九年级数学 培优竞赛新方法-第8讲 抛物线 讲义学案

第8讲       抛物线

知识纵横

    一般地，我们称函数为的二次函数，其图像为一条抛物线，与抛物线相关的知识有：

1、、、的符号决定抛物线的大致位置；

2、抛物线关于对称，抛物线开口方向、开口大小仅与相关，抛物线在顶点处取得最值；

3、抛物线的解析式有下列三种形式：

一般式：；

顶点式：；

交点式：，这里、是方程的两个实根。确定抛物线的解析式一般要两个或三个独立条件，灵活地选用不同方法求出抛物线的解析式是解与抛物线相关问题的关键。

例题求解

【例1】已知二次函数中自变量和函数值的部分对应值如下表：

则二次函数的解析式为              。

                                                         （天津市中考题）

思路点拨  从表格中可获取丰富的信息，用不同方法求该二次函数的解析式。

【例2】二次函数的图像如图所示，现有以下结论：①；②；③；④；⑤。其中正确的结论有（    ）

A、1个    B、2个     C、 3个      D、  4个   

思路点拨   由抛物线的位置确定、、的符号，解题关键是对相关代数式的意义从函数角度理解并能综合推理。

【例3】已知二次函数。

（1）随着的变化，该二次函数图像的顶点是否都在某个抛物线上？如果是，请求出该抛物线的函数表达式；如果不是，请说明理由。

（2）如果直线经过二次函数图像的顶点，求此时的值。

                                                          （浙江省竞赛题）

思路点拨   对于（1），原二次函数图像的顶点的坐标含参数，消去或对赋值求出点所在抛物线的解析式。

【例4】如图，已知抛物线顶点为（1、1），且过原点。过抛物线上一点向直线作垂线，垂足为，连接。

（1）在直线上有一点，求以为底边的等腰三角形的点的坐标，并证明此时△为正三角形；

（2）对抛物线上任意点，是否存在点，使得恒成立？请说明理由。

                                                                        （黄冈市中考题）

思路点拨  对于（1），通过计算证明；对于（2），由（1）知为可能满足条件的点之一，再观察抛物线上的特殊点（顶点）便知是唯一点，以此猜想就是所求的点，通过数式计算证明。

【例5】某学生为了描点作出函数的图像，取自变量的7个值：，且，分别算出对应的的值，列表如下：

但由于粗心算错了其中一个y值，请指出算错的是哪一个值？正确的值是多少？并说明理由。

                                            （“宇振杯”上海市竞赛题）

分析   设，且对应的函数值为，计算

△的值，并由此导出△△为一常数，这是解本题的关键。

【例6】将抛物线沿轴翻折，得抛物线，如图所示。

（1）请直接写出抛物线的表达式。

（2）现将抛物线向左平移个单位长度，平移后得到的新抛物线的顶点为，与轴的交点从左到右依次为A、B；将抛物线向右也平移个单位长度，平移后得到的新抛物线的顶点为N，与轴交点从左到右依次为D、E。

①当B、D是线段AE的三等分点时，求的值。

②在平移过程中，是否存在以点A、N、E、M为顶点的四边形是矩形的情形？若存在，请求此时的值；若不存在，请说明理由。

（2011年江西省中考题）

分析   把相应点的坐标用的代数式表示，由图形性质建立的方程。因值不确定，故解题的关键是分类讨论。

学力训练

基础夯实

1、将抛物线向下平移3个单位，再向左平移4个单位得到抛物线，则原抛物线的顶点坐标是             。

                                                                    （长春市中考题）

2、已知二次函数为常数），当取不同的值时，其图象构成一个“抛物线系”。如图分别是当时二次函数的图像，它们的顶点在一条直线上，这条直线的解析式是                。

                                                                （湖南省株洲市中考题）

3、已知二次函数，其中、、满足和，则该二次函数图像的对称轴是直线               。

                                                                   （辽宁省中考题）

4、如图，抛物线y=ax2+c（a＜0）交x轴于点G，F，交y轴于点D，在x轴上方的抛物线上有两点B，E，它们关于y轴对称，点G，B在y轴左侧，BA⊥OG于点A，BC⊥OD于点C，四边形OABC与四边形ODEF的面积分别为6和10，则△ABG与△BCD的面积之和为        。

                                                                    （长春市中考题）

5、在平面直角坐标系中，将抛物线绕着它与轴的交点旋转，所得抛物线的解析式是（        ）。

A、                   B、

C、                   D、

                                                                   （2011年桂林市中考题）

6、二次函数的图像如图所示，则反比例函数与一次函数在同一坐标系中大致图像是（         ）。

A 、    B、C、D、

                                                                  （2011年芜湖市中考题）

7、已知二次函数的图像过点，若点，也在二次函数的图像上，则下列结论正确的是（    ）。

A、  B 、  C 、    D 、

                                                                     （威海市中考题）

8、如图，二次函数y=ax2+bx+c（a≠0）的图象经过点（-1，2），与y轴交于（0，2）点，且与x轴交点的横坐标分别为x1、x2，其中-2＜x1＜-1，0＜x2＜1，下列结论：①4a-2b+c＜0；②2a-b＜0；③a＜-1；④b2+8a＞4ac．其中正确的有（　　）

A、1个      B、2个       C、3个        D、4个

                                                             （ 福州市中考题）

9、如图所示，抛物线m：y=ax²+b（a＜0，b＞0）与x轴的交点为A，B（点A在点B的左侧）．与y轴交于点C。将抛物线m绕点B旋转180°，得到新的抛物线n，它的顶点为C1，与x轴的另一个交点为A1.
（1）当a=-1，b=1时，求抛物线n的解析式；
（2）求证：四边形AC1A1C是平行四边形；
（3）四边形AC1A1C可能是矩形吗？若能，请写出a，b满足的关系式；若不能，说明理由．

（2011年江西省中考题）

10、如图所示，已知点A（-1，0），B（3，0），C（0，t），且t＞0，tan∠BAC=3，抛物线经过A、B、C三点，点P（2，m）是抛物线与直线l：y=k（x+1）的一个交点．
（1）求抛物线的解析式；
（2）对于动点Q（1，m），求PQ+QB的最小值；
（3）若动点M在直线l上方的抛物线上运动，求△AMP的边AP上的高h的最大值．

（四川省内江市中考题）

能力拓展

11、不论取任何实数，抛物线的顶点都在一条直线上，则这条直线的解析式为                     。

                                                                     （太原市竞赛题）

12、二次函数的图像顶点为D，与轴正方向从左至右依次交于A、B两点，与轴正方向交于C点，若△ABD和△OBC均为等腰直角三角形，O为坐标原点，则            .

                                                               (2011年全国初中数学联赛题）

13、若关于的函数的图像与坐标轴有两个交点，则的值为                        。

                                                                    （天津市竞赛题）

14、已知正△AOB的三个顶点都在抛物线上，其中O为坐标原点，则正△AOB的面积为（           ）

A、            B 、             C 、               D 、24

                                                （2011年《数学周报》杯全国初中数学竞赛）

15、二次函数的图像的顶点在第一象限，且过点（0,1）和点（-1,0），则的值的变化范围是（         ）。

A 、        B 、         C 、            D、

                                                                  （荆州市竞赛题）

16、已知是二次函数的图像上两点，则当时，二次函数的值是（         ）

A、          B 、          C 、2002               D、5

                                                                  （绍兴市竞赛题）

17、已知二次函数的图像是.

（1）求关于点中心对称的图像的函数解析式；

（2）设曲线、与轴的交点分别为A、B当时，求的值。

                 （太原市竞赛题）

18、已知抛物线的图像与轴存在两个交点，且经过点A（0,1），过点A的直线与轴交于点C，与抛物线交于点B（异于点A），满足△CAN是等腰直角三角形，且S△BMNS△BMN．求该抛物线的解析式。

                                                                  （2011年四川省竞赛题）

19、如图，已知点M、N的坐标分别为（0，1）、（1，-1），点P是抛物线上的一个动点。

（1）判断以点P为圆心，PM为半径的圆与直线的位置关系；

（2）设直线ＰＭ与抛物线的另一个交点为Ｑ，连接NP、ＮＱ，求证：∠∠

　　  （全国初中数学竞赛题）

 综合创新

２０、如图，已知经过原点的抛物线y=-2x2+4x与x轴的另一交点为A，现将它向右平移m（m＞0）个单位，所得抛物线与x轴交于C、D两点，与原抛物线交于点P．
（1）求点A的坐标，并判断△PCA存在时它的形状（不要求说理）；
（2）在x轴上是否存在两条相等的线段？若存在，请一一找出，并写出它们的长度（可用含m的式子表示）；若不存在，请说明理由；
（3）设△CDP的面积为S，求S关于m的关系式．

　（南昌市中考题）

２１、已知、、为正整数，，设为坐标原点。若∠且，求图像经过A、B、C三点的二次函数的解析式。

                                                         （2011年全国初中数学联赛题）