2021-2022学年吉林省长春市十一高中高二上学期第一学程考试数学试题含解析

长春市十一高中2021-2022学年高二上学期第一学程考试

数学试题

第Ⅰ卷（共 60分）

一、选择题（本题共10小题，每小题5分.在每小题给出的四个选项中，只有一个选项

是符合题目要求的.）

1．直线的倾斜角是（    ）

A． B． C． D．

2．与圆同圆心，且面积为面积的一半的圆的方程为（    ）

A．   B．  C． D．

3．圆C：被直线截得的最短弦长为（    ）

A． B． C． D．

4．若椭圆上一点A到焦点F1的距离为2，B为AF1的中点，O是坐标原点，则|OB|的值为（    ）

A．1 B．2 C．3 D．4

5．已知为实数，直线与直线垂直，则（    ）

A．0或3 B．3 C．0 D．无解

6．过点引直线，使，两点到直线的距离相等，则这条直线的方程是（    ）

A． B．

C．或 D．或

7．在三棱锥中，平面，，，，分别是棱，，的中点，，，则直线与平面所成角的正弦值为（    ）

A． B． C． D．

8．一座圆拱桥，当水面在如图所示位置时，拱顶离水面3米，水面宽12米，当水面下降1米后，水面宽度为（    ）

A．米 B．米 C．米 D．米

9．如图所示，椭圆的离心率，左焦点为F，A、B、C分别为左顶点、上顶点和下顶点，直线与交于点，则的值为（    ）

A． B． C． D．

10．已知点是直线：()上的动点，过点作圆：的切线，为切点，若最小为时，圆：与圆外切，且与直线相切，则的值为（    ）

A．             B．        C．              D．

二、选择题（本题共2小题，每小题5分，共10分。在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求，全部选对得5分，部分选对的得2分，有选错的得0分。）

11．如图，在正方体中，点E是线段上的动点，则下列判断正确的是（　　）

A．当点E与点重合时，

B．当点E与线段的中点重合时，与异面

C．无论点E在线段的什么位置，都有

D．若异面直线与所成的角为θ，则的最大值为

12．已知椭圆的左右焦点分别为、，长轴长为4，点在椭圆内部，点在椭圆上，则以下说法正确的是（    ）

A．离心率的取值范围为   B．当离心率为时，的最大值为

C．存在点使得   D．的最小值为1

第Ⅱ卷（共 90分）

三、填空题：本题共4小题,每小题5分,共20分.

13．已知圆与圆外切，则______．

14．已知直线与直线在轴上有相同的截距，且的斜率与的斜率互为倒数，则直线的方程为______．

15．曲线与直线恰有个公共点，则的取值范围为_________．

16．已知椭圆  的左右焦点为、，点为椭圆上任意一点，过作的外角平分线的垂线，垂足为点，过点作轴的垂线，垂足为，线段的中点为，则点的轨迹方程为___________.

四、解答题：本题共6小题,第17题10分，第18-22题每题12分，共70分.

17．在中，边上的高所在的直线的方程为，的平分线所在直线的方程为，若点的坐标为.

（1）求点的坐标.

（2）求直线的方程.

18．已知圆与轴相切，圆心点在直线上，且直线被圆所截得的线段长为.

（1）求圆的方程；

（2）若圆与轴正半轴相切，从点发出的光线经过直线反射，反射光线刚好通过圆的圆心，求反射光线所在直线的方程.

19．已知椭圆，离心率为，且点在椭圆上．

（1）求椭圆的方程；

（2）若椭圆上的任意一点（除短轴的端点外）与短轴的两个端点，的连线分别与轴交于P , Q两点，求证为定值.

20．如图，某海面上有O ,A ,B三个小岛（面积大小忽略不计），A岛在O岛的北偏东方向距O岛千米处，B岛在O岛的正东方向距O岛20千米处.以O为坐标原点，O的正东方向为轴的正方向，1千米为单位长度，建立平面直角坐标系.圆C经过O ,A ,B三点.

（1）求圆C的方程；

（2）若圆C区域内有未知暗礁，现有一船D在O岛的南偏西30°方向距O岛40千米处，正沿着北偏东行驶，若不改变方向，试问该船有没有触礁的危险

21．如图，在四棱锥中，底面为平行四边形，，平面，．

（1）证明：平面；

（2）若，PB与平面所成角的正弦值为，求二面角的余弦值．

22．在平面直角坐标系中，过点且互相垂直的两条直线分别与圆交于点，与圆交于点．

（1）若直线斜率为2，求弦长；

（2）若的中点为E，求面积的取值范围．

第Ⅰ卷（共 60分）

一、选择题（本题共10小题，每小题5分.在每小题给出的四个选项中，只有一个选项

是符合题目要求的.）

1．D

【详解】由可得，

所以直线的斜率为，

设直线的倾斜角为，则，

因为，所以，故选：D.

2．D

【详解】由题得圆，所以圆的圆心为，半径为6.

设所求的圆的半径为，所以.

所以所求的圆的方程为.故选：D

3．B

【详解】直线过定点，圆心，当直线与弦垂直时，弦长最短，，所以最短弦长为，故选：B．

4．B

【详解】因为椭圆，所以，设椭圆的另一个焦点为，则，而是的中位线，所以．故选：B．

5．A

【详解】若直线与直线垂直，

则，即，解得或，故选：A.

6．D

【详解】若过的直线与平行，因为，

故直线的方程为：即.

若过的直线过的中点，因为的中点为，此时，

故直线的方程为：即.故选：D.

7．B

【详解】因为，所以，因为平面，平面，

所以，以为空间直角坐标系的原点，以所在的直线为轴，建立如下图所示的空间直角坐标系，，

，，，

设平面的法向量为，

所以有，

设直线与平面所成角为，

所以，故选：B

8．C

【详解】如图建立平面直角坐标系，则圆心在y轴上，设圆的半径为r，

则圆的方程为，

∵   拱顶离水面3米，水面宽12米，∴ 圆过点,

∴  ，∴  ∴  圆的方程为，

当水面下降1米后，可设水面的端点坐标为，则，   ∴   ，

∴   当水面下降1米后，水面宽度为。故选：C.

9．A

【详解】，，．

由题图可知，，

，，

．故选：A．

10．B

【详解】圆的圆心为，半径为，

当与垂直时，的值最小，此时点到直线的距离为，

由勾股定理得，又，解得，

圆的圆心为，半径为，

∵圆与圆外切，∴，∴，

∵圆与直线相切，∴，解得，故选:B

二、选择题（本题共2小题，每小题5分，共10分。在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求，全部选对得5分，部分选对的得2分，有选错的得0分。）

11．ACD

【详解】当点E与点重合时，，∵，∴∴A正确；

当点E与线段的中点重合时，是的中点，与都在平面内，与相交，∴B错误.

建立如图所示的直角坐标系，设正方体棱长为1，则，，.设，则，，∵，∴，∴C正确.

∵，异面直线与，所成的角为，则.当时，有最大值，此时点是线段的中点，∴D正确.

故选：ACD

12．BD

【详解】由题意可得，所以，

由点在椭圆内部可得：，

可得，即 ，所以，

对A，，所以，故A错误；

对B，当时，，,

，故B正确；

对C，由A知，当时，当在短轴端点时，

最大，此时，此时，

由，故可得在椭圆在最扁时的最大值都小于，

所以不存在点使得，即C错误；

对D，，故D正确；

故选：BD.

第Ⅱ卷（共 90分）

三、填空题：本题共4小题,每小题5分,共20分.

13．4

【详解】因为，，圆的半径为1，圆的半径为，所以，

因为两圆外切所以，得．故答案为：4

14．

【详解】由题意知，直线在轴上的截距为6，其斜率为，

所以直线在轴上的截距为6，其斜率为，所以直线的方程为．

故答案为：

15．

【详解】由，可得，即，

所以，曲线表示圆的上半圆，

作出曲线与直线如下图所示：

当直线与圆相切于相切且切点在第二象限时，

且有，解得，

当直线过点时，，此时，直线与曲线有两个公共点；当直线过点时，.

由上图可知，曲线与直线恰有个公共点时，的取值范围是.故答案为：.

16．

【详解】

如图，延长交的延长线于，连接.

因为为的平分线且，

故为等腰三角形且，，

所以.

在中，因为，所以，

故的轨迹方程为：.

令，则，所以即，故答案为：

四、解答题：本题共6小题,第17题10分，第18-22题每题12分，共70分.

17．（1）；（2）.

【详解】

（1）联立，解得，可得.

（2）∵边上的高所在的直线的方程为，

∴，即，

∴直线的方程为，整理得.

18．（1）圆或；（2）.

【详解】（1）设圆，

由题意得：…①，…②，…③，

由①得，则，代入③得：；

当时，，，圆；

当时，，圆；

综上所述：圆或.

（2）圆与轴正半轴相切，圆，

设关于的对称点，

则，解得：，，

反射光线所在直线的斜率，

反射光线所在直线方程为：，即.

19．（1）；（2）证明见解析．

【详解】（1）由题设，，可得，故椭圆方程为.

（2）由题意，若，，设椭圆上任意一点，

∴直线的方程为；直线的方程为，

令，得，．

∴为定值，得证．

20．（1）（2）该船有触礁的危险

【详解】

解：（1）如图所示，、，

设过、、三点的圆的方程为，

得：，

解得，，，

故所以圆的方程为，

圆心为，半径，

（2）该船初始位置为点，则，

且该船航线所在直线的斜率为1，

故该船航行方向为直线：，

由于圆心到直线的距离，

故该船有触礁的危险.

21．（1）证明见解析；（2）.

【详解】（1）证明：因为平面，平面，平面，

所以，

因为，，平面，

所以平面，

因为平面，所以，

因为底面为平行四边形，所以，

所以，

因为，，平面，

所以平面；                                                  

（2）解：由（1）可知，

因为，，所以，

因为平面，所以DP为BP在平面上的射影，所以PB与平面所成角即为，因为PB与平面所成角的正弦值为，所以                    

以D为坐标原点，DA，DB，DP所在的直线分别为x，y，z轴，建立空间直角坐标系，如图所示，

则，，，，

所以，，，，

设平面的法向量为，则

令，，，得面的法向量                   

同理可得平面的法向量                                 

所以，因为二面角为锐二面角，

所以二面角的余弦值为

22．（1）；（2）.

【详解】（1）直线斜率为2，则直线方程为

所以点到直线的距离，

（2）当直线的斜率不存在时，的面积；

当直线的斜率存在时，设为，则直线，

当时，直线的方程为，经过圆心，此时不存在，舍去；

当时，直线，

由得，所以．

因为，所以．

因为E点到直线的距离即M点到直线的距离，

所以的面积．

令，则，所以，

因为，所以，所以，

综上可得，面积的取值范围是.