高考数学(理数)一轮精品复习：《选修4-4 坐标系与参数方程》讲与练(23页学生版)

这是一份高考数学(理数)一轮精品复习：《选修4-4 坐标系与参数方程》讲与练(23页学生版)，共22页。试卷主要包含了填空题等内容，欢迎下载使用。

本节主要包括2个知识点： 1.平面直角坐标系下图形的伸缩变换；2.极坐标系.
突破点(一) 平面直角坐标系下图形的伸缩变换
eq \a\vs4\al([基本知识])
设点P(x，y)是平面直角坐标系中的任意一点，在变换φ：eq \b\lc\{\rc\ (\a\vs4\al\c1(x′＝λ·xλ＞0，,y′＝μ·yμ＞0))的作用下，点P(x，y)对应到点P′(x′，y′)，称φ为平面直角坐标系中的坐标伸缩变换，简称伸缩变换．
eq \a\vs4\al([基本能力])
1．判断题
(1)平面直角坐标系中点P(－2,3)在变换φ：eq \b\lc\{\rc\ (\a\vs4\al\c1(x′＝\f(1,2)x，,y′＝\f(1,3)y))的作用下得到的点为P′(－1,1)．( )
(2)已知伸缩变换φ：eq \b\lc\{\rc\ (\a\vs4\al\c1(x′＝2x，,y′＝－\f(1,2)y，))经φ变换得到点A′(2,4)，则原来点的坐标为A(4，－2)．( )
2．填空题
(1)直线l：x－2y＋3＝0经过φ：eq \b\lc\{\rc\ (\a\vs4\al\c1(x′＝x，,y′＝2y))变换后得到的直线l′方程为________________．
(2)已知平面直角坐标系中点A(－2,4)经过φ变换后得A′的坐标为eq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(－\f(1,2)，2))，则伸缩变换φ为________．
eq \a\vs4\al([全析考法])
[典例] 求双曲线C：x2－eq \f(y2,64)＝1经过φ：eq \b\lc\{\rc\ (\a\vs4\al\c1(x′＝3x，,2y′＝y))变换后所得曲线C′的焦点坐标．
[方法技巧]
应用伸缩变换公式时的两个注意点
(1)曲线的伸缩变换是通过曲线上任意一点的坐标的伸缩变换实现的，解题时一定要区分变换前的点P的坐标(x，y)与变换后的点P′的坐标(x′，y′)，再利用伸缩变换公式eq \b\lc\{\rc\ (\a\vs4\al\c1(x′＝λxλ>0，,y′＝μyμ>0))建立联系．
(2)已知变换后的曲线方程f(x，y)＝0，一般都要改写为方程f(x′，y′)＝0，再利用换元法确定伸缩变换公式．
eq \a\vs4\al([全练题点])
1．求直线l：y＝6x经过φ：eq \b\lc\{\rc\ (\a\vs4\al\c1(x′＝3x，,2y′＝y))变换后所得到的直线l′的方程．
2．在同一平面直角坐标系中，将直线x－2y＝2变成直线2x′－y′＝4，求满足图象变换的伸缩变换．
3．在同一平面直角坐标系中，经过伸缩变换eq \b\lc\{\rc\ (\a\vs4\al\c1(x′＝\f(1,2)x，,y′＝\f(1,3)y))后，曲线C：x2＋y2＝36变为何种曲线，并求曲线的焦点坐标．
突破点(二) 极坐标系
eq \a\vs4\al([基本知识])
1．极坐标系的概念
(1)极坐标系
如图所示，在平面内取一个定点O，点O叫做极点，自极点O引一条射线Ox，Ox叫做极轴；再选定一个长度单位、一个角度单位(通常取弧度)及其正方向(通常取逆时针方向)，这样就建立了一个极坐标系．
(2)极坐标
一般地，没有特殊说明时，我们认为ρ≥0，θ可取任意实数．
(3)点与极坐标的关系
一般地，极坐标(ρ，θ)与(ρ，θ＋2kπ)(k∈Z)表示同一个点，特别地，极点O的坐标为(0，θ)(θ∈R)，和直角坐标不同，平面内一个点的极坐标有无数种表示．
如果规定ρ＞0,0≤θ＜2π，那么除极点外，平面内的点可用唯一的极坐标(ρ，θ) 表示；同时，极坐标(ρ，θ)表示的点也是唯一确定的．
2．极坐标与直角坐标的互化
eq \a\vs4\al([基本能力])
1．判断题
(1)圆心在极轴上的点(a,0)处，且过极点O的圆的极坐标方程为ρ＝2asin θ.( )
(2)tan θ＝1与θ＝eq \f(π,4)表示同一条曲线．( )
(3)点P的直角坐标为(－eq \r(2)，eq \r(2))，那么它的极坐标可表示为eq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(2，\f(3π,4))).( )
2.填空题
(1)点P的直角坐标为(1，－eq \r(3))，则点P的极坐标为________．
(2)在极坐标系中，圆ρ＝2cs θ在点M(2,0)处的切线的极坐标方程为________．
(3)在极坐标系中Aeq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(2，－\f(π,3)))，Beq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(4，\f(2π,3)))两点间的距离为________．
(4)圆ρ＝5cs θ－5eq \r(3)sin θ的圆心的极坐标为________．
(5)在极坐标系中，直线ρsineq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(θ＋\f(π,4)))＝2被圆ρ＝4截得的弦长为________．
eq \a\vs4\al([全析考法])
1．极坐标方程化为直角坐标方程的步骤
2．直角坐标方程化为极坐标方程或直角坐标系中点的坐标化为极坐标
(1)直角坐标方程化为极坐标方程较为简单，只需将直角坐标方程中的x，y分别用ρcs θ，ρsin θ代替即可得到相应极坐标方程．
(2)求直角坐标系中的点(x，y)对应的极坐标的一般步骤：
[例1] 在极坐标系下，已知圆O：ρ＝cs θ＋sin θ和直线l：ρsineq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(θ－\f(π,4)))＝eq \f(\r(2),2).
(1)求圆O和直线l的直角坐标方程；
(2)当θ∈(0，π)时，求直线l与圆O公共点的一个极坐标．
[方法技巧]
1．应用互化公式的三个前提条件
(1)取直角坐标系的原点为极点．
(2)以x轴的正半轴为极轴．
(3)两种坐标系规定相同的长度单位．
2．直角坐标化为极坐标时的两个注意点
(1)根据终边相同的角的意义，角θ的表示方法具有周期性，故点M的极坐标(ρ，θ)的形式不唯一，即一个点的极坐标有无穷多个．当限定ρ≥0，θ∈[0,2π)时，除极点外，点M的极坐标是唯一的．
(2)当把点的直角坐标化为极坐标时，求极角θ应注意判断点M所在的象限(即角θ的终边的位置)，以便正确地求出角θ(θ∈[0,2π))的值．
[例2]在直角坐标系xOy中，以坐标原点为极点，x轴的非负半轴为极轴建立极坐标系，圆C的极坐标方程为ρ＝4cs θ.
(1)求出圆C的直角坐标方程；
(2)已知圆C与x轴相交于A，B两点，直线l：y＝2x关于点M(0，m)(m≠0)对称的直线为l′.若直线l′上存在点P使得∠APB＝90°，求实数m的最大值．
[易错提醒]
用极坐标系解决问题时要注意题目中的几何关系，如果几何关系不容易通过极坐标表示时，可以先化为直角坐标方程，将不熟悉的问题转化为熟悉的问题加以解决．
eq \a\vs4\al([全练题点])
1.eq \a\vs4\al([考点一、二])已知直线l的极坐标方程为2ρsineq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(θ＋\f(π,4)))＝eq \r(2)，点A的极坐标为Aeq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(2\r(2)，\f(7π,4)))，求点A到直线l的距离．
2.eq \a\vs4\al([考点二])在极坐标系中，直线C1的极坐标方程为ρsin θ＝2，M是C1上任意一点，点P在射线OM上，且满足|OP|·|OM|＝4，记点P的轨迹为C2.
(1)求曲线C2的极坐标方程；
(2)求曲线C2上的点到直线C3：ρcseq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(θ＋\f(π,4)))＝eq \r(2)的距离的最大值．
[全国卷5年真题集中演练——明规律]
1．在直角坐标系xOy中，以坐标原点为极点，x轴正半轴为极轴建立极坐标系，曲线C1的极坐标方程为ρcs θ＝4.
(1)M为曲线C1上的动点，点P在线段OM上，且满足|OM|·|OP|＝16，求点P的轨迹C2的直角坐标方程；
(2)设点A的极坐标为eq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(2，\f(π,3)))，点B在曲线C2上，求△OAB面积的最大值．
2．在直角坐标系xOy中，曲线C1的参数方程为eq \b\lc\{\rc\ (\a\vs4\al\c1(x＝acs t，,y＝1＋asin t))(t为参数，a＞0)．在以坐标原点为极点，x轴正半轴为极轴的极坐标系中，曲线C2：ρ＝4cs θ.
(1)说明C1是哪一种曲线，并将C1的方程化为极坐标方程；
(2)直线C3的极坐标方程为θ＝α0，其中α0满足tan α0＝2，若曲线C1与C2的公共点都在C3上，求a.
[课时达标检测]
1．在极坐标系中，已知圆C经过点Peq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(\r(2)，\f(π,4)))，圆心为直线ρsineq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(θ－\f(π,3)))＝－eq \f(\r(3),2)与极轴的交点，求圆C的极坐标方程．
2．设M，N分别是曲线ρ＋2sin θ＝0和ρsineq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(θ＋\f(π,4)))＝eq \f(\r(2),2)上的动点，求M，N的最小距离．
3．求经过极点O(0,0)，Aeq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(6，\f(π,2)))，Beq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(6\r(2)，\f(9π,4)))三点的圆的极坐标方程．
4．在极坐标系中，曲线C的方程为ρ2＝eq \f(3,1＋2sin2θ)，点Req \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(2\r(2)，\f(π,4))).
(1)以极点为原点，极轴为x轴的正半轴，建立平面直角坐标系，把曲线C的极坐标方程化为直角坐标方程，R点的极坐标化为直角坐标；
(2)设P为曲线C上一动点，以PR为对角线的矩形PQRS的一边垂直于极轴，求矩形PQRS周长的最小值，及此时P点的直角坐标．
5．已知直线l：ρsineq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(θ－\f(π,4)))＝4和圆C：ρ＝2kcseq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(θ＋\f(π,4)))(k≠0)，若直线l上的点到圆C上的点的最小距离等于2.求实数k的值并求圆心C的直角坐标．
6．已知曲线C的极坐标方程是ρsin2θ－8cs θ＝0，以极点为平面直角坐标系的原点，极轴为x轴的正半轴，建立平面直角坐标系xOy.在直角坐标系中，倾斜角为α的直线l过点(2,0)．
(1)写出曲线C的直角坐标方程和直线l的参数方程；
(2)设点Q和点G的极坐标分别为eq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(2，\f(3π,2)))，(2，π)，若直线l经过点Q，且与曲线C相交于A，B两点，求△GAB的面积．
7．已知在一个极坐标系中点C的极坐标为eq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(2，\f(π,3))).
(1)求出以C为圆心，半径长为2的圆的极坐标方程(写出解题过程)；
(2)在直角坐标系中，以圆C所在极坐标系的极点为原点，极轴为x轴的正半轴建立直角坐标系，点P是圆C上任意一点，Q(5，－eq \r(3))，M是线段PQ的中点，当点P在圆C上运动时，求点M的轨迹的普通方程．
8．在平面直角坐标系中，曲线C1的参数方程为eq \b\lc\{\rc\ (\a\vs4\al\c1(x＝2cs φ，,y＝sin φ))(φ为参数)，以原点O为极点，x轴的正半轴为极轴建立极坐标系，曲线C2是圆心在极轴上且经过极点的圆，射线θ＝eq \f(π,3)与曲线C2交于点Deq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(2，\f(π,3))).
(1)求曲线C1的普通方程和曲线C2的直角坐标方程；
(2)已知极坐标系中两点A(ρ1，θ0)，Beq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(ρ2，θ0＋\f(π,2)))，若A，B都在曲线C1上，求eq \f(1,ρ\\al(2,1))＋eq \f(1,ρ\\al(2,2))的值．
第二节 参数方程
本节主要包括2个知识点：
1.参数方程； 2.参数方程与极坐标方程的综合问题.
突破点(一) 参数方程
eq \a\vs4\al([基本知识])
1．参数方程
一般地，在平面直角坐标系中，如果曲线上任意一点的坐标x，y都是某个变数t的函数：eq \b\lc\{\rc\ (\a\vs4\al\c1(x＝ft，,y＝gt，))并且对于t的每一个允许值，由方程组eq \b\lc\{\rc\ (\a\vs4\al\c1(x＝ft，,y＝gt))所确定的点M(x，y)都在这条曲线上，那么方程eq \b\lc\{\rc\ (\a\vs4\al\c1(x＝ft，,y＝gt))就叫做这条曲线的参数方程，变数t叫做参变数，简称参数．相对于参数方程而言，直接给出点的坐标间关系的方程叫做普通方程．
2．直线、圆、椭圆的参数方程
(1)过点M(x0，y0)，倾斜角为α的直线l的参数方程为eq \b\lc\{\rc\ (\a\vs4\al\c1(x＝x0＋tcs α，,y＝y0＋tsin α))(t为参数)．
(2)圆心在点M0(x0，y0)，半径为r的圆的参数方程为eq \b\lc\{\rc\ (\a\vs4\al\c1(x＝x0＋rcs θ，,y＝y0＋rsin θ))(θ为参数)．
(3)椭圆eq \f(x2,a2)＋eq \f(y2,b2)＝1(a＞b＞0)的参数方程为
eq \b\lc\{\rc\ (\a\vs4\al\c1(x＝acs φ，,y＝bsin φ))(φ为参数)．
eq \a\vs4\al([基本能力])
1．判断题
(1)参数方程eq \b\lc\{\rc\ (\a\vs4\al\c1(x＝－1－t，,y＝2＋t))(t为参数)所表示的图形是直线．( )
(2)直线y＝x与曲线eq \b\lc\{\rc\ (\a\vs4\al\c1(x＝3cs α，,y＝3sin α))(α为参数)的交点个数为1.( )
2．填空题
(1)若直线的参数方程为eq \b\lc\{\rc\ (\a\vs4\al\c1(x＝1＋2t，,y＝2－3t))(t为参数)，则直线的斜率为________．
(2)椭圆C的参数方程为eq \b\lc\{\rc\ (\a\vs4\al\c1(x＝5cs φ，,y＝3sin φ))(φ为参数)，过左焦点F1的直线l与C相交于A，B两点，则|AB|min＝________.
(3)曲线C的参数方程为eq \b\lc\{\rc\ (\a\vs4\al\c1(x＝sin θ，,y＝cs 2θ－1))(θ为参数)，则曲线C的普通方程为________．
(4)椭圆eq \b\lc\{\rc\ (\a\vs4\al\c1(x＝2cs θ，,y＝5sin θ))(θ为参数)的离心率为________．
eq \a\vs4\al([全析考法])
1．参数方程化为普通方程
基本思路是消去参数，常用的消参方法有：①代入消元法；②加减消元法；③恒等式(三角的或代数的)消元法；④平方后再加减消元法等．其中代入消元法、加减消元法一般是利用解方程的技巧，三角恒等式消元法常利用公式sin2θ＋cs2θ＝1等．
2．普通方程化为参数方程
(1)选择参数的一般原则
曲线上任意一点的坐标与参数的关系比较明显且关系相对简单；当参数取某一值时，可以唯一确定x，y的值；
(2)解题的一般步骤
第一步，引入参数，但要选定合适的参数t；
第二步，确定参数t与变量x或y的一个关系式x＝f(t)(或y＝φ(t));
第三步，把确定的参数与一个变量的关系式代入普通方程F(x，y)＝0，求得另一关系y＝g(t)(或x＝ψ(t))，问题得解．
[例1] 将下列参数方程化为普通方程．
(1)eq \b\lc\{\rc\ (\a\vs4\al\c1(x＝\f(1,t)，,y＝\f(1,t)\r(t2－1)))(t为参数)；
(2)eq \b\lc\{\rc\ (\a\vs4\al\c1(x＝2＋sin2θ，,y＝－1＋cs 2θ))(θ为参数)．
[易错提醒]
(1)将曲线的参数方程化为普通方程时务必要注意x，y的取值范围，保证消参前后方程的一致性．
(2)将参数方程化为普通方程时，要注意参数的取值范围对普通方程中x，y的取值范围的影响．
1．解决直线与圆锥曲线的参数方程的应用问题，其一般思路如下：
(1)把直线和圆锥曲线的参数方程都化为普通方程；
(2)根据直线与圆锥曲线的位置关系解决问题．
2．当直线经过点P(x0，y0)，且直线的倾斜角为α，求直线与圆锥曲线的交点、弦长问题时，可以把直线的参数方程设成eq \b\lc\{\rc\ (\a\vs4\al\c1(x＝x0＋tcs α，,y＝y0＋tsin α))(t为参数)，交点A，B对应的参数分别为t1，t2，计算时把直线的参数方程代入圆锥曲线的直角坐标方程，求出t1＋t2，t1·t2，得到|AB|＝|t1－t2|＝eq \r(t1＋t22－4t1·t2).
[例2]已知直线l：eq \b\lc\{\rc\ (\a\vs4\al\c1(x＝1＋\f(1,2)t，,y＝\f(\r(3),2)t))(t为参数)，曲线C1：eq \b\lc\{\rc\ (\a\vs4\al\c1(x＝cs θ，,y＝sin θ))(θ为参数)．
(1)设l与C1相交于A，B两点，求|AB|；
(2)若把曲线C1上各点的横坐标压缩为原来的eq \f(1,2)，纵坐标压缩为原来的eq \f(\r(3),2)，得到曲线C2，设点P是曲线C2上的一个动点，求它到直线l距离的最小值．
[方法技巧]
求解直线与圆锥曲线参数方程问题的方法
(1)解决直线与圆锥曲线的参数方程的应用问题时一般是先化为普通方程再根据直线与圆锥曲线的位置关系来解决问题．
(2)对于形如eq \b\lc\{\rc\ (\a\vs4\al\c1(x＝x0＋at，,y＝y0＋bt))(t为参数)的直线的参数方程，当a2＋b2≠1时，应先化为标准形式后才能利用t的几何意义解题．
eq \a\vs4\al([全练题点])
1.eq \a\vs4\al([考点二])在直角坐标系xOy中，直线l的参数方程为eq \b\lc\{\rc\ (\a\vs4\al\c1(x＝3－\f(\r(2),2)t，,y＝\r(5)＋\f(\r(2),2)t))(t为参数)．在极坐标系(与直角坐标系xOy取相同的长度单位，且以原点O为极点，以x轴正半轴为极轴)中，圆C的方程为ρ＝2eq \r(5)sin θ.
(1)求圆C的直角坐标方程；
(2)设圆C与直线l交于点A，B，若点P的坐标为(3，eq \r(5))，求|PA|＋|PB|.
2.eq \a\vs4\al([考点一、二])将曲线C1：x2＋y2＝1上所有点的横坐标伸长到原来的eq \r(2)倍(纵坐标不变)得到曲线C2，A为C1与x轴正半轴的交点，直线l经过点A且倾斜角为30°，记l与曲线C1的另一个交点为B，与曲线C2在第一、三象限的交点分别为C，D.
(1)写出曲线C2的普通方程及直线l的参数方程；
(2)求|AC|－|BD|.
突破点(二) 参数方程与极坐标方程的综合问题
将极坐标方程与参数方程、普通方程交织在一起，考查极坐标方程与参数方程的综合应用.将各类方程相互转化是求解该类问题的前提.,解决问题时要注意：,1解题时，易将直线与圆的极坐标方程混淆.要熟练掌握特殊直线、圆的极坐标方程的形式.,2应用解析法解决实际问题时，要注意选取直角坐标系还是极坐标系，建立极坐标系要注意极点、极轴位置的选择，注意点和极坐标之间的“一对多”关系.,3求曲线方程，常设曲线上任意一点Pρ，θ，利用解三角形的知识，列出等量关系式，特别是正弦、余弦定理的应用.圆的参数方程常和三角恒等变换结合在一起，解决取值范围或最值问题.,4参数方程和普通方程表示同一个曲线时，要注意其中x，y的取值范围，即注意两者的等价性.
eq \a\vs4\al([全析考法])
[典例]在直角坐标系xOy中，曲线C1的参数方程为eq \b\lc\{\rc\ (\a\vs4\al\c1(x＝\r(2)cs α，,y＝sin α))(α为参数)，以原点O为极点，x轴正半轴为极轴，建立极坐标系，曲线C2的极坐标方程为ρsineq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(θ＋\f(π,4)))＝4eq \r(2).
(1)求曲线C1的普通方程与曲线C2的直角坐标方程；
(2)设P为曲线C1上的动点，求点P到曲线C2上点的距离的最小值．
[方法技巧]
处理极坐标、参数方程综合问题的方法
(1)涉及参数方程和极坐标方程的综合题，求解的一般方法是分别化为普通方程和直角坐标方程后求解．当然，还要结合题目本身特点，确定选择何种方程．
(2)数形结合的应用，即充分利用参数方程中参数的几何意义，或者利用ρ和θ的几何意义，直接求解，能达到化繁为简的解题目的．
eq \a\vs4\al([全练题点])
1．已知曲线C1的参数方程为eq \b\lc\{\rc\ (\a\vs4\al\c1(x＝4＋5cs t，,y＝5＋5sin t，)) (t为参数)，以坐标原点为极点，x轴的正半轴为极轴建立极坐标系，曲线C2的极坐标方程为ρ＝2sin θ .
(1)把C1的参数方程化为极坐标方程；
(2)求C1与C2交点的极坐标(ρ≥0,0≤θ＜2π)．
2．在平面直角坐标系xOy中，曲线C1的参数方程为eq \b\lc\{\rc\ (\a\vs4\al\c1(x＝1＋cs α，,y＝1＋sin α))(α为参数，π≤α≤2π)，以O为极点，x轴正半轴为极轴建立极坐标系，曲线C2的极坐标方程为ρcseq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(θ－\f(π,4)))＝eq \f(\r(2),2)t.
(1)求C2的直角坐标方程；
(2)当C1与C2有两个公共点时，求实数t的取值范围．
[全国卷5年真题集中演练——明规律]
1．在直角坐标系xOy中，曲线C的参数方程为eq \b\lc\{\rc\ (\a\vs4\al\c1(x＝3cs θ，,y＝sin θ))(θ为参数)，直线l的参数方程为eq \b\lc\{\rc\ (\a\vs4\al\c1(x＝a＋4t，,y＝1－t))(t为参数)．
(1)若a＝－1，求C与l的交点坐标；
(2)若C上的点到l距离的最大值为eq \r(17)，求a.
2．在直角坐标系xOy中，直线l1的参数方程为eq \b\lc\{\rc\ (\a\vs4\al\c1(x＝2＋t，,y＝kt))(t为参数)，直线l2的参数方程为eq \b\lc\{\rc\ (\a\vs4\al\c1(x＝－2＋m，,y＝\f(m,k)))(m为参数)．设l1与l2的交点为P，当k变化时，P的轨迹为曲线C.
(1)写出C的普通方程；
(2)以坐标原点为极点，x轴正半轴为极轴建立极坐标系，设l3：ρ(cs θ＋sin θ)－eq \r(2)＝0，M为l3与C的交点，求M的极径．
3．在直角坐标系xOy中，圆C的方程为(x＋6)2＋y2＝25.
(1)以坐标原点为极点，x轴正半轴为极轴建立极坐标系，求C的极坐标方程；
(2)直线l的参数方程是eq \b\lc\{\rc\ (\a\vs4\al\c1(x＝tcs α，,y＝tsin α))(t为参数)，l与C交于A，B两点，|AB|＝eq \r(10)，求l的斜率．
4．在直角坐标系xOy中，曲线C1的参数方程为eq \b\lc\{\rc\ (\a\vs4\al\c1(x＝\r(3)cs α，,y＝sin α))(α为参数)．以坐标原点为极点，以x轴的正半轴为极轴，建立极坐标系，曲线C2的极坐标方程为ρsineq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(θ＋\f(π,4)))＝2eq \r(2).
(1)写出C1的普通方程和C2的直角坐标方程；
(2)设点P在C1上，点Q在C2上，求|PQ|的最小值及此时P的直角坐标．
[课时达标检测]
1．已知曲线C的参数方程是eq \b\lc\{\rc\ (\a\vs4\al\c1(x＝cs α，,y＝m＋sin α))(α为参数)，
直线l的参数方程为eq \b\lc\{\rc\ (\a\vs4\al\c1(x＝1＋\f(\r(5),5)t，,y＝4＋\f(2\r(5),5)t))(t为参数)．
(1)求曲线C与直线l的普通方程；
(2)若直线l与曲线C相交于P，Q两点，且|PQ|＝eq \f(4\r(5),5)，求实数m的值．
2．在极坐标系中，已知三点O(0,0)，Aeq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(2，\f(π,2)))，Beq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(2\r(2)，\f(π,4))).
(1)求经过点O，A，B的圆C1的极坐标方程；
(2)以极点为坐标原点，极轴为x轴的正半轴建立平面直角坐标系，圆C2的参数方程为eq \b\lc\{\rc\ (\a\vs4\al\c1(x＝－1＋acs θ，,y＝－1＋asin θ))(θ是参数)，若圆C1与圆C2外切，求实数a的值．
3．在直角坐标系xOy中，直线l：y＝x，圆C：eq \b\lc\{\rc\ (\a\vs4\al\c1(x＝－1＋cs θ，,y＝－2＋sin θ))(φ为参数)，以坐标原点为极点，x轴的正半轴为极轴建立极坐标系．
(1)求直线l与圆C的极坐标方程；
(2)设直线l与圆C的交点为M，N，求△CMN的面积．
4．在直角坐标系xOy中，设倾斜角为α的直线l：eq \b\lc\{\rc\ (\a\vs4\al\c1(x＝2＋tcs α，,y＝\r(3)＋tsin α))(t为参数)与曲线C：eq \b\lc\{\rc\ (\a\vs4\al\c1(x＝2cs θ，,y＝sin θ))(θ为参数)相交于不同的两点A，B.
(1)若α＝eq \f(π,3)，求线段AB的中点M的坐标；
(2)若|PA|·|PB|＝|OP|2，其中P(2，eq \r(3))，求直线l的斜率．
5．在平面直角坐标系xOy中，C1：eq \b\lc\{\rc\ (\a\vs4\al\c1(x＝t，,y＝kt－1))(t为参数)．以原点O为极点，x轴的正半轴为极轴建立极坐标系，已知曲线C2：ρ2＋10ρcs θ－6ρsin θ＋33＝0.
(1)求C1的普通方程及C2的直角坐标方程，并说明它们分别表示什么曲线；
(2)若P，Q分别为C1，C2上的动点，且|PQ|的最小值为2，求k的值．
6．已知曲线C的极坐标方程为ρ＝6sin θ，以极点O为原点，极轴为x轴的非负半轴建立直角坐标系，直线l的参数方程为eq \b\lc\{\rc\ (\a\vs4\al\c1(x＝－1＋at，,y＝1＋t))(t为参数)．
(1)求曲线C的直角坐标方程及直线l的普通方程；
(2)直线l与曲线C交于B，D两点，当|BD|取到最小值时，求a的值．
7．在平面直角坐标系中，曲线C1的参数方程为eq \b\lc\{\rc\ (\a\vs4\al\c1(x＝4cs φ，,y＝3sin φ))(φ为参数)，以坐标原点O为极点，x轴的非负半轴为极轴建立极坐标系，曲线C2的极坐标方程为ρ＝2cs θ.
(1)求曲线C2的直角坐标方程；
(2)已知点M是曲线C1上任意一点，点N是曲线C2上任意一点，求|MN|的取值范围．
8．极坐标系与直角坐标系xOy取相同的长度单位，以原点O为极点，以x轴正半轴为极轴．已知直线l的参数方程为eq \b\lc\{\rc\ (\a\vs4\al\c1(x＝2＋tcs α，,y＝tsin α))(t为参数)．曲线C的极坐标方程为ρsin2θ＝8cs θ.
(1)求曲线C的直角坐标方程；
(2)设直线l与曲线C交于A，B两点，与x轴的交点为F，求eq \f(1,|AF|)＋eq \f(1,|BF|)的值．
平面直角坐标系下图形的伸缩变换
点M
直角坐标(x，y)
极坐标(ρ，θ)
互化公式
eq \b\lc\{\rc\ (\a\vs4\al\c1(x＝ρcs θ，,y＝ρsin θ))
eq \b\lc\{\rc\ (\a\vs4\al\c1(ρ2＝x2＋y2，,tan θ＝\f(y,x)x≠0))
极坐标与直角坐标的互化
第一步
判断极坐标的极点与直角坐标系的原点是否重合，且极轴与x轴正半轴是否重合，若上述两个都重合，则极坐标方程与直角坐标方程可以互化
第二步
通过极坐标方程的两边同乘ρ或同时平方构造ρcs θ，ρsin θ，ρ2的形式，一定要注意变形过程中方程要保持同解，不要出现增解或漏解
第三步
根据极坐标方程与直角坐标方程的互化公式eq \b\lc\{\rc\ (\a\vs4\al\c1(x＝ρcs θ，,y＝ρsin θ))及ρ2＝x2＋y2将极坐标方程转化为直角坐标方程
极坐标方程的应用
参数方程与普通方程的互化
直线与圆锥曲线的参数方程及应用
参数方程与极坐标方程的综合问题