2022开封高三第二次模拟考试数学（文）含解析

开封市2022届高三第二次模拟考试

文科数学

一、选择题：本题共12小题，每小题5分，共60分．在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的．

1. 设x，，集合，，若，则（    ）

A.  B.  C.  D.

【答案】C

【解析】

【分析】由交集结果解指数方程，求出，进而求出，求出并集.

【详解】由于，所以，解得：，所以，所以，，所以

故选：C

2. 在复平面内，复数z对应的点的坐标是，则（    ）

A.  B.  C. 2 D.

【答案】D

【解析】

【分析】根据给定条件求出，再利用复数模的定义计算作答.

【详解】因在复平面内，复数z对应的点的坐标是，则，

则，所以.

故选：D

3. 命题“，”的否定是（    ）

A. ， B. ，

C. ， D. ，

【答案】D

【解析】

【分析】利用含有一个量词命题的否定的定义求解.

【详解】因为命题“，”是全称量词命题，

所以其否定是存在量词命题，即，，

故选；D

4. 已知，，则（    ）

A. -7 B.  C.  D. 7

【答案】D

【解析】

【分析】求得的值，由此求得.

【详解】由于，，

所以，

.

故选：D

5. 甲乙两台机床同时生产一种零件，10天中，两台机床每天产品的次品数的茎叶图如图所示，下列判断错误的是（    ）

A. 甲的中位数大于乙的中位数 B. 甲的众数大于乙的众数

C. 甲的方差大于乙的方差 D. 甲的性能优于乙的性能

【答案】D

【解析】

【分析】根据茎叶图中的数据，分别计算中位数、众数、平均数、方差，再根据这些数字特殊的意义对每一个选项判断即可得解.

【详解】由茎叶图得：甲机床每天生产的次品数为：7，8，9，10，12，13，15，15，20，21

乙机床每天生产的次品数为：8，9，10，10，11，12，12，12，16，20.

对于A，甲的中位数为，乙的中位数为

所以甲的中位数大于乙的中位数，故A正确；

对于B，甲的众数为15，乙的众数为12，所以甲的众数大于乙的众数，故B正确；

对于C，甲的平均数，

就的平均数.

所以甲的方差

乙的方差

.

所以甲的方差大，故C正确；

对于D，由A、B、C得：中位数、众数、平均数、方差均为甲大于乙，所以甲生产出的次品数多于乙，即乙机床的性能优于甲，故D错误.

故选：D

6. 设A，F分别是双曲线C：的一个顶点和焦点，过A，F分别作C的一条渐近线的垂线，垂足分别为，若，则C的渐近线方程为（    ）

A.  B.  C.  D.

【答案】A

【解析】

【分析】利用点到直线的距离公式求得，结合求得，进而求得正确答案.

【详解】不妨设，一条渐近线方程为，

，

依题意，即，

由于，即，所以.

所以双曲线的渐近线方程为.

故选：A

7. 溶液酸碱度是通过pH计量的.pH的计算公式为，其中表示溶液中氢离子的浓度，单位是摩尔/升，已知胃酸中氢离子的浓度为摩尔/升，则胃酸的pH约为（    ）（参考数据：lg2≈0.301）

A. 0.398 B. 1.301 C. 1.398 D. 1.602

【答案】D

【解析】

【分析】直接利用所给公式计算求解即可

【详解】由题意得胃酸的pH为

，

故选：D

8. 若[x]表示不超过x的最大整数，例如[0.3]=0，[1.5]=1.则如图中的程序框图运行之后输出的结果为（    ）

A. 102 B. 684 C. 696 D. 708

【答案】C

【解析】

【分析】分析题意，得出，即该程序框图运行后输出的结果为：

，即可计算得出结果.

【详解】[x]表示不超过x的最大整数，所以该程序框图运行后输出的结果是：

，共123项相加.

从到共10项均为0，到共10项均为1，到共10项均为2，……，到共10项均为11，到共3项均为12，所以：.

故选：C.

9. 如图，将一块直径为的半球形石材切割成一个体积最大的正方体，则切割掉的废弃石材的体积为（    ）

A.  B.  C.  D.

【答案】A

【解析】

【分析】过正方体相对侧棱作截面，然后可解.

【详解】作截面如图，设正方体棱长为a，则，由勾股定理有，解得，半球体积为，正方体体积为，所以切割掉的废弃石材的体积为.

故选：A

10. 已知函数的图象过点，现将y＝f(x)的图象向左平移个单位长度得到的函数图象与y＝f(x)的图象关于x轴对称，则f(x)的解析式可能是（    ）

A.  B.

C.  D.

【答案】A

【解析】

【分析】将点P坐标带入函数解析式，然后根据平移后图像的特点可求出周期.

【详解】将点P的坐标带入 ，

可得 ，

因为平移后的图像与原图关于x轴对称，所以可能是，即 ，

，

 故选：A.

11. 已知（2，1）是圆C：上一点，则连接椭圆C的四个顶点构成的四边形的面积（    ）

A. 有最小值4 B. 有最小值8 C. 有最大值8 D. 有最大值16

【答案】B

【解析】

【分析】把（2，1）带入椭圆方程，得到，利用基本不等式得到即可求出面积的最小值.

【详解】因为（2，1）是圆C：上一点，

所以，即，所以，所以.

连接椭圆C的四个顶点构成的四边形的面积为.

即面积有最小值8.

故选：B

12. 骑行是一种能有效改善心肺功能的耐力性有氧运动，深受大众喜爱.如图是某一自行车的平面结构示意图，已知图中的圆A（前轮），圆D（后轮）的半径均为，，均是边长为4的等边三角形，设点P为后轮上一点，则在骑行该自行车的过程中，达到最大值时点P到地面的距离为（    ）

A.  B.  C.  D.

【答案】B

【解析】

【分析】建立平面直角坐标系，利用向量法求得达到最大值时点P的坐标，进而求得正确答案.

【详解】以为原点建立如图所示平面直角坐标系，

，

以为圆心，半径为的圆的方程为，

设，

，

由于，所以当时，取得最大值，

此时点的坐标为，

点到地面的距离为.

故选：B

二、填空题：本题共4小题，每小题5分，共20分．

13. 已知两个单位向量的夹角为，则____________．

【答案】

【解析】

【分析】利用，结合向量的数量积公式及将已知条件代入，求出模.

【详解】因为两个单位向量的夹角是，

所以，

故答案为：．

【点睛】结论点睛：本题考查求向量的模长，根据已知条件选择，若题目告诉的是坐标形式，利用，若题目涉及夹角，利用，考查学生的审题与计算能力，属于基础题.

14. 已知公差为1的等差数列中，，若，则n＝______．

【答案】

【解析】

【分析】根据等差数列的基本量的运算得，再求出通项即可求解.

【详解】由，有，从而，

所以若时，得.

故答案为：

15. 已知函数，若f(x)有极大值，则a＝______．

【答案】

【解析】

【分析】研究函数单调性，根据单调性判断极值点，从而得到关于极大值的方程即可求解.

【详解】因为，则.

若，则，则在定义域上单调递减，无极大值，故.

令，则，

当时，；当时，或，

所以在和上单调递增，在上单调递减

所以，解得.

故答案为：

16. 如图，某直径为海里的圆形海域上有四个小岛，已知小岛B与小岛C相距为5海里，.则小岛B与小岛D之间的距离为___________海里；小岛B，C，D所形成的三角形海域BCD的面积为___________平方海里.

【答案】    ①.     ②.

【解析】

【分析】先求得，利用正弦定理求得，利用余弦定理求得，从而求得三角形的面积.

【详解】圆的内接四边形对角互补，为锐角，

，

在三角形中，由正弦定理得.

在三角形中，由余弦定理得，

整理得,（负根舍去）.

所以平方海里.

故答案为：；

三、解答题：共70分，解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤．

第17~21题为必考题，每个试题考生都必须作答．第22，23题为选考题，考生根据要求作答．

（一）必考题：共60分．

17. 某小区物业每天从供应商购进定量小包装果蔬，供本小区居民扫码自行购买，每份成本15元，售价20元．如果下午6点之前没有售完，物业将剩下的果蔬打五折于当天处理完毕．物业对20天本小区这种小包装果蔬下午6点之前的日需求量（单位：份）进行统计，得到如下条形图：

（1）假设物业某天购进20份果蔬，当天下午6点之前的需求量为n（单位：份，）．

（i）求日利润y（单位：元）关于n的函数解析式；

（ii）以20天记录的各需求量的频率作为各需求量发生的概率，求日利润不少于100元的概率．

（2）依据统计学知识，请设计一个方案，帮助物业决策每天购进的果蔬份数．只需说明原因，不需计算．

【答案】（1） ， ；   

（2）方案见解析.

【解析】

【分析】（1）①根据价格成本计算即可；按照所给的条形图，②计算出日利润大于等于100元的频率即可；

（2）可以根据条形图计算出日需求的数学期望，按照数学期望确定每天购进的果蔬份数.

【小问1详解】

当 时， （元）；

当 时， （元），

所以 ；

由条形图可知，每天需求大于等于20的一共有4+5+4=13天，

所以日利润不少于100的概率为 ；

【小问2详解】

可以根据条形图计算出日需求的数学期望，按照所求的数学期望觉得每天购进的果蔬份数；

故答案为：，，方案见解析.

18. 已知数列的前n项和为，，且.

（1）证明：数列为等差数列；

（2）选取数列的第项构造一个新的数列，求的前n项和.

【答案】（1）证明见解析   

（2）

【解析】

【分析】（1）利用来进行证明.

（2）先求得，然后利用分组求和法求得.

【小问1详解】

依题意，

，，

所以数列是首项为，公差为等差数列.

所以，.

【小问2详解】

数列的第为，

所以

.

19. 如图，四边形ABCD是圆柱OQ的轴截面，圆柱OQ的侧面积为，点P在圆柱OQ的底面圆周上，且是边长为的等边三角形，点G是DP的中点．

（1）求证：AG⊥平面PBD；

（2）求点A到平面OPG的距离．

【答案】（1）证明见解析；   

（2）.

【解析】

【分析】（1）根据给定条件证明及，再利用线面垂直判定推理作答.

（2）在三棱锥中利用等体积法计算作答.

【小问1详解】

因点P在圆柱OQ的底面圆周上，则，而四边形ABCD是圆柱OQ的轴截面，

则有平面，平面，即有，又，平面，

于是得平面，而平面，因此，，

因是边长为的等边三角形，，，

因圆柱OQ的侧面积为，即，则，

又点G是DP的中点，则有，而，平面，

所以平面.

【小问2详解】

由已知得，

线段DP的中点G到平面距离为，于是得，

由平面知，即是直角三角形，，

而，则等腰底边上的高为，

，设点A到平面OPG的距离为，由得：

，解得，

所以点A到平面OPG的距离是.

20. 已知抛物线C：的焦点为F，为C上一点，直线l交C于M，N两点（与点S不重合）.

（1）若l过点F且倾斜角为60°，（M在第一象限），求C的方程；

（2）若，直线SM，SN分别与y轴交于A，B两点，且，判断直线l是否恒过定点？若是，求出该定点；若否，请说明理由.

【答案】（1）   

（2）直线l恒过定点.

【解析】

【分析】（1）由已知条件，利用点斜式写出直线l的方程，然后与抛物线方程联立，求出点的横坐标，进而根据焦半径公式即可求解；

（2）设直线的方程为，点，将直线的方程与抛物线联立，根据已知条件及韦达定理找到、之间的关系即可求解.

【小问1详解】

解：抛物线C：的焦点为，

因为l过点F且倾斜角为60°，所以，

联立，可得，解得或，

又M在第一象限，所以，

因为，所以，解得，

所以抛物线C的方程为；

【小问2详解】

解：由已知可得抛物线C的方程为，点，

设直线的方程为，点，

将直线方程与抛物线联立得，

所以，，

直线的方程为，

令求得点的纵坐标为，同理求得点的纵坐标为，

由，化简得，

将上面式代入得，即，

所以直线的方程为，即，

所以直线过定点.

21. 已知函数．

（1）当a=2时，求f(x)在x＝1处的切线方程；

（2）若对任意的x>0，有f(x)≤b+a（），证明：b≥－2a．

【答案】（1）；   

（2）证明见解析.

【解析】

【分析】（1）把a=2代入，求出函数f(x)在x＝1处的导数值，再利用导数的几何意义求解作答.

（2）等价转化给定的不等式，构造函数并求其最大值，再构造函数并求其最小值作答.

【小问1详解】

当a=2时，，，求导得：，则，有，即，

所以f(x)在x＝1处的切线方程是：.

【小问2详解】

，，令，，

求导得，而，则当时，，当时，，

因此，在上单调递增，在上单调递减，，

于是得，则，令，

，则当时，，当时，，

因此，在上单调递减，在上单调递增，，

于是得，即，

所以.

【点睛】思路点睛：函数不等式证明问题，将所证不等式造价转化，构造新函数，再借助函数的单调性、极(最)值问题处理.

（二）选考题：共10分．请考生在22、23题中任选一题作答．如果多做，则按所做的第一题计分．

 [选修4-4：坐标系与参数方程]

22. 在直角坐标系中，曲线的参数方程为（为参数），直线的参数方程为（为参数，），直线的参数方程为（为参数，）.

（1）将参数方程化为普通方程，并求出与的夹角；

（2）已知点，分别为，与曲线相交所得弦的中点，且的面积为，求的值.

【答案】（1）的普通方程为；与的夹角为；   

（2）或.

【解析】

【分析】（1）根据参数方程与普通方程互化可得普通方程，并确定直线与的斜率，可得；

（2）将的参数方程代入的普通方程，利用直线参数方程中参数的几何意义可求得，利用可构造方程求得结果.

【小问1详解】

由得：，即的普通方程为：；

由直线与的参数方程可知两直线斜率分别为，，

，，即与的夹角为；

【小问2详解】

均经过椭圆内部的点，与椭圆分别交于两点；

将代入得：，

设是方程的两根，则；

是与椭圆相交弦中点，；

将代入，同理可得：；

，解得：或（舍），

又，，或，解得：或.

 [选修4-5：不等式选讲]

23. 已知，且abc=1.

（1）求证：；

（2）若a=b+c，求a的最小值.

【答案】（1）证明见解析   

（2）

【解析】

【分析】（1）利用基本不等式证得不等式成立.

（2）利用基本不等式化简已知条件，求得的取值范围，从而求得的最小值.

【小问1详解】

，

当且仅当时等号成立.

【小问2详解】

依题意，，

所以，当且仅当时等号成立.

所以，

所以的最小值为，此时.