九年级数学培优竞赛新方法-第25讲抛物线与直线形（1）——由动点生成的特殊三角形问题讲义学案

展开

这是一份九年级数学培优竞赛新方法-第25讲抛物线与直线形（1）——由动点生成的特殊三角形问题讲义学案，共7页。

抛物线与直线形（1）

——由动点生成的特殊三角形问题

在科学研究中，首先要能够发现好的、重大的问题，只有找对了方向，才能不断发现、解决一系列重要的问题，而要找到好的问题，不仅需要丰富的学识，更关系到一个人的观念和文化的品味。

——丘成桐

知识纵横

抛物线与直线形的结合表现形式之一是，以抛物线为载体，探讨是否存在一些点，使其能够成某些特殊三角形，有以下常见的基本形式：

（1）抛物线上的点能否构成等腰三角形；

（2）抛物线上的点能否构成直角三角形；

（3）抛物线上的点能否构成相似三角形；

解这类问题的基本思路：假设存在，数形结合，分类归纳，逐一考察。

例题求解

【例1】如图，抛物线经过的三个顶点，已知∥轴，点在轴上，点在轴上，且．
（1）求抛物线的对称轴；
（2）写出三点的坐标并求抛物线的解析式；
（3）探究：若点是抛物线对称轴上且在轴下方的动点，是否存在是等腰三角形？若存在，求出所有符合条件的点坐标；不存在，请说明理由．

（龙岩市中考题）

思路点拨对于（3）只需求出点纵坐标，将问题转化为相关线段长。解题的关键是分情况讨论并正确画图。

【例2】已知抛物线，交轴于两点（在的左边），交轴于点，且有最大值．
（1）求抛物线的解析式；
（2）在抛物线上是否存在点，使是直角三角形？若存在，求出点坐标；若不存在，说明理由．

（包头市中考题）

思路点拨对于（2），设点坐标为，寻找相似三角形，建立的另一关系式，解联立而得到的方程组，可求出的值。

【例3】抛物线与轴交于点，顶点为，对称轴与轴交于点．
（1）如图．求点的坐标及线段OC的长；
（2）点在抛物线上，直线∥交轴于点，连接．
①若含角的直角三角板如图所示放置．其中，一个顶点与点重合，直角顶点在上，另一个顶点E在上．求直线的函数解析式；
②若含角的直角三角板一个顶点与点重合，直角顶点在直线上，另一个顶点在上，求点的坐标．

（2011年绍兴市中考题）

思路点拨对于（2），解题的关键是求出的长。由条件出发，构造全等三角形或相似三角形，而能发现四点共圆，可使问题获得简解。

【例4】如图，抛物线的顶点为，交轴于两点，交轴于点，其中点的坐标为．
（1）求抛物线的解析式；
（2）如图，过点的直线与抛物线交于点，交轴于点，其中点的横坐标为2，若直线为抛物线的对称轴，点为直线上的一动点，则轴上是否存在一点，使四点所围成的四边形周长最小？若存在，求出这个最小值及点的坐标；若不存在，请说明理由；
（3）如图，在抛物线上是否存在一点，过点作轴的垂线，垂足为点，过点作∥，交线段于点，连接，使？若存在，求出点的坐标；若不存在，请说明理由．

（2011深圳市中考题）

思路点拨对于（2），因是一个定值，故需使最小即可，从轴对称入手；对于（3）由题意知，要使，只要使，即；或从角入手得到隐含的相似三角形。

学力训练

1. 如图，已知抛物线的顶点为，且经过原点O，与轴的另一个交点为．
（1）求抛物线的解析式；
（2）若点在抛物线的对称轴上，点在抛物线上，且以四点为顶点的四边形为平行四边形，求点的坐标；
（3）连接，如图，在轴下方的抛物线上是否存在点，使得与相似？若存在，求出点的坐标；若不存在，说明理由．

（临沂市中考题）

2. 如图，已知抛物线与轴交于两点，与轴交于点．
（1）求抛物线的解析式；
（2）设抛物线的顶点为，在其对称轴的右侧的抛物线上是否存在点，使得是等腰三角形？若存在，求出符合条件的点的坐标；若不存在，请说明理由；
（3）点是抛物线上一点，以为顶点的四边形是直角梯形，试求出点的坐标．

（临沂市中考题）

3. 在平面直角坐标系中，现将一块等腰直角三角板放在第二象限，斜靠在两坐标轴上，点．如图所示，点在抛物线图象上，过点作轴，垂足为，且点横坐标为．
（1）求证：；
（2）求所在直线的函数关系式；
（3）抛物线的对称轴上是否存在点，使是以为直角边的直角三角形？若存在，求出所有点的坐标；若不存在，请说明理由．