九年级数学 培优竞赛新方法-第21讲 圆与圆 讲义学案

第20讲  圆与圆

知识纵横

圆与圆的位置关系有外离、外切、相交、内切、内含五种情形，判定两圆的位置关系有如下二种方法：

1. 通过两圆交点的个数确定；
2. 通过两圆的半径与圆心距的大小量化确定。

为了沟通两圆，常常添加与两圆都有联系的一些线段，如公共弦、公切线、连心线，以及两圆公共部分相关的角和线段，这是解圆与圆位置关系问题的常用辅助线。

例题求解

【例1】如图，相距的两点、在直线上，它们分别以的速度在上同时向右平移，当点、分别平移到点、的位置时，半径为的与半径为的相切，则点平移到点所用的时间为__________.

（2011年嵊州市中考题）

思路点拨   两个动圆，移动圆心，的半径大小改变，两动圆内切或外切，故应全面讨论。

【例2】如图，圆心为、、的三圆彼此相切，且均与直线相切。若的半径分别为，则一定满足的关系式为（     ）。

（天津市竞赛题）

思路点拨     从两圆相切位置关系入手，分别探讨两圆半径和分切线的关系，解题的关键是作圆的基本辅助线。

【例3】如图①，在矩形中，，点从开始沿折线一以的速度移动，点从开始沿边以的速度移动。如果点、分别从、同时出发，当其中一点到达时，另一点也随之停止运动，设运动时间为。

（1）为何值时，四边形为矩形？

（2）如图②，的半径都是，那么为何值时，相外切？

（南京市中考题）

思路点拨   对于（1），把相关线段用的式子表示，利用图形性质建立方程；对于（2），解题的关键是分情况讨论。

【例4】已知与相交于，且的半径为，的半径为

（1）过点作分别交和于两点，连接，如图①，试求的值；

（2）过点任画一条直线分别交与于，连接和，如图②，试求的值。

（巴中市中考题）

思路点拨   对于（2），应与两圆半径相关，需构造相似三角形，利用图①或构造直径或联想相交两圆的性质。

【例5】如图，是半径为1的单位圆的四分之一，半圆在上并与弧内切于点，半圆的圆心在上，并与弧内切于，半圆与半圆相切，设两半圆的半径之和为，面积之和为。

（1）试建立以为自变量的函数的解析式；

（2）求函数的最小值。

（太原市竞赛题）

分析   设两圆、半径分别为、，对于（1），通过变性把用的代数式表示，作出辅助线；对于（2），因，故是在约束条件下求的最小值，解题的关键是求出的取值范围。

化繁为简

【例6】如图，圆、的半径都为1，且相互外切。圆的半径都为,且圆与圆、、、都分别外切，圆与圆都分别外切，圆与圆都分别外切，求的值。

（2011年青少年数学国际城市邀请赛试题）

分析与解   连接圆心、连接切点与圆心，关注由此生成的三角形。如图，连接，设、相切于，则，即，解得（负值已舍去）。

学力训练

基础夯实

1、的半径为,点是外一点，则以为圆心且与相切的圆的半径是        

（长春市中考题）

2、如图，两圆轮叠靠在墙边，已知两轮半径分别为和，则它们与墙的切点、间的距离为         。

（绍兴市中考题）

3、如图，大圆的半径是小圆的直径，且有垂直于圆的直径，的切线交的延长线于点，切点为，已知的半径为，则        ；

          。

（杭州市中考题）

4、如图①，为四个等圆的圆心，为切点，请你在图中画出一条线，将这四个圆分成面积相等的两部分，并说明这条直线经过的两个点是        ；如图②，为五个等圆的圆心，A，B，C，D，E为切点，请你在图中画出一条直线，将这五个圆分成面积相等的两部分，并说明这条直线经过的两个点是        ．

（天津市中考题）

5、如图，施工工地的水平面上，有三根外径都是的水泥管两两摞在一起，则其最高点到地面的距离是        ．

6、如图，、外切于点，半径分别为、，为延长线上一点，作直线分别于、相切于、两点，则的度数为（     ）。

                              (武汉市高考题)

7、如图，正方形中，是边上一点，以为圆心，为半径的半圆与以为圆心、为半径的圆弧外切，则的值为（      ）

 (湖州市中考题)

8、两圆的半径分式和，圆心距为，若关于的方程有两个相等的实数根，则两圆的位置关系是（    ）

1. 一定内切        B.一定外切       C.相交       D.内切或外切

9、如图，与相交于、两点，经过圆心，点是的优弧上任意一点，（不与、点重合），连接、、、。

（1）指出图中与相等的一个角；

 (2)当点在上什么位置时，直线与相切？请说明理由；

（南宁市中考题）
 

10、已知A为上一点，B为与OA的交点，与的半径分别为r、R，且。

（1）如图①，过点作的切线与交于M、N两点。求证：；

（2）如图②，若与的交点为、，C是弧上任意一点，过点作的切线与交于、两点，试问是否成立，并说明你的结论。

（天津市中考题）

11、如图，点、在直线上，，、的半径均为。以每秒的速度自左向右运动，的半径也不断增大，且半径与时间t之间的关系为。

（1）试写出A、B之间的距离与时间t（秒）之间的函数关系式；

（2）问点A出发后多少秒两圆相切？

（威海市中考题）

能力拓展

12、已知半径分别为1和2的两圆外切于点，则点到两圆外公切线的距离为        。

（全国初中数学联赛试题）

13、如图，扇形OAB，，与OA、OB分别相切于点E、F，并且与弧AB切于点，则扇形的面积与的面积之比是         。

（兰州市中考题）

14、如图，五个圆顺次相外切，且又都与直线、相切，如果其中最小圆与最大圆的直径分别为18和32，那么的直径为         。

（天津市中考题）

15、如图，的半径为1，正方形的边长为6，点为正方形的中心，垂直AB于P点，，若将绕点P按顺时针方向旋转，在旋转过程中，与正方形的边只有一个公共点的情况一共出现（    ）。

A.3次          B.5次         C.6次         D.7次

（2011年宁波市中考题）

16、如图，已知三个半圆依次相外切，它们的圆心都在轴的正半轴上并与直线相切，设半圆、半圆、半圆的半径分别是、、，则当（     ）。

A.6          B.7         C.8       D.9

（2011年南通市中考题）

17、已知、相交于、，公共弦与连心线交于点。若AB=48，、的半径分别为30、40，那么的面积是（     ）。

A.600      B.300或168      C.168       D.600或168

（广东省竞赛题）

18、如图，、、分别以、、为圆心的半圆的直径，圆内切于半圆及外切于半圆。若，求圆的面积。

（第19届香港中学竞赛题）

19、在中，分别以AB、BC为直径作、，交于另一点D。

（1）证明：交点必在上；

（2）如图①，当与半径之比为4:3时，且与相切时，判断的形状，并求的值；

（3）如图②，当经过点,的延长线交于，且，求的度数。

（黄石市中考题）

20、如图，点H为的垂心，以为直径的与的外接圆相交于点P。求证：为的中点。

（2011年“《数学周报》杯”全国初中数学竞赛题）

综合创新

21、如图，已知与都过点A，是D的切线，交于点C，连接。

（1）求证：；

（2）证明：；

（3）如果求的长。

（十堰市中考题）

22、如图，已知、的半径不等，且外切于点A，不过A的一条公切线切于D，切于E，直线，且与BC的垂直平分线交于。求证：.

（英国数学奥林匹克试题）