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2020年陕西省西安市莲湖区中考数学八模试卷 解析版
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这是一份2020年陕西省西安市莲湖区中考数学八模试卷 解析版，共26页。试卷主要包含了选择题，填空题，解答题等内容，欢迎下载使用。
2020年陕西省西安市莲湖区中考数学八模试卷
一、选择题（共9小题，每小题3分，共30分．在每个小题给出的四个选项中，只有一项符合题目要求，请选出并在答题卡上将该项涂黑）
1．﹣的倒数是（ ）
A．﹣ B． C．﹣2 D．2
2．如图是几何体的三视图，该几何体是（ ）
A．圆锥 B．六棱锥 C．圆柱 D．六棱柱
3．在平面直角坐标系中，若正比例函数y＝kx的图象上一点（除原点外）到y轴的距离与到x轴的距离之比为4：1，且y随着x的增大而增大，则k的值为（ ）
A． B．﹣ C．4 D．﹣4
4．下列计算正确的是（ ）
A．a+2a＝2a2 B．（﹣a3）2＝﹣a5
C．12a3÷4a＝3a2 D．（a﹣1）2＝a2﹣1
5．如图，在等边△ABC中，点D和点B关于直线AC对称，过点D作DE⊥BC，交BC的延长线于点E，若CE＝5，则BE的长为（ ）
A．5 B．10 C．5 D．15
6．如图，直线y＝kx+b（k＜0）经过点A（3，2），当kx+b＞时，x的取值范围是（ ）
A．x＜2 B．x＞2 C．x＜3 D．x＞3
7．如图，在平面直角坐标系中，四边形OABC为矩形，点A在x轴上，点C在y轴上，点B的坐标为（8，6），若将△OAB沿OB翻折，点A的对应点为点E，OE交BC于点D，则点D的坐标为（ ）
A．（，6） B．（，6） C．（，6） D．（，6）
8．如图，在△ABC中，O是BC边上的点，以点O为圆心，BO为半径的⊙O与AC相切于点A，D是优弧AB上一点，∠ADB＝65°，则∠C的度数是（ ）
A．40° B．50° C．65° D．45°
9．若关于x的二次函数y＝ax2+bx+c（a≠0）的图象经过点A（m，n），B（﹣1，y1），C（2﹣m，n），D（3，y2），则y1，y2的大小关系是（ ）
A．y2＜y1 B．y1＜y2 C．y2＝y1 D．无法确定
二、填空题（共4小题，每小题3分，计12分）
10．若x2＝4，则x的值为 ．
11．若⊙O的半径为1，则该圆内接正四边形的边心距为 ．
12．点A在反比例函数y＝（k＞0，x＞0）的图象上，AB⊥x轴于点B，点C在x轴负半轴上且CO：OB＝2：1．若△ABC的面积为9，则k的值为 ．
13．如图，在△ABC中，AB＝AC＝2，∠BAC＝120°，P为BC边上一动点，连接AP，将线段AP绕点A顺时针旋转120°至AP′，则线段PP′的最小值为 ．
三、解答题（共11小题，计78分．解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤）
14．×﹣|tan60°﹣1|+（2﹣π）0﹣（）﹣2．
15．化简：÷（a+2+）．
16．如图，在△ABC中，∠ACB＝90°，O是BC上一点．请用尺规作图法作⊙O，使⊙O与AC，AB都相切．（保留作图痕迹，不写作法）
17．已知：如图，AD∥BC，AD＝BC，连接AB、CD相交于点O，点E、F在线段AB上，且AE＝BF，求证：OE＝OF．
18．某校八年级学生积极响应“停课不停学”，通过网课等方式学习了解防疫知识．为了解该校八年级学生的防疫知识学习情况，网上随机抽查了40名同学的防疫知识问卷调查．根据答卷统计获取的样本数据，制作了如图的条形统计图和扇形统计图．请根据相关信息解答下列问题：
（1）扇形①的圆心角的度数是 ；
（2）求这40个样本数据的平均数、众数、中位数；
（3）若该校八年级共有320名学生，估计该校八年级防疫知识问卷调查得满分的学生人数．
19．大唐不夜城位于陕西省西安市雁塔区的大雁塔脚下，以盛唐文化为背景，以唐风元素为主线，是西安唐文化展示和体验的首选之地．爸爸和贝贝来到大唐不夜城游玩，被漂亮的灯光夜景吸引，贝贝想利用所学知识来测量路灯的高度．如图，他们共同站在路灯下，爸爸的身高EF＝1.8m，贝贝的身高MN＝1.5m，他们的影子恰巧等于自己的身高，即BF＝1.8m，CN＝1.5m，两人相距FN＝4.7m，求路灯AD的高度．
20．2020年4月20日，在陕西考察的习近平总书记来到商洛柞水县金米村的直播平台前，点赞当地特产柞水木耳，成为“最强带货员”，称赞电商扶贫将为乡村振兴注入新动力．当地积极利用某电商平台试销售成本为20元/斤的木耳，规定试销期间销售单价不低于成本单价，也不高于40元/斤，经试销发现，销售量y（斤）与销售单价x（元/斤）符合一次函数关系，如图所示的是y与x的函数关系图象．
（1）求y与x的函数表达式．
（2）设该地试销木耳获得的利润为W元，求W的最大值．
21．为落实“垃圾分类”，环卫部门要求垃圾要按A、B、C三类分别装袋、投放，其中A类指废电池、过期药品等有毒垃圾，B类指剩余食品等厨余垃圾，C类指塑料、废纸等可回收垃圾，甲投放了一袋垃圾，乙投放了两袋垃圾，乙投放的这两袋垃圾不同类．
（1）直接写出甲投放的垃圾恰好是A类的概率；
（2）请用画树状图或列表的方法求乙投放的垃圾恰有一袋与甲投放的垃圾是同一类的概率．
22．如图，在△ABC中，AB＝AC＝，以AB为直径作⊙O与AC交于点D，与BC交于点E，延长AC至点F，使∠BAC＝2∠CBF．
（1）求证：BF是⊙O的切线．
（2）若tan∠CBF＝，求线段CD的长．
23．已知抛物线L：y＝﹣x2+mx+n与x轴交于A，B两点（点A在点B的左侧），AB＝4，且抛物线L的对称轴为直线x＝﹣3．
（1）求抛物线L的表达式；
（2）将抛物线L平移得到抛物线L'，使抛物线L'经过原点O，且与x轴交于点C，记抛物线L'的顶点为P，若△OCP是等腰直角三角形，求点P的坐标．
24．问题提出：
（1）如图1，在矩形ABCD内，以BC的中点F为圆心，BC为直径作半圆．P为半圆上一点，若AB＝6，BC＝8，试求△ADP的面积的最小值．
问题探究：
（2）如图2，在菱形ABCD中，∠BAD＝135°，AB＝2，P是菱形ABCD内或边上的一点，且∠DAP+∠CBP＝90°，连接DP，CP，求△DCP面积的最小值．
问题解决：
（3）如图3，在市区有一块矩形形状的闲置空地ABCD要进行规划，其中AB＝300米，BC＝400米，E是AB边上一点，且AE＝200米，F是BC边上的任意一点．把△BEF改造成一个供市民休息的区域，△GEF是△BEF关于EF的轴对称图形，在△GEF区域放置“全民健康，全面小康”的宣传栏．同时修建AG、CG、EG、FG四条观光道，在四边形空地AGCD种植草坪，剩余两个三角形区域种植鲜花，试求草坪AGCD的面积的最小值．
2020年陕西省西安市莲湖区中考数学八模试卷
参考答案与试题解析
一．选择题（共9小题）
1．﹣的倒数是（ ）
A．﹣ B． C．﹣2 D．2
【分析】根据倒数的定义进行解答即可．
【解答】解：∵（﹣2）×（﹣）＝1，
∴﹣的倒数是﹣2．
故选：C．
2．如图是几何体的三视图，该几何体是（ ）
A．圆锥 B．六棱锥 C．圆柱 D．六棱柱
【分析】根据一个空间几何体的正视图和左视图都是宽度相等的长方形，可判断该几何体是柱体，进而根据俯视图的形状，可判断柱体形状，得到答案．
【解答】解：该几何体的左视图为矩形，正视图亦为矩形，俯视图是一个正六边形形，
则可得出该几何体为正六棱柱．
故选：D．
3．在平面直角坐标系中，若正比例函数y＝kx的图象上一点（除原点外）到y轴的距离与到x轴的距离之比为4：1，且y随着x的增大而增大，则k的值为（ ）
A． B．﹣ C．4 D．﹣4
【分析】设点的坐标为（4a，a），利用一次函数图象上点的坐标特征可求出k值，此题得解．
【解答】解：依题意，可设点的坐标为（4a，1a），
∵点（4a，a）在正比例函数y＝kx（k≠0）的图象上，
∴a＝4ak，
∴k＝．
故选：A．
4．下列计算正确的是（ ）
A．a+2a＝2a2 B．（﹣a3）2＝﹣a5
C．12a3÷4a＝3a2 D．（a﹣1）2＝a2﹣1
【分析】根据各个选项中的式子可以计算出正确的结果，从而可以解答本题．
【解答】解：a+2a＝3a，故选项A错误；
（﹣a3）2＝a6，故选项B错误；
12a3÷4a＝3a2，故选项C正确；
（a﹣1）2＝a2﹣2a+1，故选项D错误；
故选：C．
5．如图，在等边△ABC中，点D和点B关于直线AC对称，过点D作DE⊥BC，交BC的延长线于点E，若CE＝5，则BE的长为（ ）
A．5 B．10 C．5 D．15
【分析】连接CD，构造含30°角的直角三角形DCE，根据BC＝DC进行计算即可．
【解答】解：如图，连接CD，
∵△ABC是等边三角形，点D和点B关于直线AC轴对称，
∴BC＝DC，∠ACB＝∠ACD＝60°，
∴∠DCE＝60°，
∵DE⊥CE，CE＝5，
∴∠CDE＝30°，
∴CD＝2CE＝10，
∴BC＝10．
∴BE＝BC+CE＝10+5＝15．
故选：D．
6．如图，直线y＝kx+b（k＜0）经过点A（3，2），当kx+b＞时，x的取值范围是（ ）
A．x＜2 B．x＞2 C．x＜3 D．x＞3
【分析】先把A点坐标代入y＝kx+b得b＝2﹣3k，所以y＝kx+2﹣3k，然后解不等式kx+2﹣3k＞x即可．
【解答】解：把A（3，2）代入y＝kx+b得3k+b＝2，则b＝2﹣3k，
∴y＝kx+2﹣3k，
∴不等式kx+b＞变形为kx+2﹣3k＞x，
解得x＜3．
故选：C．
7．如图，在平面直角坐标系中，四边形OABC为矩形，点A在x轴上，点C在y轴上，点B的坐标为（8，6），若将△OAB沿OB翻折，点A的对应点为点E，OE交BC于点D，则点D的坐标为（ ）
A．（，6） B．（，6） C．（，6） D．（，6）
【分析】根据B点的坐标和矩形的性质得出AB＝OC＝6，BC＝OA＝8，∠OCB＝∠OAB＝90°，根据旋转的性质得出∠E＝∠OAB＝90°＝∠OCD，BE＝AB＝6，求出BE＝OC，根据全等三角形的判定得出△OCD≌△BED，根据全等三角形的性质得出CD＝ED，
设CD＝ED＝x，则BD＝8﹣x，根据勾股定理求出x即可．
【解答】解：∵B（8，6），四边形ABCO是矩形，
∴AB＝OC＝6，BC＝OA＝8，∠OCD＝∠OAB＝90°
∵将△OAB沿OB翻折，点A的对应点为点E，OE交BC于点D，
∴△OAB≌△OEB，
∴∠E＝∠OAB＝90°＝∠OCD，BE＝AB＝6，
∴BE＝OC，
在△OCD和△BED中，
，
∴△OCD≌△BED（AAS），
∴CD＝ED，
设CD＝ED＝x，
则BD＝BC﹣CD＝8﹣x，
在Rt△BED中，由勾股定理得：BE2+ED2＝BD2，
即62+x2＝（8﹣x）2，
解得：x＝，
即CD＝，
∴点D的坐标是（，6），
故选：B．
8．如图，在△ABC中，O是BC边上的点，以点O为圆心，BO为半径的⊙O与AC相切于点A，D是优弧AB上一点，∠ADB＝65°，则∠C的度数是（ ）
A．40° B．50° C．65° D．45°
【分析】连接AO，根据圆周角定理和切线的性质即可得到结论．
【解答】解：连接AO，
∵∠ADB＝65°，
∴∠AOB＝2∠ADB＝130°，
∴∠AOC＝50°，
∵AC是⊙O的切线，
∴∠OAC＝90°，
∴∠C＝90°﹣50°＝40°，
故选：A．
9．若关于x的二次函数y＝ax2+bx+c（a≠0）的图象经过点A（m，n），B（﹣1，y1），C（2﹣m，n），D（3，y2），则y1，y2的大小关系是（ ）
A．y2＜y1 B．y1＜y2 C．y2＝y1 D．无法确定
【分析】根据A（﹣2，0）、O（0，0）两点可确定抛物线的对称轴，再根据B、C两点与对称轴的距离相等，判断y1＝y2．
【解答】解：∵抛物线过点A（m，n），C（2﹣m，n），两点，
∴抛物线的对称轴为x＝＝1，
∴B（﹣1，y1），D（3，y2）与对称轴的距离相等，
∴y1＝y2．
故选：C．
二．填空题（共4小题）
10．若x2＝4，则x的值为 ±2 ．
【分析】根据有理数的乘方的定义解答即可．
【解答】解：∵（±2）2＝4，
∴x＝±2．
故答案为：±2．
11．若⊙O的半径为1，则该圆内接正四边形的边心距为 ．
【分析】求出正四边形的中心角，连接两个顶点，可得等腰直角三角形，由勾股定理可得到正四边形的边长，即可求解．
【解答】解：连接OA，OB，作OE⊥AB于E，如图所示：
∵四边形ABCD是正四边形，
∴∠AOB＝＝90°，
又∵OA＝OB＝1，
∴△AOB是等腰直角三角形，且OE⊥AB，
∴AB＝OA＝，OE＝AB＝，
∴圆内接正四边形的边心距为．
故答案为：．
12．点A在反比例函数y＝（k＞0，x＞0）的图象上，AB⊥x轴于点B，点C在x轴负半轴上且CO：OB＝2：1．若△ABC的面积为9，则k的值为 6 ．
【分析】首先确定△AOB的面积，然后根据反比例函数的比例系数的几何意义确定k的值即可．
【解答】解：连接AO，
∵CO：OB＝2：1，
∴OB＝BC，
∴S△AOB＝S△ABC＝×9＝3，
∴|k|＝2S△AOB＝6，
∵反比例函数的图象位于第一象限
∴k＝6，
故答案为：6．
13．如图，在△ABC中，AB＝AC＝2，∠BAC＝120°，P为BC边上一动点，连接AP，将线段AP绕点A顺时针旋转120°至AP′，则线段PP′的最小值为 ．
【分析】过点A作AD⊥PP'于D，依据旋转的性质以及等腰三角形的性质，即可得到PP'＝2PD，当PD最短时，PP'最短，且PD＝AP×cos30°，再根据AP的长，即可得到线段PP′的最小值．
【解答】解：如图所示，过点A作AD⊥PP'于D，
由旋转可得，AP＝AP'，∠PAP'＝120°，
∴PP'＝2PD，∠APD＝30°，
当PD最短时，PP'最短，且PD＝AP×cos30°，
∵P为BC边上一动点，
∴当AP⊥BC时，AP最短，
∵AB＝AC＝2，∠BAC＝120°，
∴∠C＝30°，
∴当AP⊥BC时，AP＝AC×sin30°＝2×＝1，
此时，PP'＝2PD＝2×AP×cos30°＝2×1×＝，
故答案为：．
三．解答题
14．×﹣|tan60°﹣1|+（2﹣π）0﹣（）﹣2．
【分析】直接利用负整数指数幂的性质以及零指数幂的性质、二次根式的性质分别化简得出答案．
【解答】解：原式＝×2﹣（﹣1）+1﹣4
＝﹣+1+1﹣4
＝﹣2．
15．化简：÷（a+2+）．
【分析】根据分式的运算法则即可求出答案．
【解答】解：原式＝÷
＝•
＝．
16．如图，在△ABC中，∠ACB＝90°，O是BC上一点．请用尺规作图法作⊙O，使⊙O与AC，AB都相切．（保留作图痕迹，不写作法）
【分析】作∠CAB的角平分线交BC于点O，以O为圆心，OA为半径作⊙O即可．
【解答】解：如图，⊙O即为所求．
17．已知：如图，AD∥BC，AD＝BC，连接AB、CD相交于点O，点E、F在线段AB上，且AE＝BF，求证：OE＝OF．
【分析】利用已知条件证明△ADO≌△BCO，所以AO＝BO，由AE＝BF，所以AO﹣AE＝BO﹣BF，即OE＝OF．
【解答】证明：∵AD∥BC，
∴∠ADO＝∠BCO，
在△ADO和△BCO中，
∴△ADO≌△BCO（AAS），
∴AO＝BO，
∵AE＝BF，
∴AO﹣AE＝BO﹣BF，
即OE＝OF．
18．某校八年级学生积极响应“停课不停学”，通过网课等方式学习了解防疫知识．为了解该校八年级学生的防疫知识学习情况，网上随机抽查了40名同学的防疫知识问卷调查．根据答卷统计获取的样本数据，制作了如图的条形统计图和扇形统计图．请根据相关信息解答下列问题：
（1）扇形①的圆心角的度数是 36° ；
（2）求这40个样本数据的平均数、众数、中位数；
（3）若该校八年级共有320名学生，估计该校八年级防疫知识问卷调查得满分的学生人数．
【分析】（1）用360°乘以6分人数占被调查人数的比例即可得；
（2）根据平均数、众数和中位数的定义求解可得；
（3）用总人数乘以样本中得10分人数所占比例即可得．
【解答】解：（1）∵扇形①的圆心角的度数是360°×＝36°，
故答案为：36°；
（2）∵，
∴平均数是8.3；
∵9出现了12次，次数最多，
∴众数是9；
∵将40个数字按从小到大的顺序排列中间的两个数都是8，
∴中位数是8；
（3）∵，
∴估计该校八年级防疫知识问卷调查得满分的学生有56人．
19．大唐不夜城位于陕西省西安市雁塔区的大雁塔脚下，以盛唐文化为背景，以唐风元素为主线，是西安唐文化展示和体验的首选之地．爸爸和贝贝来到大唐不夜城游玩，被漂亮的灯光夜景吸引，贝贝想利用所学知识来测量路灯的高度．如图，他们共同站在路灯下，爸爸的身高EF＝1.8m，贝贝的身高MN＝1.5m，他们的影子恰巧等于自己的身高，即BF＝1.8m，CN＝1.5m，两人相距FN＝4.7m，求路灯AD的高度．
【分析】设路灯的高度为xm，根据相似三角形对应边成比例可得，＝，即＝，可得DF的表达式，再根据相似三角形对应边成比例，同样可得DN的表达式，由于DF+DN＝4.7，可得关于x的方程，然后解方程求出x即可．
【解答】解：设路灯的高度为xm，
∵EF∥AD，
∴△BEF∽△BAD，
∴＝，
即＝，
解得：DF＝x﹣1.8，
∵MN∥AD，
∴△CMN∽△CAD，
∴＝，
即＝，
解得：DN＝x﹣1.5，
∵两人相距4.7m，
∴FD+ND＝4.7，
∴x﹣1.8+x﹣1.5＝4.7，
解得：x＝4，
答：路灯AD的高度是4m．
20．2020年4月20日，在陕西考察的习近平总书记来到商洛柞水县金米村的直播平台前，点赞当地特产柞水木耳，成为“最强带货员”，称赞电商扶贫将为乡村振兴注入新动力．当地积极利用某电商平台试销售成本为20元/斤的木耳，规定试销期间销售单价不低于成本单价，也不高于40元/斤，经试销发现，销售量y（斤）与销售单价x（元/斤）符合一次函数关系，如图所示的是y与x的函数关系图象．
（1）求y与x的函数表达式．
（2）设该地试销木耳获得的利润为W元，求W的最大值．
【分析】（1）利用待定系数法结合函数图象求解可得；
（2）根据：总利润＝每千克利润×销售量，列出函数关系式，配方后根据x的取值范围可得W的最大值．
【解答】解：（1）设y与x的函数关系式为y＝kx+b，
根据题意，得：，
解得：，
∴y与x的函数解析式为y＝﹣2x+340（20≤x≤40）．
（2）由已知得：W＝（x﹣20）（﹣2x+340）
＝﹣2x2+380x﹣6800
＝﹣2（x﹣95）2+11250，
∵﹣2＜0，
∴当x≤95时，W随x的增大而增大，
∵20≤x≤40，
∴当x＝40时，W最大，最大值为﹣2（40﹣95）2+11250＝5200元．
21．为落实“垃圾分类”，环卫部门要求垃圾要按A、B、C三类分别装袋、投放，其中A类指废电池、过期药品等有毒垃圾，B类指剩余食品等厨余垃圾，C类指塑料、废纸等可回收垃圾，甲投放了一袋垃圾，乙投放了两袋垃圾，乙投放的这两袋垃圾不同类．
（1）直接写出甲投放的垃圾恰好是A类的概率；
（2）请用画树状图或列表的方法求乙投放的垃圾恰有一袋与甲投放的垃圾是同一类的概率．
【分析】（1）直接利用概率公式求出甲投放的垃圾恰好是A类的概率；
（2）首先利用树状图法列举出所有可能，进而利用概率公式求出答案．
【解答】解：（1）∵垃圾要按A，B，C三类分别装袋，甲投放了一袋垃圾，
∴甲投放的垃圾恰好是A类的概率为：；
（2）如图所示：
，
由图可知，共有18种可能结果，其中乙投放的垃圾恰有一袋与甲投放的垃圾是同类的结果有12种，
所以，P（乙投放的垃圾恰有一袋与甲投放的垃圾是同类）＝＝．
22．如图，在△ABC中，AB＝AC＝，以AB为直径作⊙O与AC交于点D，与BC交于点E，延长AC至点F，使∠BAC＝2∠CBF．
（1）求证：BF是⊙O的切线．
（2）若tan∠CBF＝，求线段CD的长．
【分析】（1）连接AE，根据圆周角定理，等腰三角形的性质以及切线的判定定理即可得到结论；
（2）根据圆周角定理和解直角三角形即可得到结论．
【解答】解：（1）连接AE，
∵AB为直径，
∴AE⊥BC，
∵AB＝AC，
∴∠BAE＝BAC，
∵∠BAC＝2∠CBF，
∴∠BAE＝∠CBF，
∵∠ABE+∠BAE＝90°，
∴∠ABE+∠CBF＝90°，
∴BF是⊙O的切线；
（2）∵tan∠CBF＝，
∴tan∠CAE＝＝，
∴设CE＝x，AE＝3x，
∴AC＝＝x＝，
∴x＝1，
∵AC＝AB，AE⊥BC，
∴BC＝2CE＝2，
连接BD，
则∠DBC＝∠CAE，
∵AB是⊙O的直径，
∴∠BDC＝∠ADB＝90°，
∵tan∠CAE＝tan∠DBC＝＝，
∴设CD＝a，BD＝3a，
∴BC＝＝a＝2，
∴a＝，
∴CD＝．
23．已知抛物线L：y＝﹣x2+mx+n与x轴交于A，B两点（点A在点B的左侧），AB＝4，且抛物线L的对称轴为直线x＝﹣3．
（1）求抛物线L的表达式；
（2）将抛物线L平移得到抛物线L'，使抛物线L'经过原点O，且与x轴交于点C，记抛物线L'的顶点为P，若△OCP是等腰直角三角形，求点P的坐标．
【分析】（1）对称轴为直线x＝﹣3，AB＝4，可以求出A，B两点的坐标，代入可得抛物线L的表达式；
（2）△OCP是等腰直角三角形可得抛物线L'顶点到x轴y轴距离相等，设抛物线解析式列方程可得到答案．
【解答】解：（1）∵y＝﹣x2+mx+n与x轴交于A，B两点（点A在点B的左侧），AB＝4，且抛物线L的对称轴为直线x＝﹣3，
∴A（﹣5，0），B（﹣1，0），
把A（﹣5，0），B（﹣1，0）代入y＝﹣x2+mx+n得：
，解得，
∴抛物线L的表达式为y＝﹣x2﹣6x﹣5；
（2）过P作PQ⊥x轴于Q，如图：
∵将抛物线L平移得到抛物线L'，
∴两抛物线形状相同，
设抛物线L'的顶点为P（h，k），则抛物线L'解析式为y＝﹣（x﹣h）2+k，
∵△OCP是等腰直角三角形，PQ⊥x轴，
∴PQ＝OQ，即|h|＝|k|，
又抛物线L'经过原点O，
∴0＝﹣（0﹣h）2+k，即k＝h2，
∴|h|＝h2，解得h＝0或h＝1或h＝﹣1，
h＝0时，抛物线顶点是原点，O、C、P重合，不能构成△OCP，故舍去，
h＝1时，k＝1，此时P（1，1），
h＝﹣1时，k＝1，此时P（﹣1，1）
∴△OCP是等腰直角三角形，点P的坐标为（1，1）或（﹣1，1）．
24．问题提出：
（1）如图1，在矩形ABCD内，以BC的中点F为圆心，BC为直径作半圆．P为半圆上一点，若AB＝6，BC＝8，试求△ADP的面积的最小值．
问题探究：
（2）如图2，在菱形ABCD中，∠BAD＝135°，AB＝2，P是菱形ABCD内或边上的一点，且∠DAP+∠CBP＝90°，连接DP，CP，求△DCP面积的最小值．
问题解决：
（3）如图3，在市区有一块矩形形状的闲置空地ABCD要进行规划，其中AB＝300米，BC＝400米，E是AB边上一点，且AE＝200米，F是BC边上的任意一点．把△BEF改造成一个供市民休息的区域，△GEF是△BEF关于EF的轴对称图形，在△GEF区域放置“全民健康，全面小康”的宣传栏．同时修建AG、CG、EG、FG四条观光道，在四边形空地AGCD种植草坪，剩余两个三角形区域种植鲜花，试求草坪AGCD的面积的最小值．
【分析】（1）取AD的中点M，连接PM，PF，MF，可得四边形ABFM为矩形，FM＝6，PF＝4；由于PM≥FM﹣PF，∴PM≥2．得到当且仅当P，F．M三点共线时，PM取最小值．PM取最小值2时，PM⊥AD，此时，P点到AD的距离小．结论可得；
（2）由已知可得∠APB＝90°，于是点P在以AB为直径的圆弧上移动；过点A作AH⊥CD于H，可得AH＝2，利用（1）中的方法可知：点P到CD的最小距离为2﹣，从而结论可得；
（3）连接AC，过点E作EN⊥AC于N，连接NG，可得BE＝EG＝100米，于是点G在以E为圆心100米为半径的圆弧上移动；由于NG≥EN﹣EG，∴NG≥60米，因此当且仅当E，G，N三点共线时，NG取得最小值．当NG取得最小值时，NG⊥AC，可知点G到AC的最小距离为：160﹣100＝60（米），从而得到S△AGC的最小值＝15000（平方米），结论可得．
【解答】解：（1）取AD的中点M，连接PM，PF，MF，如图1，
∵四边形ABCD是矩形，
∴AD＝BC＝8，AD∥BC，∠BAD＝90°．
∵F是BC的中点，M是AD的中点，
∴BF＝BC，AM＝AD．
∴BF＝AM．
∴四边形ABFM为矩形．
∴FM＝AB＝6．
∵FP＝FB＝FC＝BC＝4，
∴PM≥FM﹣PF．
∴PM≥2．
∴当且仅当P，F．M三点共线时，PM取最小值．
PM取最小值2时，PM⊥AD，此时，P点到AD的距离小．
∴S△APD的最小值为：×AD×2＝8．
∴△APD的面积的最小值为8．
（2）∵四边形ABCD是菱形，
∴AD∥BC，AB∥CD．
∴∠DAB+∠ABC＝180°．
∵∠DAP+∠CBP＝90°，
∴∠PAB+∠PBA＝180°﹣90°＝90°．
∴∠APB＝180°﹣（∠PAB+∠PBA）＝90°．
∴点P在以AB为直径的圆弧上移动．
∵∠DAB+∠ADC＝180°，∠BAD＝135°，
∴∠ADC＝45°．
过点A作AH⊥CD于H，如下图，
∴∠HAD＝∠HDA＝45°．
∴AH＝HD＝AD＝AB＝2．
由（1）知，点P到CD的最小距离为2﹣．
∵CD＝AB＝2，
∴S△DCP的最小值为：．
∴△DCP的面积的最小值为2．
（3）连接AC，过点E作EN⊥AC于N，连接NG，如图3，
∵△GEF是△BEF关于EF的轴对称图形，
∴EB＝EG．
∵AB＝300米，AE＝200米，
∴BE＝AB﹣AE＝100米．
∴EG＝100（米）．
∴点G在以E为圆心100米为半径的圆弧上移动．
在Rt△ABC中，
∵∠ABC＝90°，AB＝300米，BC＝400米，
∴AC＝（米）．
∴sin∠BAC＝．
∵EN⊥AC，
∴sin∠BAC＝．
∴EN＝AE＝160（米）．
∵NG≥EN﹣EG，
∴NG≥60米．
∴当且仅当E，G，N三点共线时，NG取得最小值．
当NG取得最小值时，NG⊥AC．
∴点G到AC的最小距离为：160﹣100＝60（米）．
∴S△AGC的最小值为AC×60＝×500×60＝15000（平方米）．
∵×AD×CD＝400×300＝60000（平方米）．
∴草坪AGBD的面积的最小值为：15000+60000＝75000（平方米）．
故草坪AGBD的面积的最小值为75000平方米．
2020年陕西省西安市莲湖区中考数学八模试卷
一、选择题（共9小题，每小题3分，共30分．在每个小题给出的四个选项中，只有一项符合题目要求，请选出并在答题卡上将该项涂黑）
1．﹣的倒数是（ ）
A．﹣ B． C．﹣2 D．2
2．如图是几何体的三视图，该几何体是（ ）
A．圆锥 B．六棱锥 C．圆柱 D．六棱柱
3．在平面直角坐标系中，若正比例函数y＝kx的图象上一点（除原点外）到y轴的距离与到x轴的距离之比为4：1，且y随着x的增大而增大，则k的值为（ ）
A． B．﹣ C．4 D．﹣4
4．下列计算正确的是（ ）
A．a+2a＝2a2 B．（﹣a3）2＝﹣a5
C．12a3÷4a＝3a2 D．（a﹣1）2＝a2﹣1
5．如图，在等边△ABC中，点D和点B关于直线AC对称，过点D作DE⊥BC，交BC的延长线于点E，若CE＝5，则BE的长为（ ）
A．5 B．10 C．5 D．15
6．如图，直线y＝kx+b（k＜0）经过点A（3，2），当kx+b＞时，x的取值范围是（ ）
A．x＜2 B．x＞2 C．x＜3 D．x＞3
7．如图，在平面直角坐标系中，四边形OABC为矩形，点A在x轴上，点C在y轴上，点B的坐标为（8，6），若将△OAB沿OB翻折，点A的对应点为点E，OE交BC于点D，则点D的坐标为（ ）
A．（，6） B．（，6） C．（，6） D．（，6）
8．如图，在△ABC中，O是BC边上的点，以点O为圆心，BO为半径的⊙O与AC相切于点A，D是优弧AB上一点，∠ADB＝65°，则∠C的度数是（ ）
A．40° B．50° C．65° D．45°
9．若关于x的二次函数y＝ax2+bx+c（a≠0）的图象经过点A（m，n），B（﹣1，y1），C（2﹣m，n），D（3，y2），则y1，y2的大小关系是（ ）
A．y2＜y1 B．y1＜y2 C．y2＝y1 D．无法确定
二、填空题（共4小题，每小题3分，计12分）
10．若x2＝4，则x的值为 ．
11．若⊙O的半径为1，则该圆内接正四边形的边心距为 ．
12．点A在反比例函数y＝（k＞0，x＞0）的图象上，AB⊥x轴于点B，点C在x轴负半轴上且CO：OB＝2：1．若△ABC的面积为9，则k的值为 ．
13．如图，在△ABC中，AB＝AC＝2，∠BAC＝120°，P为BC边上一动点，连接AP，将线段AP绕点A顺时针旋转120°至AP′，则线段PP′的最小值为 ．
三、解答题（共11小题，计78分．解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤）
14．×﹣|tan60°﹣1|+（2﹣π）0﹣（）﹣2．
15．化简：÷（a+2+）．
16．如图，在△ABC中，∠ACB＝90°，O是BC上一点．请用尺规作图法作⊙O，使⊙O与AC，AB都相切．（保留作图痕迹，不写作法）
17．已知：如图，AD∥BC，AD＝BC，连接AB、CD相交于点O，点E、F在线段AB上，且AE＝BF，求证：OE＝OF．
18．某校八年级学生积极响应“停课不停学”，通过网课等方式学习了解防疫知识．为了解该校八年级学生的防疫知识学习情况，网上随机抽查了40名同学的防疫知识问卷调查．根据答卷统计获取的样本数据，制作了如图的条形统计图和扇形统计图．请根据相关信息解答下列问题：
（1）扇形①的圆心角的度数是 ；
（2）求这40个样本数据的平均数、众数、中位数；
（3）若该校八年级共有320名学生，估计该校八年级防疫知识问卷调查得满分的学生人数．
19．大唐不夜城位于陕西省西安市雁塔区的大雁塔脚下，以盛唐文化为背景，以唐风元素为主线，是西安唐文化展示和体验的首选之地．爸爸和贝贝来到大唐不夜城游玩，被漂亮的灯光夜景吸引，贝贝想利用所学知识来测量路灯的高度．如图，他们共同站在路灯下，爸爸的身高EF＝1.8m，贝贝的身高MN＝1.5m，他们的影子恰巧等于自己的身高，即BF＝1.8m，CN＝1.5m，两人相距FN＝4.7m，求路灯AD的高度．
20．2020年4月20日，在陕西考察的习近平总书记来到商洛柞水县金米村的直播平台前，点赞当地特产柞水木耳，成为“最强带货员”，称赞电商扶贫将为乡村振兴注入新动力．当地积极利用某电商平台试销售成本为20元/斤的木耳，规定试销期间销售单价不低于成本单价，也不高于40元/斤，经试销发现，销售量y（斤）与销售单价x（元/斤）符合一次函数关系，如图所示的是y与x的函数关系图象．
（1）求y与x的函数表达式．
（2）设该地试销木耳获得的利润为W元，求W的最大值．
21．为落实“垃圾分类”，环卫部门要求垃圾要按A、B、C三类分别装袋、投放，其中A类指废电池、过期药品等有毒垃圾，B类指剩余食品等厨余垃圾，C类指塑料、废纸等可回收垃圾，甲投放了一袋垃圾，乙投放了两袋垃圾，乙投放的这两袋垃圾不同类．
（1）直接写出甲投放的垃圾恰好是A类的概率；
（2）请用画树状图或列表的方法求乙投放的垃圾恰有一袋与甲投放的垃圾是同一类的概率．
22．如图，在△ABC中，AB＝AC＝，以AB为直径作⊙O与AC交于点D，与BC交于点E，延长AC至点F，使∠BAC＝2∠CBF．
（1）求证：BF是⊙O的切线．
（2）若tan∠CBF＝，求线段CD的长．
23．已知抛物线L：y＝﹣x2+mx+n与x轴交于A，B两点（点A在点B的左侧），AB＝4，且抛物线L的对称轴为直线x＝﹣3．
（1）求抛物线L的表达式；
（2）将抛物线L平移得到抛物线L'，使抛物线L'经过原点O，且与x轴交于点C，记抛物线L'的顶点为P，若△OCP是等腰直角三角形，求点P的坐标．
24．问题提出：
（1）如图1，在矩形ABCD内，以BC的中点F为圆心，BC为直径作半圆．P为半圆上一点，若AB＝6，BC＝8，试求△ADP的面积的最小值．
问题探究：
（2）如图2，在菱形ABCD中，∠BAD＝135°，AB＝2，P是菱形ABCD内或边上的一点，且∠DAP+∠CBP＝90°，连接DP，CP，求△DCP面积的最小值．
问题解决：
（3）如图3，在市区有一块矩形形状的闲置空地ABCD要进行规划，其中AB＝300米，BC＝400米，E是AB边上一点，且AE＝200米，F是BC边上的任意一点．把△BEF改造成一个供市民休息的区域，△GEF是△BEF关于EF的轴对称图形，在△GEF区域放置“全民健康，全面小康”的宣传栏．同时修建AG、CG、EG、FG四条观光道，在四边形空地AGCD种植草坪，剩余两个三角形区域种植鲜花，试求草坪AGCD的面积的最小值．
2020年陕西省西安市莲湖区中考数学八模试卷
参考答案与试题解析
一．选择题（共9小题）
1．﹣的倒数是（ ）
A．﹣ B． C．﹣2 D．2
【分析】根据倒数的定义进行解答即可．
【解答】解：∵（﹣2）×（﹣）＝1，
∴﹣的倒数是﹣2．
故选：C．
2．如图是几何体的三视图，该几何体是（ ）
A．圆锥 B．六棱锥 C．圆柱 D．六棱柱
【分析】根据一个空间几何体的正视图和左视图都是宽度相等的长方形，可判断该几何体是柱体，进而根据俯视图的形状，可判断柱体形状，得到答案．
【解答】解：该几何体的左视图为矩形，正视图亦为矩形，俯视图是一个正六边形形，
则可得出该几何体为正六棱柱．
故选：D．
3．在平面直角坐标系中，若正比例函数y＝kx的图象上一点（除原点外）到y轴的距离与到x轴的距离之比为4：1，且y随着x的增大而增大，则k的值为（ ）
A． B．﹣ C．4 D．﹣4
【分析】设点的坐标为（4a，a），利用一次函数图象上点的坐标特征可求出k值，此题得解．
【解答】解：依题意，可设点的坐标为（4a，1a），
∵点（4a，a）在正比例函数y＝kx（k≠0）的图象上，
∴a＝4ak，
∴k＝．
故选：A．
4．下列计算正确的是（ ）
A．a+2a＝2a2 B．（﹣a3）2＝﹣a5
C．12a3÷4a＝3a2 D．（a﹣1）2＝a2﹣1
【分析】根据各个选项中的式子可以计算出正确的结果，从而可以解答本题．
【解答】解：a+2a＝3a，故选项A错误；
（﹣a3）2＝a6，故选项B错误；
12a3÷4a＝3a2，故选项C正确；
（a﹣1）2＝a2﹣2a+1，故选项D错误；
故选：C．
5．如图，在等边△ABC中，点D和点B关于直线AC对称，过点D作DE⊥BC，交BC的延长线于点E，若CE＝5，则BE的长为（ ）
A．5 B．10 C．5 D．15
【分析】连接CD，构造含30°角的直角三角形DCE，根据BC＝DC进行计算即可．
【解答】解：如图，连接CD，
∵△ABC是等边三角形，点D和点B关于直线AC轴对称，
∴BC＝DC，∠ACB＝∠ACD＝60°，
∴∠DCE＝60°，
∵DE⊥CE，CE＝5，
∴∠CDE＝30°，
∴CD＝2CE＝10，
∴BC＝10．
∴BE＝BC+CE＝10+5＝15．
故选：D．
6．如图，直线y＝kx+b（k＜0）经过点A（3，2），当kx+b＞时，x的取值范围是（ ）
A．x＜2 B．x＞2 C．x＜3 D．x＞3
【分析】先把A点坐标代入y＝kx+b得b＝2﹣3k，所以y＝kx+2﹣3k，然后解不等式kx+2﹣3k＞x即可．
【解答】解：把A（3，2）代入y＝kx+b得3k+b＝2，则b＝2﹣3k，
∴y＝kx+2﹣3k，
∴不等式kx+b＞变形为kx+2﹣3k＞x，
解得x＜3．
故选：C．
7．如图，在平面直角坐标系中，四边形OABC为矩形，点A在x轴上，点C在y轴上，点B的坐标为（8，6），若将△OAB沿OB翻折，点A的对应点为点E，OE交BC于点D，则点D的坐标为（ ）
A．（，6） B．（，6） C．（，6） D．（，6）
【分析】根据B点的坐标和矩形的性质得出AB＝OC＝6，BC＝OA＝8，∠OCB＝∠OAB＝90°，根据旋转的性质得出∠E＝∠OAB＝90°＝∠OCD，BE＝AB＝6，求出BE＝OC，根据全等三角形的判定得出△OCD≌△BED，根据全等三角形的性质得出CD＝ED，
设CD＝ED＝x，则BD＝8﹣x，根据勾股定理求出x即可．
【解答】解：∵B（8，6），四边形ABCO是矩形，
∴AB＝OC＝6，BC＝OA＝8，∠OCD＝∠OAB＝90°
∵将△OAB沿OB翻折，点A的对应点为点E，OE交BC于点D，
∴△OAB≌△OEB，
∴∠E＝∠OAB＝90°＝∠OCD，BE＝AB＝6，
∴BE＝OC，
在△OCD和△BED中，
，
∴△OCD≌△BED（AAS），
∴CD＝ED，
设CD＝ED＝x，
则BD＝BC﹣CD＝8﹣x，
在Rt△BED中，由勾股定理得：BE2+ED2＝BD2，
即62+x2＝（8﹣x）2，
解得：x＝，
即CD＝，
∴点D的坐标是（，6），
故选：B．
8．如图，在△ABC中，O是BC边上的点，以点O为圆心，BO为半径的⊙O与AC相切于点A，D是优弧AB上一点，∠ADB＝65°，则∠C的度数是（ ）
A．40° B．50° C．65° D．45°
【分析】连接AO，根据圆周角定理和切线的性质即可得到结论．
【解答】解：连接AO，
∵∠ADB＝65°，
∴∠AOB＝2∠ADB＝130°，
∴∠AOC＝50°，
∵AC是⊙O的切线，
∴∠OAC＝90°，
∴∠C＝90°﹣50°＝40°，
故选：A．
9．若关于x的二次函数y＝ax2+bx+c（a≠0）的图象经过点A（m，n），B（﹣1，y1），C（2﹣m，n），D（3，y2），则y1，y2的大小关系是（ ）
A．y2＜y1 B．y1＜y2 C．y2＝y1 D．无法确定
【分析】根据A（﹣2，0）、O（0，0）两点可确定抛物线的对称轴，再根据B、C两点与对称轴的距离相等，判断y1＝y2．
【解答】解：∵抛物线过点A（m，n），C（2﹣m，n），两点，
∴抛物线的对称轴为x＝＝1，
∴B（﹣1，y1），D（3，y2）与对称轴的距离相等，
∴y1＝y2．
故选：C．
二．填空题（共4小题）
10．若x2＝4，则x的值为 ±2 ．
【分析】根据有理数的乘方的定义解答即可．
【解答】解：∵（±2）2＝4，
∴x＝±2．
故答案为：±2．
11．若⊙O的半径为1，则该圆内接正四边形的边心距为 ．
【分析】求出正四边形的中心角，连接两个顶点，可得等腰直角三角形，由勾股定理可得到正四边形的边长，即可求解．
【解答】解：连接OA，OB，作OE⊥AB于E，如图所示：
∵四边形ABCD是正四边形，
∴∠AOB＝＝90°，
又∵OA＝OB＝1，
∴△AOB是等腰直角三角形，且OE⊥AB，
∴AB＝OA＝，OE＝AB＝，
∴圆内接正四边形的边心距为．
故答案为：．
12．点A在反比例函数y＝（k＞0，x＞0）的图象上，AB⊥x轴于点B，点C在x轴负半轴上且CO：OB＝2：1．若△ABC的面积为9，则k的值为 6 ．
【分析】首先确定△AOB的面积，然后根据反比例函数的比例系数的几何意义确定k的值即可．
【解答】解：连接AO，
∵CO：OB＝2：1，
∴OB＝BC，
∴S△AOB＝S△ABC＝×9＝3，
∴|k|＝2S△AOB＝6，
∵反比例函数的图象位于第一象限
∴k＝6，
故答案为：6．
13．如图，在△ABC中，AB＝AC＝2，∠BAC＝120°，P为BC边上一动点，连接AP，将线段AP绕点A顺时针旋转120°至AP′，则线段PP′的最小值为 ．
【分析】过点A作AD⊥PP'于D，依据旋转的性质以及等腰三角形的性质，即可得到PP'＝2PD，当PD最短时，PP'最短，且PD＝AP×cos30°，再根据AP的长，即可得到线段PP′的最小值．
【解答】解：如图所示，过点A作AD⊥PP'于D，
由旋转可得，AP＝AP'，∠PAP'＝120°，
∴PP'＝2PD，∠APD＝30°，
当PD最短时，PP'最短，且PD＝AP×cos30°，
∵P为BC边上一动点，
∴当AP⊥BC时，AP最短，
∵AB＝AC＝2，∠BAC＝120°，
∴∠C＝30°，
∴当AP⊥BC时，AP＝AC×sin30°＝2×＝1，
此时，PP'＝2PD＝2×AP×cos30°＝2×1×＝，
故答案为：．
三．解答题
14．×﹣|tan60°﹣1|+（2﹣π）0﹣（）﹣2．
【分析】直接利用负整数指数幂的性质以及零指数幂的性质、二次根式的性质分别化简得出答案．
【解答】解：原式＝×2﹣（﹣1）+1﹣4
＝﹣+1+1﹣4
＝﹣2．
15．化简：÷（a+2+）．
【分析】根据分式的运算法则即可求出答案．
【解答】解：原式＝÷
＝•
＝．
16．如图，在△ABC中，∠ACB＝90°，O是BC上一点．请用尺规作图法作⊙O，使⊙O与AC，AB都相切．（保留作图痕迹，不写作法）
【分析】作∠CAB的角平分线交BC于点O，以O为圆心，OA为半径作⊙O即可．
【解答】解：如图，⊙O即为所求．
17．已知：如图，AD∥BC，AD＝BC，连接AB、CD相交于点O，点E、F在线段AB上，且AE＝BF，求证：OE＝OF．
【分析】利用已知条件证明△ADO≌△BCO，所以AO＝BO，由AE＝BF，所以AO﹣AE＝BO﹣BF，即OE＝OF．
【解答】证明：∵AD∥BC，
∴∠ADO＝∠BCO，
在△ADO和△BCO中，
∴△ADO≌△BCO（AAS），
∴AO＝BO，
∵AE＝BF，
∴AO﹣AE＝BO﹣BF，
即OE＝OF．
18．某校八年级学生积极响应“停课不停学”，通过网课等方式学习了解防疫知识．为了解该校八年级学生的防疫知识学习情况，网上随机抽查了40名同学的防疫知识问卷调查．根据答卷统计获取的样本数据，制作了如图的条形统计图和扇形统计图．请根据相关信息解答下列问题：
（1）扇形①的圆心角的度数是 36° ；
（2）求这40个样本数据的平均数、众数、中位数；
（3）若该校八年级共有320名学生，估计该校八年级防疫知识问卷调查得满分的学生人数．
【分析】（1）用360°乘以6分人数占被调查人数的比例即可得；
（2）根据平均数、众数和中位数的定义求解可得；
（3）用总人数乘以样本中得10分人数所占比例即可得．
【解答】解：（1）∵扇形①的圆心角的度数是360°×＝36°，
故答案为：36°；
（2）∵，
∴平均数是8.3；
∵9出现了12次，次数最多，
∴众数是9；
∵将40个数字按从小到大的顺序排列中间的两个数都是8，
∴中位数是8；
（3）∵，
∴估计该校八年级防疫知识问卷调查得满分的学生有56人．
19．大唐不夜城位于陕西省西安市雁塔区的大雁塔脚下，以盛唐文化为背景，以唐风元素为主线，是西安唐文化展示和体验的首选之地．爸爸和贝贝来到大唐不夜城游玩，被漂亮的灯光夜景吸引，贝贝想利用所学知识来测量路灯的高度．如图，他们共同站在路灯下，爸爸的身高EF＝1.8m，贝贝的身高MN＝1.5m，他们的影子恰巧等于自己的身高，即BF＝1.8m，CN＝1.5m，两人相距FN＝4.7m，求路灯AD的高度．
【分析】设路灯的高度为xm，根据相似三角形对应边成比例可得，＝，即＝，可得DF的表达式，再根据相似三角形对应边成比例，同样可得DN的表达式，由于DF+DN＝4.7，可得关于x的方程，然后解方程求出x即可．
【解答】解：设路灯的高度为xm，
∵EF∥AD，
∴△BEF∽△BAD，
∴＝，
即＝，
解得：DF＝x﹣1.8，
∵MN∥AD，
∴△CMN∽△CAD，
∴＝，
即＝，
解得：DN＝x﹣1.5，
∵两人相距4.7m，
∴FD+ND＝4.7，
∴x﹣1.8+x﹣1.5＝4.7，
解得：x＝4，
答：路灯AD的高度是4m．
20．2020年4月20日，在陕西考察的习近平总书记来到商洛柞水县金米村的直播平台前，点赞当地特产柞水木耳，成为“最强带货员”，称赞电商扶贫将为乡村振兴注入新动力．当地积极利用某电商平台试销售成本为20元/斤的木耳，规定试销期间销售单价不低于成本单价，也不高于40元/斤，经试销发现，销售量y（斤）与销售单价x（元/斤）符合一次函数关系，如图所示的是y与x的函数关系图象．
（1）求y与x的函数表达式．
（2）设该地试销木耳获得的利润为W元，求W的最大值．
【分析】（1）利用待定系数法结合函数图象求解可得；
（2）根据：总利润＝每千克利润×销售量，列出函数关系式，配方后根据x的取值范围可得W的最大值．
【解答】解：（1）设y与x的函数关系式为y＝kx+b，
根据题意，得：，
解得：，
∴y与x的函数解析式为y＝﹣2x+340（20≤x≤40）．
（2）由已知得：W＝（x﹣20）（﹣2x+340）
＝﹣2x2+380x﹣6800
＝﹣2（x﹣95）2+11250，
∵﹣2＜0，
∴当x≤95时，W随x的增大而增大，
∵20≤x≤40，
∴当x＝40时，W最大，最大值为﹣2（40﹣95）2+11250＝5200元．
21．为落实“垃圾分类”，环卫部门要求垃圾要按A、B、C三类分别装袋、投放，其中A类指废电池、过期药品等有毒垃圾，B类指剩余食品等厨余垃圾，C类指塑料、废纸等可回收垃圾，甲投放了一袋垃圾，乙投放了两袋垃圾，乙投放的这两袋垃圾不同类．
（1）直接写出甲投放的垃圾恰好是A类的概率；
（2）请用画树状图或列表的方法求乙投放的垃圾恰有一袋与甲投放的垃圾是同一类的概率．
【分析】（1）直接利用概率公式求出甲投放的垃圾恰好是A类的概率；
（2）首先利用树状图法列举出所有可能，进而利用概率公式求出答案．
【解答】解：（1）∵垃圾要按A，B，C三类分别装袋，甲投放了一袋垃圾，
∴甲投放的垃圾恰好是A类的概率为：；
（2）如图所示：
，
由图可知，共有18种可能结果，其中乙投放的垃圾恰有一袋与甲投放的垃圾是同类的结果有12种，
所以，P（乙投放的垃圾恰有一袋与甲投放的垃圾是同类）＝＝．
22．如图，在△ABC中，AB＝AC＝，以AB为直径作⊙O与AC交于点D，与BC交于点E，延长AC至点F，使∠BAC＝2∠CBF．
（1）求证：BF是⊙O的切线．
（2）若tan∠CBF＝，求线段CD的长．
【分析】（1）连接AE，根据圆周角定理，等腰三角形的性质以及切线的判定定理即可得到结论；
（2）根据圆周角定理和解直角三角形即可得到结论．
【解答】解：（1）连接AE，
∵AB为直径，
∴AE⊥BC，
∵AB＝AC，
∴∠BAE＝BAC，
∵∠BAC＝2∠CBF，
∴∠BAE＝∠CBF，
∵∠ABE+∠BAE＝90°，
∴∠ABE+∠CBF＝90°，
∴BF是⊙O的切线；
（2）∵tan∠CBF＝，
∴tan∠CAE＝＝，
∴设CE＝x，AE＝3x，
∴AC＝＝x＝，
∴x＝1，
∵AC＝AB，AE⊥BC，
∴BC＝2CE＝2，
连接BD，
则∠DBC＝∠CAE，
∵AB是⊙O的直径，
∴∠BDC＝∠ADB＝90°，
∵tan∠CAE＝tan∠DBC＝＝，
∴设CD＝a，BD＝3a，
∴BC＝＝a＝2，
∴a＝，
∴CD＝．
23．已知抛物线L：y＝﹣x2+mx+n与x轴交于A，B两点（点A在点B的左侧），AB＝4，且抛物线L的对称轴为直线x＝﹣3．
（1）求抛物线L的表达式；
（2）将抛物线L平移得到抛物线L'，使抛物线L'经过原点O，且与x轴交于点C，记抛物线L'的顶点为P，若△OCP是等腰直角三角形，求点P的坐标．
【分析】（1）对称轴为直线x＝﹣3，AB＝4，可以求出A，B两点的坐标，代入可得抛物线L的表达式；
（2）△OCP是等腰直角三角形可得抛物线L'顶点到x轴y轴距离相等，设抛物线解析式列方程可得到答案．
【解答】解：（1）∵y＝﹣x2+mx+n与x轴交于A，B两点（点A在点B的左侧），AB＝4，且抛物线L的对称轴为直线x＝﹣3，
∴A（﹣5，0），B（﹣1，0），
把A（﹣5，0），B（﹣1，0）代入y＝﹣x2+mx+n得：
，解得，
∴抛物线L的表达式为y＝﹣x2﹣6x﹣5；
（2）过P作PQ⊥x轴于Q，如图：
∵将抛物线L平移得到抛物线L'，
∴两抛物线形状相同，
设抛物线L'的顶点为P（h，k），则抛物线L'解析式为y＝﹣（x﹣h）2+k，
∵△OCP是等腰直角三角形，PQ⊥x轴，
∴PQ＝OQ，即|h|＝|k|，
又抛物线L'经过原点O，
∴0＝﹣（0﹣h）2+k，即k＝h2，
∴|h|＝h2，解得h＝0或h＝1或h＝﹣1，
h＝0时，抛物线顶点是原点，O、C、P重合，不能构成△OCP，故舍去，
h＝1时，k＝1，此时P（1，1），
h＝﹣1时，k＝1，此时P（﹣1，1）
∴△OCP是等腰直角三角形，点P的坐标为（1，1）或（﹣1，1）．
24．问题提出：
（1）如图1，在矩形ABCD内，以BC的中点F为圆心，BC为直径作半圆．P为半圆上一点，若AB＝6，BC＝8，试求△ADP的面积的最小值．
问题探究：
（2）如图2，在菱形ABCD中，∠BAD＝135°，AB＝2，P是菱形ABCD内或边上的一点，且∠DAP+∠CBP＝90°，连接DP，CP，求△DCP面积的最小值．
问题解决：
（3）如图3，在市区有一块矩形形状的闲置空地ABCD要进行规划，其中AB＝300米，BC＝400米，E是AB边上一点，且AE＝200米，F是BC边上的任意一点．把△BEF改造成一个供市民休息的区域，△GEF是△BEF关于EF的轴对称图形，在△GEF区域放置“全民健康，全面小康”的宣传栏．同时修建AG、CG、EG、FG四条观光道，在四边形空地AGCD种植草坪，剩余两个三角形区域种植鲜花，试求草坪AGCD的面积的最小值．
【分析】（1）取AD的中点M，连接PM，PF，MF，可得四边形ABFM为矩形，FM＝6，PF＝4；由于PM≥FM﹣PF，∴PM≥2．得到当且仅当P，F．M三点共线时，PM取最小值．PM取最小值2时，PM⊥AD，此时，P点到AD的距离小．结论可得；
（2）由已知可得∠APB＝90°，于是点P在以AB为直径的圆弧上移动；过点A作AH⊥CD于H，可得AH＝2，利用（1）中的方法可知：点P到CD的最小距离为2﹣，从而结论可得；
（3）连接AC，过点E作EN⊥AC于N，连接NG，可得BE＝EG＝100米，于是点G在以E为圆心100米为半径的圆弧上移动；由于NG≥EN﹣EG，∴NG≥60米，因此当且仅当E，G，N三点共线时，NG取得最小值．当NG取得最小值时，NG⊥AC，可知点G到AC的最小距离为：160﹣100＝60（米），从而得到S△AGC的最小值＝15000（平方米），结论可得．
【解答】解：（1）取AD的中点M，连接PM，PF，MF，如图1，
∵四边形ABCD是矩形，
∴AD＝BC＝8，AD∥BC，∠BAD＝90°．
∵F是BC的中点，M是AD的中点，
∴BF＝BC，AM＝AD．
∴BF＝AM．
∴四边形ABFM为矩形．
∴FM＝AB＝6．
∵FP＝FB＝FC＝BC＝4，
∴PM≥FM﹣PF．
∴PM≥2．
∴当且仅当P，F．M三点共线时，PM取最小值．
PM取最小值2时，PM⊥AD，此时，P点到AD的距离小．
∴S△APD的最小值为：×AD×2＝8．
∴△APD的面积的最小值为8．
（2）∵四边形ABCD是菱形，
∴AD∥BC，AB∥CD．
∴∠DAB+∠ABC＝180°．
∵∠DAP+∠CBP＝90°，
∴∠PAB+∠PBA＝180°﹣90°＝90°．
∴∠APB＝180°﹣（∠PAB+∠PBA）＝90°．
∴点P在以AB为直径的圆弧上移动．
∵∠DAB+∠ADC＝180°，∠BAD＝135°，
∴∠ADC＝45°．
过点A作AH⊥CD于H，如下图，
∴∠HAD＝∠HDA＝45°．
∴AH＝HD＝AD＝AB＝2．
由（1）知，点P到CD的最小距离为2﹣．
∵CD＝AB＝2，
∴S△DCP的最小值为：．
∴△DCP的面积的最小值为2．
（3）连接AC，过点E作EN⊥AC于N，连接NG，如图3，
∵△GEF是△BEF关于EF的轴对称图形，
∴EB＝EG．
∵AB＝300米，AE＝200米，
∴BE＝AB﹣AE＝100米．
∴EG＝100（米）．
∴点G在以E为圆心100米为半径的圆弧上移动．
在Rt△ABC中，
∵∠ABC＝90°，AB＝300米，BC＝400米，
∴AC＝（米）．
∴sin∠BAC＝．
∵EN⊥AC，
∴sin∠BAC＝．
∴EN＝AE＝160（米）．
∵NG≥EN﹣EG，
∴NG≥60米．
∴当且仅当E，G，N三点共线时，NG取得最小值．
当NG取得最小值时，NG⊥AC．
∴点G到AC的最小距离为：160﹣100＝60（米）．
∴S△AGC的最小值为AC×60＝×500×60＝15000（平方米）．
∵×AD×CD＝400×300＝60000（平方米）．
∴草坪AGBD的面积的最小值为：15000+60000＝75000（平方米）．
故草坪AGBD的面积的最小值为75000平方米．
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