D是斜边的中点，

BD=CD，

由题意可得：AC=2，AC+BC=4，

BC=2，

BC=AC，

是等腰直角三角形，

，

由题意可得：的面积为1，

，

解得：CD=．

故选：B．

4．（2020·河北保定市·八年级期末）如图，矩形中，对角线、相交于点，、分别是边、的中点，，，一动点从点出发，沿着的方向在矩形的边上运动，运动到点停止．点为图1中的某个定点，设点运动的路程为，的面积为，表示与的函数关系的图象大致如图2所示．那么，点的位置可能是图1中的（    ）

A．点 B．点 C．点 D．点

【答案】D

【详解】解：∵AB=2，BC=4，四边形ABCD是矩形，

∴当x=6时，点P到达D点，此时△BPM的面积为0，说明点M一定在BD上，
∴从选项中可得只有G点符合，所以点M的位置可能是图1中的点G．
故选：D．

5．（2020·成都市新都区新川外国语学校八年级月考）如图①，在长方形中，动点R从点N出发，沿方向运动至点M处停止，设点R运动的路程为x，的面积为y，如果y关于x的函数图象如图②所示，那么当时，点R应运动到（    ）

A．点N处 B．点P处 C．点Q处 D．点M处

【答案】C

【详解】解：当点R运动到PQ上时，△MNR的面积y达到最大，且保持一段时间不变；
到Q点以后，面积y开始减小；
故当x=9时，点R应运动到Q处．
故选：C．

6．（2019·义乌市绣湖中学教育集团八年级月考）速度分别为和的两车分别从相距s千米的两地同时出发，沿同一方向匀速前行，行驶一段时间后，其中一车按原速度原路返回，直到与另一车相遇时两车停止，在此过程中，两车之间的距离与行驶时间之间的函数关系如图所示．下列说法：①；②；③；④若，则．其中说法正确的有（    ）

A．①②③ B．②③④ C．①②④ D．①③④

【答案】D

【详解】解：①两车的速度之差为，

，结论①正确；

②两车第一次相遇所需时间，

的值不确定，

值不确定，结论②不正确；

③两车第二次相遇时间为，

，结论③正确；

④，，

，结论④正确．

故选：．

7．（2020·江苏宿迁市·泗阳致远中学八年级月考）已知动点P以每秒2cm的速度沿如图1所示的边框（相邻两边互相垂直）按从B→CD→E→F→A的路径移动，相应的△ABP的面积S（cm2）与点P的运动时间t(s)的函数图像如图2所示，且AB=6cm，

（1）动点P在线段______________上运动的过程中△ABP的面积S保持不变；

（2）BC=______；CD=_______；DE=_______；EF=______；

（3）求出图2中的a与b的值；

（4）在上述运动过程中，求出△ABP的最大面积．

【答案】（1）CD和EF；（2）8cm、4cm、6cm、2cm；（3）a=24，b=17；（4）42cm2．

【详解】解：（1）如图1所示，当动点P在线段CD和EF上运动时，△ABP的面积S保持不变

故答案是：CD和EF；

（2）当P在BC上时，以AB为底的高在不断增大，到达点C时，开始不变，

由图2可得得， P在BC上移动了4秒，则BC=4×2=8cm，

在CD上移动了2秒，CD=2×2=4cm

在DE上移动了3秒，DE=3×2=6cm，

由AB=6cm那么EF=AB-CD=2cm

故答案是：8cm、4cm、6cm、2cm；

（3）由图2得，当a是点P运行4秒时△ABP的面积，则a=S△ABP=×6×8=24

 b为点P走完全程的时间为：t=9+1+7=17s

∴a=24，b=17；

（4）∵点P移动到点E时面积达到最大值a,

∴S=AB（BC+DE）=×66×（8+6）=42cm2．