吉林省长春市文理高中2022-2023学年高二上学期第一学程考试数学试卷（含答案）

这是一份吉林省长春市文理高中2022-2023学年高二上学期第一学程考试数学试卷（含答案），共8页。试卷主要包含了选择题，多项选择题，填空题，解答题等内容，欢迎下载使用。

（本试卷共2页，满分150分，考试时间120分钟）
一、选择题（每个小题5分，每个题只有一个正确选项）
1．已知空间向量，若与垂直，则实数的值是（ ）
A．1 B．2 C．3 D．4
2．直线的倾斜角为（ ）
A．30° B．45° C．60° D．120°
3．已知空间中两个点，，则向量的模是（ ）
A．2 B． C． D．1
4．方程表示的曲线是（ ）
A．一条射线 B．一个圆 C．两条射线 D．半个圆
5．棱长为1的正方体中，若G为正方形的中心，即（ ）
A．2 B． C．－1 D．1
6．已知圆C与直线及都相切，圆心在直线上，则圆C的方程为（ ）
A． B．
C． D．
7．如图，在空间直角坐标系中有直三棱柱，．则直线与直线夹角的余弦值为（ ）
A． B． C． D．
解析：由题图知，A点的坐标为，B点的坐标为，点的坐标为，点的坐标为．
所以，．
所以．
8．圆心在x轴的正半轴上，半径是2的圆C与y轴相切与坐标原点，直线l：与坐标轴围成三角形面积是18，设P，Q分别是圆C和直线l上的两个动点，则P，Q两个点间的最短距离是（ ）
A． B． C． D．
二、多项选择题（每个小题5分，漏选正确选项得2分，出现错误选项得0分）
9．已知两个圆：和：相交，则a的值可以是（ ）
A．－2 B．0 C．1 D．2
10．已知点P是平行四边形ABCD所在的平面外一点，如果，，，下列结论中正确的是（ ）
A． B．
C． D．向量是平面ABCD的法向量
11．在空间直角坐标系中，三个点，，，设坐标原点O到平面ABC的距离和到直线AB的距离分别是，，三棱锥O－ABC的体积是V，则有（ ）
A． B． C． D．
12．设m是不等于零的实数，过定点M的动直线和过定点N的动直线交于点，下列结论正确的是（ ）
A．定点N的坐标是 B．
C．的最大值是5 D．的最大值
三、填空题（每个小题5分，共20分）
13．方程表示圆，则a的取值范围是 ．
14．设，是椭圆的两个焦点，且焦距是4，过右焦点的直线交椭圆于A，B两点，若的周长是，则椭圆方程是 ．
15．直线与x，y轴的交的分别是A，B两点，则直线在x，y轴上的截距之和的最小值是 ．
16．已知过点的直线l与圆交于A，B两点，过A，B分别作l的垂线与x轴交于C，D两点，若，则 ．
四、解答题（17题10分，18－21每个题12分）
17．（本题10分）
已知直线：，：，直线：
（1）若，求与的交点坐标；
（2）若与平行且两条直线之间的距离是，求的值．
18．（本题12分）
某大型企业在修建一个单行路的涵洞时，经测量此涵洞被垂直于地面的平面截的断面洞口边缘是一个半圆如图，已知圆的直径是米，建立如图所示的直角坐标系．
（1）写出点C的坐标，并求出这个圆的标准方程：
（2）若一个大型载重卡车宽6米，高4.2米，是否能顺利通过这个涵洞？说明理由．
19．（本题12分）
已知△ABC三个顶点的坐标分别是，，，过B点的直线l把△ABC面积平分．
（1）求直线l的方程：
（2）求△ABC的外接圆的方程．
20．（本题12分）
已知圆C的方程是，且圆C与直线l：相切于点，
（1）求圆C的方程；
（2）若直线m：与圆C有公共点，求k的取值范围．
21．（本题12分）
已知点，圆C：过点P的动直线l与圆C交于A，B两点，线段AB的中点为M，O为坐标原点．
（1）若，求弦AB的长度；
（2）求M的轨迹方程；
（3）当，求l的方程及△POM的面积．
22．（本题12分）
如图，四棱锥P－ABCD中，底面ABCD为矩形，PA⊥平面ABCD，，，，，设平面DAE与平面AEC的夹角为θ．
（1）当时．求证：平面ACE；
（2）若时，求PC与平面ACE所成角的正弦值；
（3）若，求2的取值范围．
参考答案及其解析
一、选择题（每个小题5分，每个题只有一个正确选项）
1．B2．B3．C4．D5．D6．B7．A8．A
二、多项选择题（每个小题5分，漏选正确选项得2分，出现错误选项得0分）
9．BCD10．ABD11．BCD
12．ABC
【解析】由题意可知，定点，，且两条直线互相垂直，则其交点落在以AB为直径的圆周上，
所以．
∴，
当且仅当时等号成立．
三、填空题（每个小题5分，共20分）
13．
14．
15．
16．4
【解析】直线l：过定点，
当时，．又，两点都在圆上，∴直线l与圆的两交点为，．
设过点且与直线l垂直的直线为，将代入直线方程，得．令，得，同理得过点B且与l垂直的直线与x轴交点的横坐标为．∴
四、解答题（17题10分，18－21每个题12分）
17．（本题10分）
【解析】
（1）∵
∴，，，
（2）∵直线：与直线：之间的距离为，
∴，
∴，
∴．
18．（本题12分）
解：
（1）因为，所以C的，圆心，．圆C的方程是
（2）当时，米，因此正常行驶时卡车可以顺利通过。
19．（本题12分）
解：
（1）AC的中点坐标，，
（2）设，，，，
，
所以：
20．（本题12分）
解：
（1）由直线相切，圆心，，
∴，，
圆C的方程是，
（2）∵直线与圆有公共点，
，
21．（本题12分）
解析：
（1）
（2）圆C的方程可化为，所以圆心为，半径为4．
设，则，．
由题设知，故，即．
由于点P在圆C的内部，所以M的轨迹方程是．
（3）由（2）可知M的轨迹是以点为圆心，为半径的圆．
由于，故O在线段PM的垂直平分线上，又P在圆N上，从而．
因为ON的斜率为3，所以直线l的斜率为，l的方程为．
又，O到直线l的距离为，故，所以△POM的面积为．
22．（本题12分）
解：
（1）证明：
（2）建立空间直角坐标系：，，，
，，，
设平面EAC的法向量时，，，
（3）设平面EAC的法向量由（2）知，
平面DAE的法向量
设，由，，
，
平面AEC的法向量是，且，
平面PAD的法向量
，
由已知，