2020年陕西省西安市高新一中中考数学一模试卷【含答案】

这是一份2020年陕西省西安市高新一中中考数学一模试卷【含答案】，共29页。

A．B．C．3D．﹣3
2．（3分）如图，AB∥CD，AE平分∠CAB交CD于点E，若∠C＝50°，则∠AED＝（ ）
A．65°B．115°C．125°D．130°
3．（3分）下列运算正确的是（ ）
A．2a+3a＝5a2B．（a+2b）2＝a2+4b2
C．a2•a3＝a6D．（﹣ab2）3＝﹣a3b6
4．（3分）发展工业是强国之梦的重要举措，如图所示零件的左视图是（ ）
A．B．C．D．
5．（3分）一次函数y＝kx+b的图象与正比例函数y＝﹣6x的图象平行且经过点A（1，﹣3），则这个一次函数的图象一定经过（ ）
A．第一、二、三象限B．第一、三、四象限
C．第一、二、四象限D．第二、三、四象限
6．（3分）如图，在Rt△ABC中，∠C＝90°，∠B＝30°，AD是∠BAC的角平分线，AC＝6，则点D到AB的距离为（ ）
A．B．C．2D．3
7．（3分）如图，在矩形ABCD中，AB＝3，AD＝4，点E在边BC上，若AE平分∠BED，则BE的长为（ ）
A．B．C．D．4﹣
8．（3分）如图，点E是平行四边形ABCD中BC的延长线上的一点，连接AE交CD于F，交BD于M，则图中共有相似三角形（不含全等的三角形）（ ）对．
A．4B．5C．6D．7
9．（3分）已知，如图，点C、D在⊙O上，直径AB＝6cm，弦AC、BD相交于点E．若CE＝BC，则阴影部分面积为（ ）
A．π﹣B．π﹣C．π﹣D．π﹣
10．（3分）已知抛物线y＝ax2+bx﹣2与x轴没有交点，过A（﹣2、y1）、B（﹣3，y2）、C（1，y2）、D（，y3）四点，则y1、y2、y3的大小关系是（ ）
A．y1＞y2＞y3B．y2＞y1＞y3C．y1＞y3＞y2D．y3＞y2＞y1
二．填空题（共4小题）
11．（3分）在实数﹣3，0，π，﹣，中，最大的一个数是 ．
12．（3分）菱形ABCD的边AB＝6，∠ABC＝60°，则菱形ABCD的面积为 ．
13．（3分）如图，矩形ABCD的边AB与y轴平行，顶点A的坐标为（1，m），C（3，m+6），那么图象同时经过点B与点D的反比例函数表达式为 ．
14．（3分）如图，已知在四边形ABCD中，AB＝AD，∠BAD＝60°，∠BCD＝30°，AC＝，则四边形ABCD面积的最小值是 ．
三．解答题（共11小题）
15．（5分）计算：﹣×（﹣）﹣3+|2﹣3|﹣（﹣）0
16．（5分）化简求值：÷（﹣1）+1，其中x选取﹣2，0，1，4中的一个合适的数．
17．（5分）尺规作图：已知点D为△ABC的边AB的中点，用尺规在△ABC的边上找一点E，使S△ADE：S△ABC＝1：4．（保留作图痕迹，不写作法）
18．（5分）如图，在矩形ABCD中，E是BC边上的点，AE＝BC，DF⊥AE，垂足为F，连接DE．证明：AB＝DF．
19．（7分）某学校为了了解本校1800名学生的课外阅读的情况，现从各年级随机抽取了部分学生对他们一周的课外阅读时间进行了调查，并绘制出如下的统计图①和图②，根据相关信息，解答下列问题：
（1）本次接受随机抽样调查的学生人数为 图①中m的值为 ；
（2）本次调查获取的样本数据的众数是 小时，中位数是 小时；
（3）根据样本数据，估计该校一周的课外阅读时间大于6h的学生人数．
20．（7分）如图，某办公楼AB的后面有一建筑物CD，当光线与地面的夹角是22°时，办公楼在建筑物的墙上留下高2米的影子CE，而当光线与地面夹角是45°时，办公楼顶A在地面上的影子F与墙角C有25米的距离（B，F，C在一条直线上）．
（1）求办公楼AB的高度；
（2）若要在A，E之间挂一些彩旗，请你求出A，E之间的距离．
（参考数据：sin22°≈，cs22°，tan22）
21．（7分）某市为了鼓励居民节约用水，采用分段计费的方法按月计算每户家庭的水费，月用水量不超过20立方米时，按2元/立方米计费；月用水量超过20立方米时，其中的20立方米仍按2元/立方米收费，超过部分按2.6元/立方米计费．设每户家庭用水量为x立方米时，应交水费y元．
（1）写出y与x之间的函数表达式；
（2）小明家第二季度交纳水费的情况如下：
小明家这个季度共用水多少立方米？
22．（7分）如图，可以自由转动的转盘被它的两条直径分成了四个分别标有数字的扇形区域，其中标有数字“1”的扇形的圆心角为120°．转动转盘，待转盘自动停止后，指针指向一个扇形的内部，则该扇形内的数字即为转出的数字，此时，称为转动转盘一次（若指针指向两个扇形的交线，则不计转动的次数，重新转动转盘，直到指针指向一个扇形的内部为止）．
（1）转动转盘一次，求转出的数字是1的概率；
（2）转动转盘两次，用树状图或列表法求这两次分别转出的数字之和为正数的概率．
23．（8分）如图，在Rt△ABC中，∠ACB＝90°，点D是AB的中点，以CD为直径作⊙O，⊙O分别与AC，BC交于点E，F，过点F作⊙O的切线FG，交AB于点G．
（1）求证：FG⊥AB；
（2）若AC＝6，BC＝8，求FG的长．
24．（10分）如图，抛物线y＝x2+bx+c经过A（﹣1，0）、B（4，0）两点，与y轴交于点C，D为y轴上一点，点D关于直线BC的对称点为D′．
（1）求抛物线的解析式；
（2）当点D在x轴上方，且△OBD的面积等于△OBC的面积时，求点D的坐标；
（3）当点D'刚好落在第四象限的抛物线上时，求出点D的坐标；
（4）点P在抛物线上（不与点B、C重合），连接PD、PD′、DD′，是否存在点P，使△PDD′是以D为直角顶点的等腰直角三角形？若存在，请直接写出点P的坐标；若不存在，请说明理由．
25．（12分）问题背景
（1）如图（1）△ABC内接于⊙O，过A作⊙O的切线l，在l上任取一个不同于点A的点P，连接PB、PC，比较∠BPC与∠BAC的大小，并说明理由．
问题解决
（2）如图（2），A（0，2），B（0，4），在x轴正半轴上是否存在一点P，使得cs∠APB最小？若存在，求出P点坐标，若不存在，请说明理由．
拓展应用
（3）如图（3），在四边形ABCD中，AB∥CD，AD⊥CD于D，E是AB上一点，AE＝AD，P是DE右侧四边形ABCD内一点，若AB＝8，CD＝11，tan∠C＝2，S△DEP＝9，求sin∠APB的最大值．
2020年陕西省西安市高新一中中考数学一模试卷
参考答案与试题解析
一．选择题（共10小题）
1．（3分）﹣3的相反数是（ ）
A．B．C．3D．﹣3
【分析】根据相反数的定义：只有符号不同的两个数称互为相反数计算即可．
【解答】解：（﹣3）+3＝0．
故选：C．
【点评】本题主要考查了相反数的定义，根据相反数的定义做出判断，属于基础题，比较简单．
2．（3分）如图，AB∥CD，AE平分∠CAB交CD于点E，若∠C＝50°，则∠AED＝（ ）
A．65°B．115°C．125°D．130°
【分析】根据平行线性质求出∠CAB的度数，根据角平分线求出∠EAB的度数，根据平行线性质求出∠AED的度数即可．
【解答】解：∵AB∥CD，
∴∠C+∠CAB＝180°，
∵∠C＝50°，
∴∠CAB＝180°﹣50°＝130°，
∵AE平分∠CAB，
∴∠EAB＝65°，
∵AB∥CD，
∴∠EAB+∠AED＝180°，
∴∠AED＝180°﹣65°＝115°，
故选：B．
【点评】本题考查了角平分线定义和平行线性质的应用，注意：平行线的性质有：①两条平行线被第三条直线所截，同位角相等，②两条平行线被第三条直线所截，内错角相等，③两条平行线被第三条直线所截，同旁内角互补．
3．（3分）下列运算正确的是（ ）
A．2a+3a＝5a2B．（a+2b）2＝a2+4b2
C．a2•a3＝a6D．（﹣ab2）3＝﹣a3b6
【分析】直接利用合并同类项法则以及完全平方公式、积的乘方运算法则、同底数幂的乘除运算法则分别化简得出答案．
【解答】解：A、2a+3a＝5a，故此选项错误；
B、（a+2b）2＝a2+4ab+4b2，故此选项错误；
C、a2•a3＝a5，故此选项错误；
D、（﹣ab2）3＝﹣a3b6，正确．
故选：D．
【点评】此题主要考查了合并同类项以及完全平方公式、积的乘方运算、同底数幂的乘除运算，正确掌握相关运算法则是解题关键．
4．（3分）发展工业是强国之梦的重要举措，如图所示零件的左视图是（ ）
A．B．C．D．
【分析】根据从左边看得到的图形是左视图，可得答案．
【解答】解：如图所示零件的左视图是．
故选：D．
【点评】本题考查了简单组合体的三视图，从左边看得到的图形是左视图，注意看到的线画实线．
5．（3分）一次函数y＝kx+b的图象与正比例函数y＝﹣6x的图象平行且经过点A（1，﹣3），则这个一次函数的图象一定经过（ ）
A．第一、二、三象限B．第一、三、四象限
C．第一、二、四象限D．第二、三、四象限
【分析】根据两条直线相交或平行问题由一次函数y＝kx+b的图象与正比例函数y＝2x的图象平行得到k＝2，然后把点A（1，﹣3）代入一次函数解析式可求出b的值，根据k、b的值即可判断一次函数的图象经过的象限．
【解答】解：∵一次函数y＝kx+b的图象与正比例函数y＝﹣6x的图象平行，
∴k＝﹣6，
∴y＝﹣6x+b，
把点A（1，﹣3）代入y＝﹣6x+b得﹣6+b＝﹣3，解得b＝3，
∵k＝﹣6＜0，b＝3＞0，
∴一次函数的图象一定经过第一、二、四象限，
故选：C．
【点评】本题考查了两条直线相交或平行问题：若直线y＝k1x+b1与直线y＝k2x+b2平行，则k1＝k2；若直线y＝k1x+b1与直线y＝k2x+b2相交，则由两解析式所组成的方程组的解为交点坐标．
6．（3分）如图，在Rt△ABC中，∠C＝90°，∠B＝30°，AD是∠BAC的角平分线，AC＝6，则点D到AB的距离为（ ）
A．B．C．2D．3
【分析】作DE⊥AB于E，根据角平分线的定义得到∠CAD＝30°，根据直角三角形的性质得到CD＝5，根据角平分线的性质得到答案．
【解答】解：作DE⊥AB于E，
∵∠C＝90°，∠B＝30°，
∴∠CAB＝60°，
又AD是∠BAC的平分线，
∴∠CAD＝30°，
∵AC＝6，
∴CD＝AC，
又AC＝6，
∴CD＝2，
∵AD是∠BAC的平分线，∠C＝90°，DE⊥AB，
∴DE＝CD＝2，
故选：C．
【点评】本题考查的是角平分线的性质和直角三角形的性质，掌握角的平分线上的点到角的两边的距离相等是解题的关键．
7．（3分）如图，在矩形ABCD中，AB＝3，AD＝4，点E在边BC上，若AE平分∠BED，则BE的长为（ ）
A．B．C．D．4﹣
【分析】由已知条件和矩形的性质易证△ADE是等腰三角形，所以AD＝DE＝4，在直角三角形DEC中利用勾股定理可求出CE的长，进而可求出BE的长．
【解答】解：∵四边形ABCD是矩形，
∴AB∥CD，∠C＝90°，AB＝CD＝3，AD＝BC＝4，
∴∠AEB＝∠DAE，
∵AE平分∠BED，
∴∠AEB＝∠AED，
∴∠DAE＝∠AED，
∴AD＝DE＝4，
在Rt△DCE中，CD═3，
∴CE＝＝
∴BE＝BC﹣CE＝4﹣，
故选：D．
【点评】本题考查了矩形的性质、等腰三角形的判断和性质以及勾股定理的运用，证明AD＝DE是解题的关键．
8．（3分）如图，点E是平行四边形ABCD中BC的延长线上的一点，连接AE交CD于F，交BD于M，则图中共有相似三角形（不含全等的三角形）（ ）对．
A．4B．5C．6D．7
【分析】根据平行四边形的对边平行，再根据平行于三角形一边的直线和其他两边（或两边的延长线）相交，所构成的三角形与原三角形相似找出相似三角形即可得解．
【解答】：在▱ABCD中，
∵AB∥CD，
∴△ABM∽△FDM，△ABE∽△FCE，
∵AD∥BC，
∴△ADM∽△EBM，△FDA∽△FCE，
∴△ABE∽△FDA，
∴图中相似三角形有5对．
故选：B．
【点评】本题考查了相似三角形的判定，主要利用了平行于三角形一边的直线和其他两边（或两边的延长线）相交，所构成的三角形与原三角形相似，要注意△ABG与△FDA都与△FCG相似，所以也相似，这也是本题容易出错的地方．
9．（3分）已知，如图，点C、D在⊙O上，直径AB＝6cm，弦AC、BD相交于点E．若CE＝BC，则阴影部分面积为（ ）
A．π﹣B．π﹣C．π﹣D．π﹣
【分析】连接OD、OC，根据CE＝BC，得出∠DBC＝∠CEB，进而得出∠DBC＝∠A+∠ABD，从而求得+＝，得出∠DOC＝90°，根据S阴影＝S扇形﹣S△ODC即可求得．
【解答】解：连接OD、OC，
∵AB是直径，
∴∠ACB＝90°，
∵CE＝BC，
∴∠DBC＝∠CEB＝45°，
∴的度数为90°，
∴∠DOC＝90°，
∴S阴影＝S扇形﹣S△ODC＝﹣×3×3＝﹣．
故选：B．
【点评】本题考查了等腰三角形的性质，圆周角和弧之间的关系，扇形的面积等，有一定的难点，求得∠DOC＝90°是本题的关键．
10．（3分）已知抛物线y＝ax2+bx﹣2与x轴没有交点，过A（﹣2、y1）、B（﹣3，y2）、C（1，y2）、D（，y3）四点，则y1、y2、y3的大小关系是（ ）
A．y1＞y2＞y3B．y2＞y1＞y3C．y1＞y3＞y2D．y3＞y2＞y1
【分析】由题意可知抛物线开口向下，对称轴为x＝＝﹣1，然后根据点A（﹣2、y1）、B（﹣3，y2）、C（1，y2）、D（，y3）离对称轴的远近可判断y1、y2、y3大小关系．
【解答】解：令x＝0，则y＝﹣2，即该抛物线与y轴的交点坐标是（0，﹣2），
∵抛物线y＝ax2+bx﹣2与y轴交于负半轴，且与x轴没有交点，
∴抛物线开口向下，对称轴为x＝＝﹣1．
∵|﹣1﹣（﹣2）|＜|1+1|＜|+1|
∴y1＞y2＞y3，
故选：A．
【点评】本题考查了抛物线与x轴的交点：把求二次函数y＝ax2+bx+c（a，b，c是常数，a≠0）与x轴的交点坐标问题转化为解关于x的一元二次方程．也考查了二次函数的性质．
二．填空题（共4小题）
11．（3分）在实数﹣3，0，π，﹣，中，最大的一个数是 π ．
【分析】正实数都大于0，负实数都小于0，正实数大于一切负实数，两个负实数绝对值大的反而小，据此判断即可．
【解答】解：∵π＞＞0＞﹣＞﹣3，
∴在实数﹣3，0，π，﹣，中，最大的一个数是π．
故答案为：π．
【点评】此题主要考查了实数大小比较的方法，要熟练掌握，解答此题的关键是要明确：正实数＞0＞负实数，两个负实数绝对值大的反而小．
12．（3分）菱形ABCD的边AB＝6，∠ABC＝60°，则菱形ABCD的面积为 18 ．
【分析】根据菱形的性质以及锐角三角函数关系得出AE的长，即可得出菱形的面积．
【解答】解：如图所示：过点A作AE⊥DC于点E，
∵在菱形ABCD中，AB＝6，∠ABC＝60°，
∴∠D＝60°，AB＝AD＝DC＝4cm，
∴AE＝AD•sin60°＝3，
∴菱形ABCD的面积S＝AE×DC＝6×3＝18，
故答案为：18．
【点评】此题主要考查了菱形的面积以及其性质，得出AE的长是解题关键．
13．（3分）如图，矩形ABCD的边AB与y轴平行，顶点A的坐标为（1，m），C（3，m+6），那么图象同时经过点B与点D的反比例函数表达式为 y＝ ．
【分析】根据矩形的性质得出B点坐标，再利用待定系数法求出反比例函数解析式．
【解答】解：∵矩形ABCD的边AB与y轴平行，A（1，m），C（3，m+6），
∴B（1，m+6）、D（3，m），
∵B、D在反比例函数图象上，
∴1×（m+6）＝3m，
解得：m＝3，
∴B（1，9），
故反比例函数表达式为：y＝．
故答案为：y＝．
【点评】此题主要考查了待定系数法求反比例函数解析式，正确得出B点坐标是解题关键．
14．（3分）如图，已知在四边形ABCD中，AB＝AD，∠BAD＝60°，∠BCD＝30°，AC＝，则四边形ABCD面积的最小值是 8﹣8 ．
【分析】将△ADC绕点A顺时针旋转60°到△ABP，AD旋转至AB处，易得△APC为等边三角形，可得AP＝CP＝AC＝2，易得S四边形ABCD＝S△ABC+S△ACD＝S△ABC+S△ABP＝S△APC﹣S△BPC，由已知条件可得∠PBC＝360°﹣∠ABP﹣∠ABC，所以点B在以PC为直径的圆弧MN上（不含点M，N）．连接圆心O与点B，当OB⊥PC时，点B到PC的距离最大，分析知当S△CPB的最大值，四边形ABCD面积的最小，即可得出结论．
【解答】解：如图，将△ADC绕点A顺时针旋转60°到△ABP，AD旋转至AB处，
∵AC＝AP，∠CAP＝60°，
∴△APC为等边三角形
∴AP＝CP＝AC＝4，
∴S四边形ABCD＝S△ABC+S△ACD＝S△ABC+S△ABP＝S△APC﹣S△BPC，
∵∠BCD＝30°，
∴∠PBC＝360°﹣∠ABP﹣∠ABC，
＝360°﹣∠ADC﹣∠ABC，
＝∠BAD+∠BCD，
＝60°+30°，
＝90°，
∴点B在以PC为直径的圆弧MN上（不含点M，N）．
连接圆心O与点B，当OB⊥PC时，点B到PC的距离最大，
∴S△CPB的最大值为×4×2＝8，
∵S△APC＝×4×4sin60°＝8，
∴S四边形ABCD的最小值＝S△APC﹣S△CBP的最大值＝8﹣8．
故答案为：
【点评】本题主要考查了等边三角形的判定和性质、旋转的性质以及多边形面积的求法，作出辅助线，利用旋转的性质是解答此题的关键．
三．解答题（共11小题）
15．（5分）计算：﹣×（﹣）﹣3+|2﹣3|﹣（﹣）0
【分析】首先利用二次根式的性质、绝对值的性质、零次幂的性质、负整数指数幂的性质进行计算，再算加减即可．
【解答】解：原式＝3﹣×（﹣8）+3﹣2﹣1，
＝3+1+3﹣2﹣1，
＝+3．
【点评】本题主要考查了实数的综合运算能力，是各地中考题中常见的计算题型．解决此类题目的关键是熟练掌握负整数指数幂、零指数幂、二次根式、绝对值等考点的运算．
16．（5分）化简求值：÷（﹣1）+1，其中x选取﹣2，0，1，4中的一个合适的数．
【分析】可先把分式化简，再把x的值代入计算求值．
【解答】解：原式＝÷（﹣）+1
＝•+1
＝+
＝
当x＝1时，原式＝4．
【点评】此题考查了分式的化简求值，难度不大，主要考查了因式分解和分式的混合计算；注意代入求值时保证所有分母不能为0．
17．（5分）尺规作图：已知点D为△ABC的边AB的中点，用尺规在△ABC的边上找一点E，使S△ADE：S△ABC＝1：4．（保留作图痕迹，不写作法）
【分析】根据相似三角形面积的比等于相似比的平方即可在在△ABC的边上找一点E，使S△ADE：S△ABC＝1：4．
【解答】解：如图，作∠ADE＝∠B，交AC于点E．
点E即为所求．
【点评】本题考查了作图﹣复杂作图、三角形的面积，解决本题的关键是掌握相似三角形面积的比等于相似比的平方．
18．（5分）如图，在矩形ABCD中，E是BC边上的点，AE＝BC，DF⊥AE，垂足为F，连接DE．证明：AB＝DF．
【分析】根据矩形性质推出BC＝AD＝AE，AD∥BC，根据平行线性质推出∠DAE＝∠AEB，根据AAS证出△ABE≌△DFA即可．
【解答】证明：在矩形ABCD中
∵BC＝AD，AD∥BC，∠B＝90°，
∴∠DAF＝∠AEB，
∵DF⊥AE，AE＝BC＝AD，
∴∠AFD＝∠B＝90°，
在△ABE和△DFA中
，
∴△ABE≌△DFA（AAS），
∴AB＝DF．
【点评】本题考查了平行线的性质，矩形的性质，全等三角形的判定和性质等知识点的理解和运用，关键是求出∠DAF＝AEB和AE＝AD，进一步推出△ABE≌△DFA．
19．（7分）某学校为了了解本校1800名学生的课外阅读的情况，现从各年级随机抽取了部分学生对他们一周的课外阅读时间进行了调查，并绘制出如下的统计图①和图②，根据相关信息，解答下列问题：
（1）本次接受随机抽样调查的学生人数为 40 图①中m的值为 25 ；
（2）本次调查获取的样本数据的众数是 5 小时，中位数是 6 小时；
（3）根据样本数据，估计该校一周的课外阅读时间大于6h的学生人数．
【分析】（1）利用课外阅读时间为5小时的人数除以所占百分比可得本次接受随机抽样调查的学生人数，然后再求m的值即可；
（2）根据众数和中位数定义可得答案；
（3）利用样本估计总体的方法可得答案．
【解答】解：（1）接受随机抽样调查的学生人数：12÷30%＝40（人），
m%＝10÷40×100%＝25%，
则m＝25，
故答案为：40；25；
（2）本次调查获取的样本数据的众数是5小时，中位数是6小时，
故答案为：5；6；
（3）1800×＝540（人），
答：该校一周的课外阅读时间大于6h的学生人数为540人．
【点评】本题考查的是条形统计图和扇形统计图的综合运用，读懂统计图，从不同的统计图中得到必要的信息是解决问题的关键．条形统计图能清楚地表示出每个项目的数据；扇形统计图直接反映部分占总体的百分比大小．
20．（7分）如图，某办公楼AB的后面有一建筑物CD，当光线与地面的夹角是22°时，办公楼在建筑物的墙上留下高2米的影子CE，而当光线与地面夹角是45°时，办公楼顶A在地面上的影子F与墙角C有25米的距离（B，F，C在一条直线上）．
（1）求办公楼AB的高度；
（2）若要在A，E之间挂一些彩旗，请你求出A，E之间的距离．
（参考数据：sin22°≈，cs22°，tan22）
【分析】（1）首先构造直角三角形△AEM，利用tan22°＝，求出即可；
（2）利用Rt△AME中，cs22°＝，求出AE即可
【解答】解：（1）如图，
过点E作EM⊥AB，垂足为M．
设AB为x．
Rt△ABF中，∠AFB＝45°，
∴BF＝AB＝x，
∴BC＝BF+FC＝x+25，
在Rt△AEM中，∠AEM＝22°，AM＝AB﹣BM＝AB﹣CE＝x﹣2，
tan22°＝，
则＝，
解得：x＝20．
即教学楼的高20m．
（2）由（1）可得ME＝BC＝x+25＝20+25＝45．
在Rt△AME中，cs22°＝．
∴AE＝≈＝48m，
即A、E之间的距离约为48m
【点评】此题主要考查了解直角三角形的应用，根据已知得出tan22°＝是解题关键
21．（7分）某市为了鼓励居民节约用水，采用分段计费的方法按月计算每户家庭的水费，月用水量不超过20立方米时，按2元/立方米计费；月用水量超过20立方米时，其中的20立方米仍按2元/立方米收费，超过部分按2.6元/立方米计费．设每户家庭用水量为x立方米时，应交水费y元．
（1）写出y与x之间的函数表达式；
（2）小明家第二季度交纳水费的情况如下：
小明家这个季度共用水多少立方米？
【分析】（1）根据题意，可以写出y与x之间的函数表达式；
（2）根据（1）中的结果和表格中的数据，可以求得四月、五月和六月的用水量，从而可以解答本题．
【解答】解：（1）由题意可得，
当0≤x≤20时，y＝2x，
当x＞20时，y＝20×2+（x﹣20）×2.6＝2.6x﹣12，
由上可得，y＝；
（2）∵x＝20时，y＝40，
∴令30＝2x，得x＝15，
令34＝2x，得x＝17，
令47.8＝2.6x﹣12，得x＝23，
即四月份用水15立方米，五月份用水17立方米，六月份用水23立方米，
15+17+23＝55（立方米），
答：小明家这个季度共用水55立方米．
【点评】本题考查一次函数的应用，解答本题的关键是明确题意，写出相应的函数关系式，利用一次函数的性质解答．
22．（7分）如图，可以自由转动的转盘被它的两条直径分成了四个分别标有数字的扇形区域，其中标有数字“1”的扇形的圆心角为120°．转动转盘，待转盘自动停止后，指针指向一个扇形的内部，则该扇形内的数字即为转出的数字，此时，称为转动转盘一次（若指针指向两个扇形的交线，则不计转动的次数，重新转动转盘，直到指针指向一个扇形的内部为止）．
（1）转动转盘一次，求转出的数字是1的概率；
（2）转动转盘两次，用树状图或列表法求这两次分别转出的数字之和为正数的概率．
【分析】（1）根据概率公式直接求解即可；
（2）根据题意列出图表得出所有等情况数，找出两次分别转出的数字之和为正数的情况数，然后根据概率公式即可得出答案．
【解答】解：（1）∵标有数字“1”的扇形的圆心角为120°，
∴转出的数字是1的概率是＝；
（2）根据题意列表如下：
由表可知共有36种等可能结果，其中两次分别转出的数字之和为正数的有24种，
则两次分别转出的数字之和为正数的概率是＝．
【点评】本题考查的是用列表法或画树状图法求概率．注意列表法或画树状图法可以不重复不遗漏的列出所有可能的结果，列表法适合于两步完成的事件，树状图法适合两步或两步以上完成的事件．用到的知识点为：概率＝所求情况数与总情况数之比．
23．（8分）如图，在Rt△ABC中，∠ACB＝90°，点D是AB的中点，以CD为直径作⊙O，⊙O分别与AC，BC交于点E，F，过点F作⊙O的切线FG，交AB于点G．
（1）求证：FG⊥AB；
（2）若AC＝6，BC＝8，求FG的长．
【分析】（1）连接OF，利用已知条件证明∠BFG+∠B＝90°，即可得到FG⊥AB；
（2）连接DF，先利用勾股定理求出AB＝10，进而求出CD＝BD＝5，再求出CF＝4，进而求出DF＝3，利用面积法即可得出结论．
【解答】解：（1）证明：连接OF，
∵OC＝OD，CF＝BF，
∴OF是△CDB的中位线，
∴OF∥BD，
∴∠OFC＝∠B，
∵FG是⊙O的切线，
∴∠OFG＝90°，
∴∠OFC+∠BFG＝90°，
∴∠BFG+∠B＝90°，
∴∠FGB＝90°，
∴FG⊥AB；
（2）解：连接DF，
在Rt△ABC中，根据勾股定理得，AB＝10，
∴点D是AB中点，
∴CD＝BD＝AB＝5，
∵CD是⊙O的直径，
∴∠CFD＝90°，
∴BF＝CF＝BC＝4，
∴DF＝＝3，
∴S△BDF＝DF×BF＝BD×FG，
∴FG＝＝．
【点评】此题主要考查了直角三角形的性质，勾股定理，切线的性质，三角形的中位线定理，三角形的面积公式，判断出FG⊥AB是解本题的关键．
24．（10分）如图，抛物线y＝x2+bx+c经过A（﹣1，0）、B（4，0）两点，与y轴交于点C，D为y轴上一点，点D关于直线BC的对称点为D′．
（1）求抛物线的解析式；
（2）当点D在x轴上方，且△OBD的面积等于△OBC的面积时，求点D的坐标；
（3）当点D'刚好落在第四象限的抛物线上时，求出点D的坐标；
（4）点P在抛物线上（不与点B、C重合），连接PD、PD′、DD′，是否存在点P，使△PDD′是以D为直角顶点的等腰直角三角形？若存在，请直接写出点P的坐标；若不存在，请说明理由．
【分析】（1）由待定系数法可求解析式；
（2）由三角形面积关系可求点D坐标；
（3）由对称性可求∠DCD'＝90°，可得CD'∥OB，可得点D'的纵坐标为﹣4，代入解析式可求点D'坐标，可得CD'＝CD＝3，可求点D坐标；
（4）分两种情况讨论，由等腰三角形的性质和全等三角形的性质可求点坐标．
【解答】解：（1）∵抛物线y＝x2+bx+c经过A（﹣1，0）、B（4，0）
∴
解得，
∴抛物线解析式为：y＝x2﹣3x﹣4；
（2）∵抛物线y＝x2﹣3x﹣4与y轴交于点C，
∴点C（0，﹣4），
∴OC＝4，
设点D（0，y）（y＞0）
∵△OBD的面积等于△OBC的面积，
∴×OB×y＝OB×4，
∴y＝4，
∴点D（0，4）
（3）∵OB＝OC＝4，
∴∠OCB＝45°，
∵点D关于直线BC的对称点为D′．
∴∠DCB＝∠D'CB＝45°，CD＝CD'，
∴∠DCD'＝90°，
∴CD'∥OB，
∴点D'的纵坐标为﹣4，
∴﹣4＝x2﹣3x﹣4，
∴x1＝0（舍去），x2＝3，
∴CD＝CD'＝3，
∴点D（0，﹣1）
（4）若点D在点C上方，如图1，过点P作PH⊥y轴，
∵∠DCD'＝90°，CD＝CD'，
∴∠CDD'＝45°，
∵∠D'DP＝90°
∴∠HDP＝45°，且PH⊥y轴，
∴∠HDP＝∠HPD＝45°，
∴HP＝HD，
∵∠CDD'＝∠HDP，∠PHD＝∠DCD'＝90°，DP＝DD'，
∴△DPH≌△DD'C（AAS）
∴CD＝CD'＝HD＝HP，
设CD＝CD'＝HD＝HP＝a，
∴点P（a，﹣4+2a）
∴a2﹣3a﹣4＝﹣4+2a，
∴a＝5，a＝0（不合题意舍去），
∴点P（5，6）
若点D在点C下方，如图2，
∵DD'＝DP，∠DCD'＝90°，
∴CD＝CP，∠DCP＝∠COB，
∴CP∥AB，
∴点P纵坐标为﹣4，
∴﹣4＝x2﹣3x﹣4，
∴x1＝0（舍去），x2＝3，
∴点P（3，﹣4）
综上所述：点P（5，6）或（3，﹣4）．
【点评】本题是二次函数的综合题型，其中涉及到利用待定系数法求二次函数，三角形的面积求法，全等三角形的判定和性质，等腰直角三角形的性质等知识，综合性较强，有一定难度．在求有关动点问题时要注意分析题意分情况讨论结果．
25．（12分）问题背景
（1）如图（1）△ABC内接于⊙O，过A作⊙O的切线l，在l上任取一个不同于点A的点P，连接PB、PC，比较∠BPC与∠BAC的大小，并说明理由．
问题解决
（2）如图（2），A（0，2），B（0，4），在x轴正半轴上是否存在一点P，使得cs∠APB最小？若存在，求出P点坐标，若不存在，请说明理由．
拓展应用
（3）如图（3），在四边形ABCD中，AB∥CD，AD⊥CD于D，E是AB上一点，AE＝AD，P是DE右侧四边形ABCD内一点，若AB＝8，CD＝11，tan∠C＝2，S△DEP＝9，求sin∠APB的最大值．
【分析】（1）问题背景：设直线BP交⊙O于点A′，连接CA′，由外角的知识即可求解；
（2）问题解决：过点B、A作⊙C与x轴相切于点P，连接AC、PC、BC，x轴的坐标轴上的点除了点P外都在圆外，即可求解；
（3）拓展应用：求出S△ADE＝×AD×AE＝18，而S△P′ED＝S△DEN＝9＝S△DEP，从面积看，点P′符合点P的条件，即点P可以和点P′重合；由FG＝EQ+QG＝＜BF，则⊙F与直线l有两个交点，则点P′符合题设中点P的条件，即可求解．
【解答】解：（1）问题背景：
如图1，设直线BP交⊙O于点A′，连接CA′，
则∠CA′B＞∠P，
而∠CA′B＝∠CAB，
∴∠BPC＜∠BAC；
（2）问题解决：
如图2，过点B、A作⊙C与x轴相切于点P，连接AC、PC、BC，
∵x轴的坐标轴上的点除了点P外都在圆外，
∴∠APB最大，即cs∠APB最小，
由点B、A的坐标，根据中点公式得，点C的纵坐标为（2+4）＝3，
设点P（x，0），则点C（x，3），
∵点P、B都是圆上的点，
∴CB＝CP，
∴x2+（4﹣1）2＝32，解得：x＝±2（舍去负值），
故点P的坐标为：（2，0）；
（3）拓展应用：
过点B作BH⊥CD于点H，过点A作AM⊥DE于点M，延长AM到点N使MN＝AM，
过点N作DE的平行线l，过点F作FG⊥l于点G，FG交DE于点Q，以AB为直径作⊙F交直线l于点P′，
在梯形ABCD中，AB＝8，CD＝11，则CH＝11﹣8＝3，
∵tanC＝＝＝2，解得：BH＝6＝AD＝AE，
在等腰直角三角形ADE中，S△ADE＝×AD×AE＝18，
∵MN＝AM，
∴S△DEN＝S△ADE＝9，
∵直线l∥DE，
∴S△P′ED＝S△DEN＝9＝S△DEP，
∴从面积看，点P′符合点P的条件，即点P可以和点P′重合，
∵FG⊥l，而直线l∥DE，
∴GF⊥DE，
而∠AEB＝45°，
故△EFQ为等腰直角三角形，
∵BE＝AB﹣AE＝8﹣6＝2，
∴EF＝BF﹣BE＝4﹣2﹣2，则FQ＝EF＝，
∴FG＝EQ+QG＝MN+QG＝AM+＝3+＝＜BF，
∴⊙F与直线l有两个交点，则点P′符合题设中点P的条件，
∵AB是直径，
∴∠APB＝90°，
故sin∠APB的最大值为1．
【点评】此题属于圆的综合题，涉及了梯形和等腰直角三角形的性质、三角函数值的知识，综合性较强，解答本题需要我们熟练各部分的内容，对学生的综合能力要求较高，一定要注意将所学知识贯穿起来．
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日期：2020/6/19 16:01:44；用户：西安万向思维数学；邮箱：xianwanxiang005@xyh.cm；学号：24602080
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