2020-2021学年黑龙江省大庆铁人中学高二上学期期中考试数学试题 （解析版）

黑龙江省大庆铁人中学2020-2021学年高二上学期期中考试数学试题

试题说明：1、本试题满分 150 分，答题时间 120 分钟。

2、请将答案填写在答题卡上，考试结束后只交答题卡。

第Ⅰ卷（选择题 满分 60 分）

一、选择题（本大题共 12 小题，每小题 5 分，共 60 分．在每小题给出的四个选项中，只有一项是 符合题目要求的.)

1．已知点的极坐标是，它关于直线的对称点坐标是（    ）

A． B． C． D．

2．阿基米德（公元前287年—公元前212年）不仅是著名的物理学家，也是著名的数学家，他利用“逼近法”得到椭圆的面积除以圆周率等于椭圆的长半轴长与短半轴长的乘积.若椭圆C的焦点在x轴上，且椭圆C的离心率为，面积为12，则椭圆C的方程为（    ）.

A． B． C．  D．

3．下列结论错误的是（    ）

A．命题“若x2－3x－4＝0，则x＝4”的逆否命题为“若x≠4，则x2－3x－4≠0”

B．“x＝4”是“x2－3x－4＝0”的充分条件

C．命题“若m>0，则方程x2＋x－m＝0有实根”的逆命题为真命题

D．命题“若m2＋n2＝0，则m＝0且n＝0”的否命题是“若m2＋n2≠0，则m≠0或n≠0”

4．在极坐标系中，曲线上的两点对应的极角分别为，则弦长等于（    ）

A．1 B． C． D．2

5．已知椭圆和点、，若椭圆的某弦的中点在线段AB上，且此弦所在直线的斜率为k，则k的取值范围为（    ）

A． B． C． D．

6．已知点是曲线上任意一点，则点到直线的距离的最大值是（    ）

A． B． C． D．

7．已知是抛物线上一点，为其焦点，为圆的圆心，则的最小值为（    ）

A．2 B．3 C．4 D．5

8．已知直线的参数方程为（为参数），以坐标原点为极点，轴的正半轴为极轴建立极坐标系，曲线的极坐标方程为，且曲线的左焦点在直线上，若直线与曲线交于、两点，则的值等于（    ）

A．1 B． C． D．2

9．已知点是双曲线的左焦点，点是该双曲线的右顶点，过作垂直于轴的直线与双曲线交于、两点，若是锐角三角形，则该双曲线的离心率的取值范围是（    ）

A． B． C． D．

10．若动点在曲线上变化，则的最大值为（    ）

A．     B．     C．     D．

11．已知点在抛物线上且位于轴的两侧，（其中为坐标原点），则直线一定过点（    ）

A． B． C． D．

12．设椭圆的焦点为，，是椭圆上一点，且，若的外接圆和内切圆的半径分别为，，当时，椭圆的离心率为（    ）

A． B． C． D．

第II 卷 非选择题部分（选择题 满分 90 分）

二、填空题（本大题共 4 小题，每小题 5 分，共 20 分．)

13．已知点P的直角坐标按伸缩变换变换为点，限定时，点P的极坐标为_____________．

14．设p：|x﹣1|≤1，q：x2﹣（2m+1）x+（m﹣1）（m+2）≤0．若p是q的充分不必要条件，则实数m的取值范围是_____．

15．有如下命题：

①“”是“”成立的充分不必要条件；

②，则；

③对一切正实数均成立；

④“”是“”成立的必要非充分条件.

其中正确的命题为___________．（填写正确命题的序号）

16．已知双曲线，过轴上点的直线与双曲线的右支交于，两点（在第一象限），直线交双曲线左支于点（为坐标原点），连接.若，，则该双曲线的渐近线方程为____ .

三、解答题（本大题共 6 小题，共 70 分．)

17．在平面直角坐标系中，以坐标原点为极点，x轴正半轴为极轴建立极坐标系，曲线，曲线.

（1）求曲线与的直角坐标方程；（2）若直线的极坐标方程为，设与和的交点分别为M，N（M，N不与O重合），求.

18．已知椭圆的离心率为，且椭圆的右顶点到直线的距离为3.

（1）求椭圆的方程；

（2）过点，且斜率为的直线与椭圆交于，两点，求的面积(为坐标原点).

19．已知双曲线，是上的任意点.

（1）求证：点到双曲线的两条渐近线的距离的乘积是一个常数；

（2）设点的坐标为，求的最小值.

20．在直角坐标系中，曲线的参数方程为 (为参数)，曲线的参数方程为 (为参数).

（1）求曲线，的普通方程；

（2）已知点，若曲线，交于，两点，求的值.

21．设抛物线，F为C的焦点，点为x轴正半轴上的动点，直线l过点A且与C交于P，Q两点，点为异于点A的动点.当点A与点F重合且直线l垂直于x轴时，.

（1）求C的方程；

（2）若直线l不垂直于坐标轴，且，求证：为定值.

22．已知椭圆C：（）经过，两点.O为坐标原点，且的面积为.过点且斜率为k（）的直线l与椭圆C有两个不同的交点M，N，且直线，分别与y轴交于点S，T.

（Ⅰ）求椭圆C的方程；

（Ⅱ）求直线l的斜率k的取值范围；

（Ⅲ）设，，求的取值范围.

参考答案

1．B

【解析】

【分析】

利用极坐标的意义作出极坐标点M，再做出点M关于的对称点N，则可得出其极坐标.

【详解】

解：作出极坐标是的点，如图，

它关于直线的对称点是N，其极坐标为或．

故选：B．

【点睛】

考查极坐标的概念，以及对称点的求法.题目较易.

2．D

【解析】

【分析】

利用已知条件列出方程组，求出，即可得到椭圆方程.

【详解】

由题意可得：，解得，

因为椭圆的焦点在轴上，所以椭圆方程为：，

故选D.

【点睛】

该题考查的是有关椭圆方程的求解问题，涉及到的知识点有椭圆的几何性质，椭圆的面积，属于简单题目.

3．C

【解析】

【分析】

写出原命题的逆否命题，可判断，根据充要条件的定义，可判断；根据方程有实根，即可判断C．写出原命题的否命题，可判断．

【详解】

解：命题“若，则”的逆否命题为“若，则”，故A正确；

“” “或”，故“”是“”的充分不必要条件，故B正确；

对于，命题“若，则方程有实根”的逆命题为命题“若方程有实根，则，方程有实根时，，故C错误．

命题“若，则且”的否命题是“若．则或”，故正确；

故选：C．

【点睛】

本题以命题的真假判断与应用为载体，考查了四种命题，命题的否定，充要条件等知识点，属于中档题．

4．C

【解析】

【分析】

直接求出极坐标，转化为直角坐标，然后利用距离公式求解即可.

【详解】

A､B两点的极坐标分别为，

化为直角坐标为､，

故.

故选：C.

【点睛】

本题考查极坐标与直角坐标的求法，距离公式的应用，考查计算能力，属于基础题.

5．B

【解析】

【分析】

由题意设出椭圆的某弦的两个端点分别为P（x1，y1），Q（x2，y2），中点为M（x0，y0），把P、Q的坐标代入椭圆方程，作差得到PQ的斜率与AB中点坐标的关系得答案．

【详解】

设椭圆的某弦的两个端点分别为P（x1，y1），Q（x2，y2），中点为M（x0，y0），

则，，

两式作差可得：，

即，

由题意可知，y0≤1，

∴k（y0≤1），则k∈[﹣4，﹣2]．

故选B．

【点睛】

本题考查椭圆的简单性质，训练了“中点弦”问题的求解方法，属于中档题．

6．C

【解析】

【分析】

先将直线化为直角坐标系下的方程，再用椭圆的参数方程设出点的坐标，利用点到直线的距离求解.

【详解】

由直线，有，即.

又点是曲线上任意一点，设

则点到直线的距离为：

当时取得等号.

 故选：C

【点睛】

本题考查极坐标方程与直角坐标方程的互化、椭圆的参数方程和点到直线的距离,属于中档题.

7．B

【解析】

【分析】

设出抛物线的准线方程，问题求的最小值，结合抛物线的定义，就转化为，在抛物线上找一点，使到点、到抛物线准线距离之和最小，利用平面几何的知识可以求解出来．

【详解】

解：设抛物线的准线方程为，为圆的圆心，所以的坐标为，过作的垂线，垂足为，根据抛物线的定义可知，所以问题求的最小值，就转化为求的最小值，由平面几何的知识可知，当，，在一条直线上时，此时，有最小值，最小值为，

故选：B．

【点睛】

本题考查了抛物线的定义，以及动点到两点定点距离之和最小问题．解决本题的关键是利用抛物线的定义把问题进行转化，属于中档题．

8．D

【解析】

【分析】

根据题意，将曲线的极坐标方程变形为标准方程，由直线过的点的坐标可得的值，将直线的参数方程与曲线的方程联立，可得，由一元二次方程根与系数的关系计算可得答案；

【详解】

解：根据题意，曲线的极坐标方程为，

则其标准方程为，其左焦点为，

直线过点，其参数方程为为参数），

则，

将直线的参数方程与曲线的方程联立，

得，

则．

故选：D

【点睛】

本题考查椭圆的极坐标方程、参数方程，涉及椭圆与直线的位置关系，关键是求出椭圆、直线的普通方程，属于中档题．

9．B

【解析】

【分析】

确定，在直角中得到，即，计算得到答案.

【详解】

若是锐角三角形，则

在直角中，，，

即，所以得，又，所以

故选：

【点睛】

本题考查了双曲线的离心率的取值范围，意在考查学生的计算能力和转化能力，确定是解题的关键.

10．A

【解析】

【分析】

设动点的坐标为，将代入中整理化简求最值．

【详解】

解：设动点的坐标为，则

．

当时，；

当时，．

故选：A．

【点睛】

本题考查与圆锥曲线有关的最值问题，可通过参数方程转化为三角函数求最值，是中档题．

11．A

【解析】

【分析】

设直线方程为，与抛物线方程联立，消去后得的方程，由韦达定理可求得，得到直线方程，根据方程特点可得答案.

【详解】

当直线的斜率为0时，直线与抛物线只有1个交点，不符合题意，

所以直线的斜率不为0，设其方程为，因为点在抛物线上，

所以设，所以，

解得或．又因为两点位于轴的两侧，所以．

联立得，所以，

即，所以直线的方程为，所以直线一定过点．

故选：A．

【点睛】

本题考查直线与抛物线相交问题，考查抛物线中的定值，方法是设而不求法，在直线与圆锥曲线相交问题常常采用此法，注意体会．

12．B

【解析】

【分析】

利用正弦定理得到，再利用椭圆的定义，设，，得到，结合余弦定理，得到，即得解.

【详解】

椭圆的焦点为，，

根据正弦定理可得

∴，.

设，，则，

由余弦定理得 ，

∴，∴，

又，

∴即，

故，解得：或（舍）.

故选：.

【点睛】

本题考查了椭圆的性质综合应用，考查了学生综合分析，转化与划归，数学运算的能力，属于中档题.

13．

【解析】

设点的直角坐标为，由题意得，解得，因为点的直角坐标为，所以，，因为，点在第四象限，所以，所以点P的极坐标为．

14．[0，1]

【解析】

【分析】

分别求出的范围，再根据是的充分不必要条件，列出不等式组，解不等式组

【详解】

由得，得.

由，得，

得，

若p是q的充分不必要条件，

则，得，得，

即实数的取值范围是.

故答案为：

【点睛】

本题主要考查绝对值不等式和二次不等式的解法，同时考查了充分不必要条件，属于中档题.

15．①③

【解析】

【分析】

【详解】

试题分析：由题意得，对于①中，“”是“”成立的，当“”时，“”不一定成立，例如；

对于②时，则，所以是不成立的；

对于③中，，所以对一切正实数均成立是成立的；对于④“”是“”成立的既不充分也不必要，所以不成立，故选①③．

考点：不等式的性质及命题的真假判定．

16．

【解析】

【分析】

由题意可知：，关于原点对称，得到，分别求出相应的斜率，再根据离心率公式，即可求解.

【详解】

由题意可知：，关于原点对称，∴，

又由，，则，，∴，

渐近线方程为.

【点睛】

本题主要考查了双曲线的标准方程及其简单的几何性质的应用，其中解答中根据双曲线的对称性，得到关于原点对称，得到，分别求出相应的斜率，求得的值是解答的关键，重考查了分析问题和解答问题的能力，属于中档试题.

17．（1），；（2）.

【解析】

【分析】

（1）由利用极坐标和直角坐标互换公式，即可求出曲线与的直角坐标方程；

（2）联将直线的极坐标方程分别于曲线与的极坐标方程联立，即可求出，再根据，即可求出结果.

【详解】

解：（1）由，得，

∴曲线的直角坐标方程为.

由，得，

∴曲线的直角坐标方程为.

（2）联立，得，

联立，得，.

故.

【点睛】

本题主要考查了极坐标方程和直角坐标方程的互化，以及利用极坐标方程解决曲线与曲线的交点问题．属于基础题.

18．（1）.（2）

【解析】

【分析】

（1）由右顶点到直线的距离得，再由离心率得，从而可得值，得出椭圆方程；

（2）写出直线方程，直线方程与椭圆方程联立方程组消元得一元二次方程，设，，得，而的面积可表示为，由此可得所求面积．

【详解】

（1）因为椭圆的右顶点到直线的距离为3，

所以，解得.

因为椭圆的离心率为，所以，

所以，所以.

故椭圆的方程为.

（2）由题意可知直线的方程为，

设，，

联立，整理得，

则，，

从而.

故的面积.

【点睛】

本题考查求椭圆方程，考查直线与椭圆相交中的三角形面积问题．求三角形面积时不直接求出交点坐标，而是设，，由直线方程与椭圆方程联立，消元后应用韦达定理得，面积表示为，这样代入计算，可避免求交点坐标。

19．（1）见解析；（2）.

【解析】

试题分析：（1）设，写出点到渐近线的距离的乘积，利用点在双曲线上化简，得到常数；（2） ，根据 化简，转化为二次函数求最小值.

试题解析：（1）设，到两准线的距离记为、，

∵两准线为，，

∴，

又∵点在曲线上，∴，得（常数）

即点到双曲线的两条渐近线的距离的乘积是一个常数 .

（2）设，由平面内两点距离公式得，

，

∵，可得，∴，

又∵点在双曲线上，满足，∴当时，有最小值，.

20．（1）：，：；（2）.

【解析】

【分析】

（1）消去参数可得曲线普通方程；将y平方消去可得曲线的普通方程；

（2）将直线改写成过的标准直线参数方程，再联立曲线的普通方程化简可得关于的一元二次方程，根据的几何意义，结合韦达定理，即可求出的值.

【详解】

（1）由曲线的参数方程为 (为参数)，消去得.

由曲线的参数方程为 (为参数)，消去得.

（2）曲线的标准参数方程为 (为参数).

代入，整理得，

所以，，

因为，，所以.

【点睛】

本题主要考查参数方程与直角坐标方程的互化，同时也考查了直线参数方程的几何意义，易错点在于要先将直线参数方程化为标准形式，再代入求解，属中档题.

21．（1）；（2）证明见解析

【解析】

【分析】

（1）将代入抛物线方程可求得，由此可构造方程求得，进而得到结果；

（2）设，与抛物线方程联立后得到韦达定理的形式；由知，代入韦达定理的结论整理可得定值.

【详解】

（1）由题意得：，

当点与重合且直线垂直于轴时，方程为：，

代入得：，，解得：，

的方程为：.

（2）证明：可设直线的方程为，，，

将代入中得：，

则，，

由得：，即，

即，

，

又直线不垂直于坐标轴，，，

为定值.

【点睛】

本题考查直线与抛物线的综合应用问题，涉及到抛物线标准方程的求解、抛物线中的定值问题；证明定值问题的关键是能够将角相等的关系转化为斜率之间的关系，进而利用韦达定理整理化简得到定值.

22．（Ⅰ）（Ⅱ）（Ⅲ）

【解析】

【分析】

（Ⅰ）把点A坐标代入椭圆的方程得.由的面积为可知，，解得b，进而得椭圆C的方程.

（Ⅱ）设直线l的方程为，，.联立直线l与椭圆C的方程可得关于x的一元二次方程.，进而解得k的取值范围.

（Ⅲ）因为，，，，写出直线的方程，令，解得.点S的坐标为.同理可得：点T的坐标为.用坐标表示，，，代入，，得.同理.由（Ⅱ）得，，代入，化简再求取值范围.

【详解】

（Ⅰ）因为椭圆C：经过点，

所以解得.

由的面积为可知，，

解得，

所以椭圆C的方程为.

（Ⅱ）设直线l的方程为，，.

联立，消y整理可得：.

因为直线与椭圆有两个不同的交点，

所以，解得.

因为，所以k的取值范围是.

（Ⅲ）因为，，，.

所以直线的方程是：.

令，解得.

所以点S的坐标为.

同理可得：点T的坐标为.

所以，，.

由，，

可得：，，

所以.

同理.

由（Ⅱ）得，，

所以

所以的范围是.

【点睛】

涉及椭圆的弦长、中点、距离等相关问题时，一般利用根与系数的关系采用“设而不求”“整体带入”等解法.