2021年湖北省十堰外国语学校八年级（下）期末数学检测试卷（ⅱ）（含答案）

这是一份2021年湖北省十堰外国语学校八年级（下）期末数学检测试卷（ⅱ）（含答案），共25页。试卷主要包含了选择题，填空题，解答题等内容，欢迎下载使用。
1．（3分）若二次根式有意义，则a的取值范围是（ ）
A．a＞3B．a≥3C．a≤3D．a≠3
2．（3分）下列运算正确的是（ ）
A．B．（﹣xy2）3＝﹣x3y6
C．（﹣x）5÷（﹣x）2＝x3D．＝﹣4
3．（3分）我市四月份某一周每天的最高气温（单位：℃）如下：20、21、22、22、24、25、27．则这组数据（最高气温）的众数与中位数分别是（ ）
A．22，24B．24，24C．22，22D．25，22
4．（3分）下列选项中，平行四边形不一定具有的性质是（ ）
A．两组对角分别相等B．对角线互相平分
C．两组对边分别相等D．对角线相等
5．（3分）下列函数中，y随x的增大而增大的是（ ）
A．y＝﹣3xB．y＝2x﹣1C．y＝﹣3x+10D．y＝﹣2x﹣1
6．（3分）亳州学院附属学校八年级同学到距学校6千米的郊外秋游，一部分同学步行，另一部分同学骑自行车，沿相同路线前往，如图，L1，L2分别表示步行和骑车的同学前往目的地所走的路程y（千米）与所用时间x（分钟）之间的函数关系，则以下判断错误的是（ ）
A．骑车的同学比步行的同学晚出发30分钟
B．骑车的同学和步行的同学同时到达目的地
C．骑车的同学从出发到追上步行的同学用了20分钟
D．步行的速度是6千米/小时
7．（3分）如图，菱形ABCD的对角线AC、BD相交于点O，过点D作DH⊥AB于点H，连接OH，若OA＝4，S菱形ABCD＝24，则OH的长为（ ）
A．2B．3C．D．
8．（3分）△ABC中∠A、∠B、∠C的对边分别是a、b、c，下列命题为真命题的（ ）
A．如果∠A＝2∠B＝3∠C，则△ABC是直角三角形
B．如果∠A：∠B：∠C＝3：4：5，则△ABC是直角三角形
C．如果a：b：c＝1：2：2，则△ABC是直角三角形
D．如果a：b；c＝3：4：，则△ABC是直角三角形
9．（3分）如图，矩形ABCD对角线AC、BD相交于点O，点P是AD边上的一个动点，过点P分别作PE⊥AC于点E，PF⊥BD于点F，若AB＝3，BC＝4，则PE+PF的值为（ ）
A．10B．9.6C．4.8D．2.4
10．（3分）如图，矩形ABCD的顶点B，C分别在x轴，y轴上，OB＝4，OC＝3，AB＝10，将矩形ABCD绕点O顺时针旋转，每次旋转90°，则第2021次旋转结束时，点A的坐标为（ ）
A．（10，8）B．（8，﹣10）C．（﹣10，8）D．（﹣8，10）
二、填空题（本题共计6小题，共计18分）
11．（3分）计算：＝ ．
12．（3分）一组数据1，3，x，4，5的平均数是3，则x＝ ．
13．（3分）已知直角三角形的两边的长分别是3和4，则第三边长为 ．
14．（3分）如图，在平面直角坐标系中，点A、B的坐标分别为（1，4）和（3，0），点C是y轴上的一个动点，且A、B、C三点不在同一条直线上，当△ABC的周长最小时，OC的长度为 ．
15．（3分）如图，已知线段AB＝12，点C在线段AB上，且△ACD是边长为4的等边三角形，以CD为边在CD的右侧作矩形CDEF，连接DF，点M是DF的中点，连接MB，则线段MB的最小值为 ．
16．（3分）如图，在矩形ABCD中，AD＝AB，∠BAD的平分线交BC于点E，DH⊥AE于点H，连接BH并延长交CD于点F，连接DE交BF于点O，下列结论：
①∠AED＝∠CED；②OE＝OD；③BH＝HF；④BC﹣CF＝2HE；⑤AB＝HF，
其中正确的有 ．
三、解答题（本题共计9小题，共计72分）
17．（6分）．
18．（6分）如图，在平行四边形ABCD中，∠BAD的角平分线AE交CD于点F，交BC的延长线于点E．求证：CD＝BE．
19．（7分）已知y﹣2与x成正比，且当x＝1时，y＝﹣6
（1）求y与x之间的函数关系式；
（2）若点（a，2）在这个函数图象上，求a．
20．（7分）某中学有一块四边形的空地ABCD，如图所示，学校计划在空地上种植草皮，经测量，∠ABC＝90°，BC＝6m，AB＝8m，AD＝26m，CD＝24m．
（1）求出空地ABCD的面积．
（2）若每种植1平方米草皮需要100元，问总共需投入多少元？
21．（8分）某市举行知识大赛，A校、B校各派出5名选手组成代表队参加决赛，两校派出选手的决赛成绩如图所示．
（1）根据图示填写表：
（2）结合两校成绩的平均数和中位数，分析哪个学校的决赛成绩较好；
（3）计算两校决赛成绩的方差，并判断哪个学校代表队选手成绩较为稳定．
22．（8分）如图，已知四边形ABCD为正方形，点E为对角线AC上的一动点，连接DE，过点E作EF⊥DE，交BC于点F，以DE，EF为邻边作矩形DEFG，连接CG．
（1）求证：矩形DEFG是正方形；
（2）判断CE，CG与AB之间的数量关系，并给出证明．
23．（8分）“地摊经济”成为社会关注的热门话题，小明从市场得知信息．小明计划购进甲、乙商品共100件进行销售，设小明购进甲商品x件．甲、乙商品全部销售完后获得利润为y元．
（1）求出y与x之间的函数关系式；
（2）小明用不超过3500元资金一次性购进甲、乙两种商品，在（1）的条件下，若要甲，乙商品全部销售完后获得的利润不少于1450元，请小明设计一个进货方案．使得进货方案的利润最大，最大利润是多少？
24．（10分）在菱形ABCD中，∠ABC＝60°，E是对角线AC上任意一点，F是线段BC延长线上一点，且CF＝AE，连接BE，EF．
（1）如图1，当E是线段AC的中点时，BE和EF的数量关系是 ；
（2）如图2，当点E不是线段AC的中点，其它条件不变时，请你判断（1）中的结论是否成立？若成立，请给予证明；若不成立，请说明理由；
（3）如图3，当点E是线段AC延长线上的任意一点，其它条件不变时，（1）中的结论是否成立？若成立，请给予证明；若不成立，请说明理由．
25．（12分）在直角坐标系xOy中，点A、点B、点C坐标分别为（4，0）、（8，0）、（0，﹣4）．
（1）求过B、C两点的一次函数解析式；
（2）若直线BC上有一动点P（x，y），以点O、A、P为顶点的三角形面积和以点O、C、P为顶点的三角形面积相等，求P点坐标；
（3）若y轴上有一动点Q，使以点Q、A、C为顶点的三角形为等腰三角形，求Q点坐标．
2020-2021学年湖北省十堰外国语学校八年级（下）期末数学检测试卷（Ⅱ）
参考答案与试题解析
一、选择题（本题共计10小题，共计30分）
1．（3分）若二次根式有意义，则a的取值范围是（ ）
A．a＞3B．a≥3C．a≤3D．a≠3
【解答】解：由题意可知：a﹣3≥0，
∴a≥3，
故选：B．
2．（3分）下列运算正确的是（ ）
A．B．（﹣xy2）3＝﹣x3y6
C．（﹣x）5÷（﹣x）2＝x3D．＝﹣4
【解答】解：A、+，无法计算，故此选项错误；
B、（﹣xy2）3＝﹣x3y6，故此选项错误；
C、（﹣x）5÷（﹣x）2＝﹣x3，故此选项错误；
D、＝﹣4，正确．
故选：D．
3．（3分）我市四月份某一周每天的最高气温（单位：℃）如下：20、21、22、22、24、25、27．则这组数据（最高气温）的众数与中位数分别是（ ）
A．22，24B．24，24C．22，22D．25，22
【解答】解：22出现了2次，出现的次数最多，
则众数是22；
把这组数据从小到大排列20、21、22、22、24、25、27，最中间的数是22，
则中位数是22；
故选：C．
4．（3分）下列选项中，平行四边形不一定具有的性质是（ ）
A．两组对角分别相等B．对角线互相平分
C．两组对边分别相等D．对角线相等
【解答】解：A、两组对角分别相等，平行四边形一定具有的性质，故此选项不符合题意；
B、对角线互相平分，平行四边形一定具有的性质，故此选项不符合题意；
C、两组对边分别相等，平行四边形一定具有的性质，故此选项不符合题意；
D、对角线相等，平行四边形不具有的性质，故此选项符合题意；
故选：D．
5．（3分）下列函数中，y随x的增大而增大的是（ ）
A．y＝﹣3xB．y＝2x﹣1C．y＝﹣3x+10D．y＝﹣2x﹣1
【解答】解：函数y＝﹣3x中，y随x的增大而减小，故选项A不符合题意；
函数y＝2x﹣1中，y随x的增大而增大，故选项B符合题意；
函数y＝﹣3x+10中，y随x的增大而减小，故选项C不符合题意；
函数y＝﹣2x﹣1中，y随x的增大而减小，故选项D不符合题意；
故选：B．
6．（3分）亳州学院附属学校八年级同学到距学校6千米的郊外秋游，一部分同学步行，另一部分同学骑自行车，沿相同路线前往，如图，L1，L2分别表示步行和骑车的同学前往目的地所走的路程y（千米）与所用时间x（分钟）之间的函数关系，则以下判断错误的是（ ）
A．骑车的同学比步行的同学晚出发30分钟
B．骑车的同学和步行的同学同时到达目的地
C．骑车的同学从出发到追上步行的同学用了20分钟
D．步行的速度是6千米/小时
【解答】解：由图象知：
骑车的同学比步行的同学晚出发30分钟，所以A正确；
∵骑车的同学在步行的同学出发54分钟到目的地，而步行的同学是60分钟到达目的地，
∴骑车的同学比步行的同学提前6分钟到达目的地，故B错误；
骑车的同学从出发到追上步行的同学用了50﹣30＝20分钟，所以C正确；
∵步行的同学60分钟即1小时走了6千米，
∴步行的速度是6÷1＝6千米/小时，所以D正确；
故选：B．
7．（3分）如图，菱形ABCD的对角线AC、BD相交于点O，过点D作DH⊥AB于点H，连接OH，若OA＝4，S菱形ABCD＝24，则OH的长为（ ）
A．2B．3C．D．
【解答】解：∵四边形ABCD是菱形，
∴AC＝2AO＝8，
又∵S菱形ABCD＝＝，
∴BD＝6，
∵DH⊥AB，
∴在Rt△BHD中，点O是BD的中点，
∴OH＝＝＝3．
故选：B．
8．（3分）△ABC中∠A、∠B、∠C的对边分别是a、b、c，下列命题为真命题的（ ）
A．如果∠A＝2∠B＝3∠C，则△ABC是直角三角形
B．如果∠A：∠B：∠C＝3：4：5，则△ABC是直角三角形
C．如果a：b：c＝1：2：2，则△ABC是直角三角形
D．如果a：b；c＝3：4：，则△ABC是直角三角形
【解答】解：A、∵∠A＝2∠B＝3∠C，∠A+∠B+∠C＝180°，∴∠A≈98°，错误不符合题意；
B、如果∠A：∠B：∠C＝3：4：5，∠A+∠B+∠C＝180°，∴∠A＝75°，错误不符合题意；
C、如果a：b：c＝1：2：2，12+22≠22，不是直角三角形，错误不符合题意；
D、如果a：b；c＝3：4：，，则△ABC是直角三角形，正确；
故选：D．
9．（3分）如图，矩形ABCD对角线AC、BD相交于点O，点P是AD边上的一个动点，过点P分别作PE⊥AC于点E，PF⊥BD于点F，若AB＝3，BC＝4，则PE+PF的值为（ ）
A．10B．9.6C．4.8D．2.4
【解答】解：连接OP，
∵矩形ABCD的两边AB＝3，BC＝4，
∴S矩形ABCD＝AB•BC＝12，OA＝OC，OB＝OD，AC＝BD，AC＝＝5，
∴S△AOD＝S矩形ABCD＝3，OA＝OD＝，
∴S△AOD＝S△AOP+S△DOP＝OA•PE+OD•PF＝OA（PE+PF）＝××（PE+PF）＝3，
∴PE+PF＝＝2.4．
故选：D．
10．（3分）如图，矩形ABCD的顶点B，C分别在x轴，y轴上，OB＝4，OC＝3，AB＝10，将矩形ABCD绕点O顺时针旋转，每次旋转90°，则第2021次旋转结束时，点A的坐标为（ ）
A．（10，8）B．（8，﹣10）C．（﹣10，8）D．（﹣8，10）
【解答】解：过点A作AE⊥x轴于点E，连接OA．
∵OB＝4，OC＝3，
∴BC＝＝＝5，
∵∠AEB＝∠ABC＝∠BOC＝90°，
∴∠ABE+∠CBO＝90°，∠CBO+∠BCO＝90°，
∴∠ABE＝∠BCO，
∴△AEB∽△BOC，
∴＝＝，
∴＝＝，
∴AE＝8，BE＝6，
∴OE＝10，
∴A（﹣10，﹣8），
则第1次旋转结束时，点A的坐标为（﹣8，10），
则第2次旋转结束时，点A的坐标为（10，8），
则第3次旋转结束时，点A的坐标为（8，﹣10），
则第4次旋转结束时，点A的坐标为（﹣10，﹣8），
••••••
观察可知，4次一个循环，
∵2021÷4＝，
∴第2021次旋转结束时，点A的坐标为（﹣8，10），
故选：D．
二、填空题（本题共计6小题，共计18分）
11．（3分）计算：＝ 4 ．
【解答】解：原式＝＝＝4．
故答案为：4
12．（3分）一组数据1，3，x，4，5的平均数是3，则x＝ 2 ．
【解答】解：∵一组数据1，3，x，4，5的平均数是3，
∴1+3+x+4+5＝3×5，
解得x＝2，
故答案为：2．
13．（3分）已知直角三角形的两边的长分别是3和4，则第三边长为 5或 ．
【解答】解：①长为3的边是直角边，长为4的边是斜边时：
第三边的长为：＝；
②长为3、4的边都是直角边时：
第三边的长为：＝5；
综上，第三边的长为：5或．
故答案为：5或．
14．（3分）如图，在平面直角坐标系中，点A、B的坐标分别为（1，4）和（3，0），点C是y轴上的一个动点，且A、B、C三点不在同一条直线上，当△ABC的周长最小时，OC的长度为 3 ．
【解答】解：作点A关于y轴的对称点A′，连接A′B交y轴于点C，此时△ABC的周长最小．
∵点A的坐标为（1，4），
∴点A′的坐标为（﹣1，4）．
设直线A′B的函数解析式为y＝kx+b（k≠0），
将A′(﹣1,4)，B（3，0）代入y＝kx+b，
，解得：，
∴直线A′B的函数解析式为y＝﹣x+3．
当y＝0时，﹣x+3＝0，解得：x＝3，
∴点C的坐标为（0，3），
∴OC＝3．
故答案为：3．
15．（3分）如图，已知线段AB＝12，点C在线段AB上，且△ACD是边长为4的等边三角形，以CD为边在CD的右侧作矩形CDEF，连接DF，点M是DF的中点，连接MB，则线段MB的最小值为 6 ．
【解答】解：连接AM、CM、EM，如图：
∵矩形CDEF，M是DF的中点，
∴C、M、E共线，
∴DM＝DF＝CE＝CM，
∵△ACD是等边三角形，
∴∠DAC＝60°，AD＝AC，
在△ADM和△ACM中，
，
∴△ADM≌△ACM（SSS），
∴∠DAM＝∠CAM，
∵∠DAC＝60°，
∴∠CAM＝30°，
∴当BM⊥AM时，MB有最小值，
此时，BM＝AB＝×12＝6，
故答案为：6．
16．（3分）如图，在矩形ABCD中，AD＝AB，∠BAD的平分线交BC于点E，DH⊥AE于点H，连接BH并延长交CD于点F，连接DE交BF于点O，下列结论：
①∠AED＝∠CED；②OE＝OD；③BH＝HF；④BC﹣CF＝2HE；⑤AB＝HF，
其中正确的有 ①②③④ ．
【解答】解：∵在矩形ABCD中，AE平分∠BAD，
∴∠BAE＝∠DAE＝45°，
∴△ABE是等腰直角三角形，
∴AE＝AB，
∵AD＝AB，
∴AE＝AD，
在△ABE和△AHD中，
，
∴△ABE≌△AHD（AAS），
∴BE＝DH，
∴AB＝BE＝AH＝HD，
∴∠ADE＝∠AED＝（180°﹣45°）＝67.5°，
∴∠CED＝180°﹣45°﹣67.5°＝67.5°，
∴∠AED＝∠CED，故①正确；
∵∠AHB＝（180°﹣45°）＝67.5°，∠OHE＝∠AHB（对顶角相等），
∴∠OHE＝∠AED，
∴OE＝OH，
∵∠DHO＝90°﹣67.5°＝22.5°，∠ODH＝67.5°﹣45°＝22.5°，
∴∠DHO＝∠ODH，
∴OH＝OD，
∴OE＝OD＝OH，故②正确；
∵∠EBH＝90°﹣67.5°＝22.5°，
∴∠EBH＝∠OHD，
又∵BE＝DH，∠AEB＝∠HDF＝45°
在△BEH和△HDF中
∴△BEH≌△HDF（ASA），
∴BH＝HF，HE＝DF，故③正确；
由上述①、②、③可得CD＝BE、DF＝EH＝CE，CF＝CD﹣DF，
∴BC﹣CF＝（CD+HE）﹣（CD﹣HE）＝2HE，所以④正确；
∵AB＝AH，∠BAE＝45°，
∴△ABH不是等边三角形，
∴AB≠BH，
∴即AB≠HF，故⑤错误；
综上所述，结论正确的是①②③④．
故答案为：①②③④．
三、解答题（本题共计9小题，共计72分）
17．（6分）．
【解答】解：
＝﹣2+2
＝4﹣2+2
＝4．
18．（6分）如图，在平行四边形ABCD中，∠BAD的角平分线AE交CD于点F，交BC的延长线于点E．求证：CD＝BE．
【解答】证明：∵四边形ABCD是平行四边形，
∴AD∥BC，AB＝CD，
∴∠DAE＝∠AEB．
∵AE平分∠BAD，
∴∠BAE＝∠DAE，
∴∠BAE＝∠AEB．
∴BE＝AB，
∴BE＝CD．
19．（7分）已知y﹣2与x成正比，且当x＝1时，y＝﹣6
（1）求y与x之间的函数关系式；
（2）若点（a，2）在这个函数图象上，求a．
【解答】解：（1）设 y﹣2＝kx
∵当x＝1时，y＝﹣6，
∴k＝﹣6﹣2，
∴k＝﹣8，
∴y与x之间的函数关系式为y﹣2＝﹣8x，即y＝﹣8x+2．
（2）∵点（a，2）在这个函数图象上，
∴﹣8a+2＝2，
∴a＝0．
20．（7分）某中学有一块四边形的空地ABCD，如图所示，学校计划在空地上种植草皮，经测量，∠ABC＝90°，BC＝6m，AB＝8m，AD＝26m，CD＝24m．
（1）求出空地ABCD的面积．
（2）若每种植1平方米草皮需要100元，问总共需投入多少元？
【解答】解：（1）如图，连接AC，
在直角三角形ABC中，
∵∠ABC＝90°，BC＝6m，AB＝8m，
∴AC＝＝10m，
∵AC2+CD2＝102+242＝676＝AD2，
∴∠ACD＝90°，
∴S四边形ABCD＝S△ABC+S△ACD＝，
答：空地ABCD的面积是144m2．
（2）144×100＝14400（元），
答：总共需投入14400元．
21．（8分）某市举行知识大赛，A校、B校各派出5名选手组成代表队参加决赛，两校派出选手的决赛成绩如图所示．
（1）根据图示填写表：
（2）结合两校成绩的平均数和中位数，分析哪个学校的决赛成绩较好；
（3）计算两校决赛成绩的方差，并判断哪个学校代表队选手成绩较为稳定．
【解答】解：（1）由图知，A校5位选手的成绩为75、80、85、85、100，
B校5位选手的成绩为70、75、80、100、100，
∴A校5名选手成绩的平均数为＝85，众数为85，
B校5名选手成绩的众数为100，
故答案为：85、85、100；
（2）由表知，A、B两校选手成绩的平均数相等，而A校选手成绩的中位数大于B校，
所以A学校的决赛成绩较好；
（3）A校选手成绩的方差为×[（75﹣85）2+（80﹣85）2+2×（85﹣85）2+（100﹣85）2]＝70，
B校选手成绩的方差为×[（70﹣85）2+（75﹣85）2+2×（100﹣85）2+（80﹣85）2]＝160，
所以A校代表队选手成绩较为稳定．
22．（8分）如图，已知四边形ABCD为正方形，点E为对角线AC上的一动点，连接DE，过点E作EF⊥DE，交BC于点F，以DE，EF为邻边作矩形DEFG，连接CG．
（1）求证：矩形DEFG是正方形；
（2）判断CE，CG与AB之间的数量关系，并给出证明．
【解答】证明：（1）过E作EM⊥BC于M点，过E作EN⊥CD于N点，如图所示：
∵四边形ABCD是正方形，
∴∠BCD＝90°，∠ECN＝45°，
∴∠EMC＝∠ENC＝∠BCD＝90°，且NE＝NC，
∴四边形EMCN为正方形，
∴EM＝EN，∠DEF＝90°，
∵四边形DEFG是矩形，
∴∠NEM＝90°，
∴∠DEN+∠NEF＝∠MEF+∠NEF＝90°，
∴∠DEN＝∠MEF，
又∠DNE＝∠FME＝90°，
在△DEN和△FEM中，
∴△DEN≌△FEM（ASA），
∴ED＝EF，
∴矩形DEFG为正方形；
（2）∵矩形DEFG为正方形，
∴DE＝DG，∠EDC+∠CDG＝90°，
∵四边形ABCD是正方形，
∴AD＝DC，∠ADE+∠EDC＝90°，
∴∠ADE＝∠CDG，
在△ADE和△CDG中，
，
∴△ADE≌△CDG（SAS），
∴AE＝CG，
∴在Rt△ABC中，，
∴
23．（8分）“地摊经济”成为社会关注的热门话题，小明从市场得知信息．小明计划购进甲、乙商品共100件进行销售，设小明购进甲商品x件．甲、乙商品全部销售完后获得利润为y元．
（1）求出y与x之间的函数关系式；
（2）小明用不超过3500元资金一次性购进甲、乙两种商品，在（1）的条件下，若要甲，乙商品全部销售完后获得的利润不少于1450元，请小明设计一个进货方案．使得进货方案的利润最大，最大利润是多少？
【解答】解：（1）由题意可得：y＝（99﹣68）x+（19﹣6）（100﹣x）＝18x+1300．
（2）由题意可得：，解得：且x为整数，
∵y＝18x+1300，
∴y随x的增大而增大，
∴当x＝46时，有最大利润．
∴当甲商品进46件，乙商品进54件，利润有最大值．
∴利润最大值为18×46+1300＝2128（元）．
答：甲商品进46件，乙商品进54件利润最大，最大利润是2128元．
24．（10分）在菱形ABCD中，∠ABC＝60°，E是对角线AC上任意一点，F是线段BC延长线上一点，且CF＝AE，连接BE，EF．
（1）如图1，当E是线段AC的中点时，BE和EF的数量关系是 BE＝EF ；
（2）如图2，当点E不是线段AC的中点，其它条件不变时，请你判断（1）中的结论是否成立？若成立，请给予证明；若不成立，请说明理由；
（3）如图3，当点E是线段AC延长线上的任意一点，其它条件不变时，（1）中的结论是否成立？若成立，请给予证明；若不成立，请说明理由．
【解答】解：（1）∵四边形ABCD是菱形，
∴AB＝BC，
∵∠ABC＝60°，
∴△ABC是等边三角形，
∴∠BCA＝60°，
又∵E是线段AC的中点，
∴∠CBE＝∠ABE＝30°，AE＝CE，
∵CF＝AE，
∴CE＝CF，
∴∠F＝∠CEF＝＝30°，
∴∠CBE＝∠F＝30°，
∴BE＝EF,
故答案为：BE＝EF；
（2）结论成立．证明如下：
过点E作EG∥BC交AB于点G，如图所示．
∵四边形ABCD为菱形，
∴AB＝BC，∠BCD＝120°，AB∥CD，
∴∠ACD＝60°，∠DCF＝∠ABC＝60°，
∴∠ECF＝120°．
∵∠ABC＝60°，
∴△ABC是等边三角形，
∴AB＝AC，∠ACB＝60°．
∵EG∥BC，
∴∠AGE＝∠ABC＝60°．
∵∠BAC＝60°，
∴△AGE是等边三角形，
∴AG＝AE＝GE，
∴BG＝CE，∠BGE＝120°＝∠ECF．
∵CF＝AE，
∴GE＝CF，
∴△BGE≌△ECF（SAS），
∴BE＝EF．
（3）结论成立．证明如下：
过点E作EG∥BC交AB延长线于点G，如图所示．
∵四边形ABCD为菱形，
∴AB＝BC．
∵∠ABC＝60°，
∴△ABC是等边三角形，
∴AB＝AC，∠ACB＝60°，
∴∠ECF＝60°．
∵EG∥BC，
∴∠AGE＝∠ABC＝60°．
∵∠BAC＝60°，
∴△AGE是等边三角形，
∴AG＝AE＝GE，∠AGE＝60°，
∴BG＝CE，∠AGE＝∠ECF．
∵CF＝AE，
∴GE＝CF，
∴△BGE≌△ECF（SAS），
∴BE＝EF．
25．（12分）在直角坐标系xOy中，点A、点B、点C坐标分别为（4，0）、（8，0）、（0，﹣4）．
（1）求过B、C两点的一次函数解析式；
（2）若直线BC上有一动点P（x，y），以点O、A、P为顶点的三角形面积和以点O、C、P为顶点的三角形面积相等，求P点坐标；
（3）若y轴上有一动点Q，使以点Q、A、C为顶点的三角形为等腰三角形，求Q点坐标．
【解答】解：（1）设直线BC的解析式为：y＝kx+b，
∵点B、点C坐标分别为（8，0）、（0，﹣4）．
∴，
解得：，
故过B、C两点的一次函数解析式为：y＝x﹣4：
（2）设P的坐标为：（x，x﹣4），
∵点A、点C坐标分别为（4，0）、（0，﹣4）．
∴OA＝OC＝4，
∵以点O、A、P为顶点的三角形面积和以点O、C、P为顶点的三角形面积相等，
∴|x﹣4|＝|x|，
即x﹣4＝x或x﹣4＝﹣x，
解得：x＝﹣8或x＝，
故P的坐标为：（﹣8．﹣8）或（，﹣）；
（3）连接AC，
∵OA＝OC＝4，
∴AC＝＝4，
①若AQ＝CQ，则点Q1（0，0）；
②若AQ＝AC，则点Q2（0，4）；
③若CQ＝AC＝4，则Q3（0，4﹣4）或Q4（0，﹣4﹣4）；
综上可得：点Q的坐标分别为：（0，0）、（0，4）、（0，4﹣4）、（0，﹣4﹣4）．
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