2021-2022学年河北省衡水市第十四中学高二上学期二调考试数学试题（含解析）

衡水市第十四中学2021-2022学年高二上学期二调考试

数学试卷

一、单选题（本题共8小题，每小题5分，共40分）   

1.在长方体ABCD-A1B1C1D1中, =(　  　)

A. B.           C.        D.

2．若平面的法向量分别为，则（      ）

A．     B．与相交但不垂直    C．    D．或与重合

3．直线：，：，且，则值为（     ）

A． B． C．或 D．或

4．到，两点的距离相等的动点满足的方程是（      ）

A．  B．    C．   D．

5．设椭圆 (a>b>0)的左、右焦点分别为F1，F2，上顶点为B.若|BF2|＝|F1F2|＝2，则该椭圆的方程为(　  　)

A.     B.     C.     D.

6．已知圆的圆心到直线的距离为，

则圆与圆的位置关系是（     ）

A．相交 B．内切 C．外切 D．相离

7．已知双曲线(a>0，b>0)的两条渐近线互相垂直，则该双曲线的离心率是(　 　)

A．2　　　　　B.       C.        D.

8．抛物线y2＝2px(p＞0)，过点C(－4,0)作抛物线的两条切线CA，CB，A，B为切点，若直线AB经过抛物线y2＝2px的焦点，△CAB的面积为24，则以直线AB为准线的抛物线标准方程是(　  　)

A．y2＝4x     B．y2＝－4x     C．y2＝8x     D．y2＝－8x

二、多选题（本题共4小题，选对得5分，部分选对得2分）

9．过点可作两条直线与圆相切，则实数可能取值为（    ）

A． B． C． D．

10．等差数列{an}中，a1＝3，a1＋a2＋a3＝21，则（     ）

A．公差d＝－4    B．a2＝7    C．数列{an}为递增数列     D．a3＋a4＋a5＝84

11．已知曲线C：mx2+ny2＝1．（　 　）

A．若m＞n＞0，则C是椭圆，其焦点在y轴上 

B．若m＝n＞0，则C是圆，其半径为 

C．若mn＜0，则C是双曲线，其渐近线方程为y＝±x 

D．若m＝0，n＞0，则C是两条直线

12．设圆锥曲线Γ的两个焦点分别为F1，F2.若曲线Γ上存在点P满足|PF1|∶|F1F2|∶|PF2|＝4∶3∶2，则曲线Γ的离心率等于(　　 )

A.       B．2      C.       D.

三、填空题（本题共4小题，每小题5分，共20分）

13．在等差数列中，，则公差的取值范围是______.

14．斜率为的直线过抛物线C：y2＝4x的焦点，且与C交于A，B两点，则|AB|＝　　   ．

15．过点的直线与圆相交于，两点，则的最小值为_______；此时直线的方程为___________．

16．设F1，F2分别是椭圆的左、右焦点，P为椭圆上任一点，点M的坐标为(6,4)，则|PM|＋|PF1|的最大值为________．

四、解答题（本题共6小题，17题10分，18-22题每小题12分，共70分）

17．（10分）已知圆心为的圆经过点和，且圆心在直线上．

（1）求圆心为的圆的标准方程；

（2）若线段DE的端点的坐标是，端点E在圆上运动，求DE的中点的轨迹方程．

18.（12分）已知直线：.

（1）该直线是否过一定点？若是，写出该定点的坐标；

（2）若直线与线段MN相交，其中，，求k的取值范围；

（3）若l交x轴正半轴于A，交y轴负半轴于B，△的面积为S，求S最小值时l的方程。

19.(12分)如图,在直三棱柱ABC-A1B1C1中,∠ABC=,D是棱AC的中点,且AB=BC=BB1=2.

(1)求证:AB1∥平面BC1D;   (2)求异面直线AB1与BC1所成的角.

20．（12分）在①，②过，③这三个条件中任选一个，补充在下面问题；已知椭圆的右焦点为．

（1）求椭圆的方程；  （2）设过点的直线交椭圆于，两点，若（为坐标原点）的面积为，求直线的方程．

21．（12分）已知，分别是双曲线的左、右焦点，是双曲线上一点，到左顶点的距离等于它到渐近线距离的倍．

（1）求双曲线渐近线方程；（2）当时，面积为，求此双曲线方程．

22．（12分）如图，过顶点在原点、对称轴为y轴的抛物线E上的点A（2，1）作斜率分别为k1，k2的直线，分别交抛物线E于B，C两点.

（1）求抛物线E的标准方程和准线方程；

（2）若k1+k2＝k1k2，证明：直线BC恒过定点.

参考答案

一、单选题（本题共8小题，每小题5分，共40分）   

1.D  如图所示,长方体ABCD-A1B1C1D1中,

=()+.

2．【答案】D【解析】因为，所以平面的法向量共线，故或与重合.故选D．

3．【答案】A 【解析】∵直线：，：，且，

∴，解得．

4．【答案】B【解析】设，则，．

5． 解析：选A　∵|BF2|＝|F1F2|＝2，∴a＝2c＝2，

∴a＝2，c＝1，∴b＝.∴椭圆的方程为.

6． 【答案】B  【解析】圆的圆心为，半径为，

圆心到直线的距离为，解得．

∴圆的圆心为，半径为，

圆的标准方程为，

圆心坐标为，半径，圆心距，∴两圆相内切，

7． 解析：选C　由题可知y＝x与y＝－x互相垂直，可得－·＝－1，则a＝b.由离心率的计算公式，可得e2＝＝2，e＝.

8．解析：选D　由抛物线的对称性知A，B，则S△CAB＝×2p＝24，解得p＝4，直线AB的方程为x＝2，所以所求抛物线的标准方程为y2＝－8x.

二、多选题（本题共4小题，选对得5分，部分选对得2分）

9．【答案】ABD

【解析】由题意得点在圆外，所以需满足条件且，解得．

10．【答案】BC【分析】根据等差数列性质公式及基本量计算，对选项一一判断即可．

【详解】∵a1＋a2＋a3＝21，∴3a2＝21，∴a2＝7．

∵a1＝3，∴d＝4．∴数列{an}为递增数列，a4＝a2＋2d＝15．∴a3＋a4＋a5＝3a4＝45．

11． 【答案】ACD．【解答】解：A．若m＞n＞0，则，则根据椭圆定义，知＝1表示焦点在y轴上的椭圆，故A正确；

B．若m＝n＞0，则方程为x2+y2＝，表示半径为的圆，故B错误；

C．若m＜0，n＞0，则方程为＝1，表示焦点在y轴的双曲线，故此时渐近线方程为y＝±x，若m＞0，n＜0，则方程为＝1，表示焦点在x轴的双曲线，故此时渐近线方程为y＝±x，故C正确；

D．当m＝0，n＞0时，则方程为y＝±表示两条直线，故D正确；

12． 解析：选AC　设圆锥曲线的离心率为e，由|PF1|∶|F1F2|∶|PF2|＝4∶3∶2，知①若圆锥曲线为椭圆，则由椭圆的定义，得e＝ ＝；②若圆锥曲线为双曲线，则由双曲线的定义，得e＝＝＝.综上，所求的离心率为或.故选A、C.

三、填空题（本题共4小题，每小题5分，共20分）

13．【答案】【详解】∵，∴．故答案为：．

14． 【解答】解：由题意可得抛物线焦点F（1，0），直线l的方程为y＝（x﹣1），

代入y2＝4x并化简得3x2﹣10x+3＝0，

设A（x1，y1），B（x2，y2），则x1+x2＝；x1x2＝1，

∴由抛物线的定义可得|AB|＝x1+x2+p＝+2＝．故答案为：．

15．【答案】4；

【解析】圆，即，所以圆心，半径为3，

因为点在圆内，，要使的值最小，则，

此时，；由题得直线的斜率为，

则直线的方程为，即，故答案为4；．

16．解析：由椭圆的定义知|PF1|＋|PF2|＝10，|PF1|＝10－|PF2|，|PM|＋|PF1|＝10＋|PM|－|PF2|，易知M点在椭圆外，连接MF2并延长交椭圆于点P(图略)，此时|PM|－|PF2|取最大值|MF2|，故|PM|＋|PF1|的最大值为10＋|MF2|＝10＋.

答案：15

四、解答题（本题共6小题，17题10分，18-22题每小题12分，共70分）

17． 【答案】（1）；（2）．

【解析】（1）设圆心的坐标为，则有，

整理求得，故圆心为，，

则圆的方程为．

（2）设线段DE中点，E（x1，y1），由题意知，，

∵点E在圆上运动，∴，

∴的轨迹方程为．

18.【答案】（1）过定点，定点；（2）；（3）.

【分析】（1）将直线化为点斜式，即可判断定点；（2）由题设，确定，并画出直线，应用数形结合判断k的取值范围；（3）由（2）知：，求A、B的坐标，应用三角形面积公式得到△的面积关于的表达式，再利用基本不等式求最值.

【详解】（1）原直线方程可化为，∴直线过定点.

（2）画图，易知，，由图像可得：的取值范围是；

（3）由直线的方程得：，.由（2）得：.

∴，当且仅当时取等号.∴取最小值4时，直线l的方程为.

19.【解析】(1)如图,连接B1C交BC1于点O,连接OD．

因为O为B1C的中点,D为AC的中点,所以OD∥AB1.

因为AB1⊄平面BC1D,OD⊂平面BC1D,所以AB1∥平面BC1D．

(2)建立如图所示的空间直角坐标系B-xyz,

则B(0,0,0),A(0,2,0),C1(2,0,2),B1(0,0,2),

此=(0,-2,2),=(2,0,2).所以cos<>==,

设异面直线AB1与BC1所成的角为θ,则cosθ=,由于θ∈,故θ=.

20． 【答案】（1）；（2）或．

【解析】（1）选①条件，由题意可知，离心率，所以，

所以，所以椭圆的方程为．

选②条件，由题意可知，过，则，，

所以椭圆的方程为．

选③条件，由题意可知，，又，则，，

所以椭圆的方程为．

（2）由题意可以设直线的方程为，

由，得，，

设，，所以，，

所以的面积

，因为的面积为，所以，解得，所以直线的方程为或．

21． 【答案】（1）；（2）．

【解析】（1）因为双曲线的渐近线方程为，

则点到渐近线距离为（其中是双曲线的半焦距），所以由题意知，

又因为，解得，故所求双曲线的渐近线方程是．

（2）因为，由余弦定理得，

即，

又由双曲线的定义得，平方得，

相减得，

根据三角形的面积公式得，得，

再由上小题结论得，故所求双曲线方程是．

22．【答案】（1）标准方程为x2＝4y，准线方程为y＝﹣1；

（2）证明见解析.

【分析】（1）设抛物线的方程为x2＝ay，将A（2，1）代入求解；

（2）设B（x1，y1），C（x2，y2），直线AB方程y＝k1（x﹣2）+1，联立直线AB方程与抛物线方程，得到x1＝4k1﹣2，同理x2＝4k2﹣2，再代入BC直线方程，结合k1+k2＝k1k2求解.

【详解】（1）设抛物线的方程为x2＝ay，则代入A（2，1），可得a＝4，

∴抛物线E的标准方程为x2＝4y，准线方程为y＝﹣1；

（2）设B（x1，y1），C（x2，y2），则直线AB方程y＝k1（x﹣2）+1，

AC方程y＝k2（x﹣2）+1，联立直线AB方程与抛物线方程，消去y，得x2﹣4k1x+8k1﹣4＝0，

∴x1＝4k1﹣2①  同理x2＝4k2﹣2②    而BC直线方程为y﹣x12＝（x﹣x1），③

∵k1+k2＝k1k2，∴由①②③，整理得k1k2（x﹣2）﹣x﹣y﹣1＝0.

由x﹣2＝0且﹣x﹣y﹣1＝0，得x＝2，y＝﹣3， 故直线BC经过定点（2，﹣3）.