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13.函数与导数(A组)2022版高考数学大题专项练含解析
展开13.函数与导数(A组)大题专项练,练就慧眼和规范,筑牢高考满分根基!1.已知函数f(x)=mx+nx ln x的图象在点(e,f(e))处的切线方程为y=4x-e.(1)求函数f(x)的解析式;(2)若对任意x∈(1,+∞),不等式f(x)>t(x-1)+1恒成立,求正整数t的最大值.【解析】(1)函数f(x)的定义域为,f′(x)=n ln x+m+n,所以有,解之得,故函数的解析式为f(x)=2x+x ln x(x>0);(2)f(x)>t(x-1)+1可化为2x+x ln x>t(x-1)+1,因为x∈(1,+∞),所以t<,令g(x)=(x>1),则由题意知对任意的x∈(1,+∞),t<g(x)min,而g′(x)=,x∈(1,+∞),再令h(x)=x-2-ln x(x>1),则h′(x)=1-=>0,所以h(x)在(1,+∞)上为增函数,又h(3)=1-ln 3<0,h(4)=2-ln 4>0,所以存在唯一的x0∈(3,4),使得h(x0)=0,即x0-2=ln x0,当x∈(1,x0)时,h(x)<0,g′(x)<0,所以g(x)在(1,x0)上单调递减,当x∈(x0,+∞)时,h(x)>0,g′(x)>0,所以g(x)在(x0,+∞)上单调递增,所以g(x)min=g(x0)===x0+1,所以t<x0+1,又x0∈(3,4),所以x0+1∈(4,5),因为t为正整数,所以t的最大值为4.2.已知函数f(x)=ln2(x+1)-.(1)求f(x)的单调区间;(2)若不等式(1+)n+a≤e对任意n∈N*恒成立,求a的取值范围.【解析】(1)f(x)的定义域(-1,+∞),f′(x)=-=,令g(x)=2(x+1)ln (x+1)-x2-2x,x∈(-1, +∞),g′(x)=2ln (x+1)-2x,令h(x)=2ln (x+1)-2x,x∈(-1,+∞),h′(x)=-2,当-1<x<0时,h′(x)>0,当x>0时,h′(x)<0,所以h(x)在(-1,0)上单调递增,在(0,+∞)上单调递减,又h(0)=0,故h(x)≤0,即当x>-1时,g′(x)≤0,所以g(x)在(-1,+∞)单调递减,于是当-1<x<0时,g(x)>g(0)=0,当x>0时,g(x)<g(0)=0,所以当-1<x<0时,f′(x)>0,当x>0时,f′(x)<0,所以f(x)的单调递增区间为(-1,0),单调递减区间为(0,+∞).(2)不等式≤e(n∈N*)等价于(n+a)ln ≤1,又1+> 1,故a ≤ -n,设φ(x)=-,x∈(0, 1],φ′(x)==,又f(x)≤f(0)=0,故当x∈(0, 1]时,φ′(x)<0,所以φ(x)在(0, 1]单调递减,于是φ(x)≥φ(1)=-1,故a≤-1,所以a的取值范围为.