（通用版）中考数学一轮复习练习卷3.5《二次函数的综合应用》随堂练习（含答案）

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1. 如图，对称轴为直线x＝－1的抛物线y＝ax2＋bx＋c(a≠0)与x轴相交于A、B两点，其中点A的坐标为(－3，0)．
(1)求点B的坐标；
(2)已知a＝1，C为抛物线与y轴的交点．
①若点P在抛物线上，且S△POC＝4S△BOC.求点P的坐标；
②设点Q是线段AC上的动点，作QD⊥x轴交抛物线于点D，求线段QD长度的最大值．

2. 已知：如图，抛物线y＝ax2－2ax＋c(a≠0)与y轴交于点C(0，4)，与x轴交于点A、B，点A的坐标为(4，0)．
(1)求该抛物线的解析式；
(2)点Q是线段AB上的动点，过点Q作QE∥AC，交BC于点E，连接CQ，当△CQE的面积最大时，求点Q的坐标；
(3)若平行于x轴的动直线l与该抛物线交于点P，与直线AC交于点F，点D的坐标为(2，0)．问：是否存在这样的直线l，使得△ODF是等腰三角形？若存在，请求出点P的坐标；若不存在，请说明理由．
3. 如图，已知抛物线y＝－x2＋2x＋3与x轴交于A、B两点(点A在点B的左边)，与y轴交于点C，连接BC.
(1)求A、B、C三点的坐标；
(2)若点P为线段BC上的一点(不与B、C重合)，PM∥y轴，且PM交抛物线于点M，交x轴于点N，当△BCM的面积最大时，求△BPN的周长；
(3)在(2)的条件下，当△BCM的面积最大时，在抛物线的对称轴上存在点Q，使得△CNQ为直角三角形，求点Q的坐标．
4. )如图，抛物线y＝－x2－2x＋3的图象与x轴交于A、B两点(点A在点B的左边)，与y轴交于点C，点D为抛物线的顶点．
(1)求点A、B、C的坐标；
(2)点M为线段AB上一点(点M不与点A、B重合)，过点M作x轴的垂线，与直线AC交于点E，与抛物线交于点P，过点P作PQ∥AB交抛物线于点Q，过点Q作QN⊥x轴于点N，若点P在点Q左边，当矩形PMNQ的周长最大时，求△AEM的面积；
(3)在(2)的条件下，当矩形PMNQ的周长最大时，连接DQ，过抛物线上一点F作y轴的平行线，与直线AC交于点G(点G在点F的上方)．若FG＝2eq \r(2)DQ，求点F的坐标．
5. 如图，抛物线y＝－x2＋2x＋3与x轴交于A，B两点(点A 在点B的左边)，与y轴交于点C.点D和点C关于抛物线的对称轴对称，直线AD与y轴相交于点E.
(1)求直线AD的解析式；
(2)如图①，直线AD上方的抛物线上有一点F，过点F作FG⊥AD于点G，作FH平行于x轴交直线AD于点H，求△FGH周长的最大值；
(3)点M是抛物线的顶点，点P是y轴上一点，点Q是坐标平面内一点，以A，M，P，Q为顶点的四边形是以AM为边的矩形，若点T和点Q关于AM所在直线对称，求点T的坐标．
拓展训练
如图①，在平面直角坐标系中，抛物线y＝eq \f(1,2)x2－eq \f(2\r(3),3)x－2分别与x轴交于A，B两点，与y轴交于C点，直线EF垂直平分线段BC，分别交BC于点E，y轴于点F，交x轴于D.
(1)判定△ABC的形状；
(2)在线段BC下方的抛物线上有一点P，当△BCP面积最大时，求点P的坐标及△BCP面积的最大值；
(3)如图②，过点E作EH⊥x轴于点H，将△EHD绕点E逆时针旋转一个角度α(0°≤α≤90°)，∠DEH的两边分别交线段BO，CO于点T，点K，当△KET为等腰三角形时，求此时KT的值．
命题点2 二次函数的实际应用
6. 某电视机生产厂家去年销往农村的某品牌电视机每台的售价y(元)与月份x之间满足函数关系y＝－50x＋2600，去年的月销售量p(万台)与月份x之间成一次函数关系，其中两个月的销售情况如下表：
(1)求该品牌电视机在去年哪个月销往农村的销售金额最大？最大是多少？
(2)由于受国际金融危机的影响，今年1、2月份该品牌电视机销往农村的售价都比去年12月份下降了m%，且每月的销售量都比去年12月份下降了1.5m%.国家实施“家电下乡”政策，即对农村家庭购买新的家电产品，国家按该产品售价的13%给予财政补贴．受此政策的影响，今年3至5月份，该厂家销往农村的这种电视机在保持今年2月份的售价不变的情况下，平均每月的销售量比今年2月份增加了1.5万台．若今年3至5月份国家对这种电视机的销售共给予了财政补贴936万元，求m的值(保留一位小数)．(参考数据：eq \r(34)≈5.831，eq \r(35)≈5.916，eq \r(37)≈6.083，eq \r(38)≈6.164)
7. 企业的污水处理有两种方式，一种是输送到污水厂进行集中处理，另一种是通过企业的自身设备进行处理．某企业去年每月的污水量均为12000吨，由于污水厂处于调试阶段，污水处理能力有限，该企业投资自建设备处理污水，两种处理方式同时进行.1至6月，该企业向污水厂输送的污水量y1(吨)与月份x(1≤x≤6，且x取整数)之间满足的函数关系如下表：
7至12月，该企业自身处理的污水量y2(吨)与月份x(7≤x≤12，且x取整数)之间满足二次函数关系式y2＝ax2＋c，其图象如图所示.1至6月，污水厂处理每吨污水的费用z1(元)与月份x之间满足函数关系式：z1＝eq \f(1,2)x，该企业自身处理每吨污水的费用z2(元)与月份x之间满足函数关系式：z2＝eq \f(3,4)x－eq \f(1,12)x2；7至12月，污水厂处理每吨污水的费用均为2元，该企业自身处理每吨污水的费用均为1.5元．
(1)请观察题中的表格和图象，用所学过的一次函数、反比例函数或二次函数的有关知识，分别直接写出y1，y2与x之间的函数关系式；
(2)请你求出该企业去年哪个月用于污水处理的费用W(元)最多，并求出这个最多费用；
(3)今年以来，由于自建污水处理设备的全面运行，该企业决定扩大产能并将所有污水全部自身处理，估计扩大产能后今年每月的污水量都将在去年每月的基础上增加a%，同时每吨污水处理的费用将在去年12月份的基础上增加(a－30)%.为鼓励节能降耗，减轻企业负担，财政对企业处理污水的费用进行50%的补助．若该企业每月的污水处理费用为18000元，请计算出a的整数值．(参考数据：eq \r(231)≈15.2，eq \r(419)≈20.5，eq \r(809)≈28.4)
答案
1. 解：(1)∵点A(－3，0)与点B关于直线x＝－1对称，
∴点B的坐标为(1，0)；(2分)
(2)∵a＝1，
∴y＝x2＋bx＋c，
∵抛物线过点(－3，0)，且对称轴为直线x＝－1，
∴eq \b\lc\{(\a\vs4\al\c1(－\f(b,2)＝－1,9－3b＋c＝0))，解得eq \b\lc\{(\a\vs4\al\c1(b＝2,c＝－3))，
∴抛物线解析式为y＝x2＋2x－3，
∴点C的坐标为(0，－3)，(4分)
①设点P的坐标为(x，y)，
由题意得S△BOC＝eq \f(1,2)OB·OC＝eq \f(1,2)×1×3＝eq \f(3,2)，
∴S△POC＝4S△BOC＝4×eq \f(3,2)＝6，(6分)
当x>0时，S△POC＝eq \f(1,2)OC·x＝eq \f(1,2)×3×x＝6，
∴x＝4，
∴y＝42＋2×4－3＝21；(7分)
当x<0时，S△POC＝eq \f(1,2)OC·(－x)＝eq \f(1,2)×3×(－x)＝6，
∴x＝－4，
∴y＝(－4)2＋2×(－4)－3＝5，(8分)
∴点P的坐标为(4，21)或(－4，5)；(9分)
②如解图，设点A、C所在直线的解析式为y＝mx＋n(m≠0)，
第1题解图
把A(－3，0)、C(0，－3)代入，得eq \b\lc\{(\a\vs4\al\c1(－3m＋n＝0,n＝－3))，解得eq \b\lc\{(\a\vs4\al\c1(m＝－1,n＝－3))，
∴y＝－x－3，
设点Q的坐标为(x，－x－3)，
其中－3≤x≤0，
∵QD⊥x轴，且点D在抛物线上，
∴点D的坐标为(x，x2＋2x－3)，
∴QD＝－x－3－(x2＋2x－3)＝－x2－3x＝－(x＋eq \f(3,2))2＋eq \f(9,4)，(11分)
∵－3<－eq \f(3,2)<0，
∴当x＝－eq \f(3,2)时，QD有最大值eq \f(9,4)，
∴线段QD长度的最大值为eq \f(9,4).(12分)
解：(1)∵抛物线y＝ax2－2ax＋c与y轴交于点C(0，4)且经过A(4，0)，
可得eq \b\lc\{(\a\vs4\al\c1(0＝16a－8a＋c,4＝c))，解得eq \b\lc\{(\a\vs4\al\c1(a＝－\f(1,2),c＝4))，(2分)
∴所求抛物线的解析式为y＝－eq \f(1,2)x2＋x＋4；(3分)
(2)设点Q的坐标为(m，0)，过点E作EG⊥x轴于点G，如解图①.
由－eq \f(1,2)x2＋x＋4＝0，
解得x1＝－2，x2＝4，
∴点B的坐标为(－2，0)，(4分)
第2题解图①
∴AB＝6，BQ＝m＋2，
∵QE∥AC，
∴∠BQE＝∠BAC，∠BEQ＝∠BCA，
∴△BQE∽△BAC，
∴eq \f(EG,CO)＝eq \f(BQ,BA)，即eq \f(EG,4)＝eq \f(m＋2,6)，
∴EG＝eq \f(2m＋4,3)，(5分)
∴S△CQE＝S△CBQ－S△EBQ
＝eq \f(1,2)BQ·CO－eq \f(1,2)BQ·EG
＝eq \f(1,2)(m＋2)(4－eq \f(2m＋4,3))
＝－eq \f(1,3)m2＋eq \f(2,3)m＋eq \f(8,3)(6分)
＝－eq \f(1,3)(m－1)2＋3.
∵－2≤m≤4，
∴当m＝1时，S△CQE有最大值3，此时Q(1，0)；(7分)
(3)存在．
在△ODF中，
①若DF＝DO，
∵A(4，0)，D(2，0)，
∴AD＝OD＝DF＝2，
又∵在Rt△AOC中，OA＝OC＝4，
∴∠OAC＝45°，
∴∠DFA＝∠OAC＝45°，
∴∠ADF＝90°，此时，点F的坐标为(2，2)，
由－eq \f(1,2)x2＋x＋4＝2，解得x1＝1＋eq \r(5)，x2＝1－eq \r(5)，
此时，点P的坐标为：P(1＋eq \r(5)，2)或P(1－eq \r(5)，2); (8分)
②若FO＝FD，过点F作FM⊥x轴于点M，如解图②，
第2题解图②
由等腰三角形的性质得：OM＝eq \f(1,2)OD＝1，
∴AM＝3，
∴在等腰直角△AMF中，MF＝AM＝3，∴F(1，3)，
由－eq \f(1,2)x2＋x＋4＝3，解得x1＝1＋eq \r(3)，x2＝1－eq \r(3)；
此时，点P的坐标为：P(1＋eq \r(3)，3)或P(1－eq \r(3)，3)；(9分)
③若OD＝OF，
∵OA＝OC＝4，且∠AOC＝90°，
∴AC＝4eq \r(2)，
∴点O到AC的距离为2eq \r(2)，而OF＝OD＝2＜2eq \r(2)，
∴此时不存在这样的直线l，使得△ODF是等腰三角形；
综上所述，存在这样的直线l，使得△ODF是等腰三角形，所求点P的坐标为：P(1＋eq \r(5)，2)或P(1－eq \r(5)，2)或P(1＋eq \r(3)，3)或P(1－eq \r(3)，3)．(10分)
3. 解：(1)当y＝0时，即－x2＋2x＋3＝0，
解得x1＝－1，x2＝3，
∴A(－1，0)，B(3，0)，(2分)
当x＝0时，y＝3，
∴C(0，3)，(3分)
∴点A、B、C的坐标分别是A(－1，0)，B(3，0)，C(0，3)；(4分)
(2)设△BCM的面积为S，点M的坐标为(a，－a2＋2a＋3)，
则OC＝3，OB＝3，ON＝a，MN＝－a2＋2a＋3，BN＝3－a，
根据题意，得S△BCM＝S四边形OCMN＋S△MNB－S△COB＝eq \f(1,2)(OC＋MN)·ON＋eq \f(1,2)MN·NB－eq \f(1,2)OC·OB＝eq \f(1,2)[3＋(－a2＋2a＋3)]a＋eq \f(1,2)(－a2＋2a＋3)(3－a)－ eq \f(1,2)×3×3＝－eq \f(3,2)a2＋eq \f(9,2)a＝－eq \f(3,2)(a－eq \f(3,2))2＋eq \f(27,8)，
∴当a＝eq \f(3,2)时，S△BCM有最大值，(6分)
此时，ON＝a＝eq \f(3,2)，BN＝3－a＝eq \f(3,2)，
∵OC＝OB＝3，∠COB＝90°，
∴∠PBN＝45°，
∴PN＝BN＝eq \f(3,2)，
根据勾股定理，得PB＝eq \r(PN2＋BN2)＝eq \f(3\r(2),2)，
∴△BPN的周长＝PN＋BN＋PB＝eq \f(3,2)＋eq \f(3,2)＋eq \f(3\r(2),2)＝3＋eq \f(3\r(2),2)；(8分)
(3)抛物线y＝－x2＋2x＋3的对称轴为直线x＝1，与x轴交于点E(1，0)，如解图，
第3题解图
设Q(1，y)，根据勾股定理CN2＝CO2＋ON2＝(eq \f(3,2))2＋32＝eq \f(45,4)，
过点Q作QD⊥y轴于点D，则D(0，y)，利用勾股定理可得：
CQ2＝CD2＋DQ2＝(y－3)2＋12＝y2－6y＋10，
NQ2＝QE2＋EN2＝y2＋eq \f(1,4)，
∵△CNQ为直角三角形，
∴有以下三种情况：
①当CN2＋CQ2＝NQ2，即∠NCQ＝90°时，eq \f(45,4)＋y2－6y＋10＝y2＋eq \f(1,4)，
解得y＝eq \f(7,2)，
∴Q(1，eq \f(7,2))；
②当CN2＋NQ2＝CQ2，即∠CNQ＝90°时，eq \f(45,4)＋y2＋eq \f(1,4)＝y2－6y＋10，
解得y＝－eq \f(1,4)，
∴Q(1，－eq \f(1,4))；
③当CQ2＋NQ2＝CN2，即∠CQN＝90°时，y2－6y＋10＋y2＋eq \f(1,4)＝eq \f(45,4)，
解得y＝eq \f(3±\r(11),2)，
∴Q(1，eq \f(3＋\r(11),2))或(1，eq \f(3－\r(11),2))．
综上所述，△CNQ为直角三角形时，点Q的坐标为(1，eq \f(3＋\r(11),2))或(1，eq \f(3－\r(11),2))或(1，－eq \f(1,4))或(1, eq \f(7,2))．(12分)
4. 解：(1)抛物线的解析式为y＝－x2－2x＋3，
令x＝0，得y＝3，则C(0，3)，(1分)
令y＝0，得－x2－2x＋3＝0，解得x1＝－3，x2＝1，
∴A(－3，0)，B(1，0)；(3分)
(2)由x＝－eq \f(－2,2×（－1）)＝－1得，抛物线的对称轴为直线x＝－1，(4分)
设点M(x，0)，P(x，－x2－2x＋3)，其中－3＜x＜－1，
∵P、Q关于直线x＝－1对称，设Q的横坐标为a，则a－(－1)＝－1－x，
∴a＝－2－x，
∴Q(－2－x，－x2－2x＋3)，(5分)
∴MP＝－x2－2x＋3，PQ＝－2－x－x＝－2－2x，
∴C矩形PMNQ＝2(MP＋PQ)
＝2(－2－2x－x2－2x＋3)
＝－2x2－8x＋2
＝－2(x＋2)2＋10，
∴当x＝－2时，C矩形MNPQ取最大值．(6分)
此时，M(－2，0)，
∴AM＝－2－(－3)＝1，
设直线AC的解析式为y＝kx＋b(k≠0)，则eq \b\lc\{(\a\vs4\al\c1(3＝b,0＝－3k＋b))，解得eq \b\lc\{(\a\vs4\al\c1(b＝3,k＝1))，
∴直线AC的解析式为y＝x＋3，
将x＝－2代入y＝x＋3，得y＝1，
∴E(－2，1)，
∴EM＝1，(7分)
∴S△AEM＝eq \f(1,2)AM·ME＝eq \f(1,2)×1×1＝eq \f(1,2)；(8分)
第4题解图
(3)由(2)知，当矩形PMNQ的周长最大时，M横坐标为x＝－2，此时点Q(0，3)，与点C重合，
∴OQ＝3，
将x＝－1代入y＝－x2－2x＋3，得y＝4，
∴D(－1，4)，
如解图，过点D作DK⊥y轴于点K，则DK＝1，OK＝4，∴QK＝OK－OQ＝4－3＝1，
∴△DKQ是等腰直角三角形，DQ＝eq \r(2)，(9分)
∴FG＝2eq \r(2)DQ＝2eq \r(2)×eq \r(2)＝4，(10分)
设F(m，－m2－2m＋3)，G(m，m＋3)，
∵点G在点F的上方，
∴FG＝(m＋3)－(－m2－2m＋3)＝m2＋3m，
∵FG＝4，
∴m2＋3m＝4，解得m1＝－4，m2＝1，
当m＝－4时，－m2－2m＋3＝－(－4)2－2×(－4)＋3＝－5，
当m＝1时，－m2－2m＋3＝－12－2×1＋3＝0，
∴F点的坐标为(－4，－5)或(1，0)．(12分)
5. 解：(1)当y＝0时，即0＝－x2＋2x＋3，
解得x1＝－1，x2＝3.
∴A(－1，0)，B(3，0)．
当x＝0时，y＝3，
∴C(0，3)．(1分)
∵y＝－x2＋2x＋3＝－(x－1)2＋4，
∴抛物线的对称轴为x＝1，顶点(1，4)，
∴点C关于直线x＝1的对称点D(2，3)．(2分)
设直线AD的解析式为y＝kx＋b(k≠0)，代入A(－1，0)，D(2，3)，
得eq \b\lc\{(\a\vs4\al\c1(0＝－k＋b,3＝2k＋b))，解得eq \b\lc\{(\a\vs4\al\c1(k＝1,b＝1))，
∴直线AD的解析式为y＝x＋1；(3分)
(2)对于y＝x＋1，当x＝0时，y＝1，
∴OE＝1＝OA，
∴△AOE为等腰直角三角形．
∵FG⊥AD，FH∥x轴，
∴∠FHG＝∠EAO，∠FGH＝∠EOA，
∴△FHG∽△EAO，
∴△FGH是等腰直角三角形，
∴FG∶GH∶FH＝1∶1∶eq \r(2).(4分)
设F(t，－t2＋2t＋3)，
则点H的纵坐标为－t2＋2t＋3，
代入y＝x＋1，得x＝－t2＋2t＋2，
∴H(－t2＋2t＋2，－t2＋2t＋3)，
∴FH＝(－t2＋2t＋2)－t＝－t2＋t＋2，(5分)
∴C△FGH＝FG＋GH＋FH
＝eq \f(FH,\r(2))＋eq \f(FH,\r(2))＋FH
＝(eq \r(2)＋1)FH
＝(eq \r(2)＋1)(－t2＋t＋2)
＝－(eq \r(2)＋1)(t－eq \f(1,2))2＋eq \f(9,4)(eq \r(2)＋1)，(6分)
∴当t＝eq \f(1,2)时，C△FGH最大＝eq \f(9,4)(eq \r(2)＋1)＝eq \f(9,4)eq \r(2)＋eq \f(9,4)；(7分)
(3)(ⅰ)当点P在AM上方时，如解图①，过点M作MP⊥AM交y轴于P点，过P点作AM的平行线、过A点作PM的平行线，交点为点Q，直线AQ交y轴于点T.
由作法知四边形AMPQ为平行四边形，且∠AMP＝90°，
∴四边形AMPQ是符合题意的矩形．
作MR⊥y轴于点R，设AM交y轴于点S.
∵A(－1，0)，M(1，4)，
∴RM＝OA＝1，
又∵∠MRS＝∠AOS，∠MSR＝∠ASO，
∴△MRS≌△AOS(AAS)，
∴SO＝RS＝eq \f(1,2)OR＝2，
∴SM＝eq \r(12＋22)＝eq \r(5)＝SA.(8分)
∵∠MSR＝∠PSM，∠MRS＝∠PMS，
∴△PMS∽△MRS，
∴eq \f(PS,MS)＝eq \f(MS,RS)，
∴PS＝eq \f(MS2,RS)＝eq \f(5,2).(9分)
∵SM＝SA，∠PSM＝∠TSA，∠PMS＝∠TAS＝90°，
∴△PMS≌△TAS(ASA)，
∴PM＝AT，PS＝ST＝eq \f(5,2).
∵OS＝2，
∴OT＝eq \f(5,2)－2＝eq \f(1,2)，
∴T(0，－eq \f(1,2))．
在矩形AMPQ中，PM＝AQ，
∴AQ＝AT.
∵QT⊥AM，
∴点Q、T关于AM成轴对称，
∴T(0，－eq \f(1,2))为所求的点；(10分)
第5题解图
(ⅱ)当点P在AM下方时，如解图②作矩形APQM，延长QM交y轴于点T.同(ⅰ)可知MQ＝AP＝TM，且AM⊥QT，则点Q关于AM的对称点为点T，此时ST与解图①中的SP相等，即TS＝eq \f(5,2)，又OS＝2，
∴OT＝OS＋TS＝eq \f(9,2)，
∴T(0，eq \f(9,2))．(11分)
综上所述，点T坐标为(0，－eq \f(1,2))或(0，eq \f(9,2))．(12分)
拓展训练 解：(1)结论：△ABC是直角三角形．
理由如下：对于抛物线y＝eq \f(1,2)x2－eq \f(2\r(3),3)x－2，
令y＝0，即eq \f(1,2)x2－eq \f(2\r(3),3)x－2＝0，
解得x＝－eq \f(2\r(3),3)或2eq \r(3)，
∴A(－eq \f(2\r(3),3)，0)，B(2eq \r(3)，0)，
令x＝0得y＝－2，
∴C(0，－2)，
∴OA＝eq \f(2\r(3),3)，OC＝2，OB＝2eq \r(3)，AB＝eq \f(8\r(3),3)，
∴AC＝eq \r(OA2＋OC2)＝eq \f(4\r(3),3)，BC＝4，
∴AC2＋BC2＝eq \f(64,3)，AB2＝eq \f(64,3)，
∴AC2＋BC2＝AB2，
∴△ABC是直角三角形；
(2)如解图①，设P(m，eq \f(1,2)m2－eq \f(2\r(3),3)m－2)，
解图①
S△BCP＝S△OCP＋S△OBP－S△OBC＝eq \f(1,2)×2m＋eq \f(1,2)×2eq \r(3)×(－eq \f(1,2)m2＋eq \f(2\r(3),3)m＋2)－eq \f(1,2)×2×2eq \r(3)＝－eq \f(\r(3),2)(m－eq \r(3))2＋eq \f(3\r(3),2)，
∴m＝eq \r(3)，即P(eq \r(3)，－eq \f(5,2))时，△PBC的面积最大，最大为eq \f(3\r(3),2).
(3)①如解图②，
解图②
∵EF垂直平分BC，
∴E(eq \f(0＋2\r(3),2)，eq \f(－2＋0,2))即E(eq \r(3)，－1)，
tan∠EOH＝eq \f(HE,OH)＝eq \f(\r(3),3)，
∴∠EOH＝30°，∠OEH＝60°，
在Rt△BOC中，tan∠CBO＝eq \f(CO,BO)＝eq \f(\r(3),3)，
∴∠CBO＝30°，
∵EF⊥BC，
∴∠FEB＝90°，∠EDB＝60°，
∵EH⊥OB，
∴∠DEH＝30°，∠OED＝30°，
∵EH＝1，∠DEH＝30°，
∴DH＝eq \f(\r(3),3)，
当点K与点O重合，点T与点D重合时，△EKT为等腰三角形，
易知TE＝TK＝eq \f(\r(3),3)·EB＝eq \f(2\r(3),3)；
②如解图③中，当TE＝KE时，作KN⊥CE于N，EQ⊥OC于Q，则四边形OQEH是矩形，
解图③
易知：HE＝1，∠CKN＝30°，
∵∠QEH＝90°，∠KET＝30°，
∴∠TEH＝60°－∠QEK，
∵KN∥DE，
∴∠EKN＝∠DEK，又∠KET＝∠DEH，
∴∠DEK＝∠TEH，
∴∠EKN＝∠TEH，
∵ET＝EK，∠KNE＝∠EHT＝90°，
∴△KEN≌△ETH(AAS)，
∴KN＝EH＝1，
在Rt△CNK中，易知CN＝eq \f(\r(3),3)，CK＝eq \f(2\r(3),3)，
∴EN＝2－eq \f(\r(3),3)，
∴TH＝EN＝2－eq \f(\r(3),3)，
∴OT＝eq \f(4\r(3),3)－2，OK＝2－eq \f(2\r(3),3)，
∴KT2＝OK2＋OT2＝eq \f(44,3)－8eq \r(3)，
∴KT＝eq \r(\f(44,3)－8\r(3))；
③当TK＝EK时，∠ETK＝∠TEK＝30°，∴∠EKT＝120°，
而T在OB上，K在OC上，∴∠EKT最大为90°<120°，∴EK＝TK不成立．KT的值为eq \f(2\r(3),3)或eq \r(\f(44,3)－8\r(3)).
解：(1)设p与x的函数关系为p＝kx＋b(k≠0)，根据题意，
得eq \b\lc\{(\a\vs4\al\c1(k＋b＝3.9,5k＋b＝4.3))，解得eq \b\lc\{(\a\vs4\al\c1(k＝0.1,b＝3.8))，
∴p＝ 0.1x＋3.8，(2分)
设月销售金额为w万元，则w＝py＝(0.1x＋3.8)(－50x＋2600)(3分)
化简，得w＝－5x2＋70x＋9880，
∴w＝－5(x－7)2＋10125，
∴当x＝7时，w取得最大值，最大值为10125万元，
答：该品牌电视机在去年7月份销往农村的销售金额最大，最大值为10125万元，(4分)
(2)去年12月份每台的售价为 －50×12＋2600＝2000元，
去年12月份月销售量为0.1×12＋3.8＝5万台，(5分)
根据题意， 得2000(1－m%)×〔5(1－1.5m%)＋1.5〕×13%×3＝936，(8分)
令m%＝t，原方程可化为7.5t2－14t＋5.3＝0，
解得t1＝eq \f(14＋\r(37),15)，t2＝eq \f(14－\r(37),15)，
∴t1≈1.339(舍去)，t2≈0.528.
答：m的值约为52.8.(10分)
7. 解：(1)y1＝eq \f(12000,x)(1≤x≤6，且x取整数)，(1分)
y2＝x2＋10000(7≤x≤12，且x取整数)；(2分)
(2)当1≤x≤6，x取整数时，
W＝y1·z1＋(12000－y1)·z2
＝eq \f(12000,x)·eq \f(1,2)x＋(12000－eq \f(12000,x))·(eq \f(3,4)x－eq \f(1,12)x2)
＝－1000x2＋10000x－3000.(3分)
∵a＝－1000<0，x＝－eq \f(b,2a)＝5，1≤x≤6，
∴当x＝5时，W最大＝22000(元)；(4分)
当7≤x≤12，且x取整数时，
W＝2×(12000－y2)＋1.5y2
＝2×(12000－x2－10000)＋1.5×(x2＋10000)
＝－eq \f(1,2)x2＋19000，(5分)
∵a＝－eq \f(1,2)<0，x＝－eq \f(b,2a)＝0，
当7≤x≤12时，W随x的增大而减小，
∴当x＝7时，W最大＝18975.5(元)，
∵22000>18975.5，
∴去年5月用于污水处理的费用最多，最多费用是22000元；(6分)
(3)由题意得
12000(1＋a%)×1.5×[1＋(a－30)%]×(1－50%)＝18000.(8分)
设t＝a%，整理得10t2＋17t－13＝0，解得t＝eq \f(－17±\r(809),20).
∵eq \r(809)≈28.4，
∴t1≈0.57，t2≈－2.27(舍去)，
∴a≈57.
答：a的整数值为57.(10分)
月 份
1月
5月
销售量
3.9万台
4.3万台
月份x(月)
1
2
3
4
5
6
输送的污水量y1(吨)
12000
6000
4000
3000
2400
2000