专题01 掌握三大技能，轻松解答数轴动态问题 2022年七年级数学寒假辅导讲义（人教版）

专题01 掌握三大技能，轻松解答数轴动态问题

【技能一】数轴上两点间的距离

如图，A、B表示的数为a、b，则A与B间的距离AB=|a－b|；
当a，b的大小已知时，“大减小（右减左）”，不知大小时，“绝对值”（两数差的绝对值）.

【技能二】数轴上两点间中点表示的数

如图，C是AB的中点，则C表示的数x=；
理由：
AC=BC，则x－a=b－x，
∴x=.

【技能三】数轴上点移动规律

数轴上点向右移动则数变大（增加），向左移动数变小（减小）；
当数a表示的点向右移动b个单位长度后到达点表示的数为a+b；向左移动b个单位长度后到达点表示的数为a－b.
例：P从A出发，以2个单位/秒速度向右运动，t秒后达到的点表示的数为：a+2t.

数轴是数形结合的产物，分析数轴上点的运动要结合图形进行分析，点在数轴上运动形成的路径可看作数轴上线段的和差关系.

考点一：求动点速度
例1.【2020·龙城期中】已知多项式的常数项是a，次数是b，且a，b两个数轴上所对应的点分别为A、B，若点A、点B同时沿数轴向正方向运动，点A的速度是点B的2倍，且3秒后，，点B的速度为 .
【答案】或.
【解析】解：由题意知a=-4，b=3，
设B点速度为x单位/秒，则A的速度为（2x）单位/秒，
3秒后，A点表示点为-4+3×2x=-4+6x，B点表示的数为3+3x，
∴OA=|-4+6x|，OB=3+3x，
∴|-4+6x|=3+3x，
解得：x=或x=
故答案为：或.
考点二：求动点运动时间
例2.【2020·江苏期中】我们知道：在数轴上，点M表示实数为a，点N表示实数为b，当 时，点M、N之间的距离记作：MN =；当时，点M、N之间的距离记作：MN =a-b，例如：， 则MN =．
如图，点A、B、C是数轴上从左向右依次排列的三点，且，，点B表示的数是．

（1）点A表示的数是 ，点C表示的数是 ；
（2）动点M、N分别从A、C同时出发，点M沿数轴向右运动，速度为1个单位长度∕秒，点N沿数轴向左运动，速度为2个单位长度∕秒，运动t秒后：
①点M表示的数 ，点N表示的数 ；(用含t的代数式表示)
②求当t为何值时，点M、N、B三点中相邻两个点之间的距离相等．(M、N、B三点中任意两点不重合).
【答案】（1）-10， 5；（2）①-10+t，5-2t；②见解析.
【解析】解：（1）∵AC=15，BC=9，
∴AB=6，
∴点A表示的数为-4-6=-10，点C表示的数为-10+15=5．
故答案为：点A表示的数为-10，点C表示的数为5．
（2）设运动时间为t时，
①AM=t，点M表示的数为-10+t；CN=2t，点N表示的数为5-2t，
②分三种情况讨论：
当B为中点时，（-10+t）+（5-2t）=2×（-4），解得t=3；
当N为中点时，（-10+t）+（-4）=2×（5-2t），解得t=4.8；
当M为中点时，（5-2t） +（-4）=2×（-10+t），解得t=5.25；
综上所述，当t为3秒或4.8秒或5.25秒时，点M，N，B三点中相邻两个点之间的距离相等．
例3. 【2020·杭州月考】已知数轴上两点A、B对应的数分别为-1，3，点P为数轴上一动点，其对应的数为x．

（1）若点到点、点的距离相等，则点对应的数为______．
（2）利用数轴探究：找出满足的的所有值是______．
（3）当点以每秒6个单位长的速度从点向右运动时，点以每秒6个单位长的速度向右运动，点以每秒钟5个单位长的速度向右运动，问它们同时出发，几秒后点到点、点的距离相等？
【答案】（1）1；（2）-3或5；（3）2秒或4秒．
【解析】解：（1）∵点P到点A、点B的距离相等
∴x+1=3-x，解得x=1，
即点P表示的数为1.
（2）①当x>3时，
x-3+x+1=8，解得：x=5．
②当x<-1时，
3-x-x-1=8，解得：x=-3．
③当-1≤x≤3时，|x-3|+|x+1|=4≠8，不成立，
∴满足原方程的所有值为：-3或5；
故答案为：-3或-5．
（3）分两种情况：
①当P点在AB之间时．则5x+3-6x=1．解得：x=2
②当P点在AB右侧时，此时A、B重合
则5x+4=6x．解得：x=4
综上所述：它们同时出发，2秒或4秒后P到点A、点B的距离相等．
例4. 【2020·云南官渡期中】如图，数轴上的点和点分别表示0和10，点是线段上一动点.点沿以每秒2个单位的速度往返运动1次，是线段的中点，设点运动时间为秒（不超过10秒）.若点在运动过程中，当时，则运动时间的值为

【答案】或或或．
【解析】解：由题意知，B点表示的数为5，
当PB=2时，P点表示的数为3或7，
（1）当P从O到A运动时，PB=2时，则t=或；
（2）当P从A到O运动时，PB=2时，则t=或；
故答案为：或或或.
例5. 【2020·湖北孝感月考】已知数轴上有、两个点对应的数分别是、，且满足；

（1）求、的值；
（2）点是数轴上、之间的一个点，使得，求出点所对应的数；
（3）点，点为数轴上的两个动点，点从点以3个单位长度每秒的速度向右运动，点同时从点以2个单位长度每秒的速度向左运动，设运动时间为秒，若，求时间的值．
【答案】见解析．
【解析】解：（1）∵，
∴a+3=0，b-9=0，
∴a=-3，b=9.
（2）设M点表示的数为x，
∵AM=2BM，
∴x+3=2（9-x）
解得：x=5
即M点表示的数为5.
（3）由题意知，AP=3t，BQ=2t，P点表示的数为3t-3，Q点表示的数为9-2t，
∴PQ=|9-2t-3t+3|=|12-5t|,
∴3t+2t=2|12-5t|,
解得：t=或t=
综上所述，t=或t=时，满足题意.
例6. 【2020·东安实验学校期中】数轴上点A表示的有理数为20，点B表示的有理数为-10，点P从点A出发以每秒5个单位长度的速度在数轴上往左运动，到达点B后立即返回，返回过程中的速度是每秒2个单位长度，运动至点A停止，设运动时间为t（单位：秒）．
（1）当t=5时，点P表示的有理数为 ．
（2）在点P往左运动的过程中，点P表示的有理数为 （用含t的代数式表示）．
（3）当点P与原点距离5个单位长度时，t的值为 ．
【答案】（1）-5；（2）20-5t；（3）3；5；8.5；13.5.
【解析】解：（1）由题意得：AB=30，
点P从点A运动到点B所需时间为：30÷5=6秒，
点P从点B返回，运动到点A所需时间为30÷2=15秒，
则当t=5时，PA=25，
∴点P表示的有理数为20-25=-5，
故答案为：-5；
（2）在点P往左运动的过程中，PA=5t，
则点P表示的有理数为20-5t，
故答案为：20-5t；
（3）①当点P从点A运动到点B时，
由（2）可知，，
解得t=3或t=5；
②当点P从点B返回，运动到点A，
由题意知P点表示的数为2（t-6）-10=2t-22，
则，
解得t=8.5或t=13.5
故答案为：3或5或8.5或13.5．
考点三：新定义类型
例7. 阅读理解：若为数轴上三点，若点到的距离是点到的距离2倍，我们就称点是的好点．例如，如图1，点是的好点：点是的好点．
（1）如图2，为数轴上两点，点所表示的数为，点所表示的数为4．在数轴上的好点所表示的数是__________．
（2）如图3，为数轴上两点，点所表示的数为，点所表示的数为40．现有一只电子蚂蚁从点出发，以2个单位每秒的速度向左运动，到达点停止．当为何值时，P、A和中恰有一个点为其余两点的好点？

【答案】（1）0；（2）见解析.
【解析】解：（1）设所求的数为x，根据题意得：
4-x=2(x+2)，解得：x=0，
故答案为：0.
（2）设点P表示的数为y，
①当点P为【A,B】的好点，由题意得：
y+20=2(40-y)，解得：y=20，
∴t=10 秒；
②当P为【B，A】的好点，由题意得：
40-y=2(y+20)，解得y=0，
∴t=20秒
③当B为【A,P】的好点，由题意得：
40+20=2（40-y），解得：y=10，
∴t=(40-10)÷2=15秒；
④当A为【B,P】的好点，由题意得：
40+20=2（y+20），解得：y=10，
∴t=(40-10)÷2=15秒；
综上所述：当t的值为10或15或20时，P、A和B中恰有一个点为其余两点的好点．
例8. 【2019·广州市期中】数轴上有三点，给出如下定义；若其中一个点与其他两个点的距离恰好满足倍的数量关系，则称该点是其它两个点的：“关联点”
（1）例图，数轴上点三点所表示的数分别为，点到点的距离 ，点到点的距离是 ，因为是的两倍，所以称点是点的“关联点”．
（2）若点表示数点表示数，下列各数所对应的点分别是，其中是点的“关联点”的是 ；
（3）点表示数，点表示数为数轴上一个动点；若点在点的左侧，且点是点的“关联点”，求此时点表示的数；若点在点的右侧，点中，有一个点恰好是其它两个点的“关联点”．请直接写出此时点表示的数.

【答案】（1）2，1；（2）C1，C3（3）见解析.
【解析】解：（1）由题意知，AB=3-1=2，BC=4-3=1
故答案是：2，1；
（2）点A表示的数为-2，点B表示的数为1，C1表示的数为-1，
∴AC1=1，BC1=2，
∴C1是点A、B的“关联点”；
同理，C2、C4不是点A、B的“关联点”，C3是点A、B的“关联点”.
故答案为：C1，C3.
（3）①若点P在点B的左侧，且点P是点A,B的“关联点”，设点P表示的数为x
（I） 当P在点A的左侧时，则有：2PA=PB，即2（-10-x）=15-x
解得：x=-35
（II）当点P在A，B之间时，有2PA=PB或PA=2PB
有2（x+10）=15-x或x+10=2（15-x）
解得：x=或x=
∴点P表示的数为-35或或.
②若点P在点B的右侧
（I）若点P是A，B的“关联点”则有2PB=PA
即2（x-15）=x+10
解得：x=40
（II）若点B是A,P的“关联点”则有2AB=PB或AB=2PB
即2（15+10）=x-15或15+10=2（x-15）
解得x=65或x=
（III）若点A是B，P的“关联点”则有2AB=AP
即2（15+10）=x+10
解得x=40
∴点P表示的数为40或65或.
考点四：求动点表示的数
例9.【河北期末】如图，点为数轴的原点，点对应的数为，点对应的数为，且，点为数轴上的动点，且点对应的数为．当时，的值为 ．

【答案】7或11.
【解析】解：由题意知，a=-4，b=10，
当x<-4时，PA=-4-x，PB=10-x，
∴-4-x+2（10-x）=17，解得：x=（舍）
当-4≤x≤10时，x+4+2（10-x）=17，解得：x=7
当x>10时，x+4+2（x-10）=17，解得：x=11，
综上所述，答案为：7或11.
例10. 【2020·浙江苍南期末】如图，点A，P，Q，B在一条不完整的数轴上，点A表示数-3，点B表示数3，若动点P从点A出发以每秒1个单位长度向终点B匀速运动，同时动点Q从点B出发以每秒2个单位长度向终点A匀速运动，其中一点到达终点时，另一个点也随之停止运动，当BP=3AQ时，点P在数轴上表示的数是

【答案】.
【解析】解：由题意知，两点运动时间为6÷2=3秒
设运动时间为t秒，则P点表示的数为-3+t，Q点表示的数为3-2t，
BP=3-（-3+t）=6-t，AQ=3-2t-（-3）=6-2t，
∴6-t=3（6-2t），解得：t=
此时P点表示的数为-3+t=，
故答案为：.
考点五：说理
例11.【2019·北京市月考】阅读材料: 在数轴上，点 A 在原点 0 的左边，距离原点 4 个单位长度，点 B 在原点的右边，点 A 和点 B 之间的距离为 14个单位长度.
（1）点 A 表示的数是 ，点 B 表示的数是 ;
（2）点 A、B 同时出发沿数轴向左移动，速度分别为 1 个单位长度/秒，3 个单位长度/秒，经过多少秒，点 A 与点 B重合?
（3）点 M、N 分别从点 A、B 出发沿数轴向右移动，速度分别为 1 个单位长度/秒、2 个单位长度/秒,点 P 为 ON 的中点，设 OP-AM 的值为 y,在移动过程中，y 值是否发生变化?若不变，求出 y 值;若变化，说明理由.
【答案】见解析.
【解析】解：（1）由题意知，A表示的数为-4，B表示的数为10.
（2）由题意知经过（10+4）÷（3-1）=7秒，点A与点B重合.
（3）设运动时间为t 秒，
则M点表示的数为-4+t，N点表示的数为10+2t，
∵P为ON中点，
∴P点表示数为=5+t，AM=t，
∴y= OP-AM=5+t-t=5
故y值不会发生变化，y=5.
例12. 【2020·甘肃兰州期中】（背景知识）
数轴是初中数学的一个重要工具，利用数轴可以将数与形完美的结合，研究数轴我们发现了许多重要的规律：数轴上点、点表示的数为、，则，两点之间的距离，若，则可简化为；线段的中点表示的数为．

（问题情境）
已知数轴上有，两点，分别表示的数为，8，点以每秒3个单位的速度沿数轴向右匀速运动，点以每秒2个单位向左匀速运动，设运动时间为秒（）．
（综合运用）
（1）运动开始前，，两点的距离为______；线段的中点所表示的数______．
（2）点运动秒后所在位置的点表示的数为______；点运动秒后所在位置的点表示的数为______；（用含的式子表示）
（3）它们按上述方式运动，，两点经过多少秒会相距4个单位长度？
（4）若，按上述方式继续运动下去，线段的中点能否与原点重合？若能，求出运动时间，并直接写出中点的运动方向和运动速度；若不能，请说明理由．（当，两点重合，则中点也与，两点重合）．
【答案】（1）18，-1；（2）-10+3t；8-2t；（3）（4）见解析.
【解析】解：（1）AB=18，线段AB中点M表示的数为：-1.
（2）答案为：-10+3t；8-2t；
（3）设A、B两点经过t秒会相距4个单位长度，
当点A在点B左侧时，3t+2t=18-4，解得t=2.8；
当点A在点B右侧时，3t+2t=18+4，解得t=4.4，
即两点经过2.8秒或4.4秒会相距4个单位长度．
（4）能．
设A、B按上述方式继续运动k秒线段的中点M能与原点重合，
得，解得k=2，
运动开始前M点的位置是-1，运动2秒后到达原点，
由此得M点的运动方向向右，其速度为：个单位长度/秒．
考点六：综合题型
例13.如图，在数轴上，点，分别表示，9，点、分别从点、同时开始沿数轴正方向运动，点的速度是每秒3个单位，点的速度是每秒1个单位，运动时间为秒，在运动过程中，当点，点和原点这三点中的一点恰好是另外两点为端点的线段的中点时，求满足条件整数的值.

【答案】见解析.
【解析】解：当运动时间为t秒时，点P表示的数为3t-15，点Q表示的数为t+9．
当点O为线段PQ的中点时，3t-15+t+9=0，
解得：t=；
当点P为线段OQ的中点时，0+t+9=2（3t-15），
解得：t=；
当点Q为线段QP的中点时，0+3t-15=2（t+9），
解得：t=33．
综上所述：当运动时间为秒、秒或33秒时，点P，点Q和原点O这三点中的一点恰好是另外两点为端点的线段的中点．
∴整数t的值为33．
例14.【2020·永嘉县期中】已知数轴上三点，，对应的数分别为，0，3，点为数轴上任意一点，其对应的数为．

（1）如果点到点、点的距离相等，那么的值是______．
（2）数轴上是否存在点，使点到点、点的距离之和是8？若存在，求出的值；若不存在，请说明理由．
（3）如果点以每分钟1个单位长度的速度从点向右运动，同时另一点从点以每分钟2个单位长度的速度向左运动．设分钟时点和点到点的距离相等，则的值为______．（直接写出答案）
【答案】见解析．
【解析】解：（1）由题意得：3-x=x-(-1)，
解得：x=1
（2）存在，∵MN=3-(-1)=4，
∴点P不可能在M、N之间．
当点P在点M的左侧时，(-1-x)+(3-x)=8，解得：x=-3；
当点P在点N的右侧时，x-(-1)+(x-3)=8，解得：x=5；
∴x=-3或x=5；
（3）当点P和点Q相遇时，t+2t=3，解得：t=1；
当点Q运动到点M的左侧时，t+1=2t-4，解得t=5；
∴t=1或t=5．
例15. （2020·甘肃兰州·七年级期中）已知：如图，点、点为数轴上两点，点表示的数为，点表示的数为，与满足．

（1）直接写出、的值，______，______；
（2）若在点和点之间有一点，且点到点的距离与到点的距离相等，动点从出发，以1个单位/秒的速度向运动，同时另一个动点从出发，以2个单位/秒的速度向点运动．若、中有一点到达终点时，另一个点也随之停止运动，设运动时间为秒，的长为（），请用含有的式子表示；
（3）在（2）的条件下，当点到点的距离是点到点距离的2倍时，求到点与点距离相等的点所表示的数．
【答案】见解析．
【解析】解：（1）答案为：-4，8；
（2）点M表示的数为：2
①当0≤t＜3时，即点Q在点M右侧，y=6-2t；
②当3＜t≤6时，即点Q到达点M或在点M左侧，y=2y-6.
（3）由题意得AM=BM=6，PM=6-t
①6-t=2（6-2t）解得：t=2
此时,P表示的数为-2，Q表示的数为4.
到点P与点Q距离相等的点所表示的数为1.
②6-t=2（2t-6）解得：t=3.6
此时，P表示的数为-0.4，Q表示的数为0.8
到点P与点Q距离相等的点所表示的数为0.2.
例16.【2019·兰州天庆期末】如图，点从原点出发沿数轴向左运动，同时点从原点出发沿数轴向右运动，秒钟后，两点相距个单位长度，已知点的速度是点A的速度的倍．（速度单位：单位长度/秒）

（1）求出点、点运动的速度．
（2）若、两点从（1）中位置开始，仍以原来的速度同时沿数轴向左运动，几秒时原点恰好处在点点的正中间?
（3）若、两点从（1）中的位置开始，仍以原来的速度同时沿数轴向左运动时，另一点同时从点位置出发向点运动，当遇到点后，立即返回向点运动，遇到点又立即返回向点运动，如此往返，直到点追上点时，点一直以单位长度/秒的速度运动，那么点从开始运动到停止运动，行驶的路程是多少单位长度．
【答案】见解析．
【解析】解：（1）设A点速度为x单位/秒，则B点速度为（3x）单位/秒，
由题意得：4（x+3x）=16，解得：x=1
即A点速度为1单位/秒，B点速度为3单位/秒.
（2）在（1）中，A、B两点运动4秒后到达点分别为：-4，12.
设y秒后原点在A与B之间，
A点表示数为：-4-y，B点表示的数为：12-3y，
∴-4-y+12-3y=0，解得：y=2
故2秒后原点在A与B之间.
（3）由题意知，B点追上A点所需时间为16÷（3-1）=8秒，
此时C点运动路程为20×8=160个单位长度.