专题04 相交线与平行线判定知识大视野 2022年七年级数学寒假辅导讲义（人教版）

专题04 相交线与平行线判定知识大视野

知识点一：邻补角和对顶角
【例1－1】（2020·忠县月考）下面四个图形中，∠1与∠2是对顶角的图形（ ）
A． B． C． D．
【答案】C.
【解析】两条边互为反向延长线的两个角叫对顶角，根据定义结合图形逐个判断，
答案为：C.
【例1－2】（2019·山西月考）已知4条直线交于一点，那么邻补角的对数是______对．
【答案】24.
【解析】2条直线相交于一点，邻补角有4对；3条直线相交于一点，邻补角有12对，
n条直线相交于一点，邻补角有2n（n－1）对，
4条直线相交于一点时，共有邻补角：2×4×（4－1）＝24（对）；
故答案为：24．
【变式1－1】（2020·永城市期末）如图，直线与相交于点，为的角平分线，若，则的度数为（ ）

A． B． C． D．
【答案】C.
【解析】解：∵∠AOC=54°，
∴∠BOD=54°，
∵OE为∠BOD的角平分线，
∴∠DOE=27°．
故答案为：C．
【变式1－2】（2020·三明市期末）如图，过直线上一点画射线，则的度数为___________．

【答案】135°.
【解析】解：∵∠BOC=45°，∠BOC和∠AOC是邻补角
∴∠AOC=180°－∠BOC=135°
故答案为：135°．
【变式1－3】（2020·湖南长沙市期末）如图，直线AB、CD相交于点O，OB平分∠EOD，∠COE＝100°，则∠AOC＝_____°．

【答案】40．
【解析】解：∵∠COE＝100°，
∴∠DOE＝80°，
∵OB平分∠EOD，
∴∠BOD＝40°，
∴∠AOC＝40°，
故答案为：40．
知识点二：垂线
【例2－1】（2020·四川达州市期末）如图，体育课上测量跳远成绩的依据是（ ）

A．平行线间的距离相等 B．两点之间，线段最短
C．垂线段最短 D．两点确定一条直线
【答案】C.
【解析】体育课上测量跳远成绩是：落地时脚跟所在点到起跳线的距离，依据的是垂线段最短，故答案为：C．
【例2－2】（2020·山东滨州市月考）在下列生活实例中，数学依据不正确的是（ ）
A．在植树时，只要定出两个树坑的位置，就能使同一行树坑在一条直线上，依据的是两点确定一条直线；
B．在正常情况下，射击时要保证瞄准的一只眼和两个准星在一条直线上，才能射中目标，依据的是两点之间线段最短；
C．从甲地到乙地，原来是绕山而过，如今穿山修了一条笔直的隧道，大大节约了路程，依据的是两点之间线段最短；
D．体育课上，体育老师测量跳远距离的时候，测的是落脚脚跟到起跳线的距离，依据的是垂线段最短.
【答案】B.
【变式2－1】（2019·凉山期末）下列作图能表示点A到BC的距离的是(　　)

A．A B．B C．C D．D
【答案】B.
【解析】解：A.BD表示点B到AC的距离，故A选项错误；
B. AD表示点A到BC的距离，故B选项正确；
C. AD表示点D到AB的距离，故C选项错误；
D. CD表示点C到AB的距离，故D选项错误；
故答案为：B．
【变式2－2】（2020·湖北荆州市月考）如图所示，因为AB⊥l，BC⊥l，B为垂足，所以AB和BC重合，其理由是（　　）
A．两点确定一条直线
B．在同一平面内，过一点有且只有一条直线与已知直线垂直
C．过一点能作一条垂线
D．垂线段最短
【答案】B.
【解析】解：A、因为AB⊥l，BC⊥l，B为垂足，所以AB和BC重合，其理由是：
在同一平面内，过一点有且只有一条直线与已知直线垂直．
故答案为：B．
【变式2－3】如图，从旗杆AB的顶端A向地面拉一条绳子，绳子底端恰好在地面P处，若旗杆的高度为3.2米，则绳子AP的长度不可能是（　　）

A．3 B．3.3 C．4 D．5
【答案】A.
【解析】解：∵旗杆的高度为AB＝3.2米，由垂线段最短，
∴AP＞AB，
∴绳子AP的长度不可能是：3米．
故答案为：A．
【变式2－4】（2019·杭州市）已知，平分．若，平分，则的度数是（ ）
A． B． C．或 D．或
【答案】A.
【解析】解：①当OA、OB在OC的同一侧时，

∵∠BOC=60°，OF平分∠BOC
∴∠COF=30°
∵AO⊥BO
∴∠AOB=90°
∴∠AOC=∠AOB+∠BOC=150°
∵OE平分∠AOC
∴∠COE=75°
∴∠EOF=∠COE-∠COF=45°；
②当OA、OB在OC的两侧时，

同理，得：∠EOF=45°
故答案为：A.
【变式2－5】（2020·湖南娄底市期末）如图，是直线外一点，，，三点在直线上，且于点，，则下列结论：①线段是点到直线的距离；②线段的长是点到直线的距离；③，，三条线段中，最短；④线段的长是点到直线的距离．其中正确的是（ ）

A．②③ B．①②③ C．③④ D．①②③④
【答案】A.
【解析】解：①线段AP是点A到直线PC的距离，错误；②线段BP的长是点P到直线l的距离，正确；③PA，PB，PC三条线段中，PB最短，正确；④线段PC的长是点P到直线l的距离，错误
故答案为：A．
知识点三：同位角、内错角、同旁内角
【例3－1】（2019·黑龙江绥化市期末）下列图形中，∠1与∠2不是同位角的是（ ）
A． B． C． D．
【答案】B.
【解析】解：观察A、B、C、D，四个答案，A、C、D符合同位角的定义，而B不符合．
故答案为：B.
【例3－2】（2019·河南洛阳市月考）如图，直线被所截，下列说法，正确的有（ ）

①与是同旁内角；②与是内错角；③与是同位角；④与是内错角．
A．①③④ B．③④ C．①②④ D．①②③④
【答案】D.
【解析】解：①∠1与∠2是同旁内角，说法正确；②∠1与∠ACE是内错角，说法正确；
③∠B与∠A是同位角，说法正确；④∠1与∠3是内错角说法正确，
故答案为：D．
【变式3－1】（2019·上海市月考）如图，与构成内错角的角是______；

【答案】∠DEA和∠BCD．
【解析】∠CDE与∠DEA可以看成直线AC与直线CD被直线DE所截的内错角;
∠CDE与∠BCD可以看成直线DE与直线BC被直线CD所截的内错角．
故答案为：∠DEA和∠BCD．
【变式3－2】（2020·牡丹江市期中）给出下列说法：
（1）两条直线被第三条直线所截，同位角相等；
（2）平面内的一条直线和两条平行线中的一条相交，则它与另一条也相交；
（3）相等的两个角是对顶角；
（4）三条直线两两相交，有三个交点；
（5）若a⊥b，b⊥c，则a⊥c．
其中正确的有________个
【答案】1.
【解析】解：（1）∵两条平行直线被第三条直线所截，同位角相等，故（1）不正确；
（2）∵平面内的一条直线和两条平行线中的一条相交，则它与另一条也相交，故（2）正确；
（3）∵对顶角相等，但相等的角不一定是对顶角，故（3）不正确；
（4）∵三条直线两两相交，也可能是交于同一个点，故（4）不正确；
（5）∵若a⊥b，b⊥c，则a∥c，故（5）不正确，
正确的只有（2）一个选项，
故答案为：1．
知识点四：平行公理（推论）
【例4－1】（2019·河南郑州外国语期中）下列四个说法：①两点之间，线段最短；②连接两点之间的线段叫做这两点间的距离；③经过直线外一点，有且只有一条直线与这条直线平行；④直线外一点与这条直线上各点连接的所有线段中，垂线段最短.其中正确的个数有（ ）
A．1个 B．2个 C．3个 D．4个
【答案】C.
【解析】解：①两点之间，线段最短，正确．
②连接两点之间的线段叫做这两点间的距离，错误，连接两点之间的线段的距离叫做这两点间的距离．
③经过直线外一点，有且只有一条直线与这条直线平行，正确．
④直线外一点与这条直线上各点连接的所有线段中，垂线段最短．正确．
故答案为：C．
【例4－2】（2020·四川期中）下列说法中不正确的个数为（　　）．
①在同一平面内，两条直线的位置关系只有两种：相交和垂直．
②有且只有一条直线垂直于已知直线．
③如果两条直线都与第三条直线平行，那么这两条直线也互相平行．
④从直线外一点到这条直线的垂线段，叫做这点到这条直线的距离．
⑤过一点，有且只有一条直线与已知直线平行．
A．2个 B．3个 C．4个 D．5个
【答案】C.
【解析】解：在同一平面内，两条直线的位置关系只有两种：相交和平行，故①不正确；
过直线外一点有且只有一条直线垂直于已知直线．故②不正确；
如果两条直线都与第三条直线平行，那么这两条直线也互相平行．故③正确；
从直线外一点到这条直线的垂线段的长度，叫做这点到这条直线的距离．故④不正确；
过直线外一点，有且只有一条直线与已知直线平行．故⑤不正确；
不正确的有①②④⑤四个．
故答案为：C．
【变式4－1】（2019·河南洛阳市期中）下列结论中：①同一平面内，两条不相交的直线被第三条直线所截，形成的同旁内角互补；②在同一平面内，若，则； ③直线外一点到直线的垂线段叫点到直线的距离；④同一平面内，过一点有且只有一条直线与已知直线平行，正确的个数有（ ）
A．1个 B．2个 C．3个 D．4个
【答案】B.
【解析】解：①同一平面内，两条不相交的直线（即两直线平行）被第三条直线所截，形成的同旁内角互补，说法正确；
②在同一平面内，若a⊥b，b∥c，则a⊥c，说法正确；
③直线外一点到直线的垂线段叫点到直线的距离，说法错误；
④同一平面内，过一点有且只有一条直线与已知直线平行，说法错误；
正确的说法有2个，
故答案为：B.
【变式4－2】（2020·凉州区期末）下列说法错误的是（ ）
A．过任意一点可作已知直线的一条平行线
B．同一平面内的两条不相交的直线是平行线
C．过直线外一点只能画一条直线与已知直线平行
D．平行于同一条直线的两条直线平行
【答案】A.
【解析】解：选项A：当点P在直线m上时，则不可以作出已知直线的平行线，而是与已知直线重合，故选项A错误，
选项B、C、D正确，
故答案为：A．
【变式4－3】（2020·石家庄市期中）下列命题中，真命题有（ ）
（1）直线外一点与直线上各点连接的所有线段中，垂线段最短；
（2）内错角相等；
（3）对顶角相等；
（4）过一点有且只有一条直线与已知直线平行；
（5）如果一条直线和两条直线中的一条垂直，那么这条直线也和另一条垂直.
（6）点到直线的垂线段叫做点到直线的距离
A．1个 B．2个 C．3个 D．4个
【答案】B.
【解析】（1）点到直线的距离，垂线段最短：直线外一点与直线上各点连接的所有线段中，垂线段最短，正确；（2）两直线平行，内错角相等，错误；
（3）对顶角相等，正确；（4）过直线外一点有且只有一条直线与已知直线平行，错误；
（5）当这两条直线平行时：如果一条直线和两条直线中的一条垂直，那么这条直线也和另一条垂直，错误；
（6）点到直线的垂线段的长度叫做点到直线的距离，错误.
故答案为：B.
【变式4－4】（2020·湛江月考）下列语句，其中正确的个数是（ ）
①直线AB与直线BA是同一条直线；②射线AB与射线BA是同一条射线；③两点确定一条直线；④在同一平面内，经过一点有且只有一条直线与已知直线平行；⑤在同一平面内，经过一点有且只有一条直线与已知直线垂直；⑥两点之间的线段叫做两点之间的距离．
A．3 B．4 C．5 D．0
【答案】A.
【解析】解：①直线AB与直线BA是同一条直线，故①正确；
②射线AB与射线BA不是同一条射线，因为射线有方向，故②错误；
③两点确定一条直线，故③正确；
④经过直线外一点有且只有一条直线与已知直线平行，故④错误；
⑤平面内，经过一点有且只有一条直线与已知直线垂直，故⑤正确；
⑥两点之间的线段长度叫做两点之间的距离，故⑥错误．
错误的说法有3个，答案为：A．
知识点五：平行线判定
【例5－1】（2020·浙江杭州市模拟）如图，用直尺和三角尺画图：已知点P和直线a，经过点P作直线b，使，其画法的依据是（ ）

A．过直线外一点有且只有一条直线与已知直线平行
B．两直线平行，同位角相等
C．同位角相等，两直线平行
D．内错角相等，两直线平行
【答案】C.
【解析】解：由画法可知，其画法的依据是同位角相等，两直线平行．
故答案为：C．
【例5－2】（2020·洛阳市月考）下面是投影屏上出示的抢答题，需要回答横线上符号代表的内容，则回答正确的是（ ）
已知：如图，∠BEC＝∠B+∠C，求证：AB∥CD
证明：延长BE交__※__于点F，则∠BEC＝__⊙__+∠C
又∵∠BEC＝∠B+∠C，
∴∠B＝▲
∴AB∥CD（__□__相等，两直线平行）


A．⊙代表∠FEC B．□代表同位角 C．▲代表∠EFC D．※代表AB
【答案】C.
【解析】证明：延长BE交CD于点F，则
∠BEC＝∠EFC+∠C．
又∵∠BEC＝∠B+∠C，
∴∠B＝∠EFC，
∴AB∥CD（内错角相等，两直线平行）．
∴※代表CD，⊙代表∠EFC，▲代表∠EFC，□代表内错角．
故答案为：C．
【例5－3】（2020·山东滨州市·）如图，工人师傅用角尺画出工件边缘AB的垂线a和b，得到a∥b，理由是（ ）

A．连结直线外一点与直线上各点的所有线段中，垂线段最短
B．在同一平面内，垂直于同一条直线的两条直线互相平行
C．在同一平面内，过一点有一条而且仅有一条直线垂直于已知直线
D．经过直线外一点，有且只有一条直线与这条直线平行
【答案】B.
【解析】解：

∵由题意a⊥AB，b⊥AB，
∴∠1=∠2
∴a∥b，同一平面内，垂直于同一条直线的两条直线平行，
故答案为：B．
【例5－4】（2020·古田县月考）一辆汽车在笔直的公路上行驶，两次拐弯后，仍在原来的方向上平行前进，那么两次拐弯的度数是（ ）
A．第一次右拐50°，第二次左拐130° B．第一次左拐50°，第二次右拐50°
C．第一次左拐50°，第二次左拐130° D．第一次右拐50°，第二次右拐50°
【答案】B.
【解析】解：第一次拐的角是∠1，第二次拐的角是∠2，得∠1=∠2．

第一次与第二次拐的方向不相同，角度要相同，
故B选项符合，
故答案为：B．
【变式5－1】（2020·石家庄月考）数学课上，老师要求同学们利用三角板画出两条平行线，老师展示了甲、乙两位同学的画法如下：
甲的画法：


乙的画法：


请你判断两人的作图的正确性(　　)
A．甲正确，乙错误 B．甲错误，乙正确
C．两人都正确 D．两人都错误
【答案】C.
【解析】

如图，由已知可得两个图中∠1=∠2，
所以a∥b
所以，两人都正确．
故答案为：C．
【变式5－2】（2020·广州市期末）完成下面的证明．
如图，AC⊥BC，DG⊥AC，垂足分别为点C，G，∠1＝∠2．
求证：CD//EF．
证明：∵AC⊥BC，DG⊥AC，（已知）
∴∠DGA＝∠BCA＝90°，（垂直的定义）
∴　 　//　 　（　 　）
∴∠2＝∠BCD，（　 　）
又∵∠l＝∠2，（已知）
∴∠1＝∠　 　，（等量代换）
∴CD//EF．（同位角相等，两直线平行）

【答案】DG，BC，同位角相等，两直线平行，两直线平行，内错角相等，BCD．
【解析】∵AC⊥BC，DG⊥AC（已知），
∴∠DGA＝∠BCA＝90°，（垂直的定义），
∴DG//BC（同位角相等，两直线平行），
∴∠2＝∠BCD（两直线平行，内错角相等），
又∵∠l＝∠2，（已知）
∴∠1＝∠BCD（等量代换），
∴CD//EF（同位角相等，两直线平行），
故答案为：DG，BC，同位角相等，两直线平行，两直线平行，内错角相等，BCD．
【变式5－3】（2019·武昌月考）在同一平面内有2019条线a1、a2、…、a2002如，如果a1⊥a2、a2∥a3、a3⊥a4、a4∥a5…，那么a1与a2019置关系是_____．
【答案】a1⊥a2019
【解析】解：∵a1⊥a2、a2∥a3，∴a1⊥a3，
∵a3⊥a4，∴a1∥a4，
∵a4∥a5，∴a1∥a5，
∵a5⊥a6，∴a1⊥a6，……，
∴a1与后面的直线按垂直、垂直、平行、平行每4条直线一循环，（2019﹣1）÷4＝504…2，
∴a1⊥a2019．
故答案为：a1⊥a2019．
【变式5－4】（2019·福建厦门市月考）如图，已知AB∥CD,∠EAF =∠EAB,∠ECF=∠ECD ,∠AFC=62°,则∠AEC度数是________

【答案】93°.
【解析】解，如图，连接AC，设∠EAF=x°，∠ECF=y°，

∴∠EAB=3x°，∠ECD=3y°，
∴∠BAF=2x°，∠DCF=2y°，
∵AB∥CD，
∴∠BAC+∠ACD=180°，
∴∠BAF+∠FAC+∠ACF+∠DCF=180°，
∵∠FAC+∠ACF+∠AFC=180°，
∴∠AFC=∠BAF+∠DCF=2（x°+y°）=62°，
∴x°+y°=31°.
同理可求：∠AEC=∠BCE+∠DCE=3（x°+y°），
∴∠AEC=93°.
故答案为：93°.
【变式5－5】综合与探究
问题情境：如图，已知平分，于点D，E为延长线上一点，于点F，平分交于点G，．

问题发现：（1）如图1，当时，____________°；
（2）如图2，当为锐角时，与有什么数量关系，请说明理由；
拓展探究
（3）在（2）的条件下，已知直角三角形中两个锐角的和是90°，试探究和的位置关系，并证明结论；
（4）如图3，当为锐角时，若点E为线段上一点，于点F，平分交于点H，．请写出一个你发现的正确结论．
【答案】见解析.
【解析】解：
（1）∵CD⊥OA，
∴∠AOB=90°，
∵∠DEF+∠AOB=180°，
∴∠DEF=90°，
∵OC平分∠AOB，EG平分∠DEF，
∴∠1=∠AOB=45，∠2=∠DEF=45，
∴∠1+∠2=90°；
故答案为：90；
（2）∠1+∠2=90°．
理由如下：∵OC，EG分别是∠AOB，∠DEF的平分线，
∴∠1=∠DEF，∠2=∠AOB，
∴∠1+∠2=(∠DEF +∠AOB )=90°
（3）OC∥GE．
证明：∵EF⊥OB，
∴∠EFG=90°．
∴∠1+∠EGF=90°
∵∠1+∠2=90°
∴∠EGF=∠2
∴OC∥GE；
（4）答案不唯一，例如∠1+∠2=90°．
【变式5－6】（2020·绍兴市期中）如图①，在三角形ABC中，点E，F分别为线段AB，AC上任意两点，EG交BC于点G，交AC的延长线于点H，∠1＋∠AFE＝180°.
(1)证明：BC∥EF；
(2)如图②，若∠2＝∠3，∠BEG＝∠EDF，证明：DF平分∠AFE.

图① 图②
【答案】见解析.
【解析】证明：（1）∵∠1+∠AFE=180°，∠1+∠BCF=180°，
∴∠AFE=∠BCF，
∴BC∥EF；
（2）∵∠BEG=∠EDF，
∴DF∥EH，
∴∠DFE=∠FEH，
又∵BC∥EF，
∴∠FEH=∠2，
又∵∠2=∠3，
∴∠DFE=∠3，
∴DF平分∠AFE．
【变式5－7】（2020·吉林四平市期末）将一副三角板按如图方式摆放，两个直角顶点重合，∠A=60°，∠E=∠B=45°．

备用图 备用图
（1）求证：∠ACE=∠BCD；
（2）猜想∠ACB与∠ECD数量关系并说明理由；
（3）按住三角板ACD不动，绕点C旋转三角板ECB，探究当∠ACB等于多少度时，AD∥CB．请在备用图中画出示意图并简要说明理由．
【答案】见解析.
【解析】（1）∵∠ACD=∠ECB=90°，
∴∠ACD﹣∠ECD=∠ECB﹣∠ECD，
即∠ACE=∠BCD．
（2）猜想：∠ACB+∠ECD=180°．理由如下：
∵∠ACB=∠ACD+∠DCB
∴∠ACB+∠ECD
=∠ACD+∠DCB+∠ECD
又∵∠DCB+∠ECD=∠ECB，
∴∠ACB+∠ECD=∠ACD+∠ECB=90°+90°=180°.
（3）当∠ACB=120°或60°时，AD∥CB．
理由如下：
①如图，根据“同旁内角互补，两直线平行”：

当∠A+∠ACB=180°时，AD∥BC，
此时，∠ACB=180°﹣∠A=180°﹣60°=120°．
②如图，根据“内错角相等，两直线平行”：

当∠ACB=∠A=60°时，AD∥BC．
综上所述，当∠ACB=120°或60°时，AD∥BC.