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    13.函数与导数(A组)2022版高考数学大题专项练含解析

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    13.函数与导数(A组)2022版高考数学大题专项练含解析

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      13.函数与导数(A)大题专项练,练就慧眼和规范,筑牢高考满分根基!1.已知函数f(x)mxnx ln x的图象在点(ef(e))处的切线方程为y4xe.(1)求函数f(x)的解析式;(2)若对任意x(1,+∞),不等式f(x)>t(x1)1恒成立,求正整数t的最大值.【解析】(1)函数f(x)的定义域为f′(x)n ln xmn所以有解之得故函数的解析式为f(x)2xx ln x(x>0)(2)f(x)>t(x1)1可化为2xx ln x>t(x1)1因为x(1,+∞),所以t<g(x)(x>1),则由题意知对任意的x(1,+∞)t<g(x)ming′(x)x(1,+∞),再令h(x)x2ln x(x>1)h′(x)1>0所以h(x)(1,+∞)上为增函数,h(3)1ln 3<0h(4)2ln 4>0所以存在唯一的x0(34),使得h(x0)0,即x02ln x0x(1x0)时,h(x)<0g′(x)<0所以g(x)(1x0)上单调递减,x(x0,+∞)时,h(x)>0g′(x)>0所以g(x)(x0,+∞)上单调递增,所以g(x)ming(x0)x01所以t<x01x0(34),所以x01(45)因为t为正整数,所以t的最大值为4.2.已知函数f(x)ln2(x1).(1)f(x)的单调区间;(2)若不等式(1)na≤e对任意nN*恒成立,求a的取值范围.【解析】(1)f(x)的定义域(1,+∞)f′(x)g(x)2(x1)ln (x1)x22xx(1, ∞)g′(x)2ln (x1)2xh(x)2ln (x1)2xx(1,+∞)h′(x)2,当-1x0时,h′(x)0,当x0时,h′(x)0所以h(x)(10)上单调递增,在(0,+∞)上单调递减,h(0)0,故h(x)≤0,即当x>-1时,g′(x)≤0,所以g(x)(1,+∞)单调递减,于是当-1x0时,g(x)g(0)0x0时,g(x)g(0)0所以当-1x0时,f′(x)0x0时,f′(x)0所以f(x)的单调递增区间为(10),单调递减区间为(0,+∞).(2)不等式≤e(nN*)等价于(na)ln ≤111,故anφ(x)x(0, 1]φ′(x)f(x)≤f(0)0故当x(0, 1]时,φ′(x)0所以φ(x)(0, 1]单调递减,于是φ(x)≥φ(1)1,故a1所以a的取值范围为. 

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