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    八年级数学 培优竞赛 专题22 关于中点的联想 讲义学案
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    八年级数学 培优竞赛 专题22 关于中点的联想 讲义学案

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    这是一份八年级数学 培优竞赛 专题22 关于中点的联想 讲义学案,文件包含八年级数学培优竞赛专题22关于中点的联想讲义doc、八年级数学培优竞赛专题22关于中点的联想_答案doc等2份学案配套教学资源,其中学案共13页, 欢迎下载使用。

    专题 22  关于中点的联想

     

    阅读与思考

    线段的中点把线段分成相等的两部分,图形中出现中点,可以引起我们丰富的联想:首先它和三角形的中线紧密联系;若点是在直角三角形的斜边上,又可以引用斜边上的中线等于斜边的一半结论;其次,中点又与中位线息息相关;另外,中点还可以与中心对称相连

    解答中点问题的关键是恰当地添加辅助线,如作中线倍长、作直角三角形的斜边上的中线、构造三角形、梯形中位线、构造中心对称图形等,如图所示:

        例题与求解

    【例1如图,ABC边长分别为AB14BC16AC26PA的平分线AD上一点,且BPADMBC的中点,则PM的值为___________                         (安徽省竞赛试题)

                          

    解题思路:A的平分线与BP边上的垂线互相重合,通过作辅助线,点P可变为某线段的中点,利用三角形中位线定理解题.

     

    【例2如图,边长为1的正方形EFGH在边长为3的正方形ABCD所在的平面上移动,始终保持EFAB线段CFDH的中点分别为MN则线段MN的长度为(      )             (北京市竞赛试题)

     

    A         B         C          D

    解题思路:连接CG,取CG的中点T,构造三角形中位线、梯形中位线.

     

     

     

     

    【例3如图,在ABC中,ABAC,延长ABD使BDABEAB中点连接CECD

    求证CD2EC                                                   (宁波市竞赛试题)

     

    解题思路:图形中有两个中点EB,联想到与中点相关的丰富知识,将线段倍分关系的证明转化为线段相等关系的证明,关键是恰当添加辅助线.

                                                        

     

     

     

     

    【例4如图1P是线段AB上一点,在AB的同侧作APCBPD,使APCBPDPCPAPDPB,连接CD,点EFGH分别是ACABBDCD的中点,顺次连接EFGH

    (1) 猜想四边形EFGH的形状,直接回答,不必说明理由;

    (2) 当点P在线段AB的上方时,如图2,在APB的外部作APCBPD,其他条件不变,(1)中的结论还成立吗?说明理由;

    (3) 如果(2)中,APCBPD90°,其他条件不变,先补全图3,再判断四边形EFGH的形状,并说明理由.                                                           (营口市中考试题)

                                                                 

    解题思路:结论随着条件的改变也许发生变化,但解决问题的方法是一致的,即通过连线,为三角形中位线定理的应用创造条件.

     

     

     

     

     

     

     

     

     

     

     

    【例5如图,以ABCABAC边为斜边向形外作直角三角形ABDACE,且使ABDACEMBC的中点,求证:DMEM                                  祖冲之杯邀请赛试题)

    解题思路:显然DBM不全等于ECM,必须通过作辅助线,构造全等三角形证明DMEM

                                                       

     

    【例6如图,已知ABC中,ACB90°AB边上的高CHABC的两条内角平分线AMBN分别交于PQ两点,PMQN的中点分别为EF,求证:EFAB    (全国初中数学联赛题)

     

    解题思路:从图形的形成过程,逐步探索相应结论.将原问题分解为多个小问题.

                                                         

     

       

    A  

    1.如图,若EFGH分别是四边形ABCD各边的中点,则四边形EFGH____________

     (1)如果把条件中的四边形ABCD依次改为矩形、菱形、正方形或等腰梯形,其他条件不变,那么所得的四边形EFGH分别为_______________________

    (2)如果把结论中的平行四边形EFGH依次改为矩形、菱形、正方形,那么原四边形ABCD应具备的条件是_______________________                            (湖北省黄冈市中考试题)

                        

    2.如图,已知AGBDAFCEBDCE分别是ABCACB的角平分线,若BF2ED3GC4,则ABC的周长为_______________                            (重庆市竞赛试题)

     

    3.如图,在ABC中,ABACADBC于点DEAC的中点,若BC16DE5,则AD______________                                                    (南京市中考试题)

     

    4.如图,在ABC中,ABACMN分别是ABAC的中点,DEBC上的点,连接DNEM,若AB13cmBC10cmDE5cm,则图中阴影部分的面积为________________

                                                                         (北京市中考试题)

                 

    5ABCD顺次为四边形ABCD的各边的中点,下面条件中使四边形ABCD为正方形的条件是(     

       A.四边形ABCD是矩形          B.四边形ABCD是菱形     

       C.四边形ABCD是等腰梯形      D.四边形ABCD中,ACBDACBD     

    6.若等腰梯形的两条对角线互相垂直,中位线长为8cm,则该等腰梯形的面积为(    

        A16cm2      B32cm2      C64cm2      D112cm2     

    7.如图,梯形ABCD中,ADBCEF分别是BDAC的中点,若AD6cmBC18cm,则EF的长为(    

      A8cm      B7cm      C6cm      D5cm    

     

    8.如图,在梯形ABCD中,ADEFGHBCAEEGGBAD18BC32,则EFGH=(     

      A40        B48        C50        D56                    (泰州市中考试题)

              

                       第8题图                              第9题图

    9.如图,在ABC中,B2CADBC于点DMBC的中点,求证:DMAB

     

     

     

     

     

     

     

    10. 如图,在ABC中,BDCEBECD的中点分别是MN,直线MN分别交ABAC于点PQ,求证:APAQ

                                                 

     

     

    11在图1至图3中,点B是线段AC的中点,点D是线段CE的中点.四边形BCGFCDHN都是正方形.AE的中点是M

    1)如图1,点EAC的延长线上,点N与点G重合时,点M与点C重合,求证:FM = MHFMMH

    2)将1中的CE绕点C顺时针旋转一个锐角,得到图2求证:FMH是等腰直角三角形

    3)将2中的CE缩短到图3的情况,FMH还是等腰直角三角形吗?(不必说明理由)

                                                                  (2009年河北省中考试题)

     

     

     

     

     

     

     

    12.在六边形ABCDEF中,ABDEBCEFCDFAABDEBCEFA1B1D1E1分别是边ABBCDEEF的中点,A1D1B1E1.求证:CDEAFE

                                       

     

     

    B  

    1.如图,正方形ABCD两条对角线相交于点ECAD的平分线AFDE于点G,交DC于点F,若GE24,则FC_________________

    2.如图,四边形ABCD的对角线ACBD相交于点FMN分别是ABCD的中点,MN分别交BDAC于点PQ,且FPQFQPBD10,则AC=_________       (重庆市竞赛试题)

         

    3.如图,在ABC中,BAC120°,以ABAC为边分别向形外作正三角形ABD和正三角形ACEMAD的中点,NAE的中点,PBC的中点,则MPN_________  (北京市竞赛试题)

    4.如图,已知ADE的中点,设DBCABCEBC的面积分别为S1S2S3,则S1S2S3之间的关系是(   

    AS2(S1S3)      BS2(S3S1)      CS2(S1S3)      DS2(S3S1)   

    5.如图,在图形ABCD中,ABDCMDC的中点,NAB的中点,则 (     )

    AMN(ADBC)        BMN(ADBC) 

    CMN(ADBC)        D.无法确定MN(ADBC)的关系   

    6.如图,凸四边形ABCD的面积是aEFGH分别是ABBCCDDA的中点,那么图中的阴影部分的面积为(    )

       Aa            Ba          Ca           Da   

    (江苏省竞赛试题)

    7.如图,在ABC中,DAB的中点,分别延长CACB到点EF,使DEDF,过EF分别作CACB的垂线,相交于点P.求证:PAEPBF             (全国初中数学联赛试题)

     

     

     

     

    8.如图,锐角ABC中,作高BDCE,过顶点BC分别作DE的垂线BFCG,求证:EFDG

    (全俄奥林匹克数学竞赛试题)

                                      

     

     

    9 如图,在ABC中,ADBC边上的中线,点MAB边上,点NAC边上,并且MDN90°,如果BM2CN2DM2DN2.求证:AD2(AB2AC2)    (北京市竞赛试题)

                                         

     

     

    10已知:ABDACE都是直角三角形,且ABDACE90°.如图1,连接DE,设MDE的中点.

    (1)求证:MBMC

    (2)BADCAE,固定ABD,让RtACE绕顶点A在平面内旋转到图2的位置,试问:MBMC是否还成立?请说明理由.                                    (江苏省竞赛试题)

     

     

     

     

     

     

     

     

     

    11已知OABOCD都是等腰直角三角形,AOBCOD90°

    (1) 如图1,点COA边上,点DOB边上,连接ADBCM为线段AD的中点,求证:OMBC

    (2) 如图2,在图1的基础上,将OCD绕点O逆时针旋转α(α为锐角)M为线段AD的中点.

    求证:OMBC

    OMBC是否还成立?若成立,请证明;若不成立,请说明理由.

                

     

     

     

    12.如图1,在ABC中,点PBC边的中点,直线a绕顶点A旋转,若点BP在直线a的异侧,BM直线a于点MCN直线a于点N,连接PMPN

    (1)延长MPCN于点E(如图2)

    求证:BPM≌△CPE

    求证:PMPN

    (2)若直线a绕点A旋转到如图3的位置时,点BP在直线a的同侧,其他条件不变,此时PMPN还成立吗?若成立,请证明;若不成立,请说明理由.

    (3) )若直线a绕点A旋转到与BC边平行的位置时,其他条件不变.请直接判断四边形MBCN的形状及此时PMPN是否成立.不必说明理由.                       (沈阳市中考试题)

        

     

     

     

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