专题02 化动为静，破解几何动态问题基础巩固 2022年七年级数学寒假辅导讲义（人教版）

专题02 基础巩固
1．（2020·广州市期末）如图，已知线段AB，按下列要求完成画图和计算：
（1）延长线段AB到点C，使BC＝3AB（尺规作图，不写作法，保留作图痕迹）；
（2）在（1）的条件下，如果点D为线段BC的中点，且AB＝2，求线段AD的长度；
（3）在以上的条件下，若点P从A点出发，以每秒1个单位长度的速度向点C移动，到点C时停止．设点P的运动时间为t秒，是否存在某时刻t，使得PB＝PA﹣PC？若存在，求出时间t：若不存在，请说明理由．

【答案】（1）见解析．
【解析】解：（1）延长线段AB到点C，使BC＝3AB

（2）∵AB＝2，
∴BC＝3AB＝6，
∴AC＝AB+BC＝8，
∵点D为线段BC的中点，
∴BD＝BC＝3，
∴AD＝AB+BD＝5．
（3）设点P的运动时间为t秒，
则PB＝|t﹣2|，PA＝t，PC＝8﹣t，
∵PB＝PA﹣PC
∴|t﹣2|＝t﹣（8﹣t）
解得t＝2或．
故时间t为2或．
2.（2021·昌图县期中）如图，数轴上的点，表示的数分别为-10和20，动点从点出发，以2个单位秒的速度沿数轴的正方向运动，点为的中点．
（1）点出发多少秒时，；
（2）当点在线段上运动时，求的值；
（3）若点为的中点，请直接写出的长．

【答案】见解析．
【解析】解：（1）设点P出发ts时，AP=4BM，此时AP=2t，BM=
①当点P在点B的左侧时,

解得：t=10．
②当点P在点B的右侧时：

解得：t=30．
即当点P出发10s或30s时，AP=4BM．
（2）∵点M为PB的中点，
∴PB=2PM
∵AM=AP+PM
∴2AM－AP
=2（AP+PM）－AP
=AP+2PM
=AP+PB
=AB
而AB=30，
即2AM－AP=30.
（3）∵点M为PB的中点，点N为AP的中点，
∴PN= AP，PM=PB，．
∴MN=PN+PM=（PA+PB）=AB=15．
3．（杭州市）已知线段AB=12，CD=6，线段CD在直线AB上运动(C、A在B左侧，C在D左侧)．
(1)M、N分别是线段AC、BD的中点，若BC=4，求MN；
(2)当CD运动到D点与B点重合时，P是线段AB延长线上一点，下列两个结论：①是定值；
②是定值，请作出正确的选择，并求出其定值．
【答案】见解析．
【解析】解：（1）如图，∵M、N分别为线段AC、BD的中点，
∴CM=AC=（AB﹣BC）=×（12﹣4）=4，
BN=BD=（CD﹣BC）=×（6﹣4）=1，
∴MN＝MC+BC+BN＝4+4+1＝9；

（2）①正确，且=2．
如图，当CD运动到D点与B点重合时，

∵AB=12，CD=6，
∴C为线段AB的中点，∴AC=BC，
∴=2，
而，不是定值．
即①是定值2．
4．（潍坊市期中）（1）如图所示，线段，点是线段上一点，分别是线段的中点，小明据此很轻松地求得；你知道小明是怎样求出来的吗？请写出求解过程．

（2）小明反思过程中突发奇想：若点在的延长线上时，原有的结论“”是否仍然成立？请帮小明画出图形并说明理由．
【答案】见解析.
【解析】解：(1)∵C、D分别是线段OA、OB的中点，
∴AC=CO，OD=DB，
∴CO+OD=CD=AB，
∵AB=4，
∴CD=2．
(2)成立，如图所示，

∵C、D分别是线段OA、OB的中点，
∴AC=CO，OD=DB，
∵CD=CO-OD=(AO-OB)=AB，
∵AB=4，
∴CD=2．
5．（2020·三明市期中）已知如图，在数轴上有，两点，所表示的数分别为，，点以每秒5个单位长度的速度向右运动，同时点以每秒3个单位长度的速度也向右运动，如果设运动时间为秒，解答下列问题：

（1）运动前线段的长为______；运动1秒后线段的长为______；
（2）运动秒后，点运动的路程为_____（用含的代数式表示），此时，点表示为_____；（用含的代数式表示）
（3）求______时，点与点恰好重合；
（4）在上述运动的过程中，是否存在某一时刻，使得线段的长为5，若存在，求的值；若不存在，请说明理由．
【答案】（1）6，4；（2）5t，-10+5t；（3）t=3；（4）见解析.
【解析】解：（1）运动前线段AB的长为：-4-（-10）=6；
运动1秒后线段AB的长为：-4+3-（-10+5）=4；
（2）运动t秒后，点A运动的距离分别为5t；用t表示A为5t-10；
（3）运动t秒后，A为5t-10，B为3t-4
根据题意得：5t-10=3t-4，
解得：t=3；
（4）由题意：|6+3t-5t|=5
解得t=0.5或5.5，
∴t的值为=0.5或5.5秒时，线段AB的长为5．
6．（2020·华中期末）已知，C为线段上一点，D为的中点，E为的中点，F为的中点．

（1）如图1，若，，求的长；
（2）若，求的值.
【答案】见解析.
【解析】解：（1）∵D为AC的中点，E为BC的中点，
∴DC=AC=2，CE=BC=3，
∴DE=DC+CE=2+3=5，
∵F为DE的中点，
∴DF=DE=，
∴CF=DF-DC=-2=；
（2）①当AC＞BC，点F在点C左侧时，如图所示：

∵D为AC的中点，E为BC的中点，
∴DC=AC，CE=BC，
∴DE=DC+CE=（AC+BC）=AB，
∵F为DE的中点，
∴DF=DE=AB，
∵AB=16CF ，
∴DF=4CF，
∴CF=DC-DF=AC-4CF，
∴AC=10CF，
∴BC=AB-AC=16CF-10CF =6CF，
∴，
②当AC＜BC，点F在点C右侧时，如图所示：

∵D为AC的中点，E为BC的中点，
∴DC=AC，CE=BC，
∴DE=DC+CE=（AC+BC）=AB，
∵F为DE的中点，
∴DF=DE=AB，
∵AB=16CF ，
∴DF=4CF，
∴CF=DF-DC=4CF-AC，
∴AC=6CF，
∴BC=AB-AC=16CF-6CF =10CF，
∴，
综上所述，的值为或．
7．（2019·沈阳市月考）已知，一个点从数轴上的原点开始．先向左移动6cm到达A点，再从A点向右移动10cm到达B点，点C是线段AB的中点．
（1）点C表示的数是　 　；
（2）若点A以每秒2cm的速度向左移动，同时C、B两点分别以每秒1cm、4cm的速度向右移动，设移动时间为t秒，
①运动t秒时，点C表示的数是　 　（用含有t的代数式表示）；
②当t＝2秒时，CB•AC的值为　 　．
③试探索：点A、B、C在运动的过程中，线段CB与AC总有怎样的数量关系？并说明理由．

【答案】（1）-1；（2）①﹣1+t；②121；③见解析．
【解析】
解：（1）由题意得：点A表示﹣6，点B表示﹣6+10＝4，
∵点C是线段AB的中点，
∴点C表示的数为＝﹣1，
故答案为：﹣1．
（2）①由题意得：点C表示的数是﹣1+t，
故答案为：﹣1+t；
②当t＝2秒时，点A表示的数为﹣6﹣2×2＝﹣10，点B表示的数为4+4×2＝12，点C表示的数是﹣1+2＝1，
当t＝2秒时，AC＝11，BC＝11，
即CB•AC＝121，
故答案为：121；
③点A、B、C在运动的过程中，线段CB与AC相等．
理由：
点A表示的数为﹣6﹣2t，点B表示的数为4+4t，点C表示的数是﹣1+t，
∴BC＝（4+4t）﹣（﹣1+t）＝5+3t，AC＝（﹣1+t）﹣（﹣6﹣2t）＝5+3t，
∴点A、B、C在运动的过程中，线段CB与AC相等．
8．（2020·靖江市月考）如图，数轴上A，B两点表示的数分别为a，b，且a，b满足．

（1）求a和b的值；
（2）点P，Q分别从A，B两点同时向右运动，点P的运动速度为每秒5个单位长度，点Q的运动速度为每秒4个单位长度，运动时间为t（秒）．
①在P，Q的运动过程中，共有多长时间P，Q两点间的距离不超过4个单位长度？
②当t >15时，在点P，Q的运动过程中，等式AP+mPQ＝75（m为常数）始终成立，求m的值．
【答案】见解析．
【解析】解：
（1）∵|a＋5|＋（b−10）2＝0，|a＋5|≥0，（b−10）2≥0，
∴a＋5＝0，b−10＝0，
∴a＝−5，b＝10，
故答案为：−5，10；
（2）由题意知，运动t秒时P点表示的数为-5+5t，Q点表示的数为10+4t，
①当PQ=4时，|−5＋5t−（10＋4t）|=4，
∴t=11或t=19
∴19-11=8s
∴共有8秒时间PQ两点的距离不超过4个单位.
②由题意可得：5t＋m（-5+5t-10-4t）＝75，
∴5t+mt-15m＝75，
即t（5+m）-15m-75=0，t（5+m）-15（m+5）=0，
故（t-15）（m+5）=0，
∴当m＝-5时，等式AP＋mPQ＝75始终成立．
9．（2020·江西省月考）已知数轴上点A与点B相距12个单位长度，点A在原点的右侧，到原点的距离为22个单位长度，点B在点A的左侧，点C表示的数与点B表示的数互为相反数，动点P从A出发，以每秒1个单位的速度向终点C移动，设移动时间为t秒．
（1）点A表示的数为______，点C表示的数为______．
（2）用含t的代数式表示P与点A的距离：______．
（3）当点P运动到B点时，点Q从A点出发，以每秒3个单位的速度向C点运动，Q点到达C点后，再立即以同样的速度返回，回到点A处停止运动．
①在点Q运动过程中，请求出点Q运动几秒后与点P相遇?
②在点Q从点A向点C运动的过程中，P、Q两点之间的距离能否为3个单位?如果能，请求出此时点P表示的数；如果不能，请说明理由．
【答案】见解析．
【解析】解：（1）由题意知，点A表示的数为22，点C表示的数为-10；
（2）PA=t；
（3）①设点Q运动x秒与点P相遇，
点Q向点C运动过程中，得3x-x=12，解得：x=6
点Q向点A运动过程中，得3x+x=22+10+10+10，解得：x=13
即点Q运动6或13秒后与点P相遇；
②设经过x秒，PQ=3，
由题意得|x+12-3x|=3，解得：x=4.5或x=7.5
则P点表示的数为5.5或2.5.
10．（2020·重庆期中）已知在数轴上A、B两点对应的数分别为14、-6．

（1）若将数轴折叠，使点B恰好与表示2的点重合，则点A与表示______的点重合：
（2）若点C在点B左边部分的数轴上，且，求点C表示的数；
（3）在（2）的条件下，点P从A点出发以每秒8个单位长度沿数轴向左运动，同时点Q从B点出发以每秒2个单位长度沿数轴向左运动；当点P到达点C后立即沿数轴以原速向右运动，点Q到达点C后，沿数轴以原速的6倍向右运动，设运动时间为t秒，当t为多少时，点P、Q相距8个单位长度．
【答案】（1）-18；（2）（3）见解析．
【解析】解：
（1）∵点B恰好与表示2的点重合，
∴是关于点-2折叠，
-2-[14-（-2）]=-18,
故点A与表示-18的点重合，
故答案为：-18；
（2）设点C表示的数为x，
则14-x=3（-6-x），
解得x=-16，
故点C表示的数为-16；
（3）由题意知，AB=14-(-6)=20，AC=14-(-16)=30，BC=-6-(-16)=10,
点P到达C点，需用时s，点Q到达C点，需用时10÷2=5s，
当点P到达C点时，Q距离C点10-×2=2.5单位长度，
当Q到达C点时，P距离C点5×8-30=10单位长度，
①当P、Q均未到达C点时，若相距8个单位，
则8t-2t=20-8，解得t=2
或8t-2t=20+8，解得t=（舍）
②当P点到达C点返回，但Q点未到达时，
8t-30=10-2t+8，解得t=4.8
③当P、Q点到达C点返回时，
8t-12（t-5）=30+8，解得t=5.5
或8t-12（t-5）=30+8，解得t=9.5
综上所述，当t为2s或4.8s或5.5s或9.5s时，点P、Q相距8个单位长度．
11．（2019·西安交大附属中学月考）（探索新知）
如图1，射线在内部，图中共有3个角：、和，若其中一个角的度数是另一个角度数的两倍，则称射线是的“二倍线”．

（1）一个角的角平分线______________这个角的“二倍线”．（填是或不是）
（2）（运用新知）
如图2，若，射线绕从射线的位置开始，绕点O按逆时针方向以每秒10°的速度向射线旋转，当射线到达射线的位置时停止旋转，设射线旋转的时间为，若射线是的“二倍线”，求t的值．

（3）（深入研究）
在（2）的条件下．同时射线从射线的位置开始，绕点O按顺时针方向以每秒5°的速度向射线旋转，当射线停止旋转时，射线也停止旋转．请直接写出当射线是的“二倍线”时t的值．

【答案】（1）是；（2）4或8或6；（3）9.6或或9.
【解析】
解：（1）∵一个角的平分线平分这个角，这个角是所分两个角的两倍，
∴一个角的角平分线是这个角的“二倍线”，
故答案为：是．
（2）①若∠AOM=2∠BOM时，且∠AOM+∠BOM=120°
∴∠BOM=40°
∴t=4，
②若∠BOM=2∠AOM，且∠AOM+∠BOM=120°
∴∠BOM=80°
∴t=8
③若∠AOB=2∠AOM，或∠AOB=2∠BOM，
∴OM平分∠AOB，
∴∠BOM=60°
∴t=6
综上所述：当t=4或8或6时，射线OM是∠AOB的“二倍线”．
（3）若∠AON=2∠MON，则5t=2×（5t+10t-120）
∴t=9.6
若∠MON=2∠AOM，则5t+10t-120=2×（120-10t）
∴t=
若∠AOM=2∠MON，则120-10t=2×（5t+10t-120）
∴t=9
综上所述：t=9.6或或9．
12.（2020·四川广安市月考）如图，是直角，射线从出发，以每秒度的速度顺时针方向转动；射线 从出发，以每秒度的速度逆时针方向转动．当与成一直线时停止转动．
（1）__________秒时，与重合；
（2）当与的夹角是度时，求转动的时间是多少秒？
（3）若平分，求转动的时间是多少秒？

【答案】（1）9；（2）（3）见解析.
【解析】解：
（1）设x秒时，OC与OD重合，则8x+2x=90，
解得：x=9，
故答案为9；
（2）设转动t秒时，OC与OD的夹角是30度
根据题意，得：8t+2t＝90－30或8t+2t＝90+30
解得：t=6或t＝12.
（3）设转动m秒时，OB平分∠COD
则：8m－90＝2m
解得：m=15
转动15秒时，OB平分∠COD
OC和OD的位置如图，

∠AOD的余角有∠BOD和∠BOC.
13．（2020·泉州市月考）（问题提出）已知∠AOB＝80.5°，∠AOD＝∠AOC，∠BOD＝3∠BOC（∠BOC＜50°），求∠BOC的度数．

（问题思考）聪明的小明用分类讨论的方法解决．
（1）当射线OC在∠AOB的内部时，①若射线OD在∠AOC内部，如图1，可求∠BOC＝16.1°；问：当射线OC在∠AOB的内部时，②若射线OD在∠AOB外部，如图2，请你求出∠BOC的度数
（问题延伸）
（2）当射线OC在∠AOB的外部时，请你画出图形，并求∠BOC的度数
【答案】见解析．
【解析】解：
（1）②设∠BOC=x，则∠BOD=3x，∠COD=2x，
∵∠AOD=∠AOC，
∴∠AOD=∠COD=x
∴∠AOB=∠BOD-∠AOD=3x-x=x
即x=80.5，解得：x=34.5
即∠BOC=34.5°
（2）当射线OC在∠AOB的外部时，设∠BOC=x，
①若射线OD在∠AOB的内部，

则∠BOD=3x，∠COD=4x，
可得：∠AOB=∠BOD+∠AOD=7x=80.5，
解得x=11.5
即∠BOC=11.5°.
②若射线OD在∠AOB外部，

同理，∠AOB=x=80.5
解得x=48.3
即∠BOC=48.3°．
14．（2020·河南南阳市期末）如图，已知点O在直线AB上，．在中，∠ODE=90°，∠DOE=30°，先将一边OE与OC重合（如图1），然后将绕点O按顺时针方向旋转（如图2），当OE与OB重合时停止旋转．

图1 图2 图3
（1）当时，则旋转角的大小为________；
（2）当在OC与OB之间时，求的值；
（3）在△ODE旋转过程中，若时，请直接写出旋转角的度数．
【答案】（1）20°；（2）（3）见解析.
【解析】解：（1）由图1可知，∠AOD=60°，
如图2，当∠AOD=80°时，有：
∠COE=80°－60°=20°，
故答案为：20°.
（2）如图：由（1）知，∠AOD’=60°，
由旋转的性质，可知∠D’OD=∠E’OE，

∴∠AOD-∠COE=∠AOD’+∠D’OD－∠E’OE=∠AOD’=60°.
（3）设∠COE=x°，
①当OD在OA与OC之间时，

∴∠AOE=90°+x，∠COD=30°－x，
∵∠AOE=4∠COD，
即90+x=4（30-x），
解得：x=6；
②当OD在OC与OB之间，

∴∠AOE=90°+x，∠COD=x-30°，
∵∠AOE=4∠COD，
∴90+x=4（x-30），
解得：x=70；
综上所述，旋转角∠COE的大小为：6°或70°．