八年级数学 培优竞赛 专题21 梯形 讲义学案

专题21梯形

例1   a＋b

例2⑴上底角为120°，下底角为60°；

⑵梯形的上底等于下底的一半，且等于腰长；

⑶能拼出菱形，以下图形供参考：

例3   7cm提示：过A作AE∥BD交CB延长线于E，则S△AEC＝S梯形ABCD.

例4(1）如图a，若E为AD中点，则∠BEC＝90°且CE,BE分别平分∠BCD，∠ABC；

⑵如图b，在BC上取一点M，使AB＝MB，连结AM,DM，则∠AMD＝90°；

⑶如图c，将a，b组合，则四边形GEHM为矩形.

图a           图b           图c

∴当P为AD中点时，可以证明∠BPC＝90°；在AD上截取AP＝AB，可以证明∠BPC＝90°，故满足条件∠BPC＝90°的点P有2个.

例5⑴连结SC,PB.∴△OCD,△OAB均为等边三角形，S，P，Q分别为OD,OA,BC中点，

∴SQ＝BC＝AD＝SP＝PQ.故△SPQ为等边三角形.

⑵∵SB＝DO＋OB＝,CS＝,BC＝7.

∴△SPQ的边长SQ＝BC＝.∴S△SPQ＝×()2＝.

(3）设CD＝a，AB＝b(a<b),BC2＝SC2＋BS2＝(a)2＋(b＋)2＝a2＋b2＋ab.

∴S△SPQ＝(a2＋ab＋b2).又＝，则S△AOD＝ab.

又＝,则S△AOD＝ab.∵＝,∴8× (a2＋ab＋b2)＝7×ab.

即2a2－5ab＋2b2＝0，化简得＝.  故CD：AB＝1:2.

例6如图，分别过E,F,C,P作AB的垂线，垂足依次为R，S，T，Q，则PQ就是点P到AB的距离，且有ER∥PQ∥CT∥FS，故四边形ERSF为直角梯形，PQ＝(ER＋FS).

易证Rt△AER≌Rt△CAT，Rt△BFS≌Rt△CBT，∴ER＝AT，FS＝BT，又AT＋BT＝AB＝ER＋FS，

故PQ＝AB.

A级

1.60°2.3    3.6cm     4.8cm2     5.B     6.D     7.C

8.C提示:如图，作点D关于直线BC的对称点D'，连结DD'交BC于E，连结AD'交BC于P，过D作DF⊥AP于F,故PA＋PD此时最小.

由BE＝AD＝2，EC＝3，则可得：DE＝4，∴DD'＝8,则AD'＝2.

又∵AD'·DF＝AD·DD',则DF＝.

9.提示：过P点作PQ⊥BG于Q，证明PE＝BQ.

10.提示：连结DF并延长交于BC于H，则GF＝BH，AD＝CH.     11.略

12.⑴

⑵①当点N在线段AD上运动时，△PMN形状不发生改变，其周长为＋＋4.

②当点在线段DC上运动时，△PMN的形状发生改变，但恒为等边三角形，过E作于。

当时，；

当时，；

当时，

B级

1.4    2.5cm

3. 10.5   提示：以7，14作两底的梯形中位线最长

4. 6：4：6：9      5. B       6. A       7.D

8. C  提示：连结，，则，而
9.  提示：连结，，延长交的延长线于，则，

   又

10. 如图，过，分别作，垂直于，分别交于，，过、分别

  作所有直线于，，可证明，。

  ∥∥ ，

11. 提示：设梯形的高为，则基其两条对角线分别为与，

于是与都是完全平方数，即与都是完全平方数，从而

即，又与的奇偶性相同，因此，得，

或，

12. （1）

   （2）由（1）知；则P点到达终点时所有用时间为：，

        同理：，。，只可能在上

        设经过，四边形为等腰梯形，则，，

        由题意可知：，解得

   （3）存在，点为连结两腰中点线段的中点，，，