高中数学4.1 平面向量基本定理背景图课件ppt

4　平面向量基本定理及坐标表示

4.1　平面向量基本定理

课后篇巩固提升

基础达标练

1.设e1,e2是不共线的向量,则下面四组向量中,能作为一组基的组数有(　　)

①e1和e1+e2;②e1-2e2和e2-2e1;③e1-2e2和4e2-2e1;④2e1+e2和e1-e2.

A.1组 B.2组 C.3组 D.4组

2.已知e1,e2为平面内所有向量的一组基,λ∈R,a=e1+λe2,b=2e1,则a与b共线的条件为(　　)

A.λ=0 B.e2=0

C.e1∥e2 D.e1∥e2或λ=0

3.设a,b为平面内所有向量的一组基,已知向量=a-kb,=2a+b,=3a-b,若A,B,D三点共线,则实数k的值等于(　　)

A.2 B.-2 C.10 D.-10

4.已知O是△ABC所在平面内一点,D为BC的中点,且2=0,则(　　)

A. B.=2

C.=3 D.2

5.(多选)如果e1,e2是平面α内两个不共线的向量,那么下列说法中不正确的是(　　)

A.λe1+μe2(λ,μ∈R)可以表示平面α内的所有向量

B.对于平面α内任一向量a,使a=λe1+μe2的实数对(λ,μ)有无穷多个

C.若向量λ1e1+μ1e2与λ2e1+μ2e2共线,则有且只有一个实数λ,使得λ1e1+μ1e2=λ(λ2e1+μ2e2)

D.若实数λ,μ使得λe1+μe2=0,则λ=μ=0

6.若e1,e2为平面内所有向量的一组基,且a=3e1-4e2,b=6e1+ke2不能作为一组基,则k的值为　　　　　. 

7.设D为△ABC所在平面内一点,=-,若=λ(λ∈R),则λ=　　　　. 

能力提升练

1.已知平面内有一点P及一个△ABC,若,则(　　)

A.点P在△ABC外部 B.点P在线段AB上

C.点P在线段BC上 D.点P在线段AC上

2.A,B,O是平面内不共线的三个定点,且=a,=b,点P关于点A的对称点为Q,点Q关于点B的对称点为R,则等于(　　)

A.a-b B.2(b-a)

C.2(a-b) D.b-a

3.在△ABC中,点D在线段BC的延长线上,且=3,点O在线段CD上(与点C,D不重合),若=x+(1-x),则x的取值范围是(　　)

A.0, B.0,

C.-,0 D.-,0

4.如图,平行四边形ABCD中,=a,=b,H,M分别是AD,DC的中点,BF=BC,以a,b为基表示向量=　　　　,=　　　　. 

5.在△ABC所在平面上有一点P,满足+4,则△PBC与△PAB的面积比为　　　　　　. 

6.如图所示,在△OAB中,=a,=b,M,N分别是OA,OB上的点,且a,b.设AN与BM交于点P,用向量a,b表示.

素养培优练

　已知A,B,C三点不共线,O为平面上任意一点,证明存在实数p,q,r,使得p+q+r=0,且若p+q+r=0,则必有p=q=r=0.

4　平面向量基本定理及坐标表示

4.1　平面向量基本定理

课后篇巩固提升

基础达标练

1.设e1,e2是不共线的向量,则下面四组向量中,能作为一组基的组数有(　　)

①e1和e1+e2;②e1-2e2和e2-2e1;③e1-2e2和4e2-2e1;④2e1+e2和e1-e2.

A.1组 B.2组 C.3组 D.4组

解析①设e1+e2=λe1,则无解,

所以e1+e2与e1不共线,即e1与e1+e2可作为一组基;

②设e1-2e2=λ(e2-2e1),则(1+2λ)e1-(2+λ)e2=0,则无解,所以e1-2e2与e2-2e1不共线,即e1-2e2与e2-2e1可作为一组基;

③因为e1-2e2=-(4e2-2e1),所以e1-2e2与4e2-2e1共线,即e1-2e2与4e2-2e1不可作为一组基;

④设e1+e2=λ(e1-e2),则(1-λ)e1+(1+λ)e2=0,

所以无解,所以e1+e2与e1-e2不共线,即e1+e2与e1-e2可作为一组基.

答案C

2.已知e1,e2为平面内所有向量的一组基,λ∈R,a=e1+λe2,b=2e1,则a与b共线的条件为(　　)

A.λ=0 B.e2=0

C.e1∥e2 D.e1∥e2或λ=0

解析因为e1,e2不共线,而a与b共线,所以λ=0.

答案A

3.设a,b为平面内所有向量的一组基,已知向量=a-kb,=2a+b,=3a-b,若A,B,D三点共线,则实数k的值等于(　　)

A.2 B.-2 C.10 D.-10

解析=(a-kb)+(-2a-b)+(3a-b)=2a-(k+2)b.

因为A,B,D三点共线,

所以存在实数λ使得=λ,

即a-kb=λ[2a-(k+2)b]=2λa-λ(k+2)b.

因为a,b为基向量,

所以解得λ=,k=2.

答案A

4.已知O是△ABC所在平面内一点,D为BC的中点,且2=0,则(　　)

A. B.=2

C.=3 D.2

解析由2=0,得2=-().

因为D是BC的中点,所以=2,

于是2=-2,即.

答案A

5.(多选)如果e1,e2是平面α内两个不共线的向量,那么下列说法中不正确的是(　　)

A.λe1+μe2(λ,μ∈R)可以表示平面α内的所有向量

B.对于平面α内任一向量a,使a=λe1+μe2的实数对(λ,μ)有无穷多个

C.若向量λ1e1+μ1e2与λ2e1+μ2e2共线,则有且只有一个实数λ,使得λ1e1+μ1e2=λ(λ2e1+μ2e2)

D.若实数λ,μ使得λe1+μe2=0,则λ=μ=0

解析由平面向量基本定理可知A,D是正确的.

对于B,由平面向量基本定理可知,一旦一个平面的基确定,那么平面内任意一个向量在此基下的实数对是唯一的.

对于C,当两向量均为零向量时,即λ1=λ2=μ1=μ2=0时,则这样的λ有无数个.故选BC.

答案BC

6.若e1,e2为平面内所有向量的一组基,且a=3e1-4e2,b=6e1+ke2不能作为一组基,则k的值为　　　　　. 

解析因为a,b不能作为一组基,

所以存在实数λ,使得a=λb,

即3e1-4e2=λ(6e1+ke2),

则6λ=3,且kλ=-4,解得λ=,k=-8.

答案-8

7.设D为△ABC所在平面内一点,=-,若=λ(λ∈R),则λ=　　　　. 

解析因为D为△ABC所在平面内一点,

由=-,可得3=-+4,

即4-4,

则4,即=-4,

可得=-3,故=-3,则λ=-3.

答案-3

能力提升练

1.已知平面内有一点P及一个△ABC,若,则(　　)

A.点P在△ABC外部 B.点P在线段AB上

C.点P在线段BC上 D.点P在线段AC上

解析因为,

所以=0,

即=0,

所以=0,所以2,

所以点P在线段AC上.

答案D

2.A,B,O是平面内不共线的三个定点,且=a,=b,点P关于点A的对称点为Q,点Q关于点B的对称点为R,则等于(　　)

A.a-b B.2(b-a)

C.2(a-b) D.b-a

解析如图,

a=),

b=),

相减得b-a=).

所以=2(b-a).

答案B

3.在△ABC中,点D在线段BC的延长线上,且=3,点O在线段CD上(与点C,D不重合),若=x+(1-x),则x的取值范围是(　　)

A.0, B.0,

C.-,0 D.-,0

解析如图.

依题意,设=λ,其中1<λ<,则有+λ+λ()=(1-λ)+λ.

又=x+(1-x),且不共线,

于是有x=1-λ∈-,0,

即x的取值范围是-,0.

故选D.

答案D

4.如图,平行四边形ABCD中,=a,=b,H,M分别是AD,DC的中点,BF=BC,以a,b为基表示向量=　　　　,=　　　　. 

解析在平行四边形ABCD中,=a,=b,H,M分别是AD,DC的中点,BF=BC,

所以=b+a,

=a+b-b=a-b.

答案b+a　a-b

5.在△ABC所在平面上有一点P,满足+4,则△PBC与△PAB的面积比为　　　　　　. 

解析+4,所以2,即点P在AC边上,且AP=2PC,所以△PBC与△PAB的面积比为1∶2.

答案1∶2

6.如图所示,在△OAB中,=a,=b,M,N分别是OA,OB上的点,且a,b.设AN与BM交于点P,用向量a,b表示.

解设=m=n,因为,所以+ma+m(1-m)a+mb,+n(1-n)b+na.

因为a与b不共线,所以

解得所以a+b.

素养培优练

　已知A,B,C三点不共线,O为平面上任意一点,证明存在实数p,q,r,使得p+q+r=0,且若p+q+r=0,则必有p=q=r=0.

证明由题意可得r=-(p+q).

所以p+q-(p+q)=0,

即p()=q(),p=q,

所以p+q=0=0·+0·.

由平面向量的基本定理可知,其分解是唯一的,

所以p=0,q=0,p+q=0.

因为p+q+r=0,故有p=q=r=0.