数学华师大版8.3 一元一次不等式组教学设计

七年级数学下册 8.3 一元一次不等式组不等式组帮你设计方案素材（新版）华东师大版

近年来的中考试卷中，经常会出现一些与实际生活关系密切的方案设计问题 . 其中，有许多问题的条件中蕴含着两个不等量的关系，              它需要我们求解时，              能从不等式的知识为切入点，构造不等式组确定问题中的范围，              从而进一步设计方案              . 现以 2007 年全国部分省市中考试卷为例说明如下：

一、果农的产品销售问题

例 1( 绵阳市 ) 绵阳市“全国文明村”江油白玉村果农王灿收获枇杷 20 吨，桃子 12 吨．现计划租用甲、 乙两种货车共              8 辆将这批水果全部运往外地销售，              已知一辆甲种货车可装枇杷 4 吨和桃子              1 吨，一辆乙种货车可装枇杷和桃子各              2 吨.

(1)     王灿如何安排甲、乙两种货车可一次性地运到销售地？有几种方案？

(2)     若甲种货车每辆要付运输费 300 元，乙种货车每辆要付运输费 240 元，则果农王灿应选择哪种方案，使运输费最少？最少运费是多少？

分析 本题中有两个不等量关系式： 4 辆甲种货车运货量 +2 辆乙种货车运货量不小于

20 吨； 1 辆甲种货车运货量 +2 辆乙种货车运货量不小于 12 吨. 这样我们就可以确定用车的数量，进而可以确定方案，求出运费              .

解(1) 设安排甲种货车 x 辆，则安排乙种货车 (8 － x) 辆，

则根据题意，得

4 x 2 8

x ≥ 20,

解得

x≥ 2，

即 2≤ x≤4.

x 2 8

x ≥ 4.

x ≤ 4.

因为 x 是正整数，所以 x 可取的值为 2， 3， 4. 即安排甲、乙两种货车有三种方案：

(2) 方案一所需运费： 300×2+240×6＝ 2040 元；方案二所需运费 300×3+240×5＝ 2100

元；方案三所需运费 300×4+240×4＝ 2160 元.

所以王灿应选择方案一运费最少，最少运费是 2040 元.

二、学生的野外考察问题

例 2( 济南市 ) 某校准备组织 290 名学生进行野外考察活动，行李共有 100 件. 学校计划

租用甲、乙两种型号的汽车共 8 辆， 经了解， 甲种汽车每辆最多能载 40 人和 10 件行李，乙种汽车每辆最多能载              30 人和 20 件行李 .

(1)     设租用甲种汽车 x 辆，请你帮助学校设计所有可能的租车方案；

(2)     如果甲、乙两种汽车每辆的租车费用分别为    2000 元、 1800 元，请你选择最省钱的一种租车方案 .

分析  通过认真阅读可以知道题目中有两个不等量关系：甲种汽车上的人数      +乙种汽车上的人数不小于  290 人；甲种汽车上的行李  +乙种汽车上的行李不小于  100 件. 于是我们就可以确定用车的数量，从而可以确定方案，选择最省运费 .

解(1) 由租用甲种汽车 x 辆，则租用乙种汽车 (8 － x) 辆.

则根据题意，得

40 x

10 x

30 8

20 8

x ≥ 290,

解得

x ≥ 100.

x≥ 5,

x ≤ 6.

即 5≤ x≤6.

因为 x 是正整数，所以 x 可取的值为 5， 6.

即共有 2 种租车方案： 第一种是租用甲种汽车 5 辆，乙种汽车 3 辆； 第二种是租用甲种汽车 6 辆，乙种汽车              2 辆.

(2) 第一种租车方案的费用为 5×2000+3×1800＝ 15400( 元) ；第二种租车方案的费用为6×2000+2×1800＝ 15600( 元). 由于 15400＜ 15600，所以第一种租车方案更省费用              .

三、工程中的挖掘机问题

例 3( 临沂市 ) 某工程机械厂根据市场需求， 计划生产 A、B 两种型号的大型挖掘机共 100 台，该厂所筹生产资金不少于              22400 万元， 但不超过              22500 万元， 且所筹资金全部用于生产此两型挖掘机， 所生产的此两型挖掘机可全部售出，              此两型挖掘机的生产成本和售价如下表：

(1)     该厂对这两型挖掘机有哪几种生产方案？

(2)     该厂如何生产能获得最大利润？

(3)     根据市场调查，每台 B 型挖掘机的售价不会改变，每台 A 型挖掘机的售价将会提高m万元 ( m＞0) ，该厂应该如何生产获得最大利润？              ( 注：利润＝售价－成本              )

分析 显然，本题中有这样两个不等关系： A 型号的大型挖掘机成本 + B 型号的大型挖

掘机成本不少于 22400 万元，但不超过 22500 万元，于是据此可以求出 A、B 两种挖掘机的

数量，进而可以进一步求解 .

解(1) 设生产 A型挖掘机 x 台，则 B 型挖掘机 (100 － x) 台.

则根据题意，得

200 x

200 x

240 100 x

240 100 x

22400, x

解得

22500. x

37.5,

40.

即 37.5 ≤ x≤40.

因为 x 是非负整数，所以 x 可取的值为 38，39， 40.

即有三种生产方案： A 型 38 台， B 型 62 台； A 型 39 台， B 型 61 台； A 型 40 台， B 型

60 台.

(2)  方案一能获得的利润： 38×50+62×60＝ 5620 万元；方案二能获得的利润 ：

39×50+61×60＝ 5610 万元；方案三能获得的利润： 40×50+60×60＝ 5000 万元.

所以选择方案一能获得最大利润，最大利润是 5620 万元 .

(3)  若获得最大利润为 W万元，则由题意得 W＝ (50+ m) x+60(100 － x) ＝ 6000+( m－ 10) x，所以当 0＜ m＜ 10，则 x＝38 时， W最大，即生产              A 型 38 台， B型 62 台；

当 m＝10 时， m－ 10＝ 0 则三种生产方案获得利润相等；

当 m＞10，则 x＝ 40 时， W最大，即生产 A型 40 台， B 型 60 台. 四、商店的进货问题

例 4( 南充市 ) 某商店需要购进一批电视机和洗衣机，根据市场调查，决定电视机进货量

不少于洗衣机的进货量的一半 . 电视机与洗衣机的进价和售价如下表：

计划购进电视机和洗衣机共 100 台，商店最多可筹集资金 161 800 元.

(1)     请你帮助商店算一算有多少种进货方案？ ( 不考虑除进价之外的其它费用 )

(2)     哪种进货方案待商店销售购进的电视机与洗衣机完毕后获得利润最多？并求出最多利润 .( 利润＝售价－进价              )

分析 由“电视机进货量不少于洗衣机的进货量的一半”和“商店最多可筹集资金

161 800 元”这两个不等量关系，可以列出不等式组求出购买电视机和洗衣机的数量，进而可以进一步求解              .

解(1) 设商店购进电视机 x 台，则购进洗衣机 (100 － x) 台，

则 根 据 题 意 ， 得

1

x ≥ (100

2

x),

1

x≥ 33 ,

解 得 3 即

33 1 ≤ x≤39 1 .

3 3

1800 x

1500(100

x) ≤ 161800.

1

x ≤ 39 .

3

即购进电视机最少 34 台，最多 39 台，商店有 6 种进货方案 .

(2) 通过计算这 6 种方案中当 x＝ 39 时，商店获利最多 . 即商店购进电视机 39 台，洗衣机 61 台，此时获得的利润为              39×200+61×100＝ 13900( 元). 即最多利润是              13900 元.

五、花卉的园艺搭配问题

例 5( 怀化市 )2007 年我市某县筹备 20 周年县庆， 园林部门决定利用现有的 3490 盆甲种花卉和 2950 盆乙种花卉搭配              A， B两种园艺造型共              50   个摆放在迎宾大道两侧，已知搭配一个 A 种造型需甲种花卉              80 盆，乙种花卉                            40 盆，搭配一个              B 种造型需甲种花卉              50 盆，乙种花卉 90 盆.

(1)     某校九年级 (1) 班课外活动小组承接了这个园艺造型搭配方案的设计， 问符合题意的搭配方案有几种？请你帮助设计出来              .

(2)     若搭配一个 A 种造型的成本是 800 元，搭配一个 B 种造型的成本是 960 元，试说明

(1)     中哪种方案成本最低？最低成本是多少元？

分析 由甲种花卉盆数≤ 3490， 乙种花卉盆数≤ 2950， 列出不等式确定两种造型的个数， 进而可以进一步求解              .

解(1) 设搭配 A种造型 x 个，则 B种造型为 (50 － x) 个，

则根据题意，得

80x 40x

50(50

90(50

x) ≤ 3490,

解得

x) ≤ 2950.

x≤ 33,

x≥ 31.

即 31≤ x≤33.

因为 x 是整数，所以 x 可取 31， 32， 33.

所以可设计三种搭配方案：① A 种园艺造型  31 个， B 种园艺造型  19 个；② A 种园艺造型 32 个， B 种园艺造型              18 个；③ A 种园艺造型              33 个， B 种园艺造型              17 个.

(2)     方法一：由于 B 种造型的造价成本高于  A种造型成本 . 所以 B 种造型越少， 成本越低， 故应选择方案③，成本最低，最低成本为：              33×800+17×960＝              42720( 元) ；方法二：方案① 需成本： 31×800+19×960＝ 43040( 元) ，方案②需成本： 32×800+18×960＝ 42880( 元) ，方案③需成本： 33×800+17×960＝              42720( 元              ).

所以应选择方案③，成本最低，最低成本为 42720 元.

下面几道题目供同学们自己练习：

1.(2006 年烟台市中考试题 ) 小亮妈妈下岗后开了一家糕点店 . 现有 10.2 千克面粉，10.2 千克鸡蛋，计划加工一般糕点和精制糕点两种产品共              50  盒. 已知加工一盒一般糕点需              0.3

千克面粉和 0.1  千克鸡蛋；加工一盒精制糕点需 0.1 千克面粉和 0.3 千克鸡蛋 .

(1)     有哪几种符合题意的加工方案？请你帮助设计出来；

(2)     若销售一盒一般糕点和一盒精制糕点的利润分别为 1.5 元和 2 元，那么按哪一个方案加工，小亮妈妈可获得最大利润？最大利润是多少？

2.(2006  年大连市中考试题 ) 某汽车经销公司计划经销  A、B 两种品牌的轿车 50 辆，该公司经销这              50 辆轿车的成本不少于              1240 万元，但不超过              1244 万元，两种轿车的成本和售价如下表．

问该公司经销这两种品牌轿车有哪几种方案，哪种方案获利最大？最大利润是多少？

3.(2005 年茂名市中考试题 ) 今年 6 月份，我市某果农收获荔枝 30 吨，香蕉 13 吨，现

计划租用甲、乙两种货车共 10 辆将这批水果全部运往深圳，已知甲种货车可装荔枝 4 吨和

香蕉 1 吨，乙种货车可装荔枝香蕉各 2 吨；

(1)     该果农按排甲、乙两种货车时有几种方案？请你帮助设计出来 .

(2)     若甲种货车每辆要付运输费 2000 元，乙种货车每辆要付运输费 1300 元，则该果农应选择哪种方案？使运费最少？最少运费是多少元？

参考答案

1.(1) 设加工一般糕点 x 盒，则加工精制糕点为 (50 － x) 盒. 根据题意， 可构造出如下不等

0.3x

式组

0.1x

0.1 50 x

0.3 50 x

10.2,

10.2.

解这个不等式组，得 24≤ x≤26. 因为 x 为整数，所以 x＝

24，或 25，或 26. 相应地， 50－ x＝26，或 25，或 24. 从而，符合题意的加工方案有三种：

方案 1，加工一般糕点 24 盒、精制糕点 26 盒；方案 2，加工一般糕点 25 盒、精制糕点 25

盒；方案 3，加工一般糕点 26 盒、精制糕点 24 盒.(2) 注意到销售一盒一般糕点和一盒精制  糕点的利润分别为              1.5 元和 2 元，那么在 50 盒糕点中， 精制糕点数越多利润越大              . 所以在现有原料的情况下，按方案１加工，即加工一般糕点              24 盒、精制糕点              26 盒时， 可获得最大利润．最大利润为              ( 24×1.5 ＋26×2) 元，即 88 元.

2. 设该公司经销 A 种名牌的轿车为 x 辆，那么应经销 B 种名牌的轿车为 (50 － x) 辆.

注意到经销每辆 A 种名牌的轿车的成本为 24 万元，经销每辆 B 种名牌的轿车的成本为 26

万元，可构造出如下不等式组

解这个不等式组，得  28≤ x≤30. 因为 x 为整数，所以 x＝ 28，29，30．相应地， 50－ x＝ 22， 21，20. 因此， 该公司经销这两种品牌轿车有三种方案：方案              1：经销 A 种名牌的轿车              28 辆， 经销 B 种名牌的轿车                                          22 辆，其获利为 (27 － 24) ×28+(30 － 26) ×22＝ 172( 万元 ) ；方案 2： 经销 A种名牌的轿车              29 辆，经销 B种名牌的轿车              21 辆，其获利为 (27 －24) ×29+(30 － 26) ×21

＝171( 万元) ；方案 3：经销 A 种名牌的轿车 30 辆，经销 B 种名牌的轿车 20 辆，其获利为

(27 － 24) ×30+(30 －26) ×20＝ 170( 万元) ．显见，方案 1 获利最大，最大利润这 172 万元 .

3.(1) 设安排甲种货车 x  辆，则安排乙种货车 (10 － x) 辆．根据题意，得不等式组

4 x 2 10 x

x 2 10 x

30,

13.

解这个不等式组，得 5≤ x≤ 7. 因为 x 为整数，所以 x＝ 5，或 6，或

7. 相应地， 10－ x＝ 5，或 4，或 3. 从而， 该果农安排甲、 乙两种货车时有三种方案：方案 1， 甲种货车              5 辆，乙种货车                            5 辆；方案              2，甲种货车              6 辆，乙种货车              4 辆；方案              3，甲种货车 7 辆，乙种货车              3 辆.(2)              由于甲种货车的运费高于乙种货车的运费，两种货车共                            10 辆，那么当甲种货车的数量越少时，总运费就越少．所以该果农应选择方案                            1，能使运费最少，最 少运费是 ( 2000×5＋ 1300×5) 元，即为              16500( 元).