专题01 掌握三大技能，轻松解答数轴动态问题技能提升 2022年七年级数学寒假辅导讲义（人教版）

专题01 技能提升
1．（2020·苏州市月考）点，，，在数轴上的位置如图所示，其中为原点，，，若点所表示的数为，则点所表示的数为（ ）

A． B． C． D．－2
【答案】A.
【解析】解：∵BC=2，C点所表示的数为x，
∴B点表示的数是x-2，
又∵OA=OB，
∴B点和A点表示的数互为相反数，
∴A点所表示的数是-（x-2），即-x+2．
故选：A．
2.（2020·武汉市月考）如图，圆的周长为4个单位长度．在该圆的4等分点处分别标上0、l、2、3，先让圆周上表示数字0的点与数轴上表示-1的点重合，再将数轴按顺时针方向环绕在该圆上．则数轴上表示2020的点与圆周上表示数字哪个点重合？（ ）

A．0 B．l C．2 D．3
【答案】B.
【解析】解：∵2021÷4=505……1，圆周上表示数字0的点与数轴上表示-1的点重合，
∴数轴上顺时针绕505圈后，表示数2019的点与圆周上起点处表示的数字0重合，表示数2020的点与圆周上起点处表示的数字1重合，
故选：B．
3．（2020·浙江月考）等边△ABC在数轴上的位置如图所示，点A，C对应的数分别为0和 - 1，若△ABC绕着顶点顺时针方向在数轴上连续翻转，翻转1次后，点B所对应的数为1；则翻转2020次后，点B所对应的数是 ( )

A．2018 B．2019 C．2020 D．2021
【答案】C.
【解析】解：翻转后点B对应的数字为：1、1、2.5、3、3、4.5……
初识B点对应的是-0.5，故每三次翻折增加3，2020÷3=673…… 1，
则第2020次翻折对应的数字为：-0.5+673×3+1.5=2020；
故选C．
4．如图所示，A、B是数轴上的两点，O是原点，AO=10，OB=15，点P、Q分别从A、B同时出发，点P以每秒2个单位长度的速度沿数轴向左匀速运动，点Q以每秒4个单位长度的速度沿数轴向左匀速运动，M为线段AP的中点，设运动的时间为t（t≥0） 秒，M、Q两点到原点O的距离相等时，t的值是（ ）

A．或 B．或
C．或 D．或
【答案】C.
【解析】解：∵O是原点，AO=10，OB=15，
∴点A表示的数是-10，点B表示的数是15，
由题意得：OM=|-10-t|，OQ=|15-4t|，
∵M、Q两点到原点O的距离相等，
∴|-10-t|=|15-4t|，
解得：t=或t=1，
故选：C．
5．（2020·浙江期末）如图，点在数轴上表示的数是，在数轴上表示的数是8．若点以6个单位长度/秒的速度向右匀速运动，同时点以2个单位长度/秒的速度向左匀速运动，问：当时，运动时间为多少秒？（ ）

A．2秒 B．13.4秒 C．2秒或4秒 D．2秒或6秒
【答案】C.
【解析】解：设当AB=8时，运动时间为t秒，
①当点A在点B的左边时，6t+2t+8=8-（-16）
解得：t=2
②当点A在点B的右边时，6t+2t=8-（-16）+8，
解得： t=4．
故选：C．
6．（2019·四川）已知点、在数轴上对应数分别为、，且、满足. 点是数轴上任意一点，若有.则点对应的数为（ ）
A． B． C．或 D．或
【答案】D.
【解析】解：∵，
∴a=3，b=-4，
设P为x，
（1）当x<-4时，PA=-4-x，PB=3-x，
|PA-PB|=3得：|-4-x-3+x|=3，得：7=3，不符合题意；
（2）当-4≤x≤3时，同理得：|x+4-3+x|=3
解得：x=1或x=-2
（3）当x>3时，同理得，不符合题意.
综上所述点P对应的数为1或-2 ；
故选：D.
7．如图，点A在数轴上表示的数是-16，点B在数轴上表示的数是8. 若点A以6个单位长度/秒的速度向右匀速运动，同时点B以2个单位长度/秒的速度向左匀速运动. 问：当AB=8时，运动时间为多少秒？（ ）

A．2秒 B．4秒 C．2秒或4秒 D．2秒或6秒
【答案】C.
【解析】解：设运动t秒时，AB=8，
（1）当点B在点A的左边时，由题意得：2t-24+6t=8，解得t=4.
（2）当点B在点A的右边时，由题意得：2t+8+6t=24，解得t=2.
故选C.
8．（2020·安徽月考）数轴是一个非常重要的数学工具，通过它把数和数轴上的点建立起对应关系，揭示了数与点之间的内在联系，它是“数形结合”的基础．请利用数轴回答下列问题：
（1）如果点A表示数﹣2，将点A向右移动5个单位长度到达点B，那么点B表示的数是_ ，A、B两点间的距离是 ；
（2）如果点A表示数5，将点A先向左移动4个单位长度，再向右移动7个单位长度到达点B，那么点B表示的数是 ，A、B两点间的距离是 ；
（3）一般的，如果点A表示的数为a，将点A先向左移动b个单位长度，再向右移动c个单位长度到达点B，那么点B表示的数是 ．
（4）如果点A表示的数为-100，点B表示的数是99，在数轴上有点P到点A和点B的距离相等，则点P表示的数是 ．
【答案】（1）3、5；（2）8、3；（3）a-b+c；（4）
【解析】解：（1）答案为：3，5；
（2）答案为：8，3；
（3）如果点A表示的数为a，将点A先向左移动b个单位长度，再向右移动c个单位长度到达点B，那么点B表示的数是a-b+c，
故答案为：a-b+c；
（4）设点P表示的数是m，
则|m-（-100）|=|99-m|，
∵点P只能在AB之间，
∴解得：m=，
点P表示的数是．
9．（浙江期末）已知数轴上三点M，O，N对应的数分别-3，0，1，如果点O以每分钟3个单位长度的速度向左运动，点M和点N分别以每分钟1个单位长度和4个单位长度的速度向左运动，且三点同时岀发，那么_____分钟时点O到点M，点N的距离相等．
【答案】或2.
【解析】解：设运动t分钟时，点O对应的数是-3t，点M对应的数是-3-t，点N对应的数是1-4t，
∴OM=|-3t+3+t|=|3-2t|，ON=|-3t-1+4t|=|t-1|，
∴|3-2t|=|t-1|，
解得：t=2或t=
故答案为：或2．
10．（2020·内蒙古期中）数轴上有A、B两点，点A表示5的相反数，点B表示绝对值最小的数，一动点P从点B出发，沿数轴以1个单位长度/秒的速度运动，3秒后，点P到点A的距离为____个单位长度．
【答案】8或2.
【解析】解：∵点A表示5的相反数，点B表示绝对值最小的数，
∴点A表示的数是-5，点B表示的数是0，
点P移动的距离为1×3=3（单位长度），
①若点P从点B向右移动，则点P所表示的数为3，此时PA=|-5-3|=8，
②若点P从点B向左移动，则点P所表示的数为3，此时PA=|-5+3|=2，
故答案为：2或8．
11．（2020·安徽合肥市期中）如图，在数轴上点A表示数a，点B表示数b，点C表示数c，a是多项式的一次项系数，b是绝对值最小的整数，单项式的次数为c．

（1）____，_____，___．
（2）点A，B，C开始在数轴上运动，若点C以每秒1个单位长度的速度向右运动，同时，点A和点B分别以每秒3个单位长度和2个单位长度的速度向左运功，t秒过后，若点A与点B之间的距离表示为AB，点B与点C之间的距离表示为BC，则_____，__（用含t的代数式表示）．
（3）请问：的值是否随着时间t的变化而改变？若变化，请说明理由；若不变，请求出代数式的值．
【答案】（1）-3，0，7；（2）t+3，3t+7；（3）不变，2
【解析】解：（1）∵a是多项式的一次项系数，b是绝对值最小的整数，单项式的次数为c
∴a=-3，b=0，c=7
（2）由题意值，点A表示为：-3-3t，点B表示为：-2t，点C表示为t+7
∴AB=t+3，BC=3t+7
（3）不变
理由如下：由（2）知：
3AB-BC=3(t+3)-(3t+7)=2．
12．（2020·武汉市期中）如图，在数轴上点A表示的数a、点B表示数b，若a、b足点O是数轴原点．

（1）线段AB的长为______；
（2）点A以每秒1个单位的速度在数轴上匀速运动，点B以每秒2个单位的速度在数轴上匀速运动．设点A、B同时出发，运动时间为t秒，若点A、B能够重合，求出这时的运动时间；
（3）在（2）的条件下，直接写出经过多少秒后，点A、B两点间的距离为20个单位．
【答案】（1）18；（2）（3）见解析．
【解析】解：（1）由题意知a=6，b=-12，
∴AB=6-（-12）=18；
（2）设点A、B同时出发，运动时间为t秒，点A、B能够重合时，可分两种情况：
①若相向而行，则2t+t=18，解得t=6；
②若同时向右而行，则2t-t=18，解得t=18．
综上所述，经过6或18秒后，点A、B重合；
（3）设点A、B同时出发，运动时间为t秒，点A、B两点间的距离为20个单位
①若两点均向左，则6-t-(-12-2t)=20, 解得t=2；
②若两点均向右，则-12-2t –(6+t)，解得：t=38；
③若A点向右，B点向左，则6+t-（-12-2t）=20，解得t=；
④若A点向左，B点向右，则-12+2t-（6-t）=20，解得t=.
13．（2020·眉山市月考）已知，如图，实数a、b、c在数轴上表示的点分别是点A、B、C,且a、b、c满足．


（1）求a、b、c的值；
（2）若点A沿数轴向左以每秒1个单位的速度运动，点B和点C沿数轴向右运动，速度分别是2个单位/秒、3个单位/秒.设运动时间为t（秒）．
①2秒后，点A、B、C表示的数分别是 ， ， ；
②运动t秒后，求点B和点C之间的距离（用“BC”表示）和点A和点B之间的距离（用“AB”表示）；（用含t的代数式表示）
③在②的基础上，请问：3×BC-AB的值是否随着时间t的变化而变化？若不变化，求这个不变的值；若变化，求这个值的变化范围；
（3）若点A沿数轴向右以每秒1个单位的速度运动，点B和点C沿数轴向左运动，速度分别是2个单位/秒、3个单位/秒.设运动时间为t（秒）．是否存在某一时刻，满足点A和点B之间的距离是点B和点C之间的距离的？若存在，直接写出时间t的值；若不存在，说明理由．
【答案】见解析．
【解析】解：(1)a=-8，b=-2，c=3．
(2)①2秒后，点A表示-8-2=-10， 点B表示-2+2×2=-2+4=2,点C表示3+2×3=3+6=9,
②t秒时，点A表示-8-t，点B表示-2+2t，点C表示3+3t，
BC=3+3t-(-2+2t)=3+3t+2-2t=5+t，AB=-2+2t-(-8-t)=-2+2t+8+t=6+3t，
③3×BC-AB=3（5+t）-(6+3t)=15+3t-6-3t=9
不变化，这个不变的值为9；
（3）t秒时，点A表示-8+t，点B表示-2-2t，点C表示3-3t，
BC=3-3t-(-2-2t)=3-3t+2+2t=5-t，AB=-2-2t-(-8+t)=-2-2t+8-t=6-3t，
∴|5-t |=2|6-3t |，
解得：t=或t=
综上所述，存在，时间t的值为或．
14．（2019·陕西月考）如图，已知数轴上有三点，，，它们对应的数分别为，，，且点为线段的中点，点对应的数是10，．动点、分别从、同时出发，点的运动速度为8个单位长度/秒，点的运动速度为4个单位长度/秒，设动点、的运动时间是秒．

（1）________，________；
（2）若为原点，向左运动，向右运动，为的中点，为的中点，在、的运动过程中，的值是否发生变化？若不变，求其值；若变化，请说明理由；
【答案】见解析.
【解析】解：（1）点C对应的数是10，BC=20，
点B对应的数是-10，
∵点B为线段AC的中点，
∴AB=BC=20
∴点A对应的数是-10-20=-30.
∴a=-30，b=-10
（2）设运动时间为t秒，
则P点对应的数为：-30-8t，Q点对应的数为：10+4t
由E为OP中点，F为BQ中点知，
E点表示数为=-15-4t，F点表示数为
∴PQ=10+4t-（-30-8t）=40+12t，EF=2t-（-15-4t）=15+6t
∴PQ-2EF=40+12t-2（15+6t）=10，
所以PQ-2EF的值不变，值为：10.
15．（2020·江苏七年级期中）（概念提出）
数轴上不重合的三个点，若其中一点到另外两点的距离的比值为n（n≥1），则称这个点是另外两点的n阶伴侣点．如图，O是点A、B的1阶伴侣点；O是点A、C的2阶伴侣点；O也是点B、C的2阶伴侣点．

（初步思考）
（1）如图，C是点A、B的 阶伴侣点；
（2）若数轴上两点M、N分别表示－1和4，则M、N的阶伴侣点所表示的数为 ；
（深入探索）
【答案】（1）3；（2）－11，1，2，14．
【解析】解：（1）∵O是点A、B的1阶伴侣点；O是点A、C的2阶伴侣点；O也是点B、C的2阶伴侣点，
∴OA=OB，OC=2OA，OC=2OB，
∴AC=3BC，
∴C是点A、B的3阶伴侣点；
故答案是：3
（2）设表示的数为x,由题意有：
①|x+1|=|x-4|，
解得，x=1或x=-11，
②|x-4|=|x+1|，
解得，x=2或x=14，
综上所述，M、N的阶伴侣点所表示的数为－11，1，2，14.
16．（2020·渠县月考）如图，是数轴上的三点，是原点，．

（1）写出数轴上点表示的数： 、 ；
（2）点分别从同时出发，点以每秒2个单位长度的速度沿数轴向右匀速运动，点以每秒6个单位长度的速度沿数轴向左匀速运动，为线段的中点，点在线段上，且，设运动时间为秒．
①求数轴上点、表示的数（用含的式子表示）；
②为何值时，、两点到原点的距离相等？
【答案】见解析．
【解析】解：（1）∵BO=3，∴AB=2BO=6,∴AO=AB+BO=9，
∴3CO=5AO=45，∴CO=15，
∵A、C分别在原点O的左边和右边，
∴A、C表示的数分别 为：-9，15，
故答案为-9，15；
（2）①由题意AP=2t，
∴AM=t，M表示的数为-9+AM=-9+t，
由题意得CQ=6t，∴CN==4t，
∴N 表示的数为15-4t；
②若M 、 N 两点到原点 O 的距离相等，则：|-9+t|=|15-4t|，
∴-9+t=15-4t或-9+t=4t-15，
解之得：t=4.8或t=2
即当t为4.8s或2s时，M 、 N 两点到原点 O 的距离相等．
17．（2020·上饶市月考）A，B是数轴上的两点（点B在点A的右侧），点A表示的数为，A，B两点的距离是点A到原点O的距离的4倍，即．
（1）数轴上点B表示的数是______________，点C为数轴上的动点，当时，可知点C表示的数为_____________．
（2）动点P，Q分别从点B和A同时出发向左匀速运动，点P，Q的速度分别为每秒7个单位长度和每秒3个单位长度，当点P与点Q之间的距离为8个单位长度时，求此时点P和点Q在数轴上所表示的数；
（3）在（2）条件下，设运动时间为t，点M是的中点，点M在运动到点O的过程中，的值是否发生变化？若不变，求其值；若变化，说明理由．
【答案】见解析.
【解析】解：（1）∵点A表示的数是-15，
∴AO=15，
∵AB=4OA，点B在点A的右侧，
∴OB=3OA=45，
∴点B表示的数为45；
∴AB=60
∵AC+BC=78
∴点C在AB的两侧，
又（78-60）÷2=9，
∴当点C在点A的左侧时，点C表示的数为：-9+（-15）=-24；
当点C在点B的右侧时，点C表示的数为：45+9=54；
故答案为：45；-24或54；
（2）设点P运动x秒时，点P表示的数为45-7x，点Q表示的数为：-15-3x
由题意得：
①当Q在P点左边时，45-7x -（-15-3x）=8，
解得：x=13，
②当Q在P的右边时，-15-3x -（45-7x）=8，
解得：x=17，
当x=13时，点P表示的数为：45-7×13=-46；点Q表示的数为：-15-3×13=-54；
当x=17时，点P表示的数为：45-7×17=-74；点Q表示的数为：-15-3×17=-66；
（3）P点在数轴上的对应的数为45-7t，Q点在数轴上的对应的数为-15-3t，
∵M是PQ的中点，
∴PM=QM，
设M在数轴上的对应的数为y，则有：
y-（-15-3t）=45-7t-y，
解得，y=15-5t，
又PQ=45-7t-(-15-3t)=60-4t
∴=60
∴的值没有发生变化，结果为60．
18．（2020·成都市月考）如图，已知在数轴上有三个点、、，是原点，满足，，，动点从点出发向右以每秒的速度匀速运动；同时，动点从点出发，在数轴上向左运动．

（1）若点的速度为每秒，求，相遇时，运动的时间．
（2）若的运动速度为每秒时，经过多长时间，两点相距？
（3）当时，点运动的位置恰好是线段的三等分点，求的速度．
【答案】见解析．
【解析】解：（1）设P、Q相遇时，运动的时间为t，
由题知：OC=OA+AB+BC=90 cm
∴当Q、P相遇时，OP+CQ=OC，即t+0.8t=90．
解得：t=50，
即P、Q相遇时的运动时间为50s．
（2）①Q在P的右侧时，经过时间为5秒，
②Q在P的左侧时，设经过时间t，两点相距70cm，
则t-（90-3t）=70，解得t=40
经过5秒和40秒时P、Q两点相距70cm．
（3）①当点P在A、B两点之间时，PA=40，运动时间为60 s
∵点Q运动的位置恰好是线段AB的三等分点，
∴BQ=20或BQ=40，
点Q的运动速度为0.5cm/s或cm/s
②当点P在线段AB的延长线上时，
同理得运动时间为140s
∴BQ=20或BQ=40，
点Q的运动速度为cm/s 或cm/s．
19．（2020·重庆市期中）如图，已知数轴上点表示的数为点表示的数为满足关于的多项式不含二次项，且．

（1）点表示的数为 ，点表示的数为 ；
（2）在数轴上动点分别从同时向左运动，已知动点的速度为每秒个单位长度，动点的速度为每秒个单位长度，
①若两点同时到达点时求点对应的数；
②若三点中其中一点恰好到另外两点的距离相等时，请直接写出点对应的数．
【答案】见解析．
【解析】解：（1）由题意得：

=，
∵不含二次项，
∴，解得：a=±8，b=20，
∵，
∴a=-8,b=20，
∴点A表示的数为-8，点B表示的数为20，
（2）①设点P、Q向左运动同时到达C点的时间是ts，
则AC=t，BC=3t，
∵BC=AC+AB，AB=28
∴3t-t=28
即t=14，即AC=14，C点对应的数为-8-14=-22.
②设运动的时间是t，
（i）当PA=AQ时，t=28-3t，解得t=7，AP=7
则点P对应的数是-8-7=-15；
（ii）当PQ=AQ时，，
解得t=，AP=
则P点对应的数是-8-=-
（iii）当PQ=AP时，2t+28=3t，解得t=28，
∴AP=28
则P点对应的数是-8-28=-36；
综上所述：若P、A、Q三点中其中一点恰好到另外两点的距离相等时，点P对应的数为-36或或-15．