云南省曲靖市2022-2023学年高三第二次模拟考试数学（文）试卷（含解析）

云南省曲靖市2022-2023学年高三第二次模拟考试

数学（文）试卷

学校:___________姓名：___________班级：________

一、单选题

1．已知集合，则（    ）

A． B．

C． D．

2．（    ）

A． B． C． D．

3．设是数列的前n项和，若，则（    ）

A．4045 B．4043 C．4041 D．2021

4．某大型家电商场，在一周内，计划销售、两种电器，已知这两种电器每台的进价都是万元，若厂家规定，一家商场进货的台数不高于的台数的倍，且进货至少台，而销售、的售价分别为元/台和元/台，若该家电商场每周可以用来进货、的总资金为万元，所进电器都能销售出去，则该商场在一个周内销售、电器的总利润（利润售价进价）的最大值为（    ）

A．万元 B．万元 C．万元 D．万元

5．执行如图的算法框图，输出的结果的值为（    ）

A． B．0 C． D．

6．某研究机构为了实时掌握当地新增高速运行情况，在某服务区从小型汽车中抽取了名驾驶员进行询问调查，将他们在某段高速公路的车速（）分成六段：，，，，，，得到如图所示的频率分布直方图．下列结论错误的是（    ）

A．这辆小型车辆车速的众数的估计值为

B．这辆小型车辆车速的中位数的估计值为

C．这辆小型车辆车速的平均数的估计值为

D．在该服务区任意抽取一辆车，估计车速超过的概率为

7．我国在2020年9月22日在联合国大会提出，二氧化碳排放力争于2030年前实现碳达峰，争取在2060年前实现碳中和．为了响应党和国家的号召，某企业在国家科研部门的支持下，进行技术攻关：把二氧化碳转化为一种可利用的化工产品，经测算，该技术处理总成本y（单位：万元）与处理量x（单位：吨）之间的函数关系可近似表示为，当处理量x等于多少吨时，每吨的平均处理成本最少（    ）

A．120 B．200 C．240 D．400

8．在中，内角，，的对边分别为，，．已知，，则的最小值为（    ）

A． B．1 C． D．

9．已知抛物线，直线与交于第一象限的两点、，是的焦点，且，则（    ）

A． B． C． D．

10．设是函数的导函数，是函数的导函数，若对任意恒成立，则下列选项正确的是（    ）

A． B．

C． D．

11．如图，在正方体中，，平面经过，直线，则平面截该正方体所得截面的面积为

A． B． C． D．

12．“”是“直线与圆相切”的（    ）

A．充分不必要条件 B．必要不充分条件

C．充要条件 D．既不充分也不必要条件

二、填空题

13．已知随机变量，且，则a的值为___________.

14．已知点在抛物线：上，则的焦点到其准线的距离为__________.

15．已知，则___________.

16．已知P，E，F,G都在球面C上，且P在所在平面外，， ，，，在球 C内任取一点，则该点落在三棱锥P﹣EFG内的概率为 _____ ．

三、解答题

17．如图，在直四棱柱中，四边形是菱形，分别是棱，的中点．

(1)证明：平面平面．

(2)若，，求点到平面的距离．

18．已知数列的前项和为，且.

(1)求的通项公式；

(2)设的前项和为，求.

19．已知为坐标原点，点，曲线上动点到点的距离等于动点到定直线的距离的倍．直线：与曲线交于不同的两点A，．

(1)求曲线的方程；

(2)求面积的最大值，并求此时直线的方程．

20．某项科研活动共进行了5次试验，其数据如下表所示：

（1）根据表中的数据，运用相关系数进行分析说明，是否可以用线性回归模型拟合y与x的关系？并指出是正相关还是负相关；

（2）求特征量y关于x的回归方程，并预测当特征量x为12时特征量y的值.

附：参考公式：相关系数，，.参考数据：.

21．已知函数．

(1)求函数的极值；

(2)若不等式对任意恒成立，求实数a的取值范围．

22．曲线：经过伸缩变换后得到曲线.以坐标原点为极点，轴正半轴为极轴建立极坐标系.

（1）求曲线的极坐标方程；

（2）若A，分别为曲线上的两点，且，求点到直线的距离.

23．已知函数（且）为奇函数.

（1）求实数的值；

（2）若，设，，且满足，求实数的取值范围.

参考答案

1．D

【分析】根据题意得，，再根据集合交集运算求解即可.

【详解】解：解不等式得，故，

所以

故选：D．

2．C

【分析】根据复数的除法运算，化简即可得出结果.

【详解】.

故选：C.

3．A

【分析】根据计算可得；

【详解】解：因为，

所以；

故选：A

4．D

【分析】设卖场在一周内进货的台数为台，则一周内进货的台数为，根据题意可得出关于的不等式，解出的取值范围，再写出关于的函数关系式，利用函数的单调性可求得的最大值.

【详解】设该卖场在一周内进货的台数为台，则一周内进货的台数为，

设该卖场在一周内销售、电器的利润为万元，

由题意可得，可得，且，

，

函数随着的增大而增大，故（万元）.

故选：D.

5．D

【分析】根据循环结构程序框图计算并输出变量的值，由正弦型函数的周期性可得出的周期，且同一周期内各函数值的累加和为0，最后根据三角函数函数的周期性和特殊角的三角函数值求出结果.

【详解】解：由已知中的程序框图可知： 程序的功能是利用循环结构计算并输出变量

的值，

由于的周期为6，且同一周期内各函数值的累加和为0，

又，

∴.

故选：D.

6．C

【分析】对于A：由图得众数的估计值为最高矩形的中点对应的值；

对于B：由，，所对应的矩形的面积得出数据的中位数的估计值在区间内，计算可判断．

对于C：根据频率直方图的平均数的估计值计算公式可判断．

对于D：由频率直方图估计车速超过的概率为．

【详解】解：对于A：由图可知，众数的估计值为最高矩形的中点对应的值，故A正确．

对于B：，，所对应的矩形的面积分别为，，，其和为，而对应的矩形面积为，因此中位数的估计值为，故B正确．

对于C：平均数的估计值为，故C错误．

对于D：估计车速超过的概率为，故D正确．

故选：C．

7．D

【分析】先根据题意求出每吨的平均处理成本与处理量之间的函数关系，然后分和分析讨论求出其最小值即可

【详解】由题意得二氧化碳每吨的平均处理成本为，

当时，，

当时，取得最小值240，

当 时，，

当且仅当，即时取等号，此时取得最小值200，

综上，当每月得理量为400吨时，每吨的平均处理成本最低为200元，

故选：D

8．B

【分析】由，结合化简可求出，再由正弦定理结合可得，从而可求得，再由角的范围和正弦函数的性质可求出其最小值

【详解】∵，

∴，

∴，，由正弦定理知，，，

又．

∴，

∴，

又，∴，∴．

故选：B

9．D

【分析】由题意结合几何关系和抛物线的定义首先求得点的坐标，然后结合斜率的定义可得直线的斜率.

【详解】抛物线：的准线为：，

直线（）恒过定点

如图过，分别作于，于，

由，则，

点为的一个三等分点，取的一个三等份点，连接，

则，

∴，点的纵坐标为，

故点的坐标为.

.

故选：D.

10．A

【分析】根据导函数与函数的单调性及导数的几何意义判断即可；

【详解】解：因为对任意，，恒成立，

所以在上单调递增，且在上单调递减，即的图象增长得越来越慢，从图象上来看函数是上凸递增的，所以，

又，表示点与点的连线的斜率，

由图可知

即，

故选：A

11．D

【详解】如图所示，连接与交于，取的中点，连接，则，平面平面平面，是满足条件的截面，由正方体的性质可得，平面截该正方体所得截面的面积为，

故选D.

【点晴】本题主要考查线面平行的判定定理棱锥的体积公式，属于难题.证明线面平行的常用方法：①利用线面平行的判定定理，使用这个定理的关键是设法在平面内找到一条与已知直线平行的直线，可利用几何体的特征，合理利用中位线定理、线面平行的性质或者构造平行四边形、寻找比例式证明两直线平行.②利用面面平行的性质，即两平面平行，在其中一平面内的直线平行于另一平面.

12．A

【分析】根据题意，结合直线与圆的位置关系求出，即可求解.

【详解】根据题意，由直线与圆相切，

知圆心到直线的距离，解得或，

因此“”是“直线与圆相切”的充分不必要条件.

故选：A.

13．

【分析】利用正态分布的对称性可求解.

【详解】因为随机变量，

根据正态分布的对称性，由，可知.

故答案为：

14．

【分析】将点坐标代入抛物线方程可得值，然后求出抛物线的焦点坐标和准线方程可得答案.

【详解】点代入抛物线方程，解得，

抛物线方程为：，焦点坐标为，准线方程为：，

焦点到准线的距离：.

故答案为：.

15．

【分析】根据诱导公式及同角三角函数基本关系求出，再由二倍角的余弦公式化简求值即可.

【详解】，

，

.

故答案为：

16．

【分析】由题意画出图形，求出三棱锥外接球的半径，再分别求出三棱锥及其外接球的体积，由测度比为体积比得答案．

【详解】如图，

在中，由已知可得，，

可得，设的外接圆的半径为r，由，可得，

再设的外心为，过作底面EGF的垂线，且使，

连接OE，则，OE为三棱锥的外接球的半径，

则；，

由测度比为体积比，可得在球C内任取一点，则该点落在三棱锥P﹣EFG内的概率为．

故答案为：．

【点精】本题考查球内接多面体及其体积、考查几何概型等基础知识，考查运算求解能力，属于中档题．

17．(1)证明见解析

(2)

【分析】（1）连接，先证明平面，再证明即可证得结果；

（2）连接，，作，垂足为，证明平面，进而根据等体积法求解即可.

【详解】（1）证明：连接．因为四边形是菱形，所以．

由直四棱柱的定义可知平面，平面，

所以．

因为平面，平面，且，

所以平面．

由直四棱柱的定义可知，．

因为分别是棱，的中点，

所以，，

所以四边形是平行四边形，则．

所以平面．

因为平面，

所以平面平面.

（2）解：连接，，作，垂足为，

因为平面，平面，

所以，

因为平面，平面，，

所以平面．

因为，，所以．

因为的面积，

所以三棱锥的体积．

设点到平面的距离为 ，因为，所以，，所以的面积．

则三棱锥的体积．

因为，所以，解得．

所以点到平面的距离为

18．(1)

(2)

【分析】（1）先用替换原式中的，然后两式作差，结合与的关系，即可得到为等差数列，从而得到其通项.

（2）由（1）的结论，求得及，代入化简，得到的式子，裂项相消即可.

（1）

，

，

两式作差得:，

，

成等差数列，

又当时，，

所以

即

（2）

由（1）知，

则，

即

，

故

    .

19．(1)

(2)最大值等于1；直线的方程为

【分析】（1）根据题意列出等式，并化为方程，求得答案；

（2）联立直线方程和椭圆方程，得到根与系数的关系式，求得弦长，表示出三角形的面积，结合基本不等式，求得答案.

(1)

已知点，设．

设点到直线的距离为d，则点满足，

代入坐标得： ，

化简即得曲线的方程为：．

(2)

由得，,

设，，则，，

∴，

，

又点到直线的距离，

所以的面积，

当且仅当即时，的面积取最大值， 最大值等于1，

的面积取最大值时，直线的方程为．

20．（1）可以用线性回归方程模型拟合y与x的关系，其关系为负相关；

（2），预测.

【解析】（1）根据表格中的数据，分别求得，结合公式，求得的值，即可得到结论；

（2）由（1）知，根据公式求得，进而求得，得出回归直线的方程，代入，即可得到预测值.

【详解】（1）由题意，可得，，

，

，，因而相关系数.

由于很接近1，

说明x，y线性相关性很强，因而可以用线性回归方程模型拟合y与x的关系.

由于，故其关系为负相关.

（2）由（1）知，，

则，

则所求的回归方程是，

当时，可预测特征量.

【点睛】求解回归直线方程的基本步骤：

（1）依据一般数据画出散点图，确定两个变量具有线性相关关系；

（2）计算的值；

（3）计算回归系数；

（4）写出回归直线方程.

21．(1)极小值为；无极大值

(2)a的取值范围为

【分析】（1）先判断函数定义域，再求导结合函数单调性求出极值即可；

（2）对函数进行同构变形，令，则对任意恒成立，首先可以证明对恒成立，原题转化为求在上单调递增时a的取值范围即可.

（1）

由题意得：，，

所以，

令，解得，

当时；当时，．

所以在上单调递减，在上单调递增．

所以有极小值，为；无极大值．

（2）

由已知得，对任意恒成立，

即对任意恒成立，

令，则对任意恒成立，

下证：对任意恒成立，

令，．

则在上恒成立，且仅当时取""．

所以在上单调递减，，

即，

所以对任意恒成立，只需在上单调递增，

即在上恒成立，

即在上恒成立，

所以即a的取值范围为.

【点睛】导数求参问题要善于运用转化的手法，本题先运用同构方法对原不等式变形，最终转化为函数单调性问题，结合函数的单调性与导数的关系，即可解答.

22．（1）；（2）.

【分析】（1）利用同角三角函数的平方关系，将化为普通方程，求曲线，最后应用公式法求的极坐标方程；

（2）设到直线的距离为，，易得，由（1）所得极坐标方程可得，再利用三角形面积公式即可求.

【详解】（1）曲线：的普通方程为，

经过伸缩变换后得到曲线，化成极坐标方程为.

（2）设到直线的距离为，，由，可得，

∴，即

又△的面积，

∴.

23．（1）；（2）

【解析】（1）由即可求出；

（2）先由求出，令，可得，根据的单调性求出最值即可求出k的取值范围.

【详解】（1）是奇函数，，

即，即，即，

解得（舍正），

（2）由（1），

，解得，

，

当时，，则，即，

则，，

令，则，

则，可得在单调递减，在单调递增，

，，，

则.

【点睛】本题考查根据函数的单调性求最值，解题的关键是换元利用单调性求出的值域.