2020-2021年湖北省来凤县某校初二（下）5月月考数学试卷

这是一份2020-2021年湖北省来凤县某校初二（下）5月月考数学试卷，共19页。试卷主要包含了选择题，填空题，解答题等内容，欢迎下载使用。


1. 若二次根式1x−5有意义，则x的取值范围是( )
A.x≥5B.x>5C.x≤5D.x<5

2. 下列根式中，不是最简二次根式的是( )
A.13B.21C.3D.18

3. 下列计算结果正确的是( )
A.3+2=5B.23−3=2C.2⋅5=10D.24÷6=2

4. 已知二次根式x2=6，那么x的值是( )
A.6B.36C.±6D.−6

5. 若x−1−1−x=x+y2，则2x−y的值是( )
A.−4B.2C.3D.4

6. 满足下列条件时， △ABC不是直角三角形的是( )
A.AB=41，BC=4，AC=5B.AB: BC: AC=3:4:5
C.∠A:∠B:∠C=3:4:5D.AB2=AC2+BC2

7. 下列判断正确的是( )
A.5−12<0.5
B.若ab=0，则a=b=0
C.ab=ab
D.3a可以表示边长为a的等边三角形的周长

8. 下列整数中，与 10最接近的整数是( )
A.3B.4C.5D.6

9. 四个全等的直角三角形按图示方式围成正方形ABCD，过各较长直角边的中点作垂线，围成面积为S的小正方形EFGH．已知AM为Rt△ABM较长直角边，AM＝23EF，则正方形ABCD的面积为( )

A.14SB.13SC.12SD.11S

10. 如图，AB=AC，则数轴上点C所表示的数为( )

A.5+1B.5−1C.−5+1D.−5−1

11. 如图，在△ABC中，∠B=50∘，CD⊥AB于点D，∠BCD和∠BDC的角平分线相交于点E，F为边AC的中点，CD=CF，则∠ACD+∠CED=( )

A.125∘B.145∘C.175∘D.190∘

12. 如图，正方形ABCD的面积S1=2，以CD为斜边，向外作等腰直角三角形，再以该等腰直角三角形的一条直角边为边，向外作正方形，其面积标记为S2，⋯，按照此规律继续下去，则S2020的值是( )

A.122017B.122018C.222017D.222018
二、填空题

−2的倒数的平方是________.

化简实数a在数轴上的位置如图所示，那么2−a2+1−a2=________．


在Rt△ABC中，a，b均为直角边且其长度为相邻的两个整数，若a<5+1
如图，四边形ABCD，∠B=∠C=90∘，边BC上一点E，连结AE，DE得等边△ADE，若ABCD=23，则CEBE=_______.

三、解答题

计算：
(1)24+27−6+53；

(2)18÷2+5+35−3.

如图，在边长为1的小正方形组成的网格中，四边形ABCD的四个顶点都在格点上，请按要求完成下列各题．
(1)线段AB的长为________，BC的长为________，CD的长为________；

(2)连接AC，通过计算说明△ACD和△ABC是什么特殊三角形．

已知x=5−1，求代数式x2+5x−6的值．

如图，一架梯子的长度为25米，斜靠在墙上，梯子低部离墙底端为7米．

(1)这个梯子顶端离地面有________米；

(2)如果梯子的顶端下滑了4米，那么梯子的底部在水平方向滑动了几米？

如图，在四边形ABCD中，∠ABC=90∘，AB=BC=2，CD=1，DA=3．求∠BCD的度数．


在10×10网格中，点A和直线l的位置如图所示：

1将点A向右平移6个单位，再向上平移2个单位长度得到点B，在网格中标出点B；

2在1的条件下，在直线l上确定一点P，使PA+PB的值最小，保留画图痕迹，并直接写出PA+PB的最小值：________；

3结合2的画图过程并思考，直接写出x2+32+(7−x)2+42的最小值.

如图，等腰直角三角板如图放置．直角顶点C在直线m上，分别过点A、B作AE⊥直线m于点E，BD⊥直线m于点D．
(1)求证：EC=BD；

(2)若设△AEC三边分别为a，b，c，利用此图证明勾股定理．

据我国古代《周髀算经》记载，公元前1120年商高对周公说，将一根直尺折成一个直角，两端连接得一个直角三角形，如果勾是三、股是四，那么弦就等于五．后人概括为“勾三，股四，弦五”．
1观察：3，4，5；5，12，13；7，24，25；⋯，发现这些勾股数的“勾”都是奇数，且从
3起就没有间断过，计算12(9−1)，12(9+1)与12(25−1)，12(25+1)，并根据你发现的规律，分别写出（用勾）能表示7，24，25的股和弦的算式；

2根据1的规律，用含n（n为奇数，且n≥3）的代数式来表示所有这些勾股数的勾、股、弦，猜想它们之间的两种相等关系，并对其中一种猜想加以证明；

3继续观察4，3，5；6，8，10；8，15，17；⋯，可以发现各组的第一个数都是偶数，且从4起也没有间断过，运用类似上述探索的方法，直接用m(m为偶数，且m>4)的代数式来表示它们的股和弦．
参考答案与试题解析
2020-2021年湖北省来凤县某校初二（下）5月月考数学试卷
一、选择题
1.
【答案】
B
【考点】
二次根式有意义的条件
【解析】
根据二次根式有意义，则被开方数≥0，建立不等式，求解即可．
【解答】
解：若二次根式1x−5有意义，则x−5>0，
解得x>5.
故选B.
2.
【答案】
D
【考点】
最简二次根式
【解析】
判断一个二次根式是否为最简二次根式主要方法是根据最简二次根式的定义进行，或直观地观察被开方数的每一个因数（或因式）的指数都小于根指数2，且被开方数中不含有分母，被开方数是多项式时要先因式分解后再观察．
【解答】
解：A，13无法化简，是最简二次根式，故A错误；
B，21无法化简，是最简二次根式，故B错误；
C，3无法化简，是最简二次根式，故C错误；
D，18=32，被开方数中含有没开的尽方的数，故D正确.
故选D．
3.
【答案】
D
【考点】
二次根式的除法
二次根式的乘法
二次根式的减法
同类二次根式
【解析】
原式各项计算得到结果，即可做出判断．
【解答】
解：A，3和2不是同类二次根式，不能合并，故A错误；
B，23−3=3，故B错误；
C，2⋅5=10，故C错误；
D，24÷6=4=2，故D正确.
故选D.
4.
【答案】
C
【考点】
二次根式的性质与化简
【解析】
根据一元二次方程根与系数的关系，x1+x2=−ba，x1⋅x2=ca，代入计算即可．
【解答】
解：∵ x2=6，
∴ x2=36，
解得x=±6.
故选C.
5.
【答案】
C
【考点】
列代数式求值
二次根式的非负性
【解析】
分别计算出x=1，y=−1即可求解.
【解答】
解：∵ x−1−1−x=(x+y)2，
∴ x−1≥0，1−x≥0，
即x≥1，x≤1，
∴ x=1，
∴ 1−1−1−1=(1+y)2，
∴ 0−0=(1+y)2，
即(1+y)2=0，
∴ 1+y=0，
∴ y=−1，
∴ 2x−y=2×1−(−1)=2+1=3.
故选C.
6.
【答案】
C
【考点】
勾股定理的逆定理
直角三角形的性质
【解析】
先求出两小边的平方和和最长边的平方，看看是否相等即可．
【解答】
解：A，∵ 52+42=25+16=41=(41)2，
∴ △ABC是直角三角形，故A不符合题意；
B，∵ (3x)2+(4x)2=9x2+16x2=25x2=(5x)2，
∴ △ABC是直角三角形，故B不符合题意；
C，∵ ∠A+∠B+∠C=180∘，∠A:∠B:∠C=3:4:5，
∴ ∠A=45∘，∠5=60∘，∠C=75∘，
∴ △ABC不是直角三角形，故C符合题意；
D，∵ AB2=AC2+BC2，
∴ △ABC是直角三角形，故D不符合题意.
故选C.
7.
【答案】
D
【考点】
二次根式的乘除法
实数大小比较
等式的性质
列代数式
【解析】
根据实数的大小比较法则、二次根式的乘除法法则、列代数式的一般步骤判断即可．
【解答】
解：A，∵ 2<5<3，
∴ 12<5−12<1，本选项错误；
B，若ab=0，则a=0或b=0或a=b=0，本选项错误；
C，当a≥0，b>0时，ab=ab成立，本选项错误；
D，3a可以表示边长为a的等边三角形的周长，本选项正确.
故选D.
8.
【答案】
A
【考点】
估算无理数的大小
【解析】
依据被开方数越大对应的算术平方根越大进行解答即可．
【解答】
解：∵ 32=9，42=16，且9<10<16，
∴ 3<10<4，
∴ 与10最接近的整数是3.
故选A.
9.
【答案】
B
【考点】
勾股定理的证明
【解析】
设AM＝2a．BM＝b．则正方形ABCD的面积＝4a2+b2，由题意可知EF＝(2a−b)−2(a−b)＝2a−b−2a+2b＝b，由此即可解决问题．
【解答】
解：设AM＝2a．BM＝b．则正方形ABCD的面积＝4a2+b2
由题意可知EF＝(2a−b)−2(a−b)＝2a−b−2a+2b＝b，
∵ AM＝23EF，
∴ 2a＝23b，
∴ a=3b，
∵ 正方形EFGH的面积为S，
∴ b2＝S，
∴ 正方形ABCD的面积＝4a2+b2＝13b2＝13S，
故选B.
10.
【答案】
B
【考点】
勾股定理
在数轴上表示实数
【解析】
先根据勾股定理列式求出AB的长，即为AC的长，再根据数轴上的点的表示解答．
【解答】
解：由勾股定理得，AB=22+12=5，
∵ AB=AC，
∴ AC=5，
∵ 点A表示的数是−1，
∴ 点C表示的数是5−1．
故选B．
11.
【答案】
C
【考点】
等边三角形的性质与判定
三角形内角和定理
直角三角形斜边上的中线
【解析】
根据直角三角形的斜边上的中线的性质，即可得到△CDF是等边三角形，进而得到∠ACD＝60∘，根据∠BCD和∠BDC的角平分线相交于点E，即可得出∠CED＝115∘，即可得到∠ACD+∠CED＝60∘+115∘＝175∘．
【解答】
解：连结DF，如图所示，
∵ CD⊥AB，F为边AC的中点，
∴ DF=12AC=CF，
又∵ CD=CF，
∴ CD=DF=CF，
∴ △CDF是等边三角形，
∴ ∠ACD=60∘，
∵ ∠B=50∘，
∴ ∠BCD+∠BDC=130∘，
∵ ∠BCD和∠BDC的角平分线相交于点E，
∴ ∠DCE+∠CDE=65∘，
∴ ∠CED=115∘，
∴ ∠ACD+∠CED=60∘+115∘=175∘.
故选C.
12.
【答案】
B
【考点】
勾股定理
规律型：图形的变化类
【解析】
先求出则正方形ABCD的边长为2，做根据规律即可求解.
【解答】
解：∵ S1=2，则正方形ABCD的边长为2，
∴ S2=2×222=1=122−2，
S3=1×222=12=123−2，
S4=22×222=14=124−2，
…
S2020=122020−2=122018.
故选B．
二、填空题
【答案】
12
【考点】
倒数
有理数的乘方
【解析】
计算出−2的倒数为1−2，然后平方即可.
【解答】
解：∵ −2的倒数为1−2，
∴ −2的倒数的平方为1−22=12.
故答案为：12.
【答案】
1
【考点】
在数轴上表示实数
二次根式的性质与化简
【解析】
由数轴可知，1【解答】
解： 由数轴可知，1∴2−a2+1−a2
=2−a+(a−1)
=1．
故答案为：1．
【答案】
125
【考点】
勾股定理
三角形的面积
【解析】
首先判断出a=3,b=4，可得斜边c=5，利用面积法可得斜边上的高ℎ=abc
【解答】
解：∵a，b均为直角边且其长度为相邻的两个整数，
若a<5+1∴a=3，b=4，
∴斜边c=32+42=5，
∴该直角三角形斜边上的高的长度=abc=125.
故答案为：125.
【答案】
14
【考点】
勾股定理
等边三角形的性质
全等三角形的性质与判定
【解析】
此题暂无解析
【解答】
解：如图，在BC的延长线上取点N，使∠CDN=30∘，
在CB的延长线上取点M，使∠BAM=30∘，
∵ ∠B=∠C=90∘，
∴ ∠N=60∘，∠M=60∘，
∴ ∠DEN+∠EDN=120∘.
∵ ABCD=23，
∴ 设AB=2a，CD=3a，
由勾股定理得CN=3a，DN=23a，
BM=233a，AM=433a.
∵ △ADE是等边三角形，
∴ ∠AED=60∘，AE=DE，
∴ ∠AEM+∠DEN=120∘，
∴ ∠AEM=∠EDN.
∵ ∠AEM=∠EDN，∠N=∠M=60∘，AE=DE，
∴ △AEM≅△EDN(AAS)，
∴ EM=DN，AM=EN，
∴ CE=EN−CN=AM−CN=433a−3a=33a，
BE=EM−BM=DN−BM=23a−233a=433a，
∴ CEBE=14.
故答案为：14.
三、解答题
【答案】
解：y(1)原式=26+33−6−53
=6−23.
(2)原式=32÷2+5−3=3+2=5.
【考点】
二次根式的混合运算
【解析】
暂无
暂无
【解答】
解：y(1)原式=26+33−6−53
=6−23.
(2)原式=32÷2+5−3=3+2=5.
【答案】
5,5,22
(2)∵ AC=22+42=25，AD=22+42=25，
∴ AC=AD，
∴ △ACD是等腰三角形，
∵ AB2+AC2=5+20=25=BC2，
∴ △ABC是直角三角形．
【考点】
等腰三角形的性质与判定
勾股定理的逆定理
勾股定理
【解析】
（1）把线段AB、BC、CD、放在一个直角三角形中利用勾股定理计算即可；
（2）根据勾股定理的逆定理求出AC＝AD，即可判断△ACD的形状；由勾股定理的逆定理得出△ABC是直角三角形．
【解答】
解：(1)由勾股定理得：AB=22+12=5，BC=32+42=5，CD=22+22=22.
故答案为：5；5；22；
(2)∵ AC=22+42=25，AD=22+42=25，
∴ AC=AD，
∴ △ACD是等腰三角形，
∵ AB2+AC2=5+20=25=BC2，
∴ △ABC是直角三角形．
【答案】
解：当x=5−1时，
x2+5x−6=(5−1)2+5(5−1)−6
=5−25+1+55−5−6
=35−5．
【考点】
二次根式的化简求值
【解析】
把x的值代入多项式进行计算即可．
【解答】
解：当x=5−1时，
x2+5x−6=(5−1)2+5(5−1)−6
=5−25+1+55−5−6
=35−5．
【答案】
24
解：(2)设梯子的底部在水平方向滑动了x米.
由题意，得(24−4)2+(7+x)2=252，
整理，得(7+x)2=252−202=225，
即7+x=15或7+x=−15(负值，舍去)，
解得x=8.
答：梯子在水平方向移动了8米．
【考点】
勾股定理的应用
【解析】
在直角三角形中，已知斜边和一条直角边，根据勾股定理即可求出另一条直角边；根据求得的数值减去下滑的4米即可求得新直角三角形中直角边，根据梯子长度不变的等量关系即可解题．
设梯子的底部在水平方向滑动了x米，利用勾股定理即可求解.
【解答】
解：(1)水平方向为7米，且梯子长度为25米，
则在梯子与底面、墙面构成的直角三角形中，
梯子顶端与地面距离为252− 72=24.
故答案为：24.
解：(2)设梯子的底部在水平方向滑动了x米.
由题意，得(24−4)2+(7+x)2=252，
整理，得(7+x)2=252−202=225，
即7+x=15或7+x=−15(负值，舍去)，
解得x=8.
答：梯子在水平方向移动了8米．
【答案】
解：连接AC，如图，
∵∠ABC=90∘，AB=BC=2，
∴△ACB=45∘，AC2=AB2+BC2=8.
∵ CD=1，DA=3，
∴ 在△ACD中，AC2+CD2=8+1=9=DA2，
∴△ACD为直角三角形，即∠ACD=90∘，
∴ ∠BCD=∠ACB+∠ACD=135∘.
【考点】
勾股定理的逆定理
勾股定理
等腰三角形的判定与性质
【解析】
连接AC，∠ABC=90∘和AB=BC求出∠ACB=45∘，根据勾股定理的逆定理证明△ACD为直角三角形，求出∠ACD=90∘，即可解决
【解答】
解：连接AC，如图，
∵∠ABC=90∘，AB=BC=2，
∴△ACB=45∘，AC2=AB2+BC2=8.
∵ CD=1，DA=3，
∴ 在△ACD中，AC2+CD2=8+1=9=DA2，
∴△ACD为直角三角形，即∠ACD=90∘，
∴ ∠BCD=∠ACB+∠ACD=135∘.
【答案】
解：1如图所示，点B即为所求.
62
3如图，
∵ AB=7，AC=3，BD=4，AC⊥AB，BD⊥AB，
在AB上取一点P，使AP=x，则PB=7−x，
∴ x2+32+(7−x)2+42为CP+PD，
当x2+32+(7−x)2+42最小时，即CP+PD最小.
连结CD交AB于P，此时CP+DP最小，最小即CD值．
作CE⊥BD交DB延长线于E，
∴ ED=3+4=7，
∴ CD=CE2+DE2=72，
∴ x2+32+7−x2+42最小值是72.
【考点】
作图－平移变换
轴对称——最短路线问题
作图-轴对称变换
平面展开-最短路径问题
【解析】
1根据题意标出点B即可；
2作点A关于直线l的对称点A1，连接A1B交直线l于P，则此时PA+PB的值最小，根据勾股定理求出结论即可；
3将条件中的数表示为直角三角形的直角边，画对应图形，作轴对称图形，求出最小值即可．
【解答】
解：1如图所示，点B即为所求.
(2)如图所示，作点A关于直线l的对称点A1，
连接A1B交直线l于P，
此时PA+PB的值最小,
∴ PA+PB的最小值=62+62=62.
故答案为：62.
3如图，
∵ AB=7，AC=3，BD=4，AC⊥AB，BD⊥AB，
在AB上取一点P，使AP=x，则PB=7−x，
∴ x2+32+(7−x)2+42为CP+PD，
当x2+32+(7−x)2+42最小时，即CP+PD最小.
连结CD交AB于P，此时CP+DP最小，最小即CD值．
作CE⊥BD交DB延长线于E，
∴ ED=3+4=7，
∴ CD=CE2+DE2=72，
∴ x2+32+7−x2+42最小值是72.
【答案】
(1)证明：∵ ∠ACB=90∘，
∴ ∠ACE+∠BCD=90∘．
∵ ∠ACE+∠CAE=90∘，
∴ ∠CAE=∠BCD．
在△AEC与△CDB中，
∠CEA=∠BDC∠CAE=∠BCDAC=CB，
∴ △AEC≅△CDB(AAS)．
∴ EC=BD.
(2)解：由(1)可知，BD=CE=a，
∴ S梯形AEDB=12a+ba+b
=12a2+ab+12b2．
又∵ S梯形AEDB=S△AEC +S△BCD +S△ABC
=12ab+12ab+12c2
=ab+12c2．
∴ 12a2+ab+12b2=ab+12c2．
整理，得a2+b2=c2．
【考点】
全等三角形的性质与判定
等腰直角三角形
勾股定理的证明
【解析】
①通过AAS证得△CAE≅△BCD，根据全等三角形的对应边相等证得结论；
②利用等面积法证得勾股定理．
【解答】
(1)证明：∵ ∠ACB=90∘，
∴ ∠ACE+∠BCD=90∘．
∵ ∠ACE+∠CAE=90∘，
∴ ∠CAE=∠BCD．
在△AEC与△CDB中，
∠CEA=∠BDC∠CAE=∠BCDAC=CB，
∴ △AEC≅△CDB(AAS)．
∴ EC=BD.
(2)解：由(1)可知，BD=CE=a，CD=AE=b，
∴ S梯形AEDB=12a+ba+b
=12a2+ab+12b2．
又∵ S梯形AEDB=S△AEC +S△BCD +S△ABC
=12ab+12ab+12c2
=ab+12c2．
∴ 12a2+ab+12b2=ab+12c2．
整理，得a2+b2=c2．
【答案】
解：1∵ 12(9−1)=4，12(9+1)=5，
12(25−1)=12，12(25+1)=13，
∴ 7，24，25的股的算式为12(49−1)=12(72−1)，
弦的算式为12(49+1)=12(72+1).
2当n为奇数，且n≥3时，
勾、股、弦的代数式分别为n，12(n2−1)，12(n2+1).
猜想关系式①：弦−股=1，
关系式②：勾​2+股​2=弦​2，
证明关系式①：弦−股=12(n2+1)−12(n2−1)
=12[(n2+1)−(n2−1)]=1；
证明关系式②：勾​2+股​2=n2+[12(n2−1)]2
=14n4+12n2+14=14(n2+1)2=弦2，
∴ 猜想得证.
3探索得，当m为偶数且m>4时，
股、弦的代数式分别为(m2)2−1，(m2)2+1.
【考点】
勾股定理的证明
规律型：数字的变化类
【解析】
1根据所提供的例子发现股是勾的平方减去1的二分之一，弦是勾的平方加1的二分之一；
2股是勾的平方减去4的四分之一，弦是勾的平方加4的四分之一．
注意由具体例子观察发现规律，证明的时候熟练运用完全平方公式．
【解答】
解：1∵ 12(9−1)=4，12(9+1)=5，
12(25−1)=12，12(25+1)=13，
∴ 7，24，25的股的算式为12(49−1)=12(72−1)，
弦的算式为12(49+1)=12(72+1).
2当n为奇数，且n≥3时，
勾、股、弦的代数式分别为n，12(n2−1)，12(n2+1).
猜想关系式①：弦−股=1，
关系式②：勾​2+股​2=弦​2，
证明关系式①：弦−股=12(n2+1)−12(n2−1)
=12[(n2+1)−(n2−1)]=1；
证明关系式②：勾​2+股​2=n2+[12(n2−1)]2
=14n4+12n2+14=14(n2+1)2=弦2，
∴ 猜想得证.
3探索得，当m为偶数且m>4时，
股、弦的代数式分别为(m2)2−1，(m2)2+1.