九年级数学 培优竞赛新方法-第26讲 抛物线与直线形（1）--由动点生的特殊斯四边行问题 讲义学案

§26  抛物线与直线形（2）

——由动点生成的特殊四边形问题

科学家的好奇心是永远满足不了的，因为随着每一个进展，正如巴普洛夫所说：“我们打到了更高的水平，看到了更广阔的的天地，见到了原先在视野之外的东西。”

——贝弗里奇

知识纵横

抛物线与直线形的结合另一表现形式是以抛物线为载体，探讨是否存在一些点，使其能够成某些特殊四边形，有以下常见的基本形式：

（1）抛物线上的点能否构成平行四边形；

（2）抛物线上的点能否构成矩形、菱形、正方形；

（3）抛物线上的点能否构成梯形；

特殊四边形的性质与判定是解这类问题的基础，而待定系数法、数形结合、分类讨论是解这类问题的关键。

例题求解

【例1】如图，抛物线与轴交两点（点在点左侧），直线与抛物线交于两点，其中点的横坐标为．
（1）求两点的坐标及直线的函数表达式；
（2）是线段上的一个动点，过点作轴的平行线交抛物线于点，求线段长度的最大值；
（3）点抛物线上的动点，在轴上是否存在点，使这样的四个点为顶点的四边形是平行四边形？如果存在，求出所有满足条件的点坐标；如果不存在，请说明理由．

（义乌市中考题）

思路点拨   对于（3），可能为平行四边形的边或对角线，故四个点能组成四边形的情况由多种，需全面讨论。

【例2】如图，对称轴为直线的抛物线经过点和．
（1）求抛物线解析式及顶点坐标；
（2）设点是抛物线上一动点，且位于第四象限，四边形是以为对角线的平行四边形，求平行四边形的面积与之间的函数关系式，并写出自变量的取值范围；
①当平行四边形的面积为时，请判断平行四边形是否为菱形？
②是否存在点，使平行四边形为正方形？若存在，求出点的坐标；若不存在，请说明理由．

（河南省中考题）

思路点拨   对于（2），若，则平行四边形为菱形；若且，则平行四边形为正方形。先求出点坐标，再看点是否在抛物线上。

【例3】如图：二次函数的图象与轴交于两点，且与轴交于点．
（1）求该抛物线的解析式，并判断△ABC的形状；
（2）在轴上方的抛物线上有一点，且四点为顶点的四边形是等腰梯形，请直接写出点的坐标；
（3）在此抛物线上是否存在点，使得以四点为顶点的四边形是直角梯形？若存在，求出点的坐标；若不存在，说明理由．

（临江市中考题）

思路点拨   问题（1）中已经确定了的形状，只需再构造直角就可解决问题（3）。点是直线与抛物线的交点，但梯形的另一直角顶点不确定。

【例4】如图，在平面直角坐标系中，的两个顶点在轴上，顶点在轴的负半轴上．已知，，的面积，抛物线经过三点。

    (1)求此抛物线的函数表达式；

    (2)设是轴右侧抛物线上异于点的一个动点，过点作轴的平行线交抛物线于另一点，过点作垂直于轴于点，再过点作垂直于轴于点，得到矩形．则在点的运动过程中，当矩形为正方形时，求出该正方形的边长；

    (3)在抛物线上是否存在异于的点，使中边上的高为？若存在，求出点的坐标；若不存在，请说明理由．

（2011年成都市中考题）

分析   对于（2），设出点的坐标，由，建立方程；对于（3），假设存在点，使中边上的高为，则点应在与直线平行且与直线相距的两条平行线上。

学力训练

1. 如图，抛物线与轴交于点，过点的直线与抛物线交于另一点，过点作轴，垂足为点．
（1）求直线的函数关系式；
（2）动点在线段上，从原点出发以每秒一个单位的速度向移动，过点作轴的垂线，交直线于点，抛物线于点，设点移动的时间为秒，线段的长为个单位，求与的函数关系式；
（3）在（2）的条件下（不考虑点与点、点重合的情况），连接，四边形能否为平行四边形？若能，求出点P的坐标；若不能，请说明理由．

（2011年广州市中考题）

2. 已知平面直角坐标系（如图），一次函数的图象与轴交于点，点在正比例函数的图象上，且．二次函数的图象经过点．
（1）求线段的长；
（2）求这个二次函数的解析式；
（3）如果点在轴上，且位于点下方，点在上述二次函数的图象上，点在一次函数的图象上，且四边形是菱形，求点的坐标．

（2011年上海市中考题）

3. 如图，已知抛物线过点，与轴交于另一点．
（1）求抛物线的解析式；
（2）若在第三象限的抛物线上存在点，使为以点为直角顶点的直角三角形，求点的坐标；
（3）在（2）的条件下，在抛物线上是否存在一点，使以为顶点的四边形为直角梯形？若存在，请求出点的坐标；若不存在，请说明理由．

（烟台市中考题）

4. 如图，在平面直角坐标系中，直线与抛物线交于两点，点在轴上，点的横坐标为．
（1）求该抛物线的解析式；
（2）点是直线上方的抛物线上一动点（不与点重合），过点作轴的垂线，垂足为，交直线于点，作于点．
①设的周长为，点的横坐标为，求关于的函数关系式，并求出的最大值；
②连接，以为边作图示一侧的正方形．随着点的运动，正方形的大小、位置也随之改变．当顶点或恰好落在轴上时，直接写出对应的点的坐标．

（2011年河南省中考题）