九年级数学 培优竞赛 专题21 直线与圆的位置关系(2) 讲义学案

专题 21 直线与圆的位置关系（2）

例1  3  提示：内切圆半径r＝(5－)，AE＝(＋1)，BE＝(－1)．

例2  D  提示：设正方形边长为1，BE＝x，则BE＝EF＝x，CD＝DF＝1，AE＝1－x，AD＝1，DE＝1＋x．由DE2＝AE2＋AD2，得(1＋x)2＝(1－x)2＋1，得x＝，AD＋AE＋DE＝3，BE＋DE＋CD＋BC＝．∴周长之比＝3:＝6:7．

例3  提示：连接AD，CF，DF，EF．∠EDF＝∠CDF＝45°，∠CFD＝180°－∠CDA＝180°－∠CFA＝∠CFB，∠DCF＝180°－∠CFD－∠CDF＝180°－∠CFB－∠CBF．

例4  如图，延长AI交⊙O于D，连接OA，OD，BD和BI，则AI＝ID，又∠DBI＝∠DBC＋∠CBI＝∠DAC＋∠CBI＝(∠BAC＋∠ABC)＝∠DIB，故BD＝ID＝AI，又＝，OD⊥BC于E，则BE＝BC．作IG⊥AB于G，可证Rt△BDE≌Rt△AIG，得AG＝BE＝BC，而AG＝(AB＋AC－BC)，故AB＋AC＝2BC．

例5  （1）∵∠A＝∠DCB，∴∠EAC＝∠O2CB，∴∠EAC＋∠ACE＝∠O2CB＋∠ACE＝90°．即∠AEC＝90°，∴O1O⊥CO2．（2）由于点O1，O2分别在∠ACD和∠DCB的平分线上，∴∠O1CO2＝45°．由（1）有∠O1EC＝90°，∴CE＝O1E．同理可证O2F⊥CF，∠OO2E＝45°，O2E＝EO．又∠CEO＝∠O2EO1，∴△CEO＝△O1EO2，∴CO＝O1O2．

例6  过点E作BC的垂线与圆交于点H，与AC交于O点，连接AH，DH，作AM⊥BC于M，∵BD＝BE，∠B＝60°，∴△DBE为正三角形，得∠BDE＝∠BAC＝60°，∴DE∥AC，DH⊥AC，又AM＝EH，AM∥EH，∴四边形AMEH是矩形，得AH⊥HE，即AH是切线，则AD＝AH，AC垂直平分DH，AC必过圆心，∴AC与EH的交点O是圆心，OE＝OF，∠COE＝30°，∠OFE＝75°，∵DE∥AC，∴∠DEF＋∠OFE＝180°，故∠DEF＝105°．

A级

1．30°    2．12    3．(0，0)，(12－6，0)        4．D    5．C

6．A  提示：R＝，r＝．

7．连接DE，DF，易证△BGC为直角三角形，证明A，G，C，B四点共圆，且D为圆心，故∠ADG＝2∠ACG．

8．（1）略  （2）m＝5

9．（1）36  （2）①连接OE，m＋n＝15，S△COD＝CD·OE＝45°；②m＝3，n＝12，CD所在直线的解析式为y＝－x＋10；③求得y1＝，设E(x1，y1)，代入解析式得x1＝，∴E(，)．

10．连接AO1并延长交BC于点D，连接BOn并延长交AD，AC于点O，E．由∠O1AF＝∠DAC，得＝，CD＝，由Rt△O1AF∽Rt△DAC，得＝，即＝，从而AF＝3r，同理BG＝2r，又FG＝2(n－1)r，∴3r＋2(n－1)r＋2r＝5，故r＝．

11．（1）连接I1A1，I1A2，I1A3，I2A2，I2A3，可证明∠A2I1A3＝90°＋∠A2A1A3，∠A2I2A3＝90°＋∠A2A4A3，∠A2A1A3＝∠A2A4A3，从而∠A2I1A3＝∠A2I2A3，故A2，I1，I2，A3四点共圆．（2）连接I3A4，同（1）知A3，I2，I3，A4四点共圆，得∠I1I2A3＝180°－∠I1A2A3＝180°－∠A1A2A3，∠I3I2A3＝180°－∠I3A4A3＝180°－∠A1A4A3，故∠I1I2I3＝360°－∠I1I2A3－∠I3I2A3＝(∠A1 A2A3＋∠A1A4A3)＝90°．

B级

1．①

2．  提示：参见例5，OC＝O1O2．

3．  提示：连接OC，OD，OE，则S△ABC＝S△BCO＋S△AOC＝(BC＋AC)r＝AC·BC．

4．C

5．B  提示：连接OD，OC，设半圆半径长为r，边OA与DA上的高都为r，故AO＝DA．同理BO＝BC，AB＝5．

6．A

7．提示：不妨设D，E分别在AB，AC上，又设△ABC的内切圆半径都为r，连接AO，BO，CO，DO，EO，∵AD＋AE＝BD＋BC＋CE，∴r(AD＋AE)＝r(BD＋BC＋CE)，即S△AOD＋S△AOE＝S△BOD＋S△BOC＋S△COE，又∵S△ADE＝SBCED，∴S△DOE＝0，从而O必在DE上．

8．提示：设圆心为O，连接OB，CO，可证明O为△PBC的垂心，PO⊥BC，PO必过BC与⊙O的切点F，故PF⊥BC．

9．设P，T分别为△ACH的内切圆与AC，AB的切点，令△ABC的三边BC，AC，AB分别为a，b，c，CH＝h，AH＝x，BH＝y，两内切圆的半径分别为r1，r2，于是RS＝|RH－SH|＝|r1－r2|，由b＝AC＝AP＋CP＝AT＋CR＝(x－r1)＋(h－r1)推得r1＝，同理r2＝．∴RS＝|r1－r2|＝|－|＝|(x－y)＋（a-b）|①.又∵,，∴②.把②代入①，得RS=，故m+n=332+665+997. 10.（1）作IG⊥AB。联结BI，有AG=（AB+AC-BC）.∵BC=（AB+AC），∴AG=BC.由I为△的内心，BD=DC，且DE为☉O的直径，得DE⊥BC，BH=，∴AG=BH.易证Rt△AGI≌Rt△BHD，故AI=BD.（2）∵∠IBD=∠IBH+∠HBD=∠ABI+∠BAI=∠BID，∴BD=DI.由中位线定理得OI=AE.   11.（1）C（8,10） M（0,4） （2）联结PC，CM，CM=10=CB，又PM=PB，CP=CP，∴△CPM≌△CPB，得∠CMP=∠CBP=90°，故CM为☉O的切线.  （3）作M点关于x轴的对称点，则（0，-4）.联结C与x轴交于点Q，此时QM+QC最小.直线C解析式为.当y=0时，，∴Q（）.  12.（1）由△PLE∽△PMD得.（2）DE为△ABC的中位线，PM+PN+PK=2LK，PM+PN=2LK-PK，=PM+PN+2PL=2LK-PK+2PL=2（LK+PL）-PK=PK，故.