2021-2022学年吉林省长春市十一高中高二下学期第二学程考试数学试题含答案

长春市十一高中2021-2022学年度高二下学期第二学程考试

数   学   试   题

第Ⅰ卷（共 60分）

一、单项选择题（本题共8小题，每小题5分.在每小题给出的四个选项中，只有一个选项是符合题目要求的.）

1．在的二项式展开式中，常数项是（       ）

A．504 B． C．84 D．

2．某高校食堂备有5类不同的菜品，3类不同的饮料，若要对这些菜品和饮料设计一个排序，要求饮料不能相邻，则不同的排法种数为（       ）

A． B． C． D．

3．在一个口袋中装有5个白球和3个黑球，这些球除颜色外完全相同，从中摸出3个球，至少摸到2个黑球的概率等于（       ）

A． B． C． D．

4．已知随机变量X服从正态分布，若，则（       ）

A． B． C． D．

5．甲经过两个路口，在第一个路口遇到红灯的概率为0.5，两个路口都遇到红灯的概率为0.3，则甲在第一个路口遇到红灯的条件下，第二个路口遇到红灯的概率为（       ）

A．0.5 B．0.3 C．0.15 D．0.6

6．2022年北京冬奥会吉祥物“冰墩墩”凭借憨态可掬的熊猫形象备受追捧，引来国内外粉丝争相购买，竟出现了“一墩难求”的局面. 已知某工厂生产一批冰墩墩，产品合格率为. 现引进一种设备对产品质量进行检测，但该设备存在缺陷，在产品为次品的前提下用该设备进行检测，检测结果有的可能为不合格，在该产品为正品的前提下，检测结果也有的可能为不合格. 现从生产的冰墩墩中任取一件用该设备进行检测，则检测结果为合格的概率是（       ）

A．           B．            C．         D．

7．“四书”是《大学》《中庸》《论语》《孟子》的合称，又称“四子书”，在世界文化史､思想史上地位极高，所载内容及哲学思想至今仍具有积极意义和参考价值.为弘扬中国优秀传统文化，某校计划开展“四书”经典诵读比赛活动.某班有4位同学参赛，每人从《大学》《中庸》《论语》《孟子》这4本书中选取1本进行准备，且各自选取的书均不相同.比赛时，若这4位同学从这4本书中随机抽取1本选择其中的内容诵读，则抽到自己准备的书的人数的均值为（       ）

A． B．1 C． D．2

8．已知函数有且只有一个极值点，则实数的取值范围为（       ）

A． B． C． D．

二、多项选择题：本题共4小题，每小题5分. 在每小题给出的四个选项中，可以有多个选项是符合题目要求的. 全部选对的得5分，部分选对的得2分，有选错的得0分.

9．关于变量、的个样本点、、、及其线性回归方程：，下列说法正确的有（       ）

A．若相关系数越小，则表示、的线性相关程度越弱

B．若线性回归方程中的，则表示变量、正相关

C．若残差平方和越大，则表示线性回归方程拟合效果越好

D．若，，则点一定在回归直线上

10．设离散型随机变量X的分布列为

若离散型随机变量Y满足：，则下列结果正确的有（       ）

A． B． C． D．

11．下列命题中，正确的命题的序号为（       ）

A．已知随机变量服从二项分布，若，则

B．将一组数据中的每个数据都加上同一个常数后，方差恒不变

C．设随机变量服从正态分布，若，则

D．某人在10次射击中，击中目标的次数为，则当时概率最大

12．某单位举行建党100周年党史知识竞赛，在必答题环节共设置了5道题，每道题答对得20分，答错倒扣10分每道题都必须回答，但相互不影响.设某选手每道题答对的概率均为，其必答环节的总得分为，则（       ）

A．该选手恰好答对2道题的概率为         B．

C．                            D．

第Ⅱ卷（共 90分）

三、填空题：本题共4小题,每小题5分,共20分.

13．已知曲线在点处的切线与直线垂直，则实数的值为______.

14．某班5名同学去参加4个社团，每人只参加1个社团，每个社团都有人参加，则满足上述要求的不同方案共有______种．（用数字填写答案）

15．已知，若，则______．

16．“杨辉三角”是二项式系数在三角形中的一种几何排列，如图所示，在“杨辉三角”中，除每行两边的数都是1外，其余每个数都是其“肩上”的两个数之和，例如第4行的6为第3行中两个3的和．若在“杨辉三角”中从第二行右边的1开始按“锯齿形”排列的箭头所指的数依次构成一个数列：1，2，3，3，6，4，10，5，…，则在该数列中，第35项是______．

四、解答题：本题共6小题,第17题10分，第18-22题每题12分，共70分.

17．已知是公差不为零的等差数列，，且成等比数列．

（1）求数列的通项；

（2）令，求数列的前项和．

18．某同学在研究性学习中，收集到某工厂今年前5个月某种产品的产量(单位：万件)的数据如下表：

（1）若从这5组数据中随机抽出2组，求抽出的2组数据恰好是相邻两个月的数据的概率；

（2）求出y关于x的线性回归方程，并估计今年6月份该种产品的产量．

参考公式：，.

19．在中，角所对的边分别为，已知．

（1）求角的大小；

（2）若，求的取值范围．

20．2022年2月4日晚，璀璨的烟花点亮“鸟巢”上空，国家体育场再次成为世界瞩目的焦点，北京成为奥运历史和人类历史上第一座举办过夏奥会和冬奥会的“双奥之城”，奥林匹克梦想再次在中华大地绽放.冰雪欢歌耀五环，北京冬奥会开幕式为第二十四届“简约、安全、精彩”的冬奥盛会拉开序幕.某中学课外实践活动小组在某区域内通过一定的有效调查方式对“开幕式”当晚的收看情况进行了随机抽样调查.统计发现，通过手机收看的约占，通过电视收看的约占，其他为未收看者.

（1）从该地区被调查对象中随机选取3人，用表示通过电视收看的人数，求；

（2）采用分层随机抽样方法，从所有该地区被调查对象中抽取6人，再从中随机选出4人，用表示调查对象是通过手机收看的人数，求的分布列和数学期望.

21．已知椭圆的离心率为，上下顶点分别为，且.过点的直线与椭圆相交于不同的两点（不与点重合）.

（1）求椭圆的方程；

（2）若直线与直线相交于点，求证：三点共线.

22．设函数，其中.

（1）讨论函数极值点的个数，并说明理由；

（2）若成立，求的取值范围.

长春市十一高中2021-2022学年度高二下学期第二学程考试

数   学   答   案

1．C

2．D

3．A

4．C

5．D

6．C

7．B

8．A

9．BD

10．ABC

11．BCD

12．BD

13．－1

14．240

15．

16．171

17．(1)由题设知公差，

由，，，成等比数列，得，

解得或(舍)，

故的通项；

(2)，

∴

．

18．（1）（2）；0.75.

(1)设事件A为“抽出的2组数据恰好是相邻两个月的数据”，

所有的基本事件(其中m，n表示月份)有，，，，，，，，，，共10种，

其中事件A包含的基本事件有，，，，共4种，

∴.

(2) 由题意，可得，，

，

，

所以，则，

所以回归直线的方程为.

当时，.

故今年6月份该种产品的产量大约为6.8万件．

19．（1）∴，

即，

∵，

∴，∴．

（2）由余弦定理可知，

代入可得，

当且仅当时取等号，∴，又，

∴的取值范围是．

20．(1)解：；

(2)解：依题意可知，分层随机抽样抽取的6人包括通过电视收看的2人，通过手机收看的3人，未收看的1人，

因此η的所有可能的取值为1，2，3，

，

，

，

则η的分布列为

故.

21．(1)解：根据题意， 解得.

所以椭圆C的方程为.                                                          

(2)由（1）知，.

根据题意，直线的斜率一定存在，设直线的方程为.

由，得.

根据题意，恒成立，设

则.

直线的方程为，

令，得，所以.

因为，

则直线的斜率分别为，

.

又，

                                   ，

                                   .所以，

所以三点共线.

22．函数的定义域为

令，

（1）当 时， ， 在上恒成立

所以，函数在上单调递增无极值；

（2）当 时，

①当时， ，

所以，，函数在上单调递增无极值；

②当 时，

设方程的两根为

因为

所以，

由可得：

所以，当时， ，函数单调递增；

当时， ，函数单调递减；

当时， ，函数单调递增；

因此函数有两个极值点．

（3）当 时，

由可得：

当时， ，函数单调递增；

当时， ，函数单调递减；

因此函数有一个极值点．

综上：

当 时，函数在上有唯一极值点；

当时，函数在上无极值点；

当时，函数在上有两个极值点；

（Ⅱ）由（Ⅰ）知，

（1）当时，函数在上单调递增，

因为

所以，时， ，符合题意；

（2）当 时，由 ，得

所以，函数在上单调递增，

又，所以，时， ，符合题意；

（3）当 时，由 ，可得

所以 时，函数 单调递减；

又

所以，当时， 不符合题意；

（4）当时，设

因为时，

所以 在 上单调递增，

因此当时，

即：

可得：

当 时，

此时， 不合题意.

综上所述，的取值范围是