高考数学一轮细讲精练【选修4-4】坐标系与参数方程

这是一份高考数学一轮细讲精练【选修4-4】坐标系与参数方程，共22页。

1．理解坐标系的作用．了解在平面直角坐标系伸缩变换作用下平面图形的变化情况．
2．会在极坐标系中用极坐标刻画点的位置，能进行极坐标和直角坐标的互化．
3．能在极坐标系中给出简单图形(如过极点的直线、过极点或圆心在极点的圆)表示的极坐标方程.
知 识 梳 理
1．极坐标系
(1)极坐标系的建立：在平面上取一个定点O，叫做极点，从O点引一条射线Ox，叫做极轴，再选定一个长度单位、一个角度单位(通常取弧度)及其正方向(通常取逆时针方向)，这样就确定了一个极坐标系．
设M是平面内一点，极点O与点M的距离OM叫做点M的极径，记为ρ，以极轴Ox为始边，射线OM为终边的角叫做点M的极角，记为θ.有序数对(ρ，θ)叫做点M的极坐标，记作M(ρ，θ)．
(2)极坐标与直角坐标的关系：把直角坐标系的原点作为极点，x轴的正半轴作为极轴，并在两种坐标系中取相同的长度单位，设M是平面内任意一点，它的直角坐标是(x，y)，极坐标为(ρ，θ)，则它们之间的关系为x＝ρcs θ，y＝ρsin_θ.另一种关系为ρ2＝x2＋y2，tan θ＝eq \f(y,x).
2．直线的极坐标方程
若直线过点M(ρ0，θ0)，且极轴到此直线的角为α，则它的方程为：ρsin(θ－α)＝ρ0sin (θ0－α)．
几个特殊位置的直线的极坐标方程
(1)直线过极点：θ＝θ0和θ＝π－θ0；
(2)直线过点M(a,0)且垂直于极轴：ρcs θ＝a；
(3)直线过Meq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(b，\f(π,2)))且平行于极轴：ρsin θ＝b.
3．圆的极坐标方程
若圆心为M(ρ0，θ0)，半径为r的圆方程为
ρ2－2ρ0ρcs(θ－θ0)＋ρeq \\al(2,0)－r2＝0.
几个特殊位置的圆的极坐标方程
(1)当圆心位于极点，半径为r：ρ＝r；
(2)当圆心位于M(a,0)，半径为a：ρ＝2acs_θ；
(3)当圆心位于Meq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(a，\f(π,2)))，半径为a：ρ＝2asin_θ.
诊 断 自 测
1．点P的直角坐标为(－eq \r(2)，eq \r(2))，那么它的极坐标可表示为________．
解析 直接利用极坐标与直角坐标的互化公式．
答案 eq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(2，\f(3π,4)))
2．若曲线的极坐标方程为ρ＝2sin θ＋4cs θ，以极点为原点，极轴为x轴正半轴建立直角坐标系，则该曲线的直角坐标方程为________．
解析 ∵ρ＝2sin θ＋4cs θ，
∴ρ2＝2ρsin θ＋4ρcs θ.
∴x2＋y2＝2y＋4x，
即x2＋y2－2y－4x＝0.
答案 x2＋y2－4x－2y＝0
3．(2014·西安五校一模)在极坐标系(ρ，θ)(0≤θ＜2π)中，曲线ρ＝2sin θ与ρcs θ＝－1的交点的极坐标为________．
解析 ρ＝2sin θ的直角坐标方程为x2＋y2－2y＝0，ρcs θ＝－1的直角坐标方程为x＝－1，联立方程，得eq \b\lc\{\rc\ (\a\vs4\al\c1(x2＋y2－2y＝0，,x＝－1，))解得eq \b\lc\{\rc\ (\a\vs4\al\c1(x＝－1，,y＝1，))即两曲线的交点为(－1,1)，又0≤θ＜2π，因此这两条曲线的交点的极坐标为eq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(\r(2)，\f(3π,4))).
答案 eq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(\r(2)，\f(3π,4)))
4．在极坐标系中，直线l的方程为ρsin θ＝3，则点eq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(2，\f(π,6)))到直线l的距离为________．
解析 ∵直线l的极坐标方程可化为y＝3，点eq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(2，\f(π,6)))化为直角坐标为(eq \r(3)，1)，
∴点eq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(2，\f(π,6)))到直线l的距离为2.
答案 2
5．在极坐标系中，圆ρ＝4sin θ的圆心到直线θ＝eq \f(π,6)(ρ∈R)的距离是________．
解析 将极坐标方程转化为平面直角坐标系中的一般方程求解，极坐标系中的圆ρ＝4sin θ转化为平面直角坐标系中的一般方程为：x2＋y2＝4y，即x2＋(y－2)2＝4，其圆心为(0,2)，直线θ＝eq \f(π,6)转化为平面直角坐标系中的方程为y＝eq \f(\r(3),3)x，即eq \r(3)x－3y＝0.
∴圆心(0,2)到直线eq \r(3)x－3y＝0的距离为
eq \f(|0－3×2|,\r(3＋9))＝eq \r(3).
答案 eq \r(3)
考点一 极坐标与直角坐标的互化
【例1】 (1)把点M的极坐标eq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(－5，\f(π,6)))化成直角坐标；
(2)把点M的直角坐标(－eq \r(3)，－1)化成极坐标．
解 (1)∵x＝－5cs eq \f(π,6)＝－eq \f(5,2)eq \r(3)，y＝－5sin eq \f(π,6)＝－eq \f(5,2)，
∴点M的直角坐标是eq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(－\f(5,2)\r(3)，－\f(5,2))).
(2)ρ＝eq \r(－\r(3)2＋－12)＝eq \r(3＋1)＝2，
tan θ＝eq \f(－1,－\r(3))＝eq \f(\r(3),3).
∵点M在第三象限，ρ＞0，∴最小正角θ＝eq \f(7π,6).
因此，点M的极坐标是eq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(2，\f(7π,6))).
规律方法 (1)在由点的直角坐标化为极坐标时，一定要注意点所在的象限和极角的范围，否则点的极坐标将不唯一．
(2)在曲线的方程进行互化时，一定要注意变量的范围．要注意转化的等价性．
【训练1】 (1)把点M的极坐标eq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(8，\f(2π,3)))化成直角坐标；
(2)把点P的直角坐标(eq \r(6)，－eq \r(2))化成极坐标．(ρ＞0,0≤θ＜2π)
解 (1)x＝8cs eq \f(2π,3)＝－4，y＝8sin eq \f(2π,3)＝4eq \r(3)，
因此，点M的直角坐标是(－4,4eq \r(3))．
(2)ρ＝eq \r(\r(6)2＋－\r(2)2)＝2eq \r(2)，tan θ＝eq \f(－\r(2),\r(6))＝－eq \f(\r(3),3)，
又因为点在第四象限，得θ＝eq \f(11π,6).
因此，点P的极坐标为eq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(2\r(2)，\f(11π,6))).
考点二 直角坐标方程与极坐标方程的互化
【例2】 在直角坐标系xOy中，以O为极点，x轴正半轴为极轴建立极坐标系，曲线C的极坐标方程为ρcseq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(θ－\f(π,3)))＝1，M，N分别为曲线C与x轴，y轴的交点．
(1)写出曲线C的直角坐标方程，并求M，N的极坐标；
(2)设M，N的中点为P，求直线OP的极坐标方程．
解 (1)∵ρcseq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(θ－\f(π,3)))＝1，
∴ρcs θ·cs eq \f(π,3)＋ρsin θ·sin eq \f(π,3)＝1.
又eq \b\lc\{\rc\ (\a\vs4\al\c1(x＝ρcs θ,y＝ρsin θ))，∴eq \f(1,2)x＋eq \f(\r(3),2)y＝1.
即曲线C的直角坐标方程为x＋eq \r(3)y－2＝0.
令y＝0，则x＝2；令x＝0，则y＝eq \f(2\r(3),3).
∴M(2,0)，Neq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(0，\f(2\r(3),3))).
∴M的极坐标为(2,0)，N的极坐标为eq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(\f(2\r(3),3)，\f(π,2))).
(2)M，N连线的中点P的直角坐标为eq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(1，\f(\r(3),3)))，
P的极角为θ＝eq \f(π,6).
∴直线OP的极坐标方程为θ＝eq \f(π,6)(ρ∈R)．
规律方法 直角坐标方程与极坐标方程的互化，关键要掌握好互化公式，研究极坐标系下图形的性质，可转化为我们熟悉的直角坐标系的情境．
【训练2】 ⊙O1和⊙O2的极坐标方程分别为ρ＝4cs θ，ρ＝－4sin θ.
(1)把⊙O1和⊙O2的极坐标方程化为直角坐标方程；
(2)求经过⊙O1，⊙O2交点的直线的直角坐标方程．
解 以极点的原点，极轴为x轴正半轴建立平面直角坐标系，两坐标系中取相同的长度单位．
(1)ρ＝4cs θ，两边同乘以ρ，得ρ2＝4ρcs θ；
ρ＝－4sin θ，两边同乘以ρ，得ρ2＝－4ρsin θ.
由ρcs θ＝x，ρsin θ＝y，ρ2＝x2＋y2，
得⊙O1，⊙O2的直角坐标方程分别为
x2＋y2－4x＝0和x2＋y2＋4y＝0.
(2)由eq \b\lc\{\rc\ (\a\vs4\al\c1(x2＋y2－4x＝0， ①,x2＋y2＋4y＝0. ②))
①－②得－4x－4y＝0，即x＋y＝0为所求直线方程．
考点三 曲线极坐标方程的应用
【例3】 (2014·广州调研)在极坐标系中，求直线ρsineq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(θ＋\f(π,4)))＝2被圆ρ＝4截得的弦长．
解 由ρsineq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(θ＋\f(π,4)))＝2，得eq \f(\r(2),2)(ρsin θ＋ρcs θ)＝2可化为x＋y－2eq \r(2)＝0.圆ρ＝4可化为x2＋y2＝16，由圆中的弦长公式得：2eq \r(r2－d2)＝2eq \r(42－\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(\f(2\r(2),\r(2))))2)＝4eq \r(3).故所求弦长为4eq \r(3).
规律方法 在已知极坐标方程求曲线交点、距离、线段长等几何问题时，如果不能直接用极坐标解决，或用极坐标解决较麻烦，可将极坐标方程转化为直角坐标方程解决．
【训练3】 (2012·江苏卷)在极坐标系中，已知圆C经过点P(eq \r(2)，eq \f(π,4))，圆心为直线ρsineq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(θ－\f(π,3)))＝－eq \f(\r(3),2)与极轴的交点，求圆C的极坐标方程．
解 在ρsineq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(θ－\f(π,3)))＝－eq \f(\r(3),2)中令θ＝0，得ρ＝1，
所以圆C的圆心坐标为(1,0)．
因为圆C经过点Peq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(\r(2)，\f(π,4)))，
所以圆C的半径
PC＝ eq \r(\r(2)2＋12－2×1×\r(2)cs \f(π,4))＝1，
于是圆C过极点，所以圆C的极坐标方程为ρ＝2cs θ.
因忽视极坐标系下点的极坐标不唯一性致误
【典例】 (10分)在极坐标系下，若点P(ρ，θ)的一个极坐标为eq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(4，\f(2π,3)))，求以eq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(\f(ρ,2)，\f(θ,2)))为坐标的不同的点的极坐标．
[错解展示]
甲：解 eq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(4，\f(2π,3)))化为直角坐标为(－2,2eq \r(3))，故该点与原点的中点坐标为(－1，eq \r(3))，化为极坐标为eq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(2，\f(2π,3))).
乙：解 ∵ρ＝4，θ＝eq \f(2π,3)，故eq \f(ρ,2)＝2，eq \f(θ,2)＝eq \f(π,3)，
因此所求极坐标为eq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(2，\f(π,3))).
[规范解答] ∵eq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(4，\f(2π,3)))为点P(ρ，θ)的一个极坐标．
∴ρ＝4或ρ＝－4. (2分)
当ρ＝4时，θ＝2kπ＋eq \f(2π,3)(k∈Z)，
∴eq \f(ρ,2)＝2，eq \f(θ,2)＝kπ＋eq \f(π,3)(k∈Z)．(4分)
当ρ＝－4时，θ＝2kπ＋eq \f(5π,3)(k∈Z)，
∴eq \f(ρ,2)＝－2，eq \f(θ,2)＝kπ＋eq \f(5π,6)(k∈Z)．(6分)
∴eq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(\f(ρ,2)，\f(θ,2)))有四个不同的点：
P1eq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(2，2kπ＋\f(π,3)))，P2eq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(2，2kπ＋\f(4π,3)))(k∈Z)，
P3eq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(－2，2kπ＋\f(5π,6)))，P4eq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(－2，2kπ＋\f(11π,6)))(k∈Z) (10分)
[反思感悟] 甲生解法中将直角坐标系的中点坐标公式应用于极坐标系中的中点，事实上(ρ，θ)与eq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(\f(ρ,2)，\f(θ,2)))的关系并不是点(ρ，θ)与极点的中点为eq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(\f(ρ,2)，\f(θ,2)))，从几何意义上讲点eq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(\f(ρ,2)，\f(θ,2)))应满足该点的极角为θ的eq \f(1,2)，极径为ρ的eq \f(1,2).乙生解法中满足eq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(\f(ρ,2)，\f(θ,2)))的几何意义，但由于极坐标系内点的极坐标的不唯一性，还应就点(ρ，θ)的其他形式的极坐标进行讨论．
【自主体验】
下列各点中与极坐标eq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(－2，\f(π,6)))不表示同一个点的极坐标是________．
①eq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(2，\f(7π,6))) ②eq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(2，－\f(7π,6))) ③eq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(－2，－\f(11π,6))) ④eq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(－2，\f(13π,6)))
解析 因为与eq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(－2，\f(π,6)))表示同一点的坐标有eq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(－2，\f(π,6)＋2kπ))或eq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(2，\f(π,6)＋2k＋1π))，其中k∈Z，所以易得只有②不同．
答案 ②
一、填空题
1．在极坐标系中，圆ρ＝－2sin θ的圆心的极坐标是________(填序号)．
①eq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(1，\f(π,2)))；②eq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(1，－\f(π,2)))；③(1,0)；④(1，π)
解析 圆的方程可化为ρ2＝－2ρsin θ，由eq \b\lc\{\rc\ (\a\vs4\al\c1(x＝ρcs θ，,y＝ρsin θ，))
得x2＋y2＝－2y，即x2＋(y＋1)2＝1，圆心为(0，－1)，
化为极坐标为eq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(1，－\f(π,2))).
答案 ②
2．极坐标方程(ρ－1)(θ－π)＝0(ρ≥0)表示的图形是______(填序号)．
①两个圆；②两条直线；③一个圆和一条射线；④一条直线和一条射线．
解析 由(ρ－1)(θ－π)＝0(ρ≥0)得，ρ＝1或θ＝π.其中ρ＝1表示以极点为圆心，半径为1的圆，θ＝π表示以极点为起点与Ox反向的射线．
答案 ③
3．在极坐标系中，点eq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(2，\f(π,3)))到圆ρ＝2cs θ的圆心的距离为________．
解析 点eq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(2，\f(π,3)))化为直角坐标为(1，eq \r(3))，方程ρ＝2cs θ化为普通方程为x2＋y2－2x＝0，故圆心为(1,0)，则点(1，eq \r(3))到圆心(1,0)的距离为eq \r(3).
答案 eq \r(3)
4．在极坐标系(ρ，θ)(0≤θ＜2π)中，曲线ρ(cs θ＋sin θ)＝1与ρ(sin θ－cs θ)＝1的交点的极坐标为________．
解析 曲线ρ(cs θ＋sin θ)＝1化为直角坐标方程为x＋y＝1，ρ(sin θ－cs θ)＝1化为直角坐标方程为y－x＝1.联立方程组eq \b\lc\{\rc\ (\a\vs4\al\c1(x＋y＝1，,y－x＝1，))得eq \b\lc\{\rc\ (\a\vs4\al\c1(x＝0，,y＝1，))则交点为(0,1)，对应的极坐标为eq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(1，\f(π,2))).
答案 eq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(1，\f(π,2)))
5．(2014·汕头调研)在极坐标系中，ρ＝4sin θ是圆的极坐标方程，则点Aeq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(4，\f(π,6)))到圆心C的距离是________．
解析 将圆的极坐标方程ρ＝4sin θ化为直角坐标方程为x2＋y2－4y＝0，圆心坐标为(0,2)．又易知点Aeq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(4，\f(π,6)))的直角坐标为(2eq \r(3)，2)，故点A到圆心的距离为eq \r(0－2\r(3)2＋2－22)＝2eq \r(3).
答案 2eq \r(3)
6．在极坐标系中，过圆ρ＝6cs θ－2eq \r(2)sin θ的圆心且与极轴垂直的直线的极坐标方程为________．
解析 由ρ＝6cs θ－2eq \r(2)sin θ⇒ρ2＝6ρcs θ－2eq \r(2)ρsin θ，所以圆的直角坐标方程为x2＋y2－6x＋2eq \r(2)y＝0，将其化为标准形式为(x－3)2＋(y＋eq \r(2))2＝11，故圆心的坐标为(3，－eq \r(2))，所以过圆心且与x轴垂直的直线的方程为x＝3，将其化为极坐标方程为ρcs θ＝3.
答案 ρcs θ＝3
7．(2014·华南师大模拟)在极坐标系中，点Meq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(4，\f(π,3)))到曲线ρcseq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(θ－\f(π,3)))＝2上的点的距离的最小值为________．
解析 依题意知，点M的直角坐标是(2,2eq \r(3))，曲线的直角坐标方程是x＋eq \r(3)y－4＝0，因此所求的距离的最小值等于点M到该直线的距离，即为eq \f(|2＋2\r(3)×\r(3)－4|,\r(12＋\r(3)2))＝2.
答案 2
8．在极坐标系中，曲线C1：ρ＝2cs θ，曲线C2：θ＝eq \f(π,4)，若曲线C1与C2交于A、B两点，则线段AB＝________.
解析 曲线C1与C2均经过极点，因此极点是它们的一个公共点．由eq \b\lc\{\rc\ (\a\vs4\al\c1(ρ＝2cs θ，,θ＝\f(π,4)，))得eq \b\lc\{\rc\ (\a\vs4\al\c1(ρ＝\r(2)，,θ＝\f(π,4)，))即曲线C1与C2的另一个交点与极点的距离为eq \r(2)，因此AB＝eq \r(2).
答案 eq \r(2)
9．在极坐标系中，由三条直线θ＝0，θ＝eq \f(π,3)，ρcs θ＋ρsin θ＝1围成图形的面积是________．
解析 θ＝0，θ＝eq \f(π,3)，ρcs θ＋ρsin θ＝1三直线对应的直角坐标方程分别为：y＝0，y＝eq \r(3)x，x＋y＝1，作出图形得围成图形为如图△OAB，S＝eq \f(3－\r(3),4).
答案 eq \f(3－\r(3),4)
二、解答题
10．设过原点O的直线与圆(x－1)2＋y2＝1的一个交点为P，点M为线段OP的中点，当点P在圆上移动一周时，求点M轨迹的极坐标方程，并说明它是什么曲线．
解 圆(x－1)2＋y2＝1的极坐标方程为
ρ＝2cs θeq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(－\f(π,2)≤θ≤\f(π,2)))，设点P的极坐标为(ρ1，θ1)，点M的极坐标为(ρ，θ)，
∵点M为线段OP的中点，∴ρ1＝2ρ，θ1＝θ，将ρ1＝2ρ，θ1＝θ代入圆的极坐标方程，得ρ＝cs θ.∴点M轨迹的极坐标方程为ρ＝cs θeq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(－\f(π,2)≤θ≤\f(π,2)))，它表示圆心在点eq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(\f(1,2)，0))，半径为eq \f(1,2)的圆．
11．(2012·辽宁卷)在直角坐标系xOy中，圆C1：x2＋y2＝4，圆C2：(x－2)2＋y2＝4.
(1)在以O为极点，x轴正半轴为极轴的极坐标系中，分别写出圆C1，C2的极坐标方程，并求出圆C1，C2的交点坐标(用极坐标表示)；
(2)求圆C1与C2的公共弦的参数方程．
解 (1)圆C1的极坐标方程为ρ＝2，
圆C2的极坐标方程为ρ＝4cs θ.
解eq \b\lc\{\rc\ (\a\vs4\al\c1(ρ＝2，,ρ＝4cs θ，))得ρ＝2，θ＝±eq \f(π,3)，
故圆C1与圆C2交点的坐标为eq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(2，\f(π,3)))，eq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(2，－\f(π,3))).
注：极坐标系下点的表示不唯一．
(2)法一 由eq \b\lc\{\rc\ (\a\vs4\al\c1(x＝ρcs θ，,y＝ρsin θ，))得圆C1与C2交点的直角坐标分别为(1，eq \r(3))，(1，－eq \r(3))．
故圆C1与C2的公共弦的参数方程为eq \b\lc\{\rc\ (\a\vs4\al\c1(x＝1，,y＝t，))
－eq \r(3)≤t≤eq \r(3).
eq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(或参数方程写成\b\lc\{\rc\ (\a\vs4\al\c1(x＝1，,y＝y，))－\r(3)≤y≤\r(3)))
法二 将x＝1代入eq \b\lc\{\rc\ (\a\vs4\al\c1(x＝ρcs θ，,y＝ρsin θ，))
得ρcs θ＝1，从而ρ＝eq \f(1,cs θ).
于是圆C1与C2的公共弦的参数方程为
eq \b\lc\{\rc\ (\a\vs4\al\c1(x＝1，,y＝tan θ，))－eq \f(π,3)≤θ≤eq \f(π,3).
12．在直角坐标系xOy中，曲线C1的参数方程为eq \b\lc\{\rc\ (\a\vs4\al\c1(x＝2cs α，,y＝2＋2sin α))(α为参数)．M是C1上的动点，P点满足eq \(OP,\s\up6(→))＝2 eq \(OM,\s\up6(→))，P点的轨迹为曲线C2.
(1)求C2的方程；
(2)在以O为极点，x轴的正半轴为极轴的极坐标系中，射线θ＝eq \f(π,3)与C1的异于极点的交点为A，与C2的异于极点的交点为B，求AB.
解 (1)设P(x，y)，则由条件知Meq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(\f(x,2)，\f(y,2))).
由于M点在C1上，所以eq \b\lc\{\rc\ (\a\vs4\al\c1(\f(x,2)＝2cs α，,\f(y,2)＝2＋2sin α，))
即eq \b\lc\{\rc\ (\a\vs4\al\c1(x＝4cs α，,y＝4＋4sin α.))
从而C2的参数方程为eq \b\lc\{\rc\ (\a\vs4\al\c1(x＝4cs α，,y＝4＋4sin α.))(α为参数)
(2)曲线C1的极坐标方程为ρ＝4sin θ，曲线C2的极坐标方程为ρ＝8sin θ.射线θ＝eq \f(π,3)与C1的交点A的极径为ρ1＝4sin eq \f(π,3)，
射线θ＝eq \f(π,3)与C2的交点B的极径为ρ2＝8sin eq \f(π,3).
所以AB＝|ρ2－ρ1|＝2eq \r(3).
第2讲 参数方程
[最新考纲]
1．了解参数方程，了解参数的意义．
2．能选择适当的参数写出直线、圆和椭圆的参数方程．
3．掌握直线的参数方程及参数的几何意义，能用直线的参数方程解决简单的相关问题.
知 识 梳 理
1．曲线的参数方程
在平面直角坐标系xOy中，如果曲线上任意一点的坐标x，y都是某个变量t的函数eq \b\lc\{\rc\ (\a\vs4\al\c1(x＝ft，,y＝gt.))
并且对于t的每一个允许值上式所确定的点M(x，y)都在这条曲线上，则称上式为该曲线的参数方程，其中变量t称为参数．
2．一些常见曲线的参数方程
(1)过点P0(x0，y0)，且倾斜角为α的直线的参数方程为eq \b\lc\{\rc\ (\a\vs4\al\c1(x＝x0＋tcs α,y＝y0＋tsin α))(t为参数)．
(2)圆的方程(x－a)2＋(y－b)2＝r2的参数方程为eq \b\lc\{\rc\ (\a\vs4\al\c1(x＝a＋rcs θ,y＝b＋rsin θ))(θ为参数)．
(3)椭圆方程eq \f(x2,a2)＋eq \f(y2,b2)＝1(a＞b＞0)的参数方程为eq \b\lc\{\rc\ (\a\vs4\al\c1(x＝acs θ,y＝bsin θ))(θ为参数)．
(4)抛物线方程y2＝2px(p＞0)的参数方程为eq \b\lc\{\rc\ (\a\vs4\al\c1(x＝2pt2,y＝2pt))(t为参数)．
诊 断 自 测
1．极坐标方程ρ＝cs θ和参数方程eq \b\lc\{\rc\ (\a\vs4\al\c1(x＝－1－t，,y＝2＋t))(t为参数)所表示的图形分别是________．
①直线、直线；②直线、圆；③圆、圆；④圆、直线．
解析 ∵ρcs θ＝x，∴cs θ＝eq \f(x,ρ)代入到ρ＝cs θ，得ρ＝eq \f(x,ρ)，∴ρ2＝x，∴x2＋y2＝x表示圆．又∵eq \b\lc\{\rc\ (\a\vs4\al\c1(x＝－1－t，,y＝2＋t，))相加得x＋y＝1，表示直线．
答案 ④
2．若直线eq \b\lc\{\rc\ (\a\vs4\al\c1(x＝1－2t，,y＝2＋3t))(t为实数)与直线4x＋ky＝1垂直，则常数k＝________.
解析 参数方程eq \b\lc\{\rc\ (\a\vs4\al\c1(x＝1－2t，,y＝2＋3t，))所表示的直线方程为3x＋2y＝7，由此直线与直线4x＋ky＝1垂直可得－eq \f(3,2)×eq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(－\f(4,k)))＝－1，解得k＝－6.
答案 －6
3．(2012·北京卷)直线eq \b\lc\{\rc\ (\a\vs4\al\c1(x＝2＋t，,y＝－1－t))(t为参数)与曲线eq \b\lc\{\rc\ (\a\vs4\al\c1(x＝3cs α，,y＝3sin α))(α为参数)的交点个数为________．
解析 直线方程可化为x＋y－1＝0，曲线方程可化为x2＋y2＝9，圆心(0,0)到直线x＋y－1＝0的距离d＝eq \f(1,\r(2))＝eq \f(\r(2),2)＜3.∴直线与圆相交有两个交点．
答案 2
4．已知直线l：eq \b\lc\{\rc\ (\a\vs4\al\c1(x＝1－\r(2)t，,y＝2＋\r(2)t))(t为参数)上到点A(1,2)的距离为4eq \r(2)的点的坐标为________．
解析 设点Q(x，y)为直线上的点，
则|QA|＝eq \r(1－1＋\r(2)t2＋2－2－\r(2)t2)
＝eq \r(\r(2)t2＋－\r(2)t2)＝4eq \r(2)，
解之得，t＝±2eq \r(2)，所以Q(－3,6)或Q(5，－2)．
答案 (－3,6)和(5，－2)
5．(2013·广东卷)已知曲线C的极坐标方程为ρ＝2cs θ，以极点为原点，极轴为x轴的正半轴建立直角坐标系，则曲线C的参数方程为________．
解析 由ρ＝2cs θ知，ρ2＝2ρcs θ
所以x2＋y2＝2x，即(x－1)2＋y2＝1，
故其参数方程为eq \b\lc\{\rc\ (\a\vs4\al\c1(x＝1＋cs θ，,y＝sin θ))(θ为参数)．
答案 eq \b\lc\{\rc\ (\a\vs4\al\c1(x＝1＋cs θ，,y＝sin θ))(θ为参数)
考点一 参数方程与普通方程的互化
【例1】 把下列参数方程化为普通方程，并说明它们各表示什么曲线；
(1)eq \b\lc\{\rc\ (\a\vs4\al\c1(x＝1＋\f(1,2)t，,y＝2＋\f(\r(3),2)t))(t为参数)；
(2)eq \b\lc\{\rc\ (\a\vs4\al\c1(x＝1＋t2，,y＝2＋t))(t为参数)；
(3)eq \b\lc\{\rc\ (\a\vs4\al\c1(x＝t＋\f(1,t)，,y＝\f(1,t)－t))(t为参数)．
解 (1)由x＝1＋eq \f(1,2)t得t＝2x－2.
∴y＝2＋eq \f(\r(3),2)(2x－2)．
∴eq \r(3)x－y＋2－eq \r(3)＝0，此方程表示直线．
(2)由y＝2＋t得t＝y－2，∴x＝1＋(y－2)2.
即(y－2)2＝x－1，此方程表示抛物线．
(3)eq \b\lc\{\rc\ (\a\vs4\al\c1(x＝t＋\f(1,t),y＝\f(1,t)－t))eq \b\lc\ \rc\ (\a\vs4\al\c1(①,②))
∴①2－②2得x2－y2＝4，此方程表示双曲线．
规律方法 参数方程化为普通方程：化参数方程为普通方程的基本思路是消去参数，常用的消参方法有代入消去法、加减消去法、恒等式(三角的或代数的)消去法，不要忘了参数的范围．
【训练1】 将下列参数方程化为普通方程．
(1)eq \b\lc\{\rc\ (\a\vs4\al\c1(x＝1－sin 2θ，,y＝sin θ＋cs θ))(θ为参数)；
(2)eq \b\lc\{\rc\ (\a\vs4\al\c1(x＝\f(1,2)et＋e－t，,y＝\f(1,2)et－e－t))(t为参数)．
解 (1)由(sin θ＋cs θ)2＝1＋sin 2θ＝2－(1－sin 2θ)，
得y2＝2－x.又x＝1－sin 2θ∈[0,2]，
得所求的普通方程为y2＝2－x，x∈[0,2]．
(2)由参数方程得et＝x＋y，e－t＝x－y，
∴(x＋y)(x－y)＝1，即x2－y2＝1.
考点二 直线与圆参数方程的应用
【例2】 在直角坐标系xOy中，直线l的参数方程为eq \b\lc\{\rc\ (\a\vs4\al\c1(x＝3－\f(\r(2),2)t，,y＝\r(5)＋\f(\r(2),2)t))(t为参数)．在极坐标系(与直角坐标系xOy取相同的长度单位，且以原点O为极点，以x轴正半轴为极轴)中，圆C的方程为ρ＝2eq \r(5)sin θ.
(1)求圆C的直角坐标方程；
(2)设圆C与直线l交于点A，B，若点P的坐标为(3，eq \r(5))，求|PA|＋|PB|.
解 (1)由ρ＝2eq \r(5)sin θ，得ρ2＝2eq \r(5)ρsin θ.
∴x2＋y2＝2eq \r(5)y，即x2＋(y－eq \r(5))2＝5.
(2)将l的参数方程代入圆C的直角坐标方程．
得eq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(3－\f(\r(2),2)t))2＋eq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(\f(\r(2),2)t))2＝5，即t2－3eq \r(2)t＋4＝0.
由于Δ＝(3eq \r(2))2－4×4＝2＞0，故可设t1，t2是上述方程的两实根，
所以eq \b\lc\{\rc\ (\a\vs4\al\c1(t1＋t2＝3\r(2)，,t1·t2＝4.))
又直线l过点P(3，eq \r(5))，
故由上式及t的几何意义得|PA|＋|PB|＝|t1|＋|t2|＝t1＋t2＝3eq \r(2).
规律方法 (1)过定点P0(x0，y0)，倾斜角为α的直线参数方程的标准形式为eq \b\lc\{\rc\ (\a\vs4\al\c1(x＝x0＋tcs α，,y＝y0＋tsin α))(t为参数)，t的几何意义是直线上的点P到点P0(x0，y0)的数量，即t＝|PP0|时为距离．使用该式时直线上任意两点P1、P2对应的参数分别为t1、t2，则|P1P2|＝|t1－t2|，P1P2的中点对应的参数为eq \f(1,2)(t1＋t2)．
(2)对于形如eq \b\lc\{\rc\ (\a\vs4\al\c1(x＝x0＋at，,y＝y0＋bt))(t为参数)，当a2＋b2≠1时，应先化为标准形式后才能利用t的几何意义解题．
【训练2】 已知直线l的参数方程为eq \b\lc\{\rc\ (\a\vs4\al\c1(x＝1＋t，,y＝4－2t))(参数t∈R)，圆 C的参数方程为eq \b\lc\{\rc\ (\a\vs4\al\c1(x＝2cs θ＋2，,y＝2sin θ))(参数θ∈[0,2π])，求直线l被
圆C所截得的弦长．
解 由eq \b\lc\{\rc\ (\a\vs4\al\c1(x＝1＋t，,y＝4－2t))消参数后得普通方程为2x＋y－6＝0，
由eq \b\lc\{\rc\ (\a\vs4\al\c1(x＝2cs θ＋2，,y＝2sin θ))消参数后得普通方程为(x－2)2＋y2＝4，显然圆心坐标为(2,0)，半径为2.由于圆心到直线2x＋y－6＝0的距离为d＝eq \f(|2×2＋0－6|,\r(22＋1))＝eq \f(2\r(5),5)，
所以所求弦长为2 eq \r(22－\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(\f(2\r(5),5)))2)＝eq \f(8\r(5),5).
考点三 极坐标、参数方程的综合应用
【例3】 已知P为半圆C：eq \b\lc\{\rc\ (\a\vs4\al\c1(x＝cs θ，,y＝sin θ))(θ为参数，0≤θ≤π)上的点，点A的坐标为(1,0)，O为坐标原点，点M在射线OP上，线段OM与C的弧eq \x\t(AP)的长度均为eq \f(π,3).
(1)以O为极点，x轴的正半轴为极轴建立极坐标系，求点M的极坐标；
(2)求直线AM的参数方程．
解 (1)由已知，点M的极角为eq \f(π,3)，且点M的极径等于eq \f(π,3)，故点M的极坐标为eq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(\f(π,3)，\f(π,3))).
(2)点M的直角坐标为eq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(\f(π,6)，\f(\r(3)π,6)))，A(1,0)．
故直线AM的参数方程为eq \b\lc\{\rc\ (\a\vs4\al\c1(x＝1＋\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(\f(π,6)－1))t，,y＝\f(\r(3)π,6)t))(t为参数)．
规律方法 涉及参数方程和极坐标方程的综合题，求解的一般方法是分别化为普通方程和直角坐标方程后求解．当然，还要结合题目本身特点，确定选择何种方程．
【训练3】 (2013·福建卷)在平面直角坐标系中，以坐标原点为极点，x轴的正半轴为极轴建立极坐标系，已知点A的极坐标为(eq \r(2)，eq \f(π,4))，直线l的极坐标方程为ρcs(θ－eq \f(π,4))＝a，且点A在直线l上．
(1)求a的值及直线l的直角坐标方程；
(2)圆C的参数方程为eq \b\lc\{\rc\ (\a\vs4\al\c1(x＝1＋cs α，,y＝sin α))(α为参数)，试判断直线l与圆C的位置关系．
解 (1)由点A(eq \r(2)，eq \f(π,4))在直线ρcs(θ－eq \f(π,4))＝a上，可得a＝eq \r(2).
所以直线l的方程可化为ρcs θ＋ρsin θ＝2，
从而直线l的直角坐标方程为x＋y－2＝0.
(2)由已知得圆C的直角坐标方程为(x－1)2＋y2＝1，
所以圆C的圆心为(1,0)，半径r＝1，
因为圆心C到直线l的距离d＝eq \f(1,\r(2))＝eq \f(\r(2),2)<1，
所以直线l与圆C相交.
转化思想在解题中的应用
【典例】 已知圆锥曲线eq \b\lc\{\rc\ (\a\vs4\al\c1(x＝2cs θ,y＝\r(3)sin θ))(θ是参数)和定点A(0, eq \r(3))，F1、F2是圆锥曲线的左、右焦点．
(1)求经过点F1且垂直于直线AF2的直线l的参数方程；
(2)以坐标原点为极点，x轴的正半轴为极轴建立极坐标系，求直线AF2的极坐标方程．
[审题视点] (1)先将圆锥曲线参数方程化为普通方程，求出F1的坐标，然后求出直线的倾斜角度数，再利用公式就能写出直线l的参数方程．(2)直线AF2是已知确定的直线，利用求极坐标方程的一般方法求解．
解 (1)圆锥曲线eq \b\lc\{\rc\ (\a\vs4\al\c1(x＝2cs θ,y＝\r(3)sin θ))化为普通方程eq \f(x2,4)＋eq \f(y2,3)＝1，所以F1(－1,0)，F2(1,0)，则直线AF2的斜率k＝－eq \r(3)，于是经过点F1且垂直于直线AF2的直线l的斜率k′＝eq \f(\r(3),3)，直线l的倾斜角是30°，
所以直线l的参数方程是eq \b\lc\{\rc\ (\a\vs4\al\c1(x＝－1＋tcs 30°,y＝tsin 30°))(t为参数)，
即eq \b\lc\{\rc\ (\a\vs4\al\c1(x＝\f(\r(3),2)t－1，,y＝\f(1,2)t))(t为参数)．
(2)直线AF2的斜率k＝－eq \r(3)，倾斜角是120°，
设P(ρ，θ)是直线AF2上任一点，
则eq \f(ρ,sin 60°)＝eq \f(1,sin120°－θ)，ρsin(120°－θ)＝sin 60°，
则ρsin θ＋eq \r(3)ρcs θ＝eq \r(3).
[反思感悟] (1)本题考查了极坐标方程和参数方程的求法及应用．重点考查了转化与化归能力．(2)当用极坐标或参数方程研究问题不很熟练时，可以转化成我们比较熟悉的普通方程求解．(3)本题易错点是计算不准确，极坐标方程求解错误．
【自主体验】
已知直线l的参数方程为eq \b\lc\{\rc\ (\a\vs4\al\c1(x＝4－2t,y＝t－2))(t为参数)，P是椭圆eq \f(x2,4)＋y2＝1上任意一点，求点P到直线l的距离的最大值．
解 将直线l的参数方程eq \b\lc\{\rc\ (\a\vs4\al\c1(x＝4－2t,y＝t－2))(t为参数)转化为普通方程为x＋2y＝0，因为P为椭圆eq \f(x2,4)＋y2＝1上任意一点，
故可设P(2cs θ，sin θ)，其中θ∈R.
因此点P到直线l的距离
d＝eq \f(|2cs θ＋2sin θ|,\r(12＋22))＝eq \f(2\r(2)\b\lc\|\rc\|(\a\vs4\al\c1(sin\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(θ＋\f(π,4))))),\r(5)).
所以当θ＝kπ＋eq \f(π,4)，k∈Z时，
d取得最大值eq \f(2\r(10),5).
一、填空题
1．(2014·芜湖模拟)直线eq \b\lc\{\rc\ (\a\vs4\al\c1(x＝－2－\r(2)t，,y＝3＋\r(2)t))(t为参数)上与点A(－2,3)的距离等于eq \r(2)的点的坐标是________．
解析 由题意知(－eq \r(2)t)2＋(eq \r(2)t)2＝(eq \r(2))2，所以t2＝eq \f(1,2)，t＝±eq \f(\r(2),2)，代入eq \b\lc\{\rc\ (\a\vs4\al\c1(x＝－2－\r(2)t，,y＝3＋\r(2)t))(t为参数)，得所求点的坐标为(－3,4)或(－1,2)．
答案 (－3,4)或(－1,2)
2．(2014·海淀模拟)若直线l：y＝kx与曲线C：eq \b\lc\{\rc\ (\a\vs4\al\c1(x＝2＋cs θ，,y＝sin θ))(参数θ∈R)有唯一的公共点，则实数k＝________.
解析 曲线C化为普通方程为(x－2)2＋y2＝1，圆心坐标为(2,0)，半径r＝1.由已知l与圆相切，则r＝eq \f(|2k|,\r(1＋k2))＝1⇒k＝±eq \f(\r(3),3).
答案 ±eq \f(\r(3),3)
3．已知椭圆的参数方程eq \b\lc\{\rc\ (\a\vs4\al\c1(x＝2cs t,y＝4sin t))(t为参数)，点M在椭圆上，对应参数t＝eq \f(π,3)，点O为原点，则直线OM的斜率为________．
解析 当t＝eq \f(π,3)时，x＝1，y＝2eq \r(3)，则M(1,2eq \r(3))，∴直线OM的斜率k＝2eq \r(3).
答案 2eq \r(3)
4．(2013·湖南卷)在平面直角坐标系xOy中，若l：eq \b\lc\{\rc\ (\a\vs4\al\c1(x＝t，,y＝t－a))(t为参数)过椭圆C：eq \b\lc\{\rc\ (\a\vs4\al\c1(x＝3cs φ，,y＝2sin φ))(φ为参数)的右顶点，则常数a的值为________．
解析 ∵x＝t，且y＝t－a，
消去t，得直线l的方程y＝x－a，
又x＝3cs φ且y＝2sin φ，消去φ，
得椭圆方程eq \f(x2,9)＋eq \f(y2,4)＝1，右顶点为(3,0)，
依题意0＝3－a，
∴a＝3.
答案 3
5．直线3x＋4y－7＝0截曲线eq \b\lc\{\rc\ (\a\vs4\al\c1(x＝cs α，,y＝1＋sin α))(α为参数)的弦长为________．
解析 曲线可化为x2＋(y－1)2＝1，圆心(0,1)到直线的距离d＝eq \f(|0＋4－7|,\r(9＋16))＝eq \f(3,5)，则弦长l＝2eq \r(r2－d2)＝eq \f(8,5).
答案 eq \f(8,5)
6．已知直线l1：eq \b\lc\{\rc\ (\a\vs4\al\c1(x＝1－2t，,y＝2＋kt))(t为参数)，l2：eq \b\lc\{\rc\ (\a\vs4\al\c1(x＝s，,y＝1－2s))(s为参数)，若l1∥l2，则k＝________；若l1⊥l2，则k＝________.
解析 将l1、l2的方程化为直角坐标方程得l1：kx＋2y－4－k＝0，l2：2x＋y－1＝0，由l1∥l2，得eq \f(k,2)＝eq \f(2,1)≠eq \f(4＋k,1)⇒k＝4，由l1⊥l2，得2k＋2＝0⇒k＝－1.
答案 4 －1
7．(2012·广东卷)在平面直角坐标系xOy中，曲线C1和C2的参数方程分别为eq \b\lc\{\rc\ (\a\vs4\al\c1(x＝t，,y＝\r(t)))(t为参数)和eq \b\lc\{\rc\ (\a\vs4\al\c1(x＝\r(2)cs θ，,y＝\r(2)sin θ))(θ为参数)，则曲线C1与C2的交点坐标为________．
解析 曲线C1的普通方程为y2＝x(y≥0)，
曲线C2的普通方程为x2＋y2＝2.
由eq \b\lc\{\rc\ (\a\vs4\al\c1(y2＝xy≥0，,x2＋y2＝2，))
解得eq \b\lc\{\rc\ (\a\vs4\al\c1(x＝1，,y＝1，))即交点坐标为(1,1)．
答案 (1,1)
8．直角坐标系xOy中，以原点为极点，x轴的正半轴为极轴建立极坐标系，设点A，B分别在曲线C1：eq \b\lc\{\rc\ (\a\vs4\al\c1(x＝3＋cs θ，,y＝sin θ))(θ为参数)和曲线C2：ρ＝1上，则|AB|的最小值为________．
解析 消掉参数θ，得到关于x、y的一般方程C1：(x－3)2＋y2＝1，表示以(3,0)为圆心，以1为半径的圆；C2：x2＋y2＝1，表示的是以原点为圆心的单位圆，|AB|的最小值为3－1－1＝1.
答案 1
9．(2012·湖南卷)在极坐标系中，曲线C1：ρ(eq \r(2)cs θ＋sin θ)＝1与曲线C2：ρ＝a(a>0)的一个交点在极轴上，则a＝______.
解析 ρ(eq \r(2)cs θ＋sin θ)＝1，即eq \r(2)ρcs θ＋ρsin θ＝1对应的普通方程为eq \r(2)x＋y－1＝0，ρ＝a(a>0)对应的普通方程为x2＋y2＝a2.在eq \r(2)x＋y－1＝0中，令y＝0，得x＝eq \f(\r(2),2).将eq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(\f(\r(2),2)，0))代入x2＋y2＝a2得a＝eq \f(\r(2),2).
答案 eq \f(\r(2),2)
二、解答题
10．(2013·新课标全国Ⅰ卷)已知曲线C1的参数方程为eq \b\lc\{\rc\ (\a\vs4\al\c1(x＝4＋5cs t，,y＝5＋5sin t))(t为参数)，以坐标原点为极点，x轴的正半轴为极轴建立极坐标系，曲线C2的极坐标方程为ρ＝2sin θ.
(1)把C1的参数方程化为极坐标方程；
(2)求C1与C2交点的极坐标(ρ≥0,0≤θ＜2π)．
解 (1)将eq \b\lc\{\rc\ (\a\vs4\al\c1(x＝4＋5cs t，,y＝5＋5sin t))消去参数t，
化为普通方程(x－4)2＋(y－5)2＝25，
即C1：x2＋y2－8x－10y＋16＝0.
将eq \b\lc\{\rc\ (\a\vs4\al\c1(x＝ρcs θ，,y＝ρsin θ))代入x2＋y2－8x－10y＋16＝0得ρ2－8ρcs θ－10ρsin θ＋16＝0.
所以C1的极坐标方程为
ρ2－8ρcs θ－10ρsin θ＋16＝0.
(2)C2的普通方程为x2＋y2－2y＝0.
由eq \b\lc\{\rc\ (\a\vs4\al\c1(x2＋y2－8x－10y＋16＝0，,x2＋y2－2y＝0，))
解得eq \b\lc\{\rc\ (\a\vs4\al\c1(x＝1，,y＝1))或eq \b\lc\{\rc\ (\a\vs4\al\c1(x＝0，,y＝2.))
所以C1与C2交点的极坐标分别为eq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(\r(2)，\f(π,4)))，eq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(2，\f(π,2))).
11．(2013·新课标全国Ⅱ卷)已知动点P、Q都在曲线C：eq \b\lc\{\rc\ (\a\vs4\al\c1(x＝2cs t，,y＝2sin t))(t为参数)上，对应参数分别为t＝α与t＝2α(0<α<2π)，M为PQ的中点．
(1)求M的轨迹的参数方程；
(2)将M到坐标原点的距离d表示为α的函数，并判断M的轨迹是否过坐标原点．
解 (1)依题意有P(2cs α，2sin α)，Q(2cs 2α，2sin 2α)，
因此M(cs α＋cs 2α，sin α＋sin 2α)．
M的轨迹的参数方程为eq \b\lc\{\rc\ (\a\vs4\al\c1(x＝cs α＋cs 2α，,y＝sin α＋sin 2α，))(α为参数，0<α<2π)．
(2)M点到坐标原点的距离d＝eq \r(x2＋y2)＝eq \r(2＋2cs α)(0<α<2π)．
当α＝π时，d＝0，故M的轨迹通过坐标原点．
12．(2012·新课标全国卷)已知曲线C1的参数方程是eq \b\lc\{\rc\ (\a\vs4\al\c1(x＝2cs φ，,y＝3sin φ))(φ为参数)，以坐标原点为极点，x轴的正半轴为极轴建立极坐标系，曲线C2的极坐标方程是ρ＝2，正方形ABCD的顶点都在C2上，且A，B，C，D依逆时针次序排列，点A的极坐标为eq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(2，\f(π,3))).
(1)求点A，B，C，D的直角坐标；
(2)设P为C1上任意一点，求|PA|2＋|PB|2＋|PC|2＋|PD|2的取值范围．
解 (1)由已知可得Aeq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(2cs \f(π,3)，2sin \f(π,3)))，
Beq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(2cs\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(\f(π,3)＋\f(π,2)))，2sin\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(\f(π,3)＋\f(π,2)))))，
Ceq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(2cs\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(\f(π,3)＋π))，2sin\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(\f(π,3)＋π))))，
Deq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(2cs\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(\f(π,3)＋\f(3π,2)))，2sin\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(\f(π,3)＋\f(3π,2)))))，
即A(1，eq \r(3))，B(－eq \r(3)，1)，C(－1，－eq \r(3))，D(eq \r(3)，－1)．
(2)设P(2cs φ，3sin φ)，
令S＝|PA|2＋|PB|2＋|PC|2＋|PD|2，
则S＝16cs2φ＋36sin2φ＋16＝32＋20sin2φ.
因为0≤sin2φ≤1，
所以S的取值范围是[32,52]．