数学必修 第二册第二章 平面向量及其应用5 从力的做功到向量的数量积5.1 向量的数量积评课ppt课件

5　从力的做功到向量的数量积

5.1　向量的数量积

课后篇巩固提升

基础达标练

1若|a|=4,|b|=2,a和b的夹角为120°,则a在b方向上的投影数量为(　　)

A.-2 B. C.-2 D.2

2已知矩形ABCD中,AB=2,BC=1,则=(　　)

A.1 B.2 C.3 D.4

3.设m,n为非零向量,则“存在负数λ,使得m=λn”是“m·n<0”的(　　)

A.充分而不必要条件 

B.必要而不充分条件

C.充分必要条件 

D.既不充分也不必要条件

4已知等边三角形ABC的边长为1,设=a,=b,=c,那么a·b+b·c+c·a=(　　)

A.3 B.-3 C. D.-

5.(多选)对任意平面向量a,b,c,下列说法正确的是(　　)

A.若a·b=b·c,则a=c

B.若a=b,b=c,则a=c

C.|a|-|b|<|a|+|b|

D.|a·b|≤|a||b|

6.已知△AOB为等腰直角三角形,OA=1,OC为斜边的高.

(1)若P为线段OC的中点,则=　　　　　; 

(2)若P为线段OC上的动点,则的取值范围为　　　　. 

7.已知向量a,b的夹角为,|a|=1,|b|=2.

(1)求a·b的值;

(2)若2a-b和ta+b垂直,求实数t的值.

能力提升练

1.在梯形ABCD中,AB∥DC,AD⊥AB,AD=,则=(　　)

A.-1 B.1 

C. D.2

2.在△ABC中,M是BC的中点,AM=1,点P在AM上且满足=2,则·()等于(　　)

A. B.- C. D.-

3.在△ABC中,AB=5,BC=6,AC=7,点E为BC的中点,过点E作EF⊥BC交AC所在直线于点F,则向量在向量方向上的投影数量为(　　)

A.2 B. C.1 D.3

4.如图,在△ABC中,AD⊥AB,,||=2,则=(　　)

A.2 B.4

C.3 D.

5.已知e1,e2为单位向量且夹角为,设a=e1+e2,b=e2,则a在b方向上的投影数量为　　　　　　　　　. 

6.如图,在半径为r的定圆C中,A为圆上的一个定点,B为圆上的一个动点,若,且点D在圆C上,则=　　　　. 

素养培优练

　(多选)下列说法中正确的是(　　)

A.若非零向量a,b满足|a|=|b|=|a-b|,则a与a+b的夹角为30°

B.若a·b>0,则a,b的夹角为锐角

C.若,则△ABC一定是直角三角形

D.△ABC的外接圆的圆心为O,半径为1,若=2,且||=||,则向量在向量方向上的投影数量为

5　从力的做功到向量的数量积

5.1　向量的数量积

课后篇巩固提升

基础达标练

1.若|a|=4,|b|=2,a和b的夹角为120°,则a在b方向上的投影数量为(　　)

A.-2 B. C.-2 D.2

解析因为|a|=4,|b|=2,a和b的夹角为120°,所以a在b方向上的投影数量为|a|cos<a,b>=4×cos120°=-2.故选A.

答案A

2.已知矩形ABCD中,AB=2,BC=1,则=(　　)

A.1 B.2 C.3 D.4

解析由

向量的投影的几何意义及图象可知:

方向上的投影数量为||=2,故=||2=4.故选D.

答案D

3.设m,n为非零向量,则“存在负数λ,使得m=λn”是“m·n<0”的(　　)

A.充分而不必要条件 

B.必要而不充分条件

C.充分必要条件 

D.既不充分也不必要条件

解析若存在负数λ,使m=λn,则两向量m,n反向,夹角是180°,此时m·n=|m||n|cos180°=-|m||n|<0;若m·n<0,则两向量的夹角为(90°,180°],并不一定反向,所以是充分而不必要条件.故选A.

答案A

4.已知等边三角形ABC的边长为1,设=a,=b,=c,那么a·b+b·c+c·a=(　　)

A.3 B.-3 C. D.-

解析a·b+b·c+c·a=1×1×cos120°+1×1×cos120°+1×1×cos120°=-.故选D.

答案D

5.(多选)对任意平面向量a,b,c,下列说法正确的是(　　)

A.若a·b=b·c,则a=c

B.若a=b,b=c,则a=c

C.|a|-|b|<|a|+|b|

D.|a·b|≤|a||b|

解析对于A,反例b=0,则a与c不一定相等,所以A不正确;

由向量相等的充要条件,可知B正确;

对于C,若b=0,则不等式不成立,所以C不正确;

|a·b|=|a||b||cos<a,b>|≤|a||b|,所以D正确.故选BD.

答案BD

6.已知△AOB为等腰直角三角形,OA=1,OC为斜边的高.

(1)若P为线段OC的中点,则=　　　　　; 

(2)若P为线段OC上的动点,则的取值范围为　　　　. 

解析(1)=-·=-|2=-.

(2)设=λ(0≤λ≤1),

=-λ+λ2||2=-,所以取值范围是-,0.

答案(1)-　(2)-,0

7.已知向量a,b的夹角为,|a|=1,|b|=2.

(1)求a·b的值;

(2)若2a-b和ta+b垂直,求实数t的值.

解(1)a·b=|a||b|cos=1×2×-=-1.

(2)因为2a-b和ta+b垂直,

所以(2a-b)·(ta+b)=0,

整理得2t|a|2+(2-t)a·b-|b|2=0,

即2t-(2-t)-4=0,

解得t=2.

能力提升练

1.在梯形ABCD中,AB∥DC,AD⊥AB,AD=,则=(　　)

A.-1 B.1 

C. D.2

解析因为四边形ABCD为直角梯形,所以方向上的投影数量为,

由数量积的几何意义可知,=()2=2.故选D.

答案D

2.在△ABC中,M是BC的中点,AM=1,点P在AM上且满足=2,则·()等于(　　)

A. B.- C. D.-

解析因

为M是BC的中点,所以AM是BC边上的中线.

又点P在AM上且满足=2,

所以P是△ABC的重心,

所以·()

==-||2.

因为AM=1,所以||=,

所以·()=-.故选B.

答案B

3.在△ABC中,AB=5,BC=6,AC=7,点E为BC的中点,过点E作EF⊥BC交AC所在直线于点F,则向量在向量方向上的投影数量为(　　)

A.2 B. C.1 D.3

解析因为点E为BC的中点,

所以)+.

又因为EF⊥BC,

所以)·)·()=)=12,所以向量在向量方向上的投影数量为=2.故选A.

答案A

4.如图,在△ABC中,AD⊥AB,,||=2,则=(　　)

A.2 B.4

C.3 D.

解析根据向量的线性运算,结合平面向量数量积的定义可得=()·

=,

由AD⊥AB,可知=0,

又因为,||=2,

所以

=|·||·cos∠ADB

=×2×||×=4.故选B.

答案B

5.已知e1,e2为单位向量且夹角为,设a=e1+e2,b=e2,则a在b方向上的投影数量为　　　　　　　　　. 

解析由题可知|e1|=|e2|=1,<e1,e2>=,

因为a·b=(e1+e2)·e2=e1·e2+e2·e2=+1=,

|b|=1,所以a在b方向上的投影数量为

|a|cos<a,b>=.

答案

6.如图,在半径为r的定圆C中,A为圆上的一个定点,B为圆上的一个动点,若,且点D在圆C上,则=　　　　. 

解析因为,所以四边形ABDC为平行四边形.又AC=CD=CB=r,所以∠CAB=60°,

所以=r×r×cos60°=.

答案

素养培优练

　(多选)下列说法中正确的是(　　)

A.若非零向量a,b满足|a|=|b|=|a-b|,则a与a+b的夹角为30°

B.若a·b>0,则a,b的夹角为锐角

C.若,则△ABC一定是直角三角形

D.△ABC的外接圆的圆心为O,半径为1,若=2,且||=||,则向量在向量方向上的投影数量为

解析对于A,由向量减法法则及题意知,向量a,b,a-b可以组成一个等边三角形,向量a,b的夹角为60°,又由向量加法的平行四边形法则知,以a,b为邻边的平行四边形为菱形,所以a与a+b的夹角为30°,故选项A中说法正确.

对于B,当a=b≠0时不成立,故选项B中说法错误.

对于C,因为,

所以·()-,所以=0,即,

所以△ABC是直角三角形,故选项C中说法正确.

对于D,如图,其中四边形ABDC为平行四边形,

因为=2,所以O为AD,BC的交点,又||=||=||,所以△AOC为等边三角形,

所以∠ACB=60°,且BC为外接圆的直径,所以∠ABC=30°.在直角三角形ABC中,BC=2,AC=1,所以AB=,则向量在向量方向上的投影数量为||cos∠ABC=.故选项D中说法正确.

故选ACD.

答案ACD