2023届河南省开封市高三下学期第二次模拟考试数学（文）试题含解析

2023届河南省开封市高三下学期第二次模拟考试数学（文）试题

一、单选题

1．设集合或，，则（    ）

A． B． C． D．

【答案】B

【分析】按集合的运算法则，求集合A的补集，再与集合B取交集．

【详解】集合或，，

又，则.

故选：B

2．若，则（    ）

A．2 B． C． D．1

【答案】C

【分析】根据复数的模的计算可求得答案.

【详解】解：，，

故选：C.

3．已知，则（    ）

A． B． C． D．

【答案】C

【分析】根据题意，由二倍角公式即可得到结果.

【详解】因为.

故选:C

4．已知圆与双曲线的渐近线相切，则双曲线C的焦距为（      ）

A．2 B． C． D．4

【答案】D

【分析】由题意求得双曲线的渐近线方程，根据圆与双曲线的渐近线相切，得到圆心到直线的距离等于半径，列出相应的等量关系式，从而求得，进一步求得双曲线的焦距.

【详解】双曲线的渐近线方程为，

根据圆的圆心到切线的距离等于半径，可得，解得，

从而求得双曲线的方程为，所以，即，故此双曲线的焦距为，

故选：D

5．在某次高中学科知识竞赛中，对2000名考生的参赛成绩进行统计，可得到如图所示的频率分布直方图，其中分组的区间为，，，，，，60分以下视为不及格，则下列说法中正确的个数有（    ）

①a的值为0.300

②不及格的考生数为500

③考生竞赛成绩的平均分约为70.5分（同一组中数据用该组区间中点值近似代替）

④考生竞赛成绩的中位数约为75分

A．1个 B．2个 C．3个 D．4个

【答案】B

【分析】根据频率分布直方图分析即可.

【详解】由频率分布直方图可得：

，①错误；

不足60的占比为：，②正确；

平均分为：，③正确；

设中位数为，则，解得，④错误,综上正确的有2个.

故选:B

6．a，b为实数，则“”是“”的（        ）

A．充分不必要条件 B．必要不充分条件

C．充要条件 D．既不充分也不必要条件

【答案】A

【分析】根据充分不必要的定义进行判断即可.

【详解】因为，根据对数函数单调性可知成立，所以，

即“”是“”的充分条件，

取，此时，但，

故“”不是“”的必要条件，

所以“”是“”的充分不必要条件.

故选：A

7．如图所示的程序框图，所解决的问题是开始（    ）

A．计算的值 B．计算的值

C．计算的值 D．计算的值

【答案】B

【分析】根据已知程序框图，模拟程序的运行过程，并逐句分析各变量值的变化情况，可得答案．

【详解】输入的，

第一次循环，，不满足；

第二次循环，，不满足；

第三次循环，，不满足；

第九次循环，，满足，

退出循环，输出，

故框图所解决的问题是计算的值，

故选：B．

8．已知棱长为6的正方体内有一个正四面体玩具，若正四面体玩具可以在该正方体内任意转动，则这个正四面体玩具的棱长最大值为（    ）

A． B． C． D．

【答案】D

【分析】由题意可知，正四面体的棱长最大时，其外接球为正方体的内切球，转化为求正四面体的外接球的半径，即可列式求解.

【详解】若正四面体玩具可以在该正方体内任意转动，则这个正四面体的棱长最大时，其外接球为正方体的内切球，

如图所示，设四面体的边长为，其外接正方体为，则正方体棱长为

则正方体与正四面体有同一个外接球，

设正方体的外接球的半径为，则，即，

而棱长为6的正方体的内切球的半径为3，

所以，解得：

故选：D

9．把函数图像上各点的横坐标缩短到原来的倍（纵坐标不变），再把所得图像向右平移个单位，则最终所得图像的一条对称轴方程可以为（    ）

A． B． C． D．

【答案】A

【分析】根据函数图像的变换规律，得到变换后的函数解析式，即可求图像的对称轴方程．

【详解】将函数图像上各点的横坐标缩短到原来的倍（纵坐标不变），可得函数 的图像，

再向右平移个单位，所得图像对应的函数解析式 ，

故最后所得函数的图像的一条对称轴方程为，即，

结合所给的选项可得只有A满足条件，

故选：A．

10．已知D是圆锥的顶点，O是圆锥底面圆的圆心，是底面圆的内接正三角形，若该圆锥的母线和底面圆的直径长度相等，则AO与CD所成角的余弦值为（    ）

A． B． C． D．

【答案】D

【分析】设正三角形的外接圆的半径为，则母线，利用向量的数量积求出向量所成角的余弦值，即为所成角的余弦值，即可答案.

【详解】解：如图一所示：

设正三角形的外接圆的半径为，则母线，

又因为平面,平面,

所以，即，

 如图二所示：

则,

则，

 即，

所以，

即向量所成角的余弦值为，

所以所成角的余弦值为.

故选：D.

11．已知等边的边长为，P为所在平面内的动点，且，则的取值范围是（    ）

A． B． C． D．

【答案】B

【分析】首先建立平面直角坐标系且，，，进而确定的轨迹圆，再利用向量数量积的坐标表示并结合所得表达式的几何意义求范围即可.

【详解】如下图构建平面直角坐标系，且，，，

所以在以为圆心，1为半径的圆上，即轨迹方程为，

而，故，

综上，只需求出定点与圆上点距离平方的范围即可，

而圆心与的距离，故定点与圆上点的距离范围为，

所以.

故选：B

12．已知函数，且，则的最小值为（    ）

A． B．

C． D．

【答案】D

【分析】首先根据题干条件，得，化简整理得，

然后构造函数，借助导数求解的最小值，即可求出的最小值.

【详解】由，得，

化简整理得：；

令（），，令，解得.

当时，，即在上单调递减；

当时，，即在上单调递增；

即，故

故选：D

二、填空题

13．已知向量，，若，则______．

【答案】

【分析】根据向量平行的坐标运算公式可得答案.

【详解】因为向量，，且，

所以，解得.

故答案为：.

14．已知是各项均不相同的等差数列，是公比为q的等比数列，且，则______．

【答案】

【分析】根据题意，列出方程，即可求得.

【详解】根据条件可得，，

两式相除可得，解得或.

当时，则，因为是各项均不相同的等差数列，

故，所以.

故答案为:.

15．已知中，，，，则的面积为______．

【答案】

【分析】由已知利用余弦定理即可解得BC的值，再用面积公式求的面积．

【详解】中，，，，由余弦定理，

可得：，整理可得，解得（负值舍），

则的面积.

故答案为：

16．已知椭圆的右焦点与抛物线的焦点重合，且与该抛物线在第一象限交于点，若轴，则椭圆C的离心率为______．

【答案】##

【分析】根据已知条件及点在抛物线上和在椭圆上，利用椭圆的离心率公式即可求解.

【详解】由抛物线得焦点，

因为轴，

所以把代入中，得，解得，

因为点在第一象限，

所以.

因为椭圆的右焦点与抛物线的焦点重合，

由椭圆得焦点，

所以，

所以

因为在椭圆上，

所以，即，

所以，即，解得或，

又因为，

所以.

所以椭圆C的离心率为.

故答案为：.

三、解答题

17．记为正项数列的前n项和，已知，．

(1)求数列的通项公式；

(2)若，求数列的前n项和．

【答案】(1)

(2)

【分析】(1)利用等差数列的定义，求出，再利用的关系求出；

(2)，对分奇偶讨论，利用分组（并项）求和法，即可求出结果.

【详解】（1）(1)当时，因为，

所以数列为等差数列，公差为1，首项为，所以，

为正项数列，则；

当时，，

亦适合上式，所以．

（2）由(1)可知，，

当n为偶数时，

当n为奇数时，

综上可知

18．如图1，在直角梯形ABCD中，，，，将沿AC折起（如图2）．在图2所示的几何体中：

(1)若平面ACD⊥平面ABC，求证：AD⊥BC；

(2)设P为BD的中点，记P到平面ACD的距离为，P到平面ABC的距离为，求证：为定值，并求出此定值．

【答案】(1)证明见解析

(2)证明见解析，2

【分析】（1）先通过余弦定理及勾股定理证明AC⊥BC，再通过面面垂直的性质定理证明BC⊥平面ACD，从而可证线线垂直；

（2）利用等体积法建立高的关系式，求解即可.

【详解】（1）记，在中，，，

在中，，由余弦定理得，

所以，所以AC⊥BC，

因为平面ACD⊥平面ABC，平面平面ABC=AC，BC平面ABC，

所以BC⊥平面ACD，又平面ACD，所以；

（2）由题意，，

因为P为BD的中点，，

所以，即.

19．某沙漠地区经过治理，生态系统得到很大改善，野生动物数量有所增加．某研究小组为调查该地区某种野生动物的数量，将其分成面积相近的200个地块，从这些地块中用简单随机抽样的方法抽取20个作为样区，调查得到样本数据，其中和分别表示第i个样区的植物覆盖面积（单位：公顷）和这种野生动物的数量，计算得，，，．作散点图发现，除了明显偏离比较大的两个样本点，外，其它样本点大致分布在一条直线附近，为了减少误差，该研究小组剔除了这两个样本点，重新抽样补充了两个偏离比较小的样本点，．

(1)求该地区这种野生动物数量的估计值（这种野生动物数量的估计值等于样区这种野生动物数量的平均数乘以地块数）；

(2)建立地块的植物覆盖面积x（单位：公顷）和这种野生动物的数量y的线性回归方程；

(3)经过进一步治理，如果每个地块的植物覆盖面积增加1公顷，预测该地区这种野生动物增加的数量．

参考公式：线性回归方程，其中，．

【答案】(1)13000

(2)

(3)2000

【分析】（1）由样本数据估计总体野生动物数量即可.

（2）根据线性回归方程的公式求回归方程即可.

（3）根据（2）的回归方程计算即可.

【详解】（1）样区野生动物平均数为，

而地块数为200，该地区这种野生动物的估计值为．

（2）将样本点，替换为，，构成一组新的样本数据，

计算得，，

，，

所以，，

所求回归方程为．

（3）由（2）回归方程可知：每个地块的植物覆盖面积增加1公顷，则野生动物数量增加10，

故该地区这种野生动物增加数量的估计值为：．

20．如图，过抛物线的焦点F作直线l交E于A，B两点，点A，B在x轴上的射影分别为D，C．当AB平行于x轴时，四边形ABCD的面积为4．

(1)求p的值；

(2)过抛物线上两点的弦和抛物线弧围成一个抛物线弓形，古希腊著名数学家阿基米德建立了这样的理论：以抛物线弓形的弦为底，以抛物线上平行于弦的切线的切点为顶点作抛物线弓形的内接三角形，则抛物线弓形的面积等于该内接三角形面积的倍．已知点P在抛物线E上，且E在点P处的切线平行于AB，根据上述理论，从四边形ABCD中任取一点，求该点位于图中阴影部分的概率为时直线l的斜率．

【答案】(1)

(2)

【分析】（1）当AB平行于x轴时，四边形ABCD为矩形，根据矩形面积公式求出p的值；（2）设，，，，将直线和抛物线联立得韦达定理，求出，点P到AB的距离，求出，又四边形ABCD是直角梯形或矩形，求出，即可求出的值.

【详解】（1）当AB平行于x轴时，四边形ABCD为矩形，，，

所以，解得．

（2）由（1），抛物线，即，，，

设，，，，

则，，

联立得，，

则，点P到AB的距离，

所以，，

又，所以，

又四边形ABCD是直角梯形或矩形，所以，

所以概率，

解得，所以该点位于图中阴影部分的概率为时直线l的斜率为．

21．已知函数图象上三个不同的点，，．

(1)求函数在点处的切线方程；

(2)若，探究线段的中点在第几象限？并说明理由．

【答案】(1)

(2)第四象限，理由见解析

【分析】（1）根据导数几何意义可求得切线斜率，进而得到切线方程；

（2）设，将问题转化为证明；根据的形式可构造函数，利用导数说明的单调性后，进一步将问题转化为证明，采用作差法可证得，从而确定位于第四象限.

【详解】（1），，在点处的切线方程为：.

（2）线段的中点在第四象限，证明如下：

，不妨设点在第四象限，点在第一象限，即，

线段的中点，即．

，只需证：，即，即证即可；

，，

令，则；

当时，，，，单调递减；

当时，，，，单调递增；

，，要证，只需证，

又，只需证；

，

，，，，

，即，原问题得证，

线段的中点在第四象限.

【点睛】关键点点睛：本题考查导数几何意义的应用、构造函数证明不等关系；本题证明中点位于第四象限的关键是通过分析法将问题转化为证明，通过构造函数的方式将问题进一步转化为证明函数的不同函数值的大小关系的比较问题.

22．在直角坐标系xOy中，曲线的参数方程为（t为参数），曲线的参数方程为（为参数）．

(1)将曲线的参数方程化为普通方程；

(2)已知点，曲线和相交于A，B两点，求．

【答案】(1)

(2)

【分析】（1）利用消参即可求解普通方程；

（2）结合条件写出直线过点的标准参数方程，联立方程，利用参数的几何意义求解即可.

【详解】（1）由的参数方程得：，

所以曲线的普通方程为：．

（2）由已知得：曲线为过点的直线，

其标准参数方程形式为：（t为参数），

联立和的方程得：，即，，

设与的两个交点A，B对应的参数分别为，，所以，，

因为，由t的几何意义得：．

23．已知，且，证明：

(1)；

(2)．

【答案】(1)证明见解析

(2)证明见解析

【分析】（1）利用三元均值不等式，灵活运用“1”证明即可.

（2）利用基本不等式配凑消元转化即可.

【详解】（1）由均值不等式可知：，，

∴，

∵，∴，当且仅当时“=”成立．

得证.

（2）∵，

∴，当且仅当时取等号，

，当且仅当时取等号，

，当且仅当时取等号，

∴，

当且仅当时“=”成立，∴．

得证.