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2020-2021学年湖北省十堰市丹江口市八年级（上）期末数学试卷（解析版）
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这是一份2020-2021学年湖北省十堰市丹江口市八年级（上）期末数学试卷（解析版），共20页。试卷主要包含了选择题，填空题，简单题，解答题，证明与探究等内容，欢迎下载使用。
2020-2021学年湖北省十堰市丹江口市八年级（上）期末数学试卷
一、选择题（共10小题，每小题3分，满分30分）
1．下列图案，不是轴对称图形的是（ ）
A． B． C． D．
2．下列计算正确的是（ ）
A．（﹣3a2）3=﹣9a6 B．（6a6）÷（﹣3a2）=2a3 C．（a﹣3）2=a2﹣9 D．4a﹣5a=﹣a
3．下列各式中，是最简二次根式的是（ ）
A． B． C． D．
4．化简（﹣）÷的结果是（ ）
A．y B． C． D．
5．已知a=，b=2﹣，则a与b的大小关系是（ ）
A．a＞b B．a=b C．a＜b D．不确定
6．如图，聪聪书上的三角形被墨迹污染了一部分，他根据所学知识很快就画了一个与书本上完全一样的三角形，那么聪聪画图的依据是（ ）
A．SSS B．SAS C．ASA D．AAS
7．已知点P在∠AOB的平分线上，点P到OA的距离为10，点Q是OB边上的任意一点，则下列结论正确的是（ ）
A．PQ＞10 B．PQ≥10 C．PQ＜10 D．PQ≤10
8．已知a2﹣5a+2=0，则分式的值为（ ）
A．21 B． C．7 D．
9．如图，先将正方形纸片对折，折痕为MN，再把B点折叠在折痕MN上，折痕为AE，点B在MN上的对应点为H，沿AH和DH剪下，这样剪得的三角形中（ ）
A．AH=DH≠AD B．AH=DH=AD C．AH=AD≠DH D．AH≠DH≠AD
10．某服装加工厂计划加工400套运动服，在加工完160套后，采用了新技术，工作效率比原计划提高了20%，结果共用了18天完成全部任务．设原计划每天加工x套运动服，根据题意可列方程为（ ）
A． B．
C． D．
二、填空题（本题共8小题，每小题3分，共24分）
11．计算： = ．
12．计算= ．
13．若分式的值为0，则a的值为 ．
14．若9x2﹣mxy+25y2是完全平方式，则m= ．
15．实数a、b在数轴上的位置如图所示，化简= ．
16．如图，在△ABC中，AC=4cm，线段AB的垂直平分线交AC于点N，△BCN的周长是7cm，则BC的长为 cm．
[来源:学科网ZXXK]
17．如图，在平面直角坐标中，已知四边形ABCD是正方形，点A在原点，点B的坐标是（3，1），则点D的坐标是 ．
18．如图，已知点B在线段AC上，点E在线段BD上，∠ABD=∠DBC，AB=DB，EB=CB，M，N分别是AE，CD的中点，现有如下结论：①∠ABD=∠BDN；②MB=NB；③MB⊥NB；④S△ABM=S△BCN，其中正确的结论是 （只填序号）．[来源:学科网ZXXK]
三、简单题（一）（本大题共4小题，共32分）
19．（1）计算：（）﹣3+（1﹣）0﹣；
（2）先化简，再求值：÷﹣（+1），其中x=﹣．
20．（1）分解因式：16x3﹣x；
（2）已知a=2+，b=2﹣，求代数式﹣的值．
21．如图，在△ABC中，AB=AD=DC，∠BAD=24°，求∠BAC的度数．
22．解方程： +=．
四、解答题（二）（本大题共2小题，共14分）
23．如图，已知△ABC的三个顶点的坐标为：A（2，4），B（4，3），C（1，1），直线l过点（﹣1，0）且平行于y轴．
（1）在图中作出△ABC关于x轴对称的△A′B′C′；
（2）作出△ABC关于直线l对称的△A1B1C1，并写出△A1B1C1三个顶点的坐标．
24．如图，点C在线段AB上，AD∥EB，AC=BE，AD=BC，CF平分∠DCE．试探索CF与DE的位置关系，并说明理由．
五、证明与探究：（本大题共2小题，共20分）
25．某经销商用8000元购进了一种衬衫，他以每件58元的价格出售，很快售完，又用17600元购进同种衬衫，数量是第一次的2倍，但每件进价比第一次多4元，服装店仍按每件58元出售，全部售完．
（1）设他第一次购进这种衬衫的价格为x元/件，则他第一次购进这种衬衫 件，他第二次购进这种衬衫 件；
（2）问他在这次服装生意中共盈利多少元？
26．如图①，直线AB与x轴负半轴、y轴正半轴分别交于A、B两点，OA、OB的长度分别为a和b，且满足a2﹣2ab+b2=0．
（1）判断△AOB的形状；
（2）如图②，△COB和△AOB关于y轴对称，D点在AB上，点E在BC上，且AD=BE，试问：线段OD、OE是否存在某种确定的数量关系和位置关系？写出你的结论并证明；
（3）将（2）中∠DOE绕点O旋转，使D、E分别落在AB，BC延长线上（如图③），∠BDE与∠COE有何关系？直接说出结论，不必说明理由．
2020-2021学年湖北省十堰市丹江口市八年级（上）期末数学试卷
参考答案与试题解析
一、选择题（共10小题，每小题3分，满分30分）
1．下列图案，不是轴对称图形的是（ ）
A． B． C． D．
【考点】轴对称图形．
【分析】根据轴对称图形的概念：如果一个图形沿一条直线折叠，直线两旁的部分能够互相重合，这个图形叫做轴对称图形，这条直线叫做对称轴进行分析即可．
【解答】解：A、是轴对称图形，故此选项不合题意；
B、不是轴对称图形，故此选项符合题意；
C、是轴对称图形，故此选项不合题意；
D、是轴对称图形，故此选项不合题意；
故选：B．
【点评】此题主要考查了轴对称图形，判断轴对称图形的关键是寻找对称轴，图形两部分沿对称轴折叠后可重合．
2．下列计算正确的是（ ）
A．（﹣3a2）3=﹣9a6 B．（6a6）÷（﹣3a2）=2a3 C．（a﹣3）2=a2﹣9 D．4a﹣5a=﹣a
【考点】整式的除法；合并同类项；幂的乘方与积的乘方；完全平方公式．
【分析】根据积的乘方等于乘方的积，单项式的除法系数除系数，同底数的幂相除；差的平方等于平方和减积的二倍；合并同类项系数相加字母及指数不变，可得答案．
【解答】解：A、积的乘方等于乘方的积，故A错误；
B、单项式的除法系数除系数，同底数的幂相除，故B错误；
C、差的平方等于平方和减积的二倍，故C错误；
D、合并同类项系数相加字母及指数不变，故D正确；
故选：D．
【点评】本题考查了整式的除法，熟记法则并根据法则计算是解题关键．
3．下列各式中，是最简二次根式的是（ ）
A． B． C． D．
【考点】最简二次根式．
【分析】判定一个二次根式是不是最简二次根式的方法，就是逐个检查最简二次根式的两个条件是否同时满足，同时满足的就是最简二次根式，否则就不是．
【解答】解：A、被开方数含能开得尽方的因数或因式，故A错误；
B、被开方数含分母，故B错误；
C、被开方数含分母，故C错误；
D、被开方数不含分母；被开方数不含能开得尽方的因数或因式，故D正确；
故选：D．
【点评】本题考查最简二次根式的定义．根据最简二次根式的定义，最简二次根式必须满足两个条件：被开方数不含分母；被开方数不含能开得尽方的因数或因式．
4．化简（﹣）÷的结果是（ ）
A．y B． C． D．
【考点】分式的混合运算．
【专题】计算题；分式．
【分析】原式括号中两项通分并利用同分母分式的减法法则计算，同时利用除法法则变形，约分即可得到结果．
【解答】解：原式=÷=•=，
故选C
【点评】此题考查了分式的混合运算，熟练掌握运算法则是解本题的关键．
5．已知a=，b=2﹣，则a与b的大小关系是（ ）
A．a＞b B．a=b C．a＜b D．不确定
【考点】分母有理化．
【分析】把a=的分母有理化即可．
【解答】解：∵a===2﹣，
∴a=b．
故选B．
【点评】本题考查的是分母有理化，熟知分母有理化常常是乘二次根式本身（分母只有一项）或与原分母组成平方差公式是解答此题的关键．[来源:学科网]
6．如图，聪聪书上的三角形被墨迹污染了一部分，他根据所学知识很快就画了一个与书本上完全一样的三角形，那么聪聪画图的依据是（ ）
A．SSS B．SAS C．ASA D．AAS
【考点】全等三角形的应用．
【分析】根据图象，三角形有两角和它们的夹边是完整的，所以可以根据“角边角”画出．
【解答】解：根据题意，三角形的两角和它们的夹边是完整的，所以可以利用“角边角”定理作出完全一样的三角形．
故选：C．
【点评】本题考查了三角形全等的判定的实际运用，熟练掌握判定定理并灵活运用是解题的关键．
7．已知点P在∠AOB的平分线上，点P到OA的距离为10，点Q是OB边上的任意一点，则下列结论正确的是（ ）
A．PQ＞10 B．PQ≥10 C．PQ＜10 D．PQ≤10
【考点】角平分线的性质；垂线段最短．
【分析】根据角平分线上的点到角的两边距离相等可得点P到OB的距离为10，再根据垂线段最短解答．
【解答】解：∵点P在∠AOB的平分线上，点P到OA边的距离等于10，
∴点P到OB的距离为10，
∵点Q是OB边上的任意一点，
∴PQ≥10．
故选B．
【点评】本题考查了角平分线上的点到角的两边距离相等的性质，垂线段最短的性质，熟记性质是解题的关键．
8．已知a2﹣5a+2=0，则分式的值为（ ）
A．21 B． C．7 D．
【考点】分式的值．
【分析】根据题意将原式变形得出a﹣5+=0，进而利用完全平方公式得出（a+）2=25，进而得出答案．
【解答】解：∵a2﹣5a+2=0，
∴a﹣5+=0，
故a+=5，
∴（a+）2=25，
∴a2++4=25，
∴=a2+=21．
故选：A．
【点评】此题主要考查了分式的值以及完全平方公式的应用，正确应用完全平方公式是解题关键．
9．如图，先将正方形纸片对折，折痕为MN，再把B点折叠在折痕MN上，折痕为AE，点B在MN上的对应点为H，沿AH和DH剪下，这样剪得的三角形中（ ）
A．AH=DH≠AD B．AH=DH=AD C．AH=AD≠DH D．AH≠DH≠AD
【考点】剪纸问题．
【分析】利用图形的对称性特点解题．
【解答】解：由图形的对称性可知：AB=AH，CD=DH，
∵正方形ABCD，
∴AB=CD=AD，
∴AH=DH=AD．
故选：B
【点评】解决本题的关键是利用图形的对称性把所求的线段进行转移．
[来源:学*科*网Z*X*X*K]
10．某服装加工厂计划加工400套运动服，在加工完160套后，采用了新技术，工作效率比原计划提高了20%，结果共用了18天完成全部任务．设原计划每天加工x套运动服，根据题意可列方程为（ ）
A． B．
C． D．
【考点】由实际问题抽象出分式方程．
【专题】工程问题．
【分析】关键描述语为：“共用了18天完成任务”；等量关系为：采用新技术前用的时间+采用新技术后所用的时间=18．
【解答】解：采用新技术前用的时间可表示为：天，采用新技术后所用的时间可表示为：天．
方程可表示为：．
故选：B．
【点评】列方程解应用题的关键步骤在于找相等关系．找到关键描述语，找到等量关系是解决问题的关键．本题要注意采用新技术前后工作量和工作效率的变化．
二、填空题（本题共8小题，每小题3分，共24分）
11．计算： = ﹣1.5 ．
【考点】幂的乘方与积的乘方．
【分析】根据幂的乘方和积的乘方的运算法则求解．
【解答】解：原式（﹣×1.5）2015×1.5
=﹣1.5．
故答案为：﹣1.5．
【点评】本题考查了幂的乘方和积的乘方，解答本题的关键是掌握幂的乘方和积的乘方的运算法则．
12．计算= ．
【考点】二次根式的混合运算．
【专题】计算题．
【分析】根据乘方的意义得到原式=[（﹣1）（+1）]•（+1），然后前面两项利用平方差公式进行计算．
【解答】解：原式=[（﹣1）（+1）]•（+1）
=（2﹣1）（+1）
=+1．
故答案为+1．
【点评】本题考查了二次根式的混合运算：先把各二次根式化为最简二次根式，在进行二次根式的乘除运算，然后合并同类二次根式．
13．若分式的值为0，则a的值为 4 ．
【考点】分式的值为零的条件．
【分析】分式的值为0的条件是：（1）分子为0；（2）分母不为0．两个条件需同时具备，缺一不可．据此可以解答本题．
【解答】解：由题意可得：a2﹣16=0且a+4≠0，
解得x=4．
故答案为：4．
【点评】此题主要考查了分式值为零的条件，关键是掌握分式值为零的条件是分子等于零且分母不等于零．注意：“分母不为零”这个条件不能少．
14．若9x2﹣mxy+25y2是完全平方式，则m= ±30 ．
【考点】完全平方式．
【分析】先根据两平方项确定出这两个数，再根据完全平方公式的乘积二倍项即可确定m的值．
【解答】解：∵9x2﹣mxy+25y2=（3x）2﹣mxy+（5y）2，
∴﹣mxy=±2•3x•5y，
解得m=±30．
故答案为：±30．
【点评】本题主要考查了完全平方式，根据平方项确定出这两个数是解题的关键，也是难点，熟记完全平方公式对解题非常重要．
15．实数a、b在数轴上的位置如图所示，化简= ﹣2b ．
【考点】二次根式的性质与化简；实数与数轴．
【专题】计算题．
【分析】由数轴可知a＜0，b＞0，a﹣b＜0，根据二次根式的性质=|a|，化简计算．
【解答】解：∵a＜0，b＞0，a﹣b＜0，
∴，
=|a|﹣|b|﹣|a﹣b|，
=﹣a﹣b+a﹣b=﹣2b．
故本题答案为：﹣2b．
【点评】本题考查了二次根式的性质与化简．关键是根据数轴判断被开方数中底数的符号．
16．如图，在△ABC中，AC=4cm，线段AB的垂直平分线交AC于点N，△BCN的周长是7cm，则BC的长为 3 cm．
【考点】线段垂直平分线的性质．[来源:学*科*网]
【分析】根据线段的垂直平分线的性质得到NB=NA，根据三角形的周长公式计算即可．
【解答】解：∵线段AB的垂直平分线交AC于点N，
∴NB=NA，
△BCN的周长=BC+CN+BN=7cm，
∴BC+AC=7cm，又AC=4cm，
∴BC=3cm，
故答案为：3．
【点评】此题主要考查线段的垂直平分线的性质，掌握线段的垂直平分线上的点到线段的两个端点的距离相等是解题的关键．
17．如图，在平面直角坐标中，已知四边形ABCD是正方形，点A在原点，点B的坐标是（3，1），则点D的坐标是 （﹣1，3） ．
【考点】全等三角形的判定与性质；坐标与图形性质；正方形的性质．
【分析】过B作BE⊥x轴于E，过D作DF⊥y轴于F，于是得到∠BEA=∠DFA=90°，根据正方形的性质得到AD=AB，∠DAB=90°，求得∠DAF=∠BAE，推出△ABE≌△ADF，根据全等三角形的性质得到BE=DF，AE=AF，即可得到结论．
【解答】解：过B作BE⊥x轴于E，过D作DF⊥y轴于F，
∴∠BEA=∠DFA=90°，
∵四边形ABCD是正方形，
∴AD=AB，∠DAB=90°，
∴∠DAF=∠BAE，
在△ABE与△AFD中，
，
∴△ABE≌△ADF，
∴BE=DF，AE=AF，
∵B的坐标是（3，1），
∴AE=3，BE=1，
∴AF=3，DF=1，
∴点D的坐标是（﹣1，3）．
故答案为：（﹣1，3）．
【点评】本题考查了全等三角形的判定和性质，坐标与图形的性质，正方形的性质，正确的作出辅助线构造全等三角形是解题的关键．
18．如图，已知点B在线段AC上，点E在线段BD上，∠ABD=∠DBC，AB=DB，EB=CB，M，N分别是AE，CD的中点，现有如下结论：①∠ABD=∠BDN；②MB=NB；③MB⊥NB；④S△ABM=S△BCN，其中正确的结论是 ②③④ （只填序号）．
【考点】全等三角形的判定与性质．
【分析】①由三角形内最多只有一个直角得出该结论不成立；
②通过证明△ABE≌△DBC得出AE=DC，根据直角三角形斜边上中线的特点，可得出结论成立；
③通过证明△ABM≌△DBN得出∠DBN=∠ABM，通过等量替换得出结论成立；
④由②中的三角形全等可知其面积也相等，故其面积的一半也相等，结论成立．
【解答】解：①∵∠ABD=∠DBC，且点B在线段AC上，
∴∠ABD=∠DBC=180°÷2=90°，
在△BDC中，∠DBC=90°
∴∠BDN=∠BDC＜90°（三角形中最多只有一个直角存在），
∴∠ABD≠∠BDN，
即①不成立．
②在直角△ABE与直角△DBC中，，
∴△ABE≌△DBC（SAS），
∴AE=DC，
又M，N分别是AE，CD的中点，
∴BM=AE，BN=DC，
∴BM=BN，
即②成立．
③在△ABM和△DBN中，，
∴△ABM≌△DBN，
∴∠DBN=∠ABM，
∴∠MBN=∠MBD+∠DBN=∠MBD+∠ABM=∠ABD=90°，
∴MB⊥NB，
即③成立．
④∵M，N分别是AE，CD的中点，
∴S△ABM=S△ABE，S△BCN=S△DBC，
由②得知，△ABE≌△DBC，
∴S△ABM=S△BCN，
即④成立．
故答案为：②③④．
【点评】本题考查的全等三角形的判定和性质，解题的关键是通过证明三角形全等找到相应的等量关系，从而验证给出结论成立不成立．
三、简单题（一）（本大题共4小题，共32分）
19．（1）计算：（）﹣3+（1﹣）0﹣；
（2）先化简，再求值：÷﹣（+1），其中x=﹣．
【考点】分式的化简求值；实数的运算；零指数幂；负整数指数幂．
【分析】（1）分别根据0指数幂及负整数指数幂的计算法则、数的开方法则分别计算出各数，再根据实数混合运算的法则进行计算即可；
（2）先根据分式混合运算的法则把原式进行化简，再把x的值代入进行计算即可．
【解答】解：（1）原式=8+1﹣11
=﹣2；
（2）原式=•﹣
=﹣
=，
∴当x=﹣时，原式==﹣．
【点评】本题考查的是分式的化简求值，熟知分式混合运算的法则是解答此题的关键．
20．（1）分解因式：16x3﹣x；
（2）已知a=2+，b=2﹣，求代数式﹣的值．
【考点】分式的化简求值；提公因式法与公式法的综合运用．
【分析】（1）先提取公因式，再根据平方差公式进行分解即可；
（2）先求出a+b，a﹣b及ab的值，再代入代数式进行计算即可．
【解答】解：（1）原式=x（16x2﹣1）
=x（4x+1）（4x﹣1）；
（2）∵a=2+，b=2﹣，
∴a+b=4，ab=﹣1，a﹣b=2，
∴原式====8．
【点评】本题考查的是分式的化简求值，熟知分式混合运算的法则是解答此题的关键．
21．如图，在△ABC中，AB=AD=DC，∠BAD=24°，求∠BAC的度数．
【考点】等腰三角形的性质．
【分析】先根据AB=AD，∠BAD=24°求出∠B的度数，再由AD=DC得出∠C=∠DAC，根据三角形内角和定理得出∠DAC的度数，进而可得出结论．
【解答】解：∵AB=AD，∠BAD=24°，
∴∠B==78°．
∵AD=DC，
∴∠C=∠DAC．
∵∠B+∠BAD+∠DAC+∠C=180°，即78°+2∠DAC+24°=180°，解得∠DAC=39°，
∴∠BAC=∠BAD+∠DAC=24°+39°=63°．
【点评】本题考查的是等腰三角形的性质，熟知等腰三角形的两底角相等是解答此题的关键．
22．解方程： +=．
【考点】解分式方程．
【专题】计算题．
【分析】把各分母进行因式分解，可得到最简公分母是x（x+1）（x﹣1），方程两边都乘最简公分母，可把分式方程转换为整式方程求解．
【解答】解：方程两边都乘x（x+1）（x﹣1），
得7（x﹣1）+3（x+1）=6x，
解得x=1．
经检验：x=1是增根．
∴此方程无解．
【点评】（1）解分式方程的基本思想是“转化思想”，方程两边都乘最简公分母，把分式方程转化为整式方程求解．
（2）解分式方程一定注意要代入最简公分母验根．
四、解答题（二）（本大题共2小题，共14分）
23．如图，已知△ABC的三个顶点的坐标为：A（2，4），B（4，3），C（1，1），直线l过点（﹣1，0）且平行于y轴．
（1）在图中作出△ABC关于x轴对称的△A′B′C′；
（2）作出△ABC关于直线l对称的△A1B1C1，并写出△A1B1C1三个顶点的坐标．
【考点】作图-轴对称变换．
【分析】（1）分别作出点A、B、C关于x轴对称的点，然后顺次连接；
（2）分别作出点A、B、C关于直线l对称的点，然后顺次连接，并写出△A1B1C1三个顶点的坐标．
【解答】解：（1）所作图形如图所示：
（2）所作图形如图所示：
A1（﹣4，4），B1（﹣6，3），C1（﹣3，1）．
【点评】本题考查了根据轴对称变换作图，解答本题的关键是根据网格结构作出对应点的位置，然后顺次连接．
24．如图，点C在线段AB上，AD∥EB，AC=BE，AD=BC，CF平分∠DCE．试探索CF与DE的位置关系，并说明理由．
【考点】全等三角形的判定与性质．
【专题】探究型．
【分析】根据平行线性质得出∠A=∠B，根据SAS证△ACD≌△BEC，推出DC=CE，根据等腰三角形的三线合一定理推出即可．
【解答】解：CF⊥DE，CF平分DE，理由是：
∵AD∥BE，
∴∠A=∠B，
在△ACD和△BEC中
，
∴△ACD≌△BEC（SAS），
∴DC=CE，
∵CF平分∠DCE，
∴CF⊥DE，CF平分DE（三线合一）．
【点评】本题考查了全等三角形的性质和判定，平行线的性质，等腰三角形的性质等知识点，关键是求出DC=CE，主要考查了学生运用定理进行推理的能力．
五、证明与探究：（本大题共2小题，共20分）
25．某经销商用8000元购进了一种衬衫，他以每件58元的价格出售，很快售完，又用17600元购进同种衬衫，数量是第一次的2倍，但每件进价比第一次多4元，服装店仍按每件58元出售，全部售完．
（1）设他第一次购进这种衬衫的价格为x元/件，则他第一次购进这种衬衫 件，他第二次购进这种衬衫 件；
（2）问他在这次服装生意中共盈利多少元？
【考点】分式方程的应用．
【分析】（1）第一批衬衫的进价为x元，则第二批的进价（x+4）元，利用总价÷单价=数量分别求得两次购进衬衫的数量即可；
（2）根据题意可得等量关系：第一批所进的件数×2=第二批所进的件数，根据等量关系列出方程，解方程即可．
【解答】解：（1）第一次购进这种衬衫件，第二次购进这种衬衫件；
（2）依题意有：×2=，
解得：x=40，
经检验x=40是原分式方程的解．
x+4=44，
第一次，第二次的进价分别是40元和44元，第一次购进200件，第二次购进400件，
所以两次共盈利200×18+400×14=9200元．
答：在这次服装生意中共盈利9200元．
【点评】此题主要考查了分式方程的应用，关键是理解题意，找出题目中的等量关系：第一批所进的件数×2=第二批所进的件数，列出方程，解决问题．
26．如图①，直线AB与x轴负半轴、y轴正半轴分别交于A、B两点，OA、OB的长度分别为a和b，且满足a2﹣2ab+b2=0．
（1）判断△AOB的形状；
（2）如图②，△COB和△AOB关于y轴对称，D点在AB上，点E在BC上，且AD=BE，试问：线段OD、OE是否存在某种确定的数量关系和位置关系？写出你的结论并证明；
（3）将（2）中∠DOE绕点O旋转，使D、E分别落在AB，BC延长线上（如图③），∠BDE与∠COE有何关系？直接说出结论，不必说明理由．
【考点】一次函数综合题．
【分析】（1）根据a2﹣2ab+b2=0，可得a=b，又由∠AOB=90°，所以可得出△AOB的形状；
（2）OD=OE，OD⊥OE，通过证明△OAD≌△OBE可以得证；
（3）由∠DEB+∠BEO=45°，∠ACB=∠COE+∠BEO=45°，得出∠DEB=∠COE，根据三角形外角的性质得出∠ABC=∠BDE+∠DEB=90°，从而得出∠BDE+∠COE=90°，所以∠BDE与∠COE互余．
【解答】解：（1）∵a2﹣2ab+b2=0．
∴（a﹣b）2=0，
∴a=b，
又∵∠AOB=90°，
∴△AOB为等腰直角三角形；
（2）OD=OE，OD⊥OE，理由如下：
如图 ②，∵△AOB为等腰直角三角形，
∴AB=BC，
∵BO⊥AC，
∴∠DAO=∠EBO=45°，BO=AO，
在△OAD和△OBE中，
，
△OAD≌△OBE（SAS），
∴OD=OE，∠AOD=∠BOE，
∵∠AOD+∠DOB=90°，
∴∠DOB+∠BOE=90°，
∴OD⊥OE；
（3）∠BDE与∠COE互余，理由如下：
如图③，∵OD=OE，OD⊥OE，
∴△DOE是等腰直角三角形，
∴∠DEO=45°，
∴∠DEB+∠BEO=45°，
∵∠ACB=∠COE+∠BEO=45°，
∴∠DEB=∠COE，
∵∠ABC=∠BDE+∠DEB=90°，
∴∠BDE+∠COE=90°
∴∠BDE与∠COE互余．
【点评】本题是一次函数的综合题，考查了等腰三角形的判定和性质，三角形全等的判定和性质以及三角形外角的性质，熟练掌握性质定理是解题的关键．
2020-2021学年湖北省十堰市丹江口市八年级（上）期末数学试卷
一、选择题（共10小题，每小题3分，满分30分）
1．下列图案，不是轴对称图形的是（ ）
A． B． C． D．
2．下列计算正确的是（ ）
A．（﹣3a2）3=﹣9a6 B．（6a6）÷（﹣3a2）=2a3 C．（a﹣3）2=a2﹣9 D．4a﹣5a=﹣a
3．下列各式中，是最简二次根式的是（ ）
A． B． C． D．
4．化简（﹣）÷的结果是（ ）
A．y B． C． D．
5．已知a=，b=2﹣，则a与b的大小关系是（ ）
A．a＞b B．a=b C．a＜b D．不确定
6．如图，聪聪书上的三角形被墨迹污染了一部分，他根据所学知识很快就画了一个与书本上完全一样的三角形，那么聪聪画图的依据是（ ）
A．SSS B．SAS C．ASA D．AAS
7．已知点P在∠AOB的平分线上，点P到OA的距离为10，点Q是OB边上的任意一点，则下列结论正确的是（ ）
A．PQ＞10 B．PQ≥10 C．PQ＜10 D．PQ≤10
8．已知a2﹣5a+2=0，则分式的值为（ ）
A．21 B． C．7 D．
9．如图，先将正方形纸片对折，折痕为MN，再把B点折叠在折痕MN上，折痕为AE，点B在MN上的对应点为H，沿AH和DH剪下，这样剪得的三角形中（ ）
A．AH=DH≠AD B．AH=DH=AD C．AH=AD≠DH D．AH≠DH≠AD
10．某服装加工厂计划加工400套运动服，在加工完160套后，采用了新技术，工作效率比原计划提高了20%，结果共用了18天完成全部任务．设原计划每天加工x套运动服，根据题意可列方程为（ ）
A． B．
C． D．
二、填空题（本题共8小题，每小题3分，共24分）
11．计算： = ．
12．计算= ．
13．若分式的值为0，则a的值为 ．
14．若9x2﹣mxy+25y2是完全平方式，则m= ．
15．实数a、b在数轴上的位置如图所示，化简= ．
16．如图，在△ABC中，AC=4cm，线段AB的垂直平分线交AC于点N，△BCN的周长是7cm，则BC的长为 cm．
[来源:学科网ZXXK]
17．如图，在平面直角坐标中，已知四边形ABCD是正方形，点A在原点，点B的坐标是（3，1），则点D的坐标是 ．
18．如图，已知点B在线段AC上，点E在线段BD上，∠ABD=∠DBC，AB=DB，EB=CB，M，N分别是AE，CD的中点，现有如下结论：①∠ABD=∠BDN；②MB=NB；③MB⊥NB；④S△ABM=S△BCN，其中正确的结论是 （只填序号）．[来源:学科网ZXXK]
三、简单题（一）（本大题共4小题，共32分）
19．（1）计算：（）﹣3+（1﹣）0﹣；
（2）先化简，再求值：÷﹣（+1），其中x=﹣．
20．（1）分解因式：16x3﹣x；
（2）已知a=2+，b=2﹣，求代数式﹣的值．
21．如图，在△ABC中，AB=AD=DC，∠BAD=24°，求∠BAC的度数．
22．解方程： +=．
四、解答题（二）（本大题共2小题，共14分）
23．如图，已知△ABC的三个顶点的坐标为：A（2，4），B（4，3），C（1，1），直线l过点（﹣1，0）且平行于y轴．
（1）在图中作出△ABC关于x轴对称的△A′B′C′；
（2）作出△ABC关于直线l对称的△A1B1C1，并写出△A1B1C1三个顶点的坐标．
24．如图，点C在线段AB上，AD∥EB，AC=BE，AD=BC，CF平分∠DCE．试探索CF与DE的位置关系，并说明理由．
五、证明与探究：（本大题共2小题，共20分）
25．某经销商用8000元购进了一种衬衫，他以每件58元的价格出售，很快售完，又用17600元购进同种衬衫，数量是第一次的2倍，但每件进价比第一次多4元，服装店仍按每件58元出售，全部售完．
（1）设他第一次购进这种衬衫的价格为x元/件，则他第一次购进这种衬衫 件，他第二次购进这种衬衫 件；
（2）问他在这次服装生意中共盈利多少元？
26．如图①，直线AB与x轴负半轴、y轴正半轴分别交于A、B两点，OA、OB的长度分别为a和b，且满足a2﹣2ab+b2=0．
（1）判断△AOB的形状；
（2）如图②，△COB和△AOB关于y轴对称，D点在AB上，点E在BC上，且AD=BE，试问：线段OD、OE是否存在某种确定的数量关系和位置关系？写出你的结论并证明；
（3）将（2）中∠DOE绕点O旋转，使D、E分别落在AB，BC延长线上（如图③），∠BDE与∠COE有何关系？直接说出结论，不必说明理由．
2020-2021学年湖北省十堰市丹江口市八年级（上）期末数学试卷
参考答案与试题解析
一、选择题（共10小题，每小题3分，满分30分）
1．下列图案，不是轴对称图形的是（ ）
A． B． C． D．
【考点】轴对称图形．
【分析】根据轴对称图形的概念：如果一个图形沿一条直线折叠，直线两旁的部分能够互相重合，这个图形叫做轴对称图形，这条直线叫做对称轴进行分析即可．
【解答】解：A、是轴对称图形，故此选项不合题意；
B、不是轴对称图形，故此选项符合题意；
C、是轴对称图形，故此选项不合题意；
D、是轴对称图形，故此选项不合题意；
故选：B．
【点评】此题主要考查了轴对称图形，判断轴对称图形的关键是寻找对称轴，图形两部分沿对称轴折叠后可重合．
2．下列计算正确的是（ ）
A．（﹣3a2）3=﹣9a6 B．（6a6）÷（﹣3a2）=2a3 C．（a﹣3）2=a2﹣9 D．4a﹣5a=﹣a
【考点】整式的除法；合并同类项；幂的乘方与积的乘方；完全平方公式．
【分析】根据积的乘方等于乘方的积，单项式的除法系数除系数，同底数的幂相除；差的平方等于平方和减积的二倍；合并同类项系数相加字母及指数不变，可得答案．
【解答】解：A、积的乘方等于乘方的积，故A错误；
B、单项式的除法系数除系数，同底数的幂相除，故B错误；
C、差的平方等于平方和减积的二倍，故C错误；
D、合并同类项系数相加字母及指数不变，故D正确；
故选：D．
【点评】本题考查了整式的除法，熟记法则并根据法则计算是解题关键．
3．下列各式中，是最简二次根式的是（ ）
A． B． C． D．
【考点】最简二次根式．
【分析】判定一个二次根式是不是最简二次根式的方法，就是逐个检查最简二次根式的两个条件是否同时满足，同时满足的就是最简二次根式，否则就不是．
【解答】解：A、被开方数含能开得尽方的因数或因式，故A错误；
B、被开方数含分母，故B错误；
C、被开方数含分母，故C错误；
D、被开方数不含分母；被开方数不含能开得尽方的因数或因式，故D正确；
故选：D．
【点评】本题考查最简二次根式的定义．根据最简二次根式的定义，最简二次根式必须满足两个条件：被开方数不含分母；被开方数不含能开得尽方的因数或因式．
4．化简（﹣）÷的结果是（ ）
A．y B． C． D．
【考点】分式的混合运算．
【专题】计算题；分式．
【分析】原式括号中两项通分并利用同分母分式的减法法则计算，同时利用除法法则变形，约分即可得到结果．
【解答】解：原式=÷=•=，
故选C
【点评】此题考查了分式的混合运算，熟练掌握运算法则是解本题的关键．
5．已知a=，b=2﹣，则a与b的大小关系是（ ）
A．a＞b B．a=b C．a＜b D．不确定
【考点】分母有理化．
【分析】把a=的分母有理化即可．
【解答】解：∵a===2﹣，
∴a=b．
故选B．
【点评】本题考查的是分母有理化，熟知分母有理化常常是乘二次根式本身（分母只有一项）或与原分母组成平方差公式是解答此题的关键．[来源:学科网]
6．如图，聪聪书上的三角形被墨迹污染了一部分，他根据所学知识很快就画了一个与书本上完全一样的三角形，那么聪聪画图的依据是（ ）
A．SSS B．SAS C．ASA D．AAS
【考点】全等三角形的应用．
【分析】根据图象，三角形有两角和它们的夹边是完整的，所以可以根据“角边角”画出．
【解答】解：根据题意，三角形的两角和它们的夹边是完整的，所以可以利用“角边角”定理作出完全一样的三角形．
故选：C．
【点评】本题考查了三角形全等的判定的实际运用，熟练掌握判定定理并灵活运用是解题的关键．
7．已知点P在∠AOB的平分线上，点P到OA的距离为10，点Q是OB边上的任意一点，则下列结论正确的是（ ）
A．PQ＞10 B．PQ≥10 C．PQ＜10 D．PQ≤10
【考点】角平分线的性质；垂线段最短．
【分析】根据角平分线上的点到角的两边距离相等可得点P到OB的距离为10，再根据垂线段最短解答．
【解答】解：∵点P在∠AOB的平分线上，点P到OA边的距离等于10，
∴点P到OB的距离为10，
∵点Q是OB边上的任意一点，
∴PQ≥10．
故选B．
【点评】本题考查了角平分线上的点到角的两边距离相等的性质，垂线段最短的性质，熟记性质是解题的关键．
8．已知a2﹣5a+2=0，则分式的值为（ ）
A．21 B． C．7 D．
【考点】分式的值．
【分析】根据题意将原式变形得出a﹣5+=0，进而利用完全平方公式得出（a+）2=25，进而得出答案．
【解答】解：∵a2﹣5a+2=0，
∴a﹣5+=0，
故a+=5，
∴（a+）2=25，
∴a2++4=25，
∴=a2+=21．
故选：A．
【点评】此题主要考查了分式的值以及完全平方公式的应用，正确应用完全平方公式是解题关键．
9．如图，先将正方形纸片对折，折痕为MN，再把B点折叠在折痕MN上，折痕为AE，点B在MN上的对应点为H，沿AH和DH剪下，这样剪得的三角形中（ ）
A．AH=DH≠AD B．AH=DH=AD C．AH=AD≠DH D．AH≠DH≠AD
【考点】剪纸问题．
【分析】利用图形的对称性特点解题．
【解答】解：由图形的对称性可知：AB=AH，CD=DH，
∵正方形ABCD，
∴AB=CD=AD，
∴AH=DH=AD．
故选：B
【点评】解决本题的关键是利用图形的对称性把所求的线段进行转移．
[来源:学*科*网Z*X*X*K]
10．某服装加工厂计划加工400套运动服，在加工完160套后，采用了新技术，工作效率比原计划提高了20%，结果共用了18天完成全部任务．设原计划每天加工x套运动服，根据题意可列方程为（ ）
A． B．
C． D．
【考点】由实际问题抽象出分式方程．
【专题】工程问题．
【分析】关键描述语为：“共用了18天完成任务”；等量关系为：采用新技术前用的时间+采用新技术后所用的时间=18．
【解答】解：采用新技术前用的时间可表示为：天，采用新技术后所用的时间可表示为：天．
方程可表示为：．
故选：B．
【点评】列方程解应用题的关键步骤在于找相等关系．找到关键描述语，找到等量关系是解决问题的关键．本题要注意采用新技术前后工作量和工作效率的变化．
二、填空题（本题共8小题，每小题3分，共24分）
11．计算： = ﹣1.5 ．
【考点】幂的乘方与积的乘方．
【分析】根据幂的乘方和积的乘方的运算法则求解．
【解答】解：原式（﹣×1.5）2015×1.5
=﹣1.5．
故答案为：﹣1.5．
【点评】本题考查了幂的乘方和积的乘方，解答本题的关键是掌握幂的乘方和积的乘方的运算法则．
12．计算= ．
【考点】二次根式的混合运算．
【专题】计算题．
【分析】根据乘方的意义得到原式=[（﹣1）（+1）]•（+1），然后前面两项利用平方差公式进行计算．
【解答】解：原式=[（﹣1）（+1）]•（+1）
=（2﹣1）（+1）
=+1．
故答案为+1．
【点评】本题考查了二次根式的混合运算：先把各二次根式化为最简二次根式，在进行二次根式的乘除运算，然后合并同类二次根式．
13．若分式的值为0，则a的值为 4 ．
【考点】分式的值为零的条件．
【分析】分式的值为0的条件是：（1）分子为0；（2）分母不为0．两个条件需同时具备，缺一不可．据此可以解答本题．
【解答】解：由题意可得：a2﹣16=0且a+4≠0，
解得x=4．
故答案为：4．
【点评】此题主要考查了分式值为零的条件，关键是掌握分式值为零的条件是分子等于零且分母不等于零．注意：“分母不为零”这个条件不能少．
14．若9x2﹣mxy+25y2是完全平方式，则m= ±30 ．
【考点】完全平方式．
【分析】先根据两平方项确定出这两个数，再根据完全平方公式的乘积二倍项即可确定m的值．
【解答】解：∵9x2﹣mxy+25y2=（3x）2﹣mxy+（5y）2，
∴﹣mxy=±2•3x•5y，
解得m=±30．
故答案为：±30．
【点评】本题主要考查了完全平方式，根据平方项确定出这两个数是解题的关键，也是难点，熟记完全平方公式对解题非常重要．
15．实数a、b在数轴上的位置如图所示，化简= ﹣2b ．
【考点】二次根式的性质与化简；实数与数轴．
【专题】计算题．
【分析】由数轴可知a＜0，b＞0，a﹣b＜0，根据二次根式的性质=|a|，化简计算．
【解答】解：∵a＜0，b＞0，a﹣b＜0，
∴，
=|a|﹣|b|﹣|a﹣b|，
=﹣a﹣b+a﹣b=﹣2b．
故本题答案为：﹣2b．
【点评】本题考查了二次根式的性质与化简．关键是根据数轴判断被开方数中底数的符号．
16．如图，在△ABC中，AC=4cm，线段AB的垂直平分线交AC于点N，△BCN的周长是7cm，则BC的长为 3 cm．
【考点】线段垂直平分线的性质．[来源:学*科*网]
【分析】根据线段的垂直平分线的性质得到NB=NA，根据三角形的周长公式计算即可．
【解答】解：∵线段AB的垂直平分线交AC于点N，
∴NB=NA，
△BCN的周长=BC+CN+BN=7cm，
∴BC+AC=7cm，又AC=4cm，
∴BC=3cm，
故答案为：3．
【点评】此题主要考查线段的垂直平分线的性质，掌握线段的垂直平分线上的点到线段的两个端点的距离相等是解题的关键．
17．如图，在平面直角坐标中，已知四边形ABCD是正方形，点A在原点，点B的坐标是（3，1），则点D的坐标是 （﹣1，3） ．
【考点】全等三角形的判定与性质；坐标与图形性质；正方形的性质．
【分析】过B作BE⊥x轴于E，过D作DF⊥y轴于F，于是得到∠BEA=∠DFA=90°，根据正方形的性质得到AD=AB，∠DAB=90°，求得∠DAF=∠BAE，推出△ABE≌△ADF，根据全等三角形的性质得到BE=DF，AE=AF，即可得到结论．
【解答】解：过B作BE⊥x轴于E，过D作DF⊥y轴于F，
∴∠BEA=∠DFA=90°，
∵四边形ABCD是正方形，
∴AD=AB，∠DAB=90°，
∴∠DAF=∠BAE，
在△ABE与△AFD中，
，
∴△ABE≌△ADF，
∴BE=DF，AE=AF，
∵B的坐标是（3，1），
∴AE=3，BE=1，
∴AF=3，DF=1，
∴点D的坐标是（﹣1，3）．
故答案为：（﹣1，3）．
【点评】本题考查了全等三角形的判定和性质，坐标与图形的性质，正方形的性质，正确的作出辅助线构造全等三角形是解题的关键．
18．如图，已知点B在线段AC上，点E在线段BD上，∠ABD=∠DBC，AB=DB，EB=CB，M，N分别是AE，CD的中点，现有如下结论：①∠ABD=∠BDN；②MB=NB；③MB⊥NB；④S△ABM=S△BCN，其中正确的结论是 ②③④ （只填序号）．
【考点】全等三角形的判定与性质．
【分析】①由三角形内最多只有一个直角得出该结论不成立；
②通过证明△ABE≌△DBC得出AE=DC，根据直角三角形斜边上中线的特点，可得出结论成立；
③通过证明△ABM≌△DBN得出∠DBN=∠ABM，通过等量替换得出结论成立；
④由②中的三角形全等可知其面积也相等，故其面积的一半也相等，结论成立．
【解答】解：①∵∠ABD=∠DBC，且点B在线段AC上，
∴∠ABD=∠DBC=180°÷2=90°，
在△BDC中，∠DBC=90°
∴∠BDN=∠BDC＜90°（三角形中最多只有一个直角存在），
∴∠ABD≠∠BDN，
即①不成立．
②在直角△ABE与直角△DBC中，，
∴△ABE≌△DBC（SAS），
∴AE=DC，
又M，N分别是AE，CD的中点，
∴BM=AE，BN=DC，
∴BM=BN，
即②成立．
③在△ABM和△DBN中，，
∴△ABM≌△DBN，
∴∠DBN=∠ABM，
∴∠MBN=∠MBD+∠DBN=∠MBD+∠ABM=∠ABD=90°，
∴MB⊥NB，
即③成立．
④∵M，N分别是AE，CD的中点，
∴S△ABM=S△ABE，S△BCN=S△DBC，
由②得知，△ABE≌△DBC，
∴S△ABM=S△BCN，
即④成立．
故答案为：②③④．
【点评】本题考查的全等三角形的判定和性质，解题的关键是通过证明三角形全等找到相应的等量关系，从而验证给出结论成立不成立．
三、简单题（一）（本大题共4小题，共32分）
19．（1）计算：（）﹣3+（1﹣）0﹣；
（2）先化简，再求值：÷﹣（+1），其中x=﹣．
【考点】分式的化简求值；实数的运算；零指数幂；负整数指数幂．
【分析】（1）分别根据0指数幂及负整数指数幂的计算法则、数的开方法则分别计算出各数，再根据实数混合运算的法则进行计算即可；
（2）先根据分式混合运算的法则把原式进行化简，再把x的值代入进行计算即可．
【解答】解：（1）原式=8+1﹣11
=﹣2；
（2）原式=•﹣
=﹣
=，
∴当x=﹣时，原式==﹣．
【点评】本题考查的是分式的化简求值，熟知分式混合运算的法则是解答此题的关键．
20．（1）分解因式：16x3﹣x；
（2）已知a=2+，b=2﹣，求代数式﹣的值．
【考点】分式的化简求值；提公因式法与公式法的综合运用．
【分析】（1）先提取公因式，再根据平方差公式进行分解即可；
（2）先求出a+b，a﹣b及ab的值，再代入代数式进行计算即可．
【解答】解：（1）原式=x（16x2﹣1）
=x（4x+1）（4x﹣1）；
（2）∵a=2+，b=2﹣，
∴a+b=4，ab=﹣1，a﹣b=2，
∴原式====8．
【点评】本题考查的是分式的化简求值，熟知分式混合运算的法则是解答此题的关键．
21．如图，在△ABC中，AB=AD=DC，∠BAD=24°，求∠BAC的度数．
【考点】等腰三角形的性质．
【分析】先根据AB=AD，∠BAD=24°求出∠B的度数，再由AD=DC得出∠C=∠DAC，根据三角形内角和定理得出∠DAC的度数，进而可得出结论．
【解答】解：∵AB=AD，∠BAD=24°，
∴∠B==78°．
∵AD=DC，
∴∠C=∠DAC．
∵∠B+∠BAD+∠DAC+∠C=180°，即78°+2∠DAC+24°=180°，解得∠DAC=39°，
∴∠BAC=∠BAD+∠DAC=24°+39°=63°．
【点评】本题考查的是等腰三角形的性质，熟知等腰三角形的两底角相等是解答此题的关键．
22．解方程： +=．
【考点】解分式方程．
【专题】计算题．
【分析】把各分母进行因式分解，可得到最简公分母是x（x+1）（x﹣1），方程两边都乘最简公分母，可把分式方程转换为整式方程求解．
【解答】解：方程两边都乘x（x+1）（x﹣1），
得7（x﹣1）+3（x+1）=6x，
解得x=1．
经检验：x=1是增根．
∴此方程无解．
【点评】（1）解分式方程的基本思想是“转化思想”，方程两边都乘最简公分母，把分式方程转化为整式方程求解．
（2）解分式方程一定注意要代入最简公分母验根．
四、解答题（二）（本大题共2小题，共14分）
23．如图，已知△ABC的三个顶点的坐标为：A（2，4），B（4，3），C（1，1），直线l过点（﹣1，0）且平行于y轴．
（1）在图中作出△ABC关于x轴对称的△A′B′C′；
（2）作出△ABC关于直线l对称的△A1B1C1，并写出△A1B1C1三个顶点的坐标．
【考点】作图-轴对称变换．
【分析】（1）分别作出点A、B、C关于x轴对称的点，然后顺次连接；
（2）分别作出点A、B、C关于直线l对称的点，然后顺次连接，并写出△A1B1C1三个顶点的坐标．
【解答】解：（1）所作图形如图所示：
（2）所作图形如图所示：
A1（﹣4，4），B1（﹣6，3），C1（﹣3，1）．
【点评】本题考查了根据轴对称变换作图，解答本题的关键是根据网格结构作出对应点的位置，然后顺次连接．
24．如图，点C在线段AB上，AD∥EB，AC=BE，AD=BC，CF平分∠DCE．试探索CF与DE的位置关系，并说明理由．
【考点】全等三角形的判定与性质．
【专题】探究型．
【分析】根据平行线性质得出∠A=∠B，根据SAS证△ACD≌△BEC，推出DC=CE，根据等腰三角形的三线合一定理推出即可．
【解答】解：CF⊥DE，CF平分DE，理由是：
∵AD∥BE，
∴∠A=∠B，
在△ACD和△BEC中
，
∴△ACD≌△BEC（SAS），
∴DC=CE，
∵CF平分∠DCE，
∴CF⊥DE，CF平分DE（三线合一）．
【点评】本题考查了全等三角形的性质和判定，平行线的性质，等腰三角形的性质等知识点，关键是求出DC=CE，主要考查了学生运用定理进行推理的能力．
五、证明与探究：（本大题共2小题，共20分）
25．某经销商用8000元购进了一种衬衫，他以每件58元的价格出售，很快售完，又用17600元购进同种衬衫，数量是第一次的2倍，但每件进价比第一次多4元，服装店仍按每件58元出售，全部售完．
（1）设他第一次购进这种衬衫的价格为x元/件，则他第一次购进这种衬衫 件，他第二次购进这种衬衫 件；
（2）问他在这次服装生意中共盈利多少元？
【考点】分式方程的应用．
【分析】（1）第一批衬衫的进价为x元，则第二批的进价（x+4）元，利用总价÷单价=数量分别求得两次购进衬衫的数量即可；
（2）根据题意可得等量关系：第一批所进的件数×2=第二批所进的件数，根据等量关系列出方程，解方程即可．
【解答】解：（1）第一次购进这种衬衫件，第二次购进这种衬衫件；
（2）依题意有：×2=，
解得：x=40，
经检验x=40是原分式方程的解．
x+4=44，
第一次，第二次的进价分别是40元和44元，第一次购进200件，第二次购进400件，
所以两次共盈利200×18+400×14=9200元．
答：在这次服装生意中共盈利9200元．
【点评】此题主要考查了分式方程的应用，关键是理解题意，找出题目中的等量关系：第一批所进的件数×2=第二批所进的件数，列出方程，解决问题．
26．如图①，直线AB与x轴负半轴、y轴正半轴分别交于A、B两点，OA、OB的长度分别为a和b，且满足a2﹣2ab+b2=0．
（1）判断△AOB的形状；
（2）如图②，△COB和△AOB关于y轴对称，D点在AB上，点E在BC上，且AD=BE，试问：线段OD、OE是否存在某种确定的数量关系和位置关系？写出你的结论并证明；
（3）将（2）中∠DOE绕点O旋转，使D、E分别落在AB，BC延长线上（如图③），∠BDE与∠COE有何关系？直接说出结论，不必说明理由．
【考点】一次函数综合题．
【分析】（1）根据a2﹣2ab+b2=0，可得a=b，又由∠AOB=90°，所以可得出△AOB的形状；
（2）OD=OE，OD⊥OE，通过证明△OAD≌△OBE可以得证；
（3）由∠DEB+∠BEO=45°，∠ACB=∠COE+∠BEO=45°，得出∠DEB=∠COE，根据三角形外角的性质得出∠ABC=∠BDE+∠DEB=90°，从而得出∠BDE+∠COE=90°，所以∠BDE与∠COE互余．
【解答】解：（1）∵a2﹣2ab+b2=0．
∴（a﹣b）2=0，
∴a=b，
又∵∠AOB=90°，
∴△AOB为等腰直角三角形；
（2）OD=OE，OD⊥OE，理由如下：
如图 ②，∵△AOB为等腰直角三角形，
∴AB=BC，
∵BO⊥AC，
∴∠DAO=∠EBO=45°，BO=AO，
在△OAD和△OBE中，
，
△OAD≌△OBE（SAS），
∴OD=OE，∠AOD=∠BOE，
∵∠AOD+∠DOB=90°，
∴∠DOB+∠BOE=90°，
∴OD⊥OE；
（3）∠BDE与∠COE互余，理由如下：
如图③，∵OD=OE，OD⊥OE，
∴△DOE是等腰直角三角形，
∴∠DEO=45°，
∴∠DEB+∠BEO=45°，
∵∠ACB=∠COE+∠BEO=45°，
∴∠DEB=∠COE，
∵∠ABC=∠BDE+∠DEB=90°，
∴∠BDE+∠COE=90°
∴∠BDE与∠COE互余．
【点评】本题是一次函数的综合题，考查了等腰三角形的判定和性质，三角形全等的判定和性质以及三角形外角的性质，熟练掌握性质定理是解题的关键．
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