2021-2022学年吉林省长春市十一高中高二上学期第二学程考试数学试题含解析

2021-2022学年吉林省长春市十一高中高二上学期第二学程考试数学试题

一、单选题

1．直线y=x+1与圆x2+y2=1的位置关系为

A．相切

B．相交但直线不过圆心

C．直线过圆心

D．相离

【答案】B

【解析】【详解】试题分析：求出圆心到直线的距离d，与圆的半径r比较大小即可判断出直线与圆的位置关系，同时判断圆心是否在直线上，即可得到正确答案．

解：由圆的方程得到圆心坐标（0，0），半径r=1

则圆心（0，0）到直线y=x+1的距离d==＜r=1，

把（0，0）代入直线方程左右两边不相等，得到直线不过圆心．

所以直线与圆的位置关系是相交但直线不过圆心．

故选B

【解析】直线与圆的位置关系．

2．已知椭圆的短轴长为6，离心率为，，为椭圆的左右焦点，为椭圆上的动点，则面积的最大值为（       ）

A．9 B．12 C．15 D．20

【答案】B

【分析】由椭圆的性质得出的值，再由点为椭圆的短轴的端点时，面积取最大值，求出最大面积.

【详解】由题意可知，，因为，所以，即

当点为椭圆的短轴的端点时，面积取最大值，面积为

故选：B

3．已知a=(λ+1,0,2),b=(6,2μ-1,2λ),若a∥b,则λ与μ的值可以是(　　)

A．2, B．- C．-3,2 D．2,2

【答案】A

【详解】若a∥b，则且，解得且，故选A.

【解析】空间向量平行的判定.

4．设aR，则“a＝1”是“直线l1：ax＋2y－1＝0与直线l2：x＋(a＋1)y＋4＝0平行”的

A．充分不必要条件 B．必要不充分条件

C．充分必要条件 D．既不充分也不必要条件

【答案】A

【解析】【详解】试题分析：运用两直线平行的充要条件得出l1与l2平行时a的值，而后运用充分必要条件的知识来解决即可．

解：∵当a=1时，直线l1：x+2y﹣1=0与直线l2：x+2y+4=0，

两条直线的斜率都是﹣，截距不相等，得到两条直线平行，

故前者是后者的充分条件，

∵当两条直线平行时，得到，

解得a=﹣2，a=1，

∴后者不能推出前者，

∴前者是后者的充分不必要条件．

故选A．

【解析】必要条件、充分条件与充要条件的判断；直线的一般式方程与直线的平行关系．

5．如图是抛物线形拱桥，现拱顶离水面，水面宽. 若水面下降，则水面宽是（       ）

A． B．

C． D．

【答案】D

【分析】建立坐标系，求出抛物线方程，再由方程得出水面的宽度.

【详解】以抛物线形拱桥的最高点作为坐标原点建立坐标系，如下图所示

设该抛物线方程为，由图可知，，则，，即，当时，，故所求水面宽度为

故选：D.

6．如图，在平行六面体中，M为与的交点，若，，，则下列向量中与相等的向量是（       ）．

A． B．

C． D．

【答案】A

【分析】利用空间向量的三角形法则可得，结合平行六面体的性质分析解答．

【详解】平行六面体中，M为与的交点，，，，

则有：

，

所以.

故选：A

7．设、是椭圆：的左、右焦点，为直线上一点，是底角为的等腰三角形，则的离心率为

A． B． C． D．

【答案】C

【解析】【详解】试题分析：如下图所示，是底角为的等腰三角形，则有

所以，所以

又因为，所以，，所以

所以答案选C.

【解析】椭圆的简单几何性质.

8．光线从椭圆的一个焦点发出，被椭圆反射后会经过椭圆的另一个焦点；光线从双曲线的一个焦点发出，被双曲线反射后的反射光线等效于从另一个焦点射出，如图①，一个光学装置由有公共焦点、的椭圆与双曲线构成，现一光线从左焦点发出，依次经与反射，又回到了点，历时秒；若将装置中的去掉，如图②，此光线从点发出，经两次反射后又回到了点，历时秒；若，则与的离心率之比为（       ）

A． B． C． D．

【答案】A

【分析】设，设椭圆的长轴长为，双曲线的实轴长为，设光速为，推导出，利用椭圆和双曲线的定义可得出，由此可计算得出与的离心率之比.

【详解】设，设椭圆的长轴长为，双曲线的实轴长为，

在图②中，的周长为，

所以，，可得，

在图①中，由双曲线的定义可得，由椭圆的定义可得，

，则，

即，

由题意可知，的周长为，即，

所以，.

因此，与的离心率之比为.

故选：A.

【点睛】方法点睛：求解椭圆或双曲线的离心率的方法如下：

（1）定义法：通过已知条件列出方程组，求得、的值，根据离心率的定义求解离心率的值；

（2）齐次式法：由已知条件得出关于、的齐次方程，然后转化为关于的方程求解；

（3）特殊值法：通过取特殊位置或特殊值，求得离心率.

9．已知点、，动点满足，则点的轨迹是（　　）

A．圆 B．椭圆 C．双曲线 D．抛物线

【答案】D

【分析】向量坐标化代入等式即可.

【详解】∵动点满足，

∴，

∴，解得，

∴点的轨迹是抛物线.

故选: D

【点睛】直译法求轨迹方程:把等式中相关量坐标化（代数化），然后整理化简.

10．抛物线的焦点为，已知点为抛物线上的两个动点，且满足．过弦的中点作抛物线准线的垂线，垂足为，则的最大值为

A． B． C． D．

【答案】A

【分析】设|AF|＝a，|BF|＝b，连接AF、BF．由抛物线定义得2|MN|＝a+b，由余弦定理可得|AB|2＝（a+b）2﹣ab，进而根据基本不等式，求得|AB|的取值范围，从而得到本题答案．

【详解】设|AF|＝a，|BF|＝b，连接AF、BF

由抛物线定义，得|AF|＝|AQ|，|BF|＝|BP|

在梯形ABPQ中，2|MN|＝|AQ|+|BP|＝a+b．

由余弦定理得，

|AB|2＝a2+b2﹣2abcos120°＝a2+b2+ab

配方得，|AB|2＝（a+b）2﹣ab，

又∵ab≤

∴（a+b）2﹣ab≥（a+b）2（a+b）2（a+b）2

得到|AB|（a+b）．

所以，即的最大值为．

故选A．

【点睛】本题在抛物线中，利用定义和余弦定理求的最大值，着重考查抛物线的定义和简单几何性质、基本不等式求最值和余弦定理的应用等知识，属于中档题．

二、多选题

11．(多选)某宇宙飞船的运行轨道是以地球中心F为焦点的椭圆（地球看作是球体），测得近地点A距离地面m km，远地点B距离地面n km，地球半径为R km，关于这个椭圆有下列说法，正确的有（       ）

A．长轴长为m＋n＋2R B．焦距为n－m

C．短轴长为 D．离心率

【答案】ABD

【分析】利用近地点和远地点到焦点的距离得到关于、的关系式，求得、值后再利用椭圆的几何性质和进行求解.

【详解】不妨设椭圆的焦距、长轴长分别为、，

由题意，得，

解得，

则长轴长为，即选项A正确；

焦距为，即选项B正确；

短轴长为，

即选项C错误；

离心率为，即选项D正确.

故选：ACD.

12．已知F为抛物线C：（）的焦点，下列结论正确的是（       ）

A．抛物线的的焦点到其准线的距离为．

B．已知抛物线C与直线l：在第一、四象限分别交于A，B两点，若，则．

C．过F作两条互相垂直的直线，，直线与C交于A，B两点，直线与C交于D，E两点，则四边形面积的最小值为．

D．若过焦点F的直线l与抛物线C相交于M，N两点，过点M，N分别作抛物线C的切线，，切线与相交于点P，则点P在定直线上．

【答案】BCD

【分析】A：根据焦点到准线的距离等于即可判断A选项；B：联立，得，进而结合焦半径公式得到与进而可以求出的值，从而判断B选项；C：由题意可知直线，的斜率均存在，且不为0，设直线，联立，结合韦达定理表示出弦长，同理，进而得到的面积，结合均值不等式即可求出结果，进而判断C选项；D：设，不妨设，利用导数的几何意义求出在处的切线方程和在处的切线方程进而求出交点的坐标，即可判断D选项.

【详解】A：抛物线的的焦点到其准线的距离为，故A错误；

B：联立，则，解得，

由题意可知，，

故，所以，故B正确；

C：由题意可知直线，的斜率均存在，且不为0，设直线，

联立，则，

设两交点为，结合韦达定理，

所以；

同理,

所以

，当且仅当时，等号成立；

所以四边形面积的最小值为，故C正确；

D：设，不妨设

因为（），若，则，所以，

所以在点处的切线的斜率为，

因此在处的切线方程为，即，

同理在处的切线方程为，则，解得，

因为直线过点，所以，即，所以，

故点P在定直线上，故D正确；

故选：BCD.

【点睛】（1）直线与抛物线的位置关系和直线与椭圆、双曲线的位置关系类似，一般要用到根与系数的关系；

（2）有关直线与抛物线的弦长问题，要注意直线是否过抛物线的焦点，若过抛物线的焦点，可直接使用过焦点的公式，若不过焦点，则必须用一般弦长公式．

三、填空题

13．点是圆上的动点，则的最大值是________.

【答案】

【分析】应用基本不等式可得，结合已知条件即可知的最大值，注意等号成立条件.

【详解】由，则，当且仅当时等号成立，

∴的最大值是.

故答案为：.

14．如图,等腰梯形中, ,.一双曲线经过,,三点,且以,为焦点,则该双曲线离心率是____________.

【答案】

【解析】【详解】试题分析：设双曲线的标准方程为，，

由，得，从而满足，消去，解得，离心率为.

【解析】双曲线的标准方程以及离心率.

15．若向量，，且与的夹角的余弦值为，则________.

【答案】或或

【分析】根据计算即可得出答案.

【详解】解：由题意得，

即，即，解得或.

故答案为：或.

16．过双曲线=1（a＞b＞0）的左焦点F作某一渐近线的垂线，分别与两渐近线相交于A，B两点，若=，则双曲线的离心率为______．

【答案】

【分析】根据给定条件求出两条渐近线的夹角可得渐近线的斜率即可得解.

【详解】当a＞b＞0时,由,由角分线性质定理及条件可得，

则Rt△OAB中,，

渐近线OB的斜率，

即离心率.

故答案为.

四、解答题

17．已知圆:.问在圆上是否存在两点关于直线对称，且以为直径的圆经过原点？若存在，写出直线的方程；若不存在，说明理由.

【答案】直线的方程为或

【分析】先求出圆的圆心坐标，可以求出直线的斜率，进而可以求出直线的斜率，设出直线的一般式方程，与圆的方程联立，利用根与系数关系，结合以为直径的圆经过原点，可以求出直线的方程.

【详解】圆:的圆心坐标为，因为两点关于直线对称，所以直线过圆心，因此，所以直线的斜率为，设直线的方程为，对称轴方程为，,

，因为以为直径的圆经过原点，所以

，于是有或，所以直线的方程或.

【点睛】本题考查了直线与圆的位置关系，考查了转化思想与计算能力.

18．某隧道设计为双向四车道，车道总宽22米．要求通行车辆限高4.5米，隧道全长2.5千米，隧道的拱线近似地看成半个椭圆形状（如图）．

（1）若最大拱高为6米，则隧道设计的拱宽是多少米？

（2）若最大拱高不小于6米，则应如何设计拱高和拱宽，才能使半个椭圆形隧道的土方工程量最小，并求出最小土方量？（已知：椭圆的面积公式为，本题结果拱高和拱宽精确到0.01米，土方量精确到1米3）

【答案】(1)33.26；(2) 拱高约为6.36米、拱宽约为31.11米时，土方工程量最小．最小土方量为立方米.

【分析】（1）根据题意，建立坐标系，可得的坐标并设出椭圆的方程，将与点坐标代入椭圆方程，得，依题意，可得，计算可得答案；（2）根据题意，设椭圆方程为，将代入方程可得，结合基本不等式可得，分析可得当且，时，，进而分析可得答案．

【详解】（1）如图建立直角坐标系，则点，

椭圆方程为．

将与点坐标代入椭圆方程，

得，

此时此时

因此隧道的拱宽约为33.26米；

（2）由椭圆方程，

根据题意，将代入方程可得．

因为

即且，，

所以

当取最小值时，

有，

得，

此时，

故当拱高约为6.36米、拱宽约为31.11米时，土方工程量最小．

最小土方量为立方米.

【点睛】本题考查椭圆的实际运用，注意与实际问题相结合，建立合适的坐标系，设出点的坐标，结合椭圆的有关性质进行分析、计算、解题．

19．过双曲线的右焦点F2，倾斜角为30°的直线交双曲线于A，B两点，O为坐标原点，F1为左焦点．

(1)求|AB|；

(2)求△AOB的面积．

【答案】（1）；（2）.

【分析】(1)联立方程，利用韦达定理直接利用弦长公式得到答案.

(2)求原点到直线的距离，再利用面积公式得到答案.

【详解】解：(1)由双曲线的方程得，∴，F1(－3，0)，F2(3，0)．

直线AB的方程为．

设A(x1，y1)，B(x2，y2)，由消去y得5x2＋6x－27＝0.

∴，.

∴

(2)直线AB的方程变形为.

∴原点O到直线AB的距离为.

∴.

【点睛】本题考查了弦长和面积，是圆锥曲线里面的常规题型，意在考查学生的计算能力.

20．如图，在四棱锥中，底面为正方形，底面，，为棱中点.

（1）求证：平面；

（2）若为中点，，试确定的值，使二面角的余弦值为.

【答案】(I) 见解析; (II) .

【解析】【详解】试题分析：（1）证明线面垂直，一般利用线面垂直判定定理，即从线线垂直出发给予证明，而线线垂直的寻找与论证，往往从两个方面进行，一是利用条件中的线面垂直性质定理得到线线垂直，二是利用平几知识，如等腰三角形性质得到线线垂直，(2)研究二面角的大小，一般方法为利用空间向量数量积，即先根据条件建立恰当的空间直角坐标系，设立各点坐标，利用方程组解出各面法向量，利用向量数量积求出两法向量夹角，再根据二面角与两法向量夹角关系列方程，解出参数.

试题解析：(I)证明：∵底面，底面，∴，

又∵底面为矩形，∴，，平面，平面，

∴平面，又平面，∴，，为中点，∴，，平面，平面，∴平面.

(II) 以为原点，以为轴正方向，建立空间直角坐标系，令，

则，，，，，，，　　　，，

设平面的法向量，，即，

设平面的法向量，，

即，

，解得.

21．已知点F（0，1），直线，P为平面上的动点，过点P作直线l的垂线，垂足为Q，且.

（1）求动点P的轨迹C的方程；

（2）已知圆M过定点D（0，2），圆心M在轨迹C上运动，且圆M与x轴交于A，B两点，设，求的最大值.

【答案】（1）；（2）.

【分析】（1）先设出点P的坐标,代入整理即可得到动点P的轨迹C的方程；

（2）先利用条件设出圆的方程，并求出A、B两点的坐标以及的表达式,代入整理后利用基本不等式求最大值即可.

【详解】（1）设P(x，y)，则Q(x，-1)，

因为，所以，

整理化简得：，所以动点P的轨迹C的方程.

（2）设圆M的圆心坐标为，则……①

圆M的半径为，

圆M的方程为.

令y=0,则，整理得：……②

由①、②解得：.

不妨设,所以，

所以……③

当时，由③得：，

当且仅当，即时，等号成立；

当时，.

综上所述：当时，的最大值为

22．椭圆的左、右焦点分别为，且离心率为，点为椭圆上一动点，内切圆面积的最大值为.   

（1）求椭圆的方程；

（2）设椭圆的左顶点为，过右焦点的直线与椭圆相交于两点，连接并延长分别交直线于两点，以为直径的圆是否恒过定点？若是，请求出定点坐标；若不是，请说明理由.

【答案】（1）；（2）和．

【解析】【详解】试题分析：（1）分析题意可知点为短轴端点时取到最大值，再根据条件中数据求出，，的值即可；（2）设直线的方程为，，，再将以为直径的圆的方程表示出来，说明其方程上有点的坐标与的取值无关即可．

试题解析：（1） 已知椭圆的离心率为，不妨设，，即，其中，又内切圆面积取最大值时，半径取最大值为，由，由为定值，因此也取得最大值，即点为短轴端点，因此，，解得，

则椭圆的方程为；（2）设直线的方程为，， 联立可得，则，，

直线的方程为， 直线的方程为，

则，，假设为直径的圆是否恒过定点，

则，，

，

即，

即，，即，若为直径的圆是否恒过定点，即不论为何值时，恒成立，因此，，或，即恒过定点和．